角平分线的性质

123角的平分线的性质1在探究作角平分线的方法和角平分线性质的过程中，掌握角平分线的作法和角平分线的性质，发展数学直觉2提高综合运用三角形全等的有关知识的解决能力；掌握简单的角平分线在生产、生活中的应用

不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角你有什么办法？AOBC再打开纸片，看看折痕与这个角有何关系？对折

如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？

观察下面简易的平分角的仪器，其中AB=AD，BC=放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线你能说明它的道理吗？【证明】

在△ACD和△ACB中

AD=AB（已知）

DC=BC（已知）

CA=CA（公共边）∴△ACD≌△ACB（SSS）∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应角相等）∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）

根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）尺规作角的平分线画法：1以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．2分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ．．射线OC即为所求．OABNMC证明:连结MC,NC由作法知:在△OMC和△ONC中

OM=ON

MC=NC

OC=OC∵△OMC≌△ONC(SSS)∴∠AOC=∠BOC即OC是∠ＡＯＢ的角平分线.为什么OC是∠ＡＯＢ的角平分线OABNMC

将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等

已知：OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，

PE⊥OB于E，求证:PD=PEPAOBCED12证明:∵ＯC平分∠ＡＯＢ,P是OC上一点（已知）∴∠DＯP=∠BＯP（角平分线定义）∵PD⊥OA,PE⊥OB（已知）∴∠ODP=∠OEP=90°（垂直的定义）在△OPD和△OPE中∠DOP=∠BOP（已证）∠ODP=∠OEP（已证）

OP=OP（已知）∴△OPD≌△OPEAAS∴PD＝PE（全等三角形对应边相等）定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等用符号语言表示为：∵∠1=∠2PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PEPAOBCED12角平分线的性质如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为1︰20000）sDCs【解析】

作夹角的角平分线OC，截取OD=,D即为所求O

反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．求证：点Q在∠AOB的平分线上．证明:∵QD⊥OA，QE⊥OB∴∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义）

在Rt△QDO和Rt△QEO中

QO＝QO（公共边）

QD=QE

∴Rt△QDO≌Rt△QEO（HL）∴∠QOD＝∠QOE∴点Q在∠AOB的平分线上到角的两边的距离相等的点在角的平分线上∵QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．∴点Q在∠AOB的平分线上．用数学语言表示为：1∵∠1=∠2,DC⊥AC,DE⊥AB∴___________________________________________________2∵DC⊥AC,DE⊥AB,DC=DE∴__________________________________________________________ACDEB12∠1=∠2DC=DE到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上在角平分线上的点到角的两边的距离相等1已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F求证:EB=FCBAEDCF【解析】根据角平分线的性质得到DE=DF，再根据HL证△BED≌△CFD,从而得到EB=FC2直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:

A一处B两处

C三处D四处【解析】选D由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处,在各自夹角的平分线上，即：A、B、C、D各一处ADCB3（宁德·中考）如图，已知AD是△ABC的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使△AED≌△AFD，需添加一个条件是：_______________，并给予证明BDAEFc解法一：添加条件：AE＝AF，在△AED与△AFD中，∵AE＝AF，∠EAD＝∠FAD，AD＝AD