2023-2024学年云南省盐津县第三中学高三考前热身数学试卷含解析

2023-2024学年云南省盐津县第三中学高三考前热身数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．历史上有不少数学家都对圆周率作过研究，第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，开创了圆周率计算的几何方法，而中国数学家刘徽只用圆内接正多边形就求得的近似值，他的方法被后人称为割圆术．近代无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种值的表达式纷纷出现，使得值的计算精度也迅速增加．华理斯在1655年求出一个公式：，根据该公式绘制出了估计圆周率的近似值的程序框图，如下图所示，执行该程序框图，已知输出的，若判断框内填入的条件为，则正整数的最小值是A． B． C． D．2．若的二项式展开式中二项式系数的和为32，则正整数的值为（）A．7 B．6 C．5 D．43．已知函数，为图象的对称中心，若图象上相邻两个极值点，满足，则下列区间中存在极值点的是（）A． B． C． D．4．已知直线y＝k（x﹣1）与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，直线y＝2k（x﹣2）与抛物线D：y2＝8x交于M，N两点，设λ＝|AB|﹣2|MN|，则（）A．λ＜﹣16 B．λ＝﹣16 C．﹣12＜λ＜0 D．λ＝﹣125．已知实数x，y满足，则的最小值等于（）A． B． C． D．6．已知a＞b＞0，c＞1，则下列各式成立的是（）A．sina＞sinb B．ca＞cb C．ac＜bc D．7．若各项均为正数的等比数列满足，则公比（）A．1 B．2 C．3 D．48．若命题p：从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一；命题q：在边长为4的正方形ABCD内任取一点M，则∠AMB>90°的概率为π8A．p∧qB．(¬p)∧qC．p∧(¬q)D．¬q9．已知函数，，若方程恰有三个不相等的实根，则的取值范围为（）A． B．C． D．10．设为自然对数的底数，函数，若，则()A． B． C． D．11．已知函数（表示不超过x的最大整数），若有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．12．已知不同直线、与不同平面、，且，，则下列说法中正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．双曲线的焦距为__________，渐近线方程为________．14．展开式的第5项的系数为_____.15．在平面直角坐标系中，圆.已知过原点且相互垂直的两条直线和，其中与圆相交于，两点，与圆相切于点.若，则直线的斜率为_____________.16．在如图所示的三角形数阵中，用表示第行第个数，已知，且当时，每行中的其他各数均等于其“肩膀”上的两个数之和，即，若，则正整数的最小值为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，己知圆和双曲线，记与轴正半轴、轴负半轴的公共点分别为、，又记与在第一、第四象限的公共点分别为、.（1）若，且恰为的左焦点，求的两条渐近线的方程；（2）若，且，求实数的值；（3）若恰为的左焦点，求证：在轴上不存在这样的点，使得.18．（12分）已知函数，其导函数为，（1）若，求不等式的解集；（2）证明：对任意的，恒有.19．（12分）已知在多面体中，平面平面，且四边形为正方形，且//，，，点，分别是，的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.20．（12分）已知函数.（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若存在满足不等式，求实数的取值范围.21．（12分）已知函数f(x）=xlnx，g(x)=,（1）求f(x)的最小值；（2）对任意，都有恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：对一切，都有成立．22．（10分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右顶点分别为、，焦距为2，直线与椭圆交于两点（均异于椭圆的左、右顶点）.当直线过椭圆的右焦点且垂直于轴时，四边形的面积为6.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线的斜率分别为.①若，求证：直线过定点；②若直线过椭圆的右焦点，试判断是否为定值，并说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

初始：，，第一次循环：，，继续循环；第二次循环：，，此时，满足条件，结束循环，所以判断框内填入的条件可以是，所以正整数的最小值是3，故选B．2、C【解析】

由二项式系数性质，的展开式中所有二项式系数和为计算．【详解】的二项展开式中二项式系数和为，．故选：C．【点睛】本题考查二项式系数的性质，掌握二项式系数性质是解题关键．3、A【解析】

结合已知可知，可求，进而可求，代入，结合，可求，即可判断．【详解】图象上相邻两个极值点，满足，即，，，且，，，，，，当时，为函数的一个极小值点，而．故选：．【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象及性质的简单应用，解题的关键是性质的灵活应用．4、D【解析】

分别联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理，可得，，然后计算，可得结果.【详解】设，联立则，因为直线经过C的焦点，所以.同理可得，所以故选：D.【点睛】本题考查的是直线与抛物线的交点问题，运用抛物线的焦点弦求参数，属基础题。5、D【解析】

设，，去绝对值，根据余弦函数的性质即可求出．【详解】因为实数，满足，设，，，恒成立，，故则的最小值等于.故选：．【点睛】本题考查了椭圆的参数方程、三角函数的图象和性质，考查了运算能力和转化能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．6、B【解析】

根据函数单调性逐项判断即可【详解】对A,由正弦函数的单调性知sina与sinb大小不确定，故错误；对B,因为y＝cx为增函数，且a＞b，所以ca＞cb，正确对C,因为y＝xc为增函数,故，错误；对D,因为在为减函数，故，错误故选B．【点睛】本题考查了不等式的基本性质以及指数函数的单调性，属基础题．7、C【解析】

由正项等比数列满足，即，又，即，运算即可得解.【详解】解：因为，所以，又，所以，又，解得.故选：C.【点睛】本题考查了等比数列基本量的求法，属基础题.8、B【解析】因为从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为P1=1C42=16，即命题p是错误，则¬p是正确的；在边长为4的正方形ABCD内任取一点M点睛：本题将古典型概率公式、几何型概率公式与命题的真假（含或、且、非等连接词）的命题构成的复合命题的真假的判定有机地整合在一起，旨在考查命题真假的判定及古典概型的特征与计算公式的运用、几何概型的特征与计算公式的运用等知识与方法的综合运用，以及分析问题解决问题的能力。9、B【解析】

由题意可将方程转化为，令，，进而将方程转化为，即或，再利用的单调性与最值即可得到结论.【详解】由题意知方程在上恰有三个不相等的实根，即，①.因为，①式两边同除以，得.所以方程有三个不等的正实根.记，，则上述方程转化为.即，所以或.因为，当时，，所以在，上单调递增，且时，.当时，，在上单调递减，且时，.所以当时，取最大值，当，有一根.所以恰有两个不相等的实根，所以.故选：B.【点睛】本题考查了函数与方程的关系，考查函数的单调性与最值，转化的数学思想，属于中档题.10、D【解析】

利用与的关系，求得的值.【详解】依题意，所以故选：D【点睛】本小题主要考查函数值的计算，属于基础题.11、A【解析】

根据[x]的定义先作出函数f（x）的图象，利用函数与方程的关系转化为f（x）与g（x）=ax有三个不同的交点，利用数形结合进行求解即可．【详解】当时，，当时，，当时，，当时，，若有且仅有3个零点，则等价为有且仅有3个根，即与有三个不同的交点，作出函数和的图象如图，当a=1时，与有无数多个交点，当直线经过点时，即，时，与有两个交点，当直线经过点时，即时，与有三个交点，要使与有三个不同的交点，则直线处在过和之间，即，故选：A．【点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域(最值)问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.12、C【解析】

根据空间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果.【详解】对于，若，则可能为平行或异面直线，错误；对于，若，则可能为平行、相交或异面直线，错误；对于，若，且，由面面垂直的判定定理可知，正确；对于，若，只有当垂直于的交线时才有，错误.故选：.【点睛】本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析，关键是熟练掌握空间中的平行关系与垂直关系的相关命题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、6【解析】由题得所以焦距,故第一个空填6.由题得渐近线方程为.故第二个空填.14、70【解析】

根据二项式定理的通项公式，可得结果.【详解】由题可知：第5项为故第5项的的系数为故答案为：70.【点睛】本题考查的是二项式定理，属基础题。15、【解析】

设：，：，利用点到直线的距离，列出式子，求出的值即可.【详解】解：由圆，可知圆心，半径为.设直线：，则：，圆心到直线的距离为，，.圆心到直线的距离为半径，即，并根据垂径定理的应用，可列式得到，解得.故答案为：.【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的运用，并结合圆的方程，垂径定理的基本知识，属于中档题.16、2022【解析】

根据条件先求出数列的通项，利用累加法进行求解即可．【详解】，，，下面求数列的通项，由题意知，，，，，，数列是递增数列，且，的最小值为.故答案为：.【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，结合数列的性质求出数列的通项是解决本题的关键．综合性较强，属于难题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）；（2）见解析．【解析】

（1）由圆的方程求出点坐标，得双曲线的，再计算出后可得渐近线方程；（2）设，由圆方程与双曲线方程联立，消去后整理，可得，，由先求出，回代后求得坐标，计算；（3）由已知得，设，由圆方程与双曲线方程联立，消去后整理，可解得，，求出，从而可得，由，可知满足要求的点不存在．【详解】（1）由题意圆方程为，令得，∴，即，∴，，∴渐近线方程为．（2）由（1）圆方程为，，设，由得，(*)，，，，所以，即，解得，方程(*)为，即，，代入双曲线方程得，∵在第一、四象限，∴，，∴．（3）由题意，，，，，设由得：，，由得，解得，，，所以，，，当且仅当三点共线时，等号成立，∴轴上不存在点，使得．【点睛】本题考查求渐近线方程，考查圆与双曲线相交问题．考查向量的加法运算，本题对学生的运算求解能力要求较高，解题时都是直接求出交点坐标．难度较大，属于困难题．18、（1）（2）证明见解析【解析】

（1）求出的导数，根据导函数的性质判断函数的单调性，再利用函数单调性解函数型不等式；（2）构造函数，利用导数判断在区间上单调递减，结合可得结果.【详解】（1）若，则.设，则，所以在上单调递减，在上单调递增.又当时，；当时，；当时，，所以所以在上单调递增，又，所以不等式的解集为.（2）设，再令，，在上单调递减，又，，，，，.即【点睛】本题考查利用函数的导数来判断函数的单调性，再利用函数的单调性来解决不等式问题，属于较难题.19、（1）证明见解析；（2）.【解析】

（1）构造直线所在平面，由面面平行推证线面平行；（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，再由法向量之间的夹角，求得二面角的余弦值.【详解】（1）过点交于点，连接，如下图所示：因为平面平面，且交线为,又四边形为正方形，故可得，故可得平面，又平面，故可得.在三角形中，因为为中点，，故可得//，为中点；又因为四边形为等腰梯形，是的中点，故可得//；又，且平面，平面,故面面，又因为平面，故面.即证.（2）连接，，作交于点，由（1）可知平面，又因为//，故可得平面，则；又因为//，，故可得即，，两两垂直，则分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，设面的法向量为，则，，则，可取，设平面的法向量为，则，，则，可取，可知平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.【点睛】本题考查由面面平行推证线面平行，涉及用向量法求二面角的大小，属综合基础题.20、（Ⅰ）或.（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）分类讨论解绝对值不等式得到答案.（Ⅱ）讨论和两种情况，得到函数单调性，得到只需，代入计算得到答案.【详解】（Ⅰ）当时，不等式为，变形为或或，解集为或.（Ⅱ）当时，，由此可知在单调递减，在单调递增，当时，同样得到在单调递减，在单调递增，所以，存在满足不等式，只需，即，解得.【点睛】本题考查了解绝对值不等式，不等式存在性问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21、(1)(2)（(3)见证明【解析】

（1）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律确定函数单调性，最后根据函数单调性确定最小值取法；（2）先分离不等式，转化为对应函数最值问题，利用导数求对应函数最值即得结果；（3）构造两个函数，再利用两函数最值关系进行证明.【详解】（1）当时，单调递减，当时，单调递增，所以函数f(x）的最小值为f(）=；（2）因为所以问题等价于在上恒成立，记则，因为，令函数f(x）在（0,1）上单调递减;函数f(x）在（1，+）上单调递增；即，即实数a的取值