复变 积分变换

积分变换1引言变换：原问题变换较易解决的问题直接求解较难求解原问题的解逆变换在变换域里的解例如：对数变换、解析几何的坐标变换、高等代数中的线性变换；在积分中的变量代换和积分运算化简；在微分方程中所作的自变量或未知函数的变换；复变函数的保角变换；积分变换。2引言积分变换：通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的变换。

积分域；积分变换的核；象原函数；称为的象函数。3引言当选取不同的积分域和变换核时，就得到不同名称的积分变换。傅里叶（Fourier）变换：变换核为；积分域拉普拉斯（Laplace）变换：变换核为；积分域Z变换、梅林（Mellin）变换、汉科尔（Hankel）变换，小波变换。4引言一般来说，当用积分变换去求解微分方程或其它方程时，在积分变换之下，原来的偏微分方程可以减少自变量的个数，直至变成常微分方程；原来的常微分方程可以变成代数方程，从而使得在函数类B中的运算简化，找出在B中的一个解，再经过逆变换，就得到原来要在函数类A中所求的解。（当然，上述求变换与求逆变换是可以依赖于积分变换表来完成的）。5第一章傅立叶（Fourier）变换

第1节傅立叶积分公式第2节傅立叶变换第3节傅立叶变换的性质第4节卷积与相关函数

61-1傅立叶积分公式如果是以T为周期的周期函数，并且在上满足狄利克雷（Dirichlet）条件：即函数在上满足：1、连续或至多只有有限个第一类间断点；2、至多只有有限个极值点。那么在上的连续点t处，可以展开成傅里叶级数。若t是的间断点，则71-1傅立叶积分公式级数的三角形式：其中81-1傅立叶积分公式傅里叶级数的复指数形式：91-1傅立叶积分公式傅里叶积分公式101-1傅立叶积分公式[傅里叶积分定理]若在任何有限区间上满足狄利克雷条件，并且在无限区间上绝对可积（即积分收敛），则有

111-1傅立叶积分公式傅里叶积分公式的三角形式：121-1傅立叶积分公式傅里叶正弦积分公式傅里叶余弦积分公式

131-1傅立叶积分公式[例1-1]求函数的傅里叶积分表达式。[解]141-1傅立叶积分公式狄利克雷积分:[例1-2]证明151-2傅立叶变换傅里叶积分公式：傅里叶变换：傅立叶逆变换：161-2傅立叶变换在不考虑在间断点的取值时，和通过指定的积分运算可以相同表达，即

和在傅里叶变换下是一一对应的。为此，称和构成了一个傅里叶变换对，记为。它们有相同的奇偶性。171-2傅立叶变换傅里叶正弦积分公式：傅里叶正弦变换式（正弦变换）：傅里叶正弦逆变换式：181-2傅立叶变换傅里叶余弦积分公式：傅里叶余弦变换式（余弦变换）：傅里叶余弦逆变换式：191-2傅立叶变换[例1]求单边指数衰减函数（其中为常数）的傅里叶变换和傅里叶积分公式。[解]当时，上式左端应为201-2傅立叶变换211-2傅立叶变换[例2]设，，试证：和是一对傅里叶变换对。[证明][注]为傅里叶核，虽然它在不绝对可积，但其傅里叶变换是存在的。221-2傅立叶变换[例3]求矩形脉冲函数的傅里叶变换，且利用傅里叶积分公式证明：231-2傅立叶变换[例5]求函数的正弦变换和余弦变换。[解]241-2傅立叶变换[例6]求积分方程[解]251-2傅立叶变换傅里叶变换的物理意义——频谱

1非正弦的周期函数的频谱2非周期函数的频谱261-2傅立叶变换1非正弦的周期函数的频谱271-2傅立叶变换第n次谐波：第n次谐波的频率：第n次谐波的振幅：基波：基频：相位：281-2傅立叶变换复指数形式：291-2傅立叶变换这些直线段称为谱线，而全体称为周期函数的振动频谱（简称为频谱）。频率与振幅的关系图称为频谱图。周期函数有离散频谱。

301-2傅立叶变换[例7]周期矩形脉冲波在一个周期内的表达式为设和，分别作出相应的频谱图。311-2傅立叶变换2非周期函数的频谱傅立叶变换又称为的频谱密度函数，它的模称为的振幅频谱，也简称为频谱。由于是连续变化的，这时频谱图是连续曲线，所以称这种频谱为连续频谱。也就是说，非周期函数有连续的频谱图。对一个时间函数作傅立叶变换，就是求这个时间函数的频谱函数。注意，321-2傅立叶变换定义的幅角主值为函数的相角频谱。

331-2傅立叶变换[例8]求单边指数衰减函数的振幅频谱和相角频谱。[解]341-2傅立叶变换[例9]求单位脉冲函数的振幅频谱和相角频谱。[解]35第3节单位脉冲函数1、物理意义2、定义3、性质4、导数及其性质5、广义傅立叶变换36第3节单位脉冲函数1、单位脉冲函数的物理意义：（1）集中质量的密度；（2）电学中的集中电荷。37第3节单位脉冲函数2、单位脉冲函数的定义：（1）类似普通函数形式的定义

函数是满足如下两个条件的函数。（1）（2）（2）普通函数序列极限形式的定义

（3）第三种定义

38第3节单位脉冲函数多维函数的定义：（1）（2）性质：39第3节单位脉冲函数3、单位脉冲函数的性质：（1）线性性质：（2）分段性质：40第3节单位脉冲函数3、单位脉冲函数的性质：（3）筛选性质：（4）时间尺度变换性质：推论：41第3节单位脉冲函数3、单位脉冲函数的性质：（5）乘以时间函数的性质推论：

（6）单位阶跃函数，或称为海维塞（Heaviside）函数。42第3节单位脉冲函数4、单位脉冲函数的导数及其性质：K阶导数：（1）（2）（3）43第3节单位脉冲函数4、单位脉冲函数的导数及其性质：（4）（5）44第3节单位脉冲函数3、广义傅立叶变换：（1）极限意义下的傅立叶变换

若则[例1]考察符号函数的傅立叶变换。[解]45第3节单位脉冲函数（2）函数的傅立叶变换

46第3节单位脉冲函数[例2]证明单位阶跃函数的傅立叶变换为[例3]求正弦函数的傅立叶变换。[解]47第4节傅立叶变换的性质1、线性性质2、对称性质3、相似性质4、位移性质5、微分性质6、积分性质7、卷积与卷积定理48第4节傅立叶变换的性质1、线性性质：49第4节傅立叶变换的性质2、对称性质：50第4节傅立叶变换的性质3、相似性质：翻转公式：

51第4节傅立叶变换的性质4、位移性质：时移性：频移性：52第4节傅立叶变换的性质5、微分性质：如果在连续或只有有限个可去间断点，且当时，，则53第4节傅立叶变换的性质6、积分性质：设（1）若则（2）54第4节傅立叶变换的性质7、卷积与卷积定理卷积：卷积的性质：（1）交换律：（2）结合律：（3）对加法的分配律：

55第4节傅立叶变换的性质7、卷积与卷积定理[卷积定理]

[频谱卷积定理]

56积分变换哈尔滨工程大学理学院冯国峰57第二章拉普拉斯（Laplace）变换第1节

Laplace变换的概念第2节Laplace变换的基本性质

第3节象原函数的求法

第4节Laplace变换的应用

582-1Laplace变换的概念[傅里叶积分定理]若在任何有限区间上满足狄利克雷条件，并且在无限区间上绝对可积（即积分收敛），则有

592-1Laplace变换的概念Fourier变换的局限：（1）绝对可积的条件较强，许多简单的常见函数（如单位阶跃函数、正弦函数、余弦函数以及线性函数等）都不满足这个条件，都不能作古典的Fourier变换。（2）可以进行Fourier变换的函数必须在整个数轴上有定义，但在物理和无线电技术等实际应用中，许多以时间t作为自变量的函数往往在时是无意义的或是不需要考虑的，像这样的函数都不能取Fourier变换。602-1Laplace变换的概念如何克服上述两个缺点？（1）单位阶跃函数用乘以，这样得到的，在时就等于零，在时仍为，就有可能使其积分区间由变为612-1Laplace变换的概念（2）对于许多在不绝对可积的函数，往往是因为当时，其绝对值减小太慢的缘故。由于指数衰减函数有当时衰减得很快的特点，因此如果用去乘，只要充分大，一般可使当时绝对值就衰减得很快，使得能够变得绝对可积。622-1Laplace变换的概念设是定义在上的实（或复）值函数，如果积分（s是一个复变量）在s的某个区域内存在，则由此积分确定的函数可写为，称复函数为函数的象函数或Laplace变换，记为。称为的象原函数或Laplace逆变换，记为。又称这两个函数为Laplace变换对，记为。632-1Laplace变换的概念（1）Laplace变换实际上就是一种单边的广义的Fourier变换。（2）Laplace变换的复反演积分公式：（3）Laplace变换的象原函数与象函数是一一对应的。642-1Laplace变换的概念[例]求单位阶跃函数、符号函数及的Laplace变换。[解]652-1Laplace变换的概念[例2]求的Laplace变换。[例3]求的Laplace变换（k为复常数）。[解]662-1Laplace变换的概念[定义]对实变量的复值函数，如果存在两个常数及，使得对于一切，都成立即的增长速度不超过某一指数函数，则称为指数级函数，称它的增大是不超过指数级的，c为它的增长指数。672-1Laplace变换的概念[例]，此处，此处，此处，此处。它们都是指数级函数。但是对于函数，不论选M及c多么大，总有，所以它不是指数级函数。682-1Laplace变换的概念[Laplace变换存在定理]若函数满足下列条件：（1）当时，；（2）在的任一有限区间上分段连续，间断点的个数是有限个，且都是第一类间断点。（3）是指数级函数。则的Laplace变换在半平面上一定存在，并且为解析函数。692-1Laplace变换的概念说明：（1）Laplace变换存在定理的条件是充分的，而不是必要的。即若不满足存在定理的条件下，Laplace变换仍可能存在。（2）一个函数的增大是不超过指数级的要比函数要绝对可积的条件相比，前者的条件要弱得多。由此可见，对于某些问题（如在线性系统分析中），Laplace变换的应用范围就更为广泛。702-1Laplace变换的概念说明：（3）工程技术中所遇到的函数大部分是存在Laplace变换的，但像，这类函数是不存在Laplace变换的。（4）如果为指数级函数，则其增长指数不唯一。把能使成立的一切x的最大下界记作c，称它为Laplace变换的收敛坐标。在复平面上，直线称为Laplace积分的收敛轴。712-1Laplace变换的概念[例4]三角函数的Laplace变换。722-1Laplace变换的概念[例]求幂函数（m为整数）的Laplace变换。[解]伽玛（Gamma）函数：732-1Laplace变换的概念周期函数的Laplace变换：设在内是以T为周期的函数，即且在一个周期内分段连续，则有742-2Laplace变换的基本性质1、线性性质

2、相似性质

3、延迟性质4、位移性质5、微分性质6、积分性质7、卷积与卷积定理

752-2Laplace变换的基本性质1、线性性质

762-2Laplace变换的基本性质2、相似性质772-2Laplace变换的基本性质3、延迟性质782-2Laplace变换的基本性质4、位移性质792-2Laplace变换的基本性质5、微分性质802-2Laplace变换的基本性质6、积分性质若积分存在，812-2Laplace变换的基本性质7、卷积与卷积定理

822-2Laplace变换的基本性质7、卷积与卷积定理[卷积定理]

832-3象原函数的求法[（推广的）若当引理]设以为中心，R为半径的左半圆弧复变量s的一个函数满足：（1）它在左半平面上除有限个奇点外是解析的。（2）对于的s，当时趋于零。则对充分大的，函数沿半圆周的积分存在，且对任意，有。842-3象原函数的求法[展开定理]如果在整个复平面s上除了有限个奇点外都解析，并且所有的奇点都在半平面内。并且当时，。则在的连续点t处，有其中为复变函数在奇点处的留数。852-3象原函数的求法留数的计算：（1）单极点：（2）复极点：862-3象原函数的求法[例4]求的逆变换。[解]这里，是单零点，为二级零点。由展开定理可得：872-4Laplace变换的应用1、解常系数线性微分方程的初值问题2、求解常系数线性微分方程边值问题3、解某些变系数线性微分方程4、求解某些