专题04向量的数量积（8大考点知识串讲热考题型专题训练）（原卷版）

专题04向量的数量积知识聚焦考点聚焦知识点一、向量的数量积1、向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量，，是平面上的任意一点，作，，则（）叫做向量与的夹角．（2）性质：当时，与同向；当时，与反向．（3）向量垂直：如果与的夹角是，我们说与垂直，记作．2、向量数量积的定义（1）定义：非零向量与，它们的夹角为，数量叫做向量与的数量积(或内积)；（2）记法：向量与的数量积记作，即；零向量与任一向量的数量积为0；3、投影向量（1）设，是两个非零向量，，，考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．（2）在平面内任取一点O，作，，过点M作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量，且．（3）几何意义：数量积等于的长度||与在的方向上的投影的乘积。4、向量数量积的物理背景如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功就等于力与位移的数量积，即，其中是与的夹角。知识点二、向量数量积的性质与运算律1、向量数量积的性质设，都是非零向量，是单位向量，θ为与(或)的夹角．则（1）；（2）；（3）当与同向时，；当与反向时，；特别地，或；（4）cosθ＝；（5）2、向量数量积满足的运算律（1）；（3）(λ为实数)；（3）；（4）两个向量，的夹角为锐角⇔且，不共线；两个向量，的夹角为钝角⇔且，不共线．（5）平面向量数量积运算的常用公式知识点三、求平面向量数量积的方法1、定义法：若已知向量的模及夹角，则直接利用公式，运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件；2、运算律转化法：由可得如下运算公式：；；；3、向量的线性运算转化法：涉及平面图形中向量的数量积的计算时，要结合向量的线性运算，将未知向量转化为已知向量求解。考点剖析考点1向量数量积的概念辨析【例1】（2023·高一单元测试）以下关于两个非零向量的数量积的叙述中，错误的是（）A．两个向量同向共线，则他们的数量积是正的B．两个向量反向共线，则他们的数量积是负的C．两个向量的数量积是负的，则他们夹角为钝角D．两个向量的数量积是0，则他们互相垂直【变式11】（2023·上海闵行·高一统考期末）下列命题中正确的是（）A．B．C．若，则D．若，则【变式12】（2023·陕西咸阳·高一校考阶段练习）在等式①；②；③；④若，且，则；其中正确的命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4【变式13】（2023·全国·高一课时练习）（多选）下列说法正确的是（）A．对任意向量，都有B．若且，则C．对任意向量，都有D．对任意向量，都有考点2向量数量积的运算【例2】（2023·河南·高一校考阶段练习）在边长为2的等边中，的值是（）A．4B．C．2D．【变式21】（2023·全国·高一课时练习）已知向量、满足，，且与夹角的余弦值为，则（）A．B．C．D．12【变式22】（2023·全国·高一课时练习）已知向量，向量与的夹角都是，且，试求（1）；（2）．【变式23】（2023·湖北荆州·高一沙市中学校考期中）已知边长为1的菱形中，角，则.【变式24】（2023·安徽马鞍山·高一当涂第一中学校考期中）如图，在中，为线段上一点，若，，且与的夹角为，则的值为.考点3利用数量积求向量模长【例3】（2023·天津和平·高一统考期末）已知平面向量，且与的夹角为，则（）A．12B．16C．D．【变式31】（2023·江苏·高一课时练习）已知平面向量，满足，，与的夹角为，则的值为.【变式32】（2023·全国·高一课时练习）若平面向量两两的夹角相等，且，则（）A．2B．5C．2或5D．或【变式33】（2023·河南·高一济源市第四中学校考阶段练习）已知向量，满足，，，则．【变式34】（2023·广东佛山·高一校考阶段练习）设点、、、为四个互不相同的点，且在同一圆周上，若，且，则.考点4利用数量积求向量夹角【例4】（2023·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）已知向量，，，则向量与的夹角大小为（）A．B．C．D．【变式41】（2023·全国·高一随堂练习）若，，且，则与的夹角为；【变式42】（2023·湖南常德·高一阶段练习）已知是夹角为的两个单位向量，设向量，，则与的夹角为（）A．B．C．D．【变式43】（2023·全国·高一课时练习）已知单位向量，满足，若向量，则．【变式44】（2023·江苏连云港·高一统考期中）在任意四边形中，点，分别在线段，上，且，，，，，则与夹角的余弦值为（）A．B．C．D．考点5两个向量的垂直问题【例5】（2023·高一单元测试）（多选）是边长为2的等边三角形，已知向量满足，，则下列结论不正确的是（）A．B．C．D．【变式51】（2023·全国·高一随堂练习）若向量，满足，且，，则（）．A．2B．C．1D．【变式52】（2023·辽宁铁岭·高一西丰县高级中学校考期中）已知非零向量满足，则与的夹角为.【变式53】（2023·河南新乡·高一校考阶段练习）已知单位向量，的夹角为，，，若，则实数.【变式54】（2023·山西朔州·高一校考阶段练习）已知，，与的夹角为45°，要使与垂直，则的值为（）A．B．C．D．考点6投影及投影向量【例6】（2023·全国·高一课时练习）已知向量与的夹角为，，则向量在上的投影向量为（）A．B．C．D．【变式61】（2023·湖北·高一仙桃中学校考阶段练习）已知为单位向量，，向量，的夹角为，则在上的投影向量是（）A．B．C．D．【变式62】（2023·云南昆明·高一校考阶段练习）已知非零向量满足，，则在方向上的投影向量的模为．【变式63】（2023·河南新乡·高一校考阶段练习）设单位向量､的夹角为，，，则在方向上的投影为（）A．B．C．D．考点7由数量积判断三角形形状【例7】（2023·河北石家庄·高一校考期中）在中，若，则的形状是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【变式71】（2023·山东菏泽·高一鄄城县第一中学校考阶段练习）在中，，则的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定【变式72】（2023·贵州黔西·高一校考阶段练习）若O是所在平面内一点，且满足，则的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形【变式73】（2023·上海浦东新·高一校考阶段练习）在中，若，则的形状是.考点8求向量数量积的最值【例8】（2023·山东青岛·高一统考期中）已知点是边长为2的正的内部（不包括边界）的一个点，则的取值范围为（）A．B．C．D．【变式81】（2023·河南省直辖县级单位·高一济源市第四中学校考阶段练习）中，，，，点C是线段上的动点，点D是的中点，则的最小值为（）A．B．C．D．2【变式82】（2023·北京顺义·高一牛栏山一中校考期中）如图，边长为2的菱形的对角线相交于点，点在线段上运动，若，则的最小值为.【变式83】（2023·安徽池州·高一校联考期中）已知菱形的边长为1，，点E是边上的动点，则的最大值为（）．A．1B．C．D．过关检测一、单选题1．（2023·高一单元测试）已知向量，满足，且与的夹角为，则（）A．6B．8C．10D．142．（2023·甘肃临夏·高一统考期末）在中，，，，则（）A．B．16C．D．93．（2023·新疆喀什·高一统考期末）已知平面向量，满足，，，则与的夹角为（）A．B．C．D．4．（2023·宁夏吴忠·高一吴忠中学校考期末）若，是夹角为的两个单位向量，且与的夹角为（）A．B．C．D．5．（2023·山东菏泽·高一东明县第一中学校考阶段练习）若平面向量，，，两两的夹角相等，且，，，则（）．A．2B．4或C．5D．2或56．（2023·吉林·高一榆树市实验高级中学校校联考期末）如图，已知，，，任意点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，则（）A．1B．2C．D．7．（2023·河南·高一济源市第四中学校考阶段练习）若向量与向量的夹角为，且，则向量在向量方向上的投影向量是（）A．B．C．D．8．（2023·北京海淀·高一清华附中校考期末）已知，，，则的最大值为（）A．1B．2C．D．4二、多选题9．（2023·贵州贵阳·高一校考阶段练习）如果是两个单位向量，那么下列四个结论中不正确的是（）A．B．C．D．10．（2023·云南保山·高一统考期中）已知矩形的面积为，则（）A．5B．3C．D．11．（2023·河北石家庄·高一校考期中）若向量满足，，则（）A．B．与的夹角为C．D．在上的投影向量为12．（2023·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）下列说法正确的有（）A．B．λ、μ为非零实数，若，则与共线C．若，则D．若平面内有四个点A、B、C、D，则必有三、填空题13．（2023·上海·高一校考期中）设向量满足，，则．14．（2023·全国·高一课时练习）已知平面向量满足，则实数的值为．15．（2023·山西朔州·高一校考阶段练习）已知与是两个单位向量，且向量与的夹角为，则向量在向量上的投影向量为．16．（2023·山东菏泽·高一东明县第一中学校考阶段练习）如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点，则的余弦值是．四、解答题17．（2023·全国·高一专题练习）已知向量，向量与，的夹角都是60°，且，，，试求（1）；（2）.1