2023-2024学年四川省成都市双流中学高考压轴卷数学试卷含解析

2023-2024学年四川省成都市双流中学高考压轴卷数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，集合，则（）A． B． C． D．2．函数f(x)＝的图象大致为()A． B．C． D．3．集合的真子集的个数为()A．7 B．8 C．31 D．324．执行如图所示的程序框图，则输出的的值是（）A．8 B．32 C．64 D．1285．关于函数在区间的单调性，下列叙述正确的是（）A．单调递增 B．单调递减 C．先递减后递增 D．先递增后递减6．已知复数满足（其中为的共轭复数），则的值为()A．1 B．2 C． D．7．设点，，不共线，则“”是“”（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件8．已知，复数，，且为实数，则（）A． B． C．3 D．-39．已知函数（）的部分图象如图所示，且，则的最小值为（）A． B．C． D．10．已知直线：过双曲线的一个焦点且与其中一条渐近线平行，则双曲线的方程为（）A． B． C． D．11．小明有3本作业本，小波有4本作业本，将这7本作业本混放在-起，小明从中任取两本.则他取到的均是自己的作业本的概率为()A． B． C． D．12．明代数学家程大位（1533~1606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的的值为，则输入的的值为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在棱长为的正方体中，是面对角线上两个不同的动点.以下四个命题：①存在两点，使；②存在两点，使与直线都成的角；③若，则四面体的体积一定是定值；④若，则四面体在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值.其中为真命题的是____.14．函数在内有两个零点，则实数的取值范围是________.15．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a216．利用等面积法可以推导出在边长为a的正三角形内任意一点到三边的距离之和为定值，类比上述结论，利用等体积法进行推导，在棱长为a的正四面体内任意一点到四个面的距离之和也为定值，则这个定值是______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）证明：函数在上存在唯一的零点；（2）若函数在区间上的最小值为1，求的值.18．（12分）已知函数.（1）证明：当时，；（2）若函数只有一个零点，求正实数的值.19．（12分）如图，在四面体中，.（1）求证:平面平面；（2）若，求四面体的体积.20．（12分）选修4-5：不等式选讲设函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.21．（12分）在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）若射线的极坐标方程为（）.设与相交于点，与相交于点，求.22．（10分）已知椭圆，上、下顶点分别是、，上、下焦点分别是、，焦距为，点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）若为椭圆上异于、的动点，过作与轴平行的直线，直线与交于点，直线与直线交于点，判断是否为定值，说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

可求出集合，，然后进行并集的运算即可．【详解】解：，；．故选．【点睛】考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，以及并集的运算．2、D【解析】

根据函数为非偶函数可排除两个选项，再根据特殊值可区分剩余两个选项.【详解】因为f(－x)＝≠f(x)知f(x)的图象不关于y轴对称，排除选项B，C.又f(2)＝＝－<0.排除A，故选D.【点睛】本题主要考查了函数图象的对称性及特值法区分函数图象，属于中档题.3、A【解析】

计算，再计算真子集个数得到答案.【详解】，故真子集个数为：.故选：.【点睛】本题考查了集合的真子集个数，意在考查学生的计算能力.4、C【解析】

根据给定的程序框图，逐次计算，结合判断条件，即可求解.【详解】由题意，执行上述程序框图，可得第1次循环，满足判断条件，；第2次循环，满足判断条件，；第3次循环，满足判断条件，；第4次循环，满足判断条件，；不满足判断条件，输出.故选：C.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计算，结合判断条件求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5、C【解析】

先用诱导公式得,再根据函数图像平移的方法求解即可.【详解】函数的图象可由向左平移个单位得到,如图所示,在上先递减后递增.故选：C【点睛】本题考查三角函数的平移与单调性的求解.属于基础题.6、D【解析】

按照复数的运算法则先求出，再写出，进而求出.【详解】，，.故选：D【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题.7、C【解析】

利用向量垂直的表示、向量数量积的运算，结合充分必要条件的定义判断即可.【详解】由于点，，不共线，则“”；故“”是“”的充分必要条件.故选：C.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，属于基础题.8、B【解析】

把和代入再由复数代数形式的乘法运算化简，利用虚部为0求得m值．【详解】因为为实数，所以，解得.【点睛】本题考查复数的概念，考查运算求解能力.9、A【解析】

是函数的零点，根据五点法求出图中零点及轴左边第一个零点可得．【详解】由题意，，∴函数在轴右边的第一个零点为，在轴左边第一个零点是，∴的最小值是．故选：A.【点睛】本题考查三角函数的周期性，考查函数的对称性．函数的零点就是其图象对称中心的横坐标．10、A【解析】

根据直线：过双曲线的一个焦点，得，又和其中一条渐近线平行，得到，再求双曲线方程.【详解】因为直线：过双曲线的一个焦点，所以，所以，又和其中一条渐近线平行，所以，所以，，所以双曲线方程为.故选：A.【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.11、A【解析】

利用计算即可，其中表示事件A所包含的基本事件个数，为基本事件总数.【详解】从7本作业本中任取两本共有种不同的结果，其中，小明取到的均是自己的作业本有种不同结果，由古典概型的概率计算公式，小明取到的均是自己的作业本的概率为.故选：A.【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.12、C【解析】

根据程序框图依次计算得到答案.【详解】，；，；，；，；，此时不满足，跳出循环，输出结果为，由题意，得．故选:【点睛】本题考查了程序框图的计算，意在考查学生的理解能力和计算能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①③④【解析】

对于①中，当点与点重合，与点重合时，可判断①正确；当点点与点重合，与直线所成的角最小为，可判定②不正确；根据平面将四面体可分成两个底面均为平面，高之和为的棱锥，可判定③正确；四面体在上下两个底面和在四个侧面上的投影，均为定值，可判定④正确.【详解】对于①中，当点与点重合，与点重合时，，所以①正确；对于②中，当点点与点重合，与直线所成的角最小，此时两异面直线的夹角为，所以②不正确；对于③中，设平面两条对角线交点为，可得平面，平面将四面体可分成两个底面均为平面，高之和为的棱锥，所以四面体的体积一定是定值，所以③正确；对于④中，四面体在上下两个底面上的投影是对角线互相垂直且对角线长度均为1的四边形，其面积为定义，四面体在四个侧面上的投影，均为上底为，下底和高均为1的梯形，其面积为定值，故四面体在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值，所以④正确.故答案为：①③④.【点睛】本题主要考查了以空间几何体的结构特征为载体的谜题的真假判定及应用，其中解答中涉及到棱柱的集合特征，异面直线的关系和椎体的体积，以及投影的综合应用，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题.14、【解析】

设，，设，函数为奇函数，，函数单调递增，，画出简图，如图所示，根据，解得答案.【详解】，设，，则.原函数等价于函数，即有两个解.设，则，函数为奇函数.，函数单调递增，，，.当时，易知不成立；当时，根据对称性，考虑时的情况，，画出简图，如图所示，根据图像知：故，即，根据对称性知：.故答案为：.【点睛】本题考查了函数零点问题，意在考查学生的转化能力和计算能力，画出图像是解题的关键.15、-2【解析】试题分析：∵a2考点：等比数列性质及求和公式16、【解析】

计算正四面体的高，并计算该正四面体的体积，利用等体积法，可得结果.【详解】作平面，为的重心如图则，所以设正四面体内任意一点到四个面的距离之和为则故答案为：【点睛】本题考查类比推理的应用，还考查等体积法，考验理解能力以及计算能力，属基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）【解析】

（1）求解出导函数，分析导函数的单调性，再结合零点的存在性定理说明在上存在唯一的零点即可；（2）根据导函数零点，判断出的单调性，从而可确定，利用以及的单调性，可确定出之间的关系，从而的值可求.【详解】（1）证明：∵，∴.∵在区间上单调递增，在区间上单调递减，∴函数在上单调递增.又，令，，则在上单调递减，，故.令，则所以函数在上存在唯一的零点.（2）解：由（1）可知存在唯一的，使得，即（*）.函数在上单调递增.∴当时，，单调递减；当时，，单调递增.∴.由（*）式得.∴，显然是方程的解.又∵是单调递减函数，方程有且仅有唯一的解，把代入（*）式，得，∴，即所求实数的值为.【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，其中涉及到判断函数在给定区间上的零点个数以及根据函数的最值求解参数，难度较难.（1）判断函数的零点个数时，可结合函数的单调性以及零点的存在性定理进行判断；（2）函数的“隐零点”问题，可通过“设而不求”的思想进行分析.18、（1）证明见解析；（2）.【解析】

（1）把转化成，令，由题意得，即证明恒成立，通过导数求证即可（2）直接求导可得，，令，得或，故根据0与的大小关系来进行分类讨论即可【详解】证明：（1）令，则.分析知，函数的增区间为，减区间为.所以当时，.所以，即，所以.所以当时，.解：（2）因为，所以.讨论：①当时，，此时函数在区间上单调递减.又，故此时函数仅有一个零点为0；②当时，令，得，故函数的增区间为，减区间为，.又极大值，所以极小值.当时，有.又，此时，故当时，函数还有一个零点，不符合题意；③当时，令得，故函数的增区间为，减区间为，.又极小值，所以极大值.若，则，得，所以，所以当且时，，故此时函数还有一个零点，不符合题意.综上，所求实数的值为.【点睛】本题考查不等式的恒成立问题和函数的零点问题，本题的难点在于把导数化成因式分解的形式，如，进而分类讨论，本题属于难题19、（1）证明见解析；（2）.【解析】

（1）取中点，连接，根据等腰三角形的性质得到，利用全等三角形证得，由此证得平面，进而证得平面平面.（2）由（1）知平面，即是四面体的面上的高，结合锥体体积公式，求得四面体的体积.【详解】（1）证明:如图，取中点，连接，由则，则，故故，平面.又平面，故平面平面（2）由（1）知平面，即是四面体的面上的高，且.在中，，由勾股定理易知故四面体的体积【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查锥体体积计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20、（1）；（2）【解析】

（1）当时，将原不等式化简后两边平方，由此解出不等式的解集.（2）对分成三种情况，利用零点分段法去绝对值，将表示为分段函数的形式，根据单调性求得的取值范围.【详解】（1）时，可得，即，化简得：，所以不等式的解集为.（2）①当时，由函数单调性可得，解得；②当时，，所以符合题意；③当时，由函数单调性可得，，解得综上，实数的取值范围为【点睛】本小题主要考查含有绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立问题的求解，属于中档题.21、（1）曲线的普通方程为；直线的直角坐标方程为（2）【解析】

（1）利用消去参数，将曲线的参数方程化成普通方程，利用互化公式，将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）根据（1）求出曲线的极坐标方程，分别联立射线与曲线以及射线与直线的极坐标方程，求出和，即可求出.【详解】解：（1）因为（为参数），所以消去参数，得，所以曲线的普通方程为.因为所以直线的直角坐标方程为.（2）曲线的极坐标方程为.设的极径分别为和，将（）代入，解得，将（）代入，解得.故.【点睛】本题考查利用消参法将参数方程化成普通方程以及利用互化公式将极坐标方程化为直角坐标方程，还考查极径的运用