（人教A版2019必修第一册）高一数学上学期同步精讲精练 5.5.2简单的三角恒等变换（精讲）（原卷版+解析）

5.5.2简单的三角恒等变换（精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析重点题型一：利用半角公式、万能公式求值重点题型二：简单的三角恒等变换重点题型三：辅助角公式的应用重点题型四：三角函数的实际应用第四部分：高考（模拟）题体验第一部分：知识点精准记忆第一部分：知识点精准记忆知识点一：半角公式①②③知识点二：辅助角公式：(其中)知识点三：万能公式①②③第二部分：课前自我评估测试第二部分：课前自我评估测试1．（2022·全国·高一课时练习）已知，且，则的值为（

）A． B． C． D．2．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学高一阶段练习）化简求值：_______.3．（2022·西藏·林芝市第二高级中学高一期末）____．4．（2022·全国·模拟预测（理））函数的最大值为______．5．（2022·全国·高一课时练习）已知，求的值.第三部分：第三部分：典型例题剖析重点题型一：利用半角公式、万能公式求值典型例题例题1．（2022·全国·高一）设，，则（

）A． B． C． D．例题2．（2022·全国·高一单元测试）已知，，则A． B． C． D．例题3．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）已知，，则等于（

）A． B． C． D．例题4．（2022·全国·高一课时练习）已知，，则___________.例题5．（2022·全国·高一课时练习）已知且，求：(1)；(2)．同类题型演练1．（2022·全国·高一期末）已知，若是第二象限角，则（

）A． B． C． D．2．（多选）（2022·全国·高一课时练习）tan（）A． B． C． D．3．（2022·江苏·南京师大附中高一期中）已知，且为钝角，则的值为___________.4．（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）已知，___________.重点题型二：简单的三角恒等变换典型例题例题1．（多选）（2022·全国·高一课时练习）设的终边在第二象限，则的值可能为（

）A．1 B．-1 C．-2 D．2例题2．（2022·吉林·东北师大附中高一阶段练习）已知(1)求；(2)求的值.同类题型演练1．（2022·全国·高一）求证：.2．（2022·全国·高一课时练习）已知．(1)求的值；(2)求的值．重点题型三：辅助角公式的应用典型例题例题1．（2022·河南南阳·高一期末）化简=（

）A．1 B． C． D．2例题2．（2022·全国·高一课时练习）求值：____________．例题3．（2022·江苏·金沙中学高一阶段练习）函数在区间上的零点所在的区间为（

）A． B． C． D．例题4．（2022·北京亦庄实验中学高一期末）已知的最大值是2，则在中的最大值是（

）A． B．3C． D．例题5．（2022·上海市第十中学高一期末）已知函数（）.求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值.同类题型演练1．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高一期末）已知函数，则的（

）A．最小正周期为，最小值为 B．最小正周期为，最小值为C．最小正周期为，最小值为 D．最小正周期为，最小值为2．（多选）（2022·全国·高一单元测试）已知函数，则下列说法中正确的是（

）A．的最大值为2 B．的最小正周期为C．的图像关于直线对称 D．的图像关于点对称3．（多选）（2022·全国·高一课时练习）（多选）若，则的值可能为（

）A． B． C． D．4．（2022·全国·高一课时练习）当函数取得最大值时，____________．5．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，，求函数的值域．重点题型四：三角函数的实际应用典型例题例题1．（2022·全国·高一课时练习）如图，锐角（单位为弧度）的终边与单位圆交于点，作轴于点(1)利用单位圆中的三角函数线证明：当时，；(2)求的周长与面积之和的取值范围.例题2．（2022·山东青岛·高一期末）如图所示，已知是半径为，中心角为的扇形，为弧上一动点，四边形是矩形，．(1)求矩形的面积的最大值及取得最大值时的值；同类题型演练1．（2022·四川眉山·高一期末（理））已知的内角分别为A，B，C，且．(1)求角C的大小；(2)求的取值范围．2．（2022·全国·高一专题练习）如图，已知扇形的半径为，中心角为，四边形是扇形的内接矩形，为上一动点，问：点在怎样的位置时，矩形的面积最大？并求出这个最大值．第四部分：高第四部分：高考（模拟）题体验1．（2022·江西·上饶市第一中学二模（文））已知，则（

）A． B． C． D．2．（2022·全国·模拟预测（理））（

）A． B． C． D．23．（2022·浙江·高考真题）若，则__________，_________．4．（2022·新疆·二模（理））已知，，则__________．5．（2022·北京·高考真题）若函数的一个零点为，则________；________．5.5.2简单的三角恒等变换（精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析重点题型一：利用半角公式、万能公式求值重点题型二：简单的三角恒等变换重点题型三：辅助角公式的应用重点题型四：三角函数的实际应用第四部分：高考（模拟）题体验第一部分：知识点精准记忆第一部分：知识点精准记忆知识点一：半角公式①②③知识点二：辅助角公式：(其中)知识点三：万能公式①②③第二部分：课前自我评估测试第二部分：课前自我评估测试1．（2022·全国·高一课时练习）已知，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】∵，∴，∵，∴由半角公式可得.故选：B2．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学高一阶段练习）化简求值：_______.【答案】【详解】解：，故答案为：3．（2022·西藏·林芝市第二高级中学高一期末）____．【答案】【详解】又故答案为：或4．（2022·全国·模拟预测（理））函数的最大值为______．【答案】2【详解】故函数的最大值为2故答案为：25．（2022·全国·高一课时练习）已知，求的值.【答案】【详解】∵，∴，.∴.第三部分：第三部分：典型例题剖析重点题型一：利用半角公式、万能公式求值典型例题例题1．（2022·全国·高一）设，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由，则，则，所以.故选：A.例题2．（2022·全国·高一单元测试）已知，，则A． B． C． D．【答案】D【详解】，，，，，故选D.例题3．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）已知，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】方法一：∵，，∴.方法二：∵，，∴的终边落在第一象限，的终边落在第一或第三象限，即，∴故选：C例题4．（2022·全国·高一课时练习）已知，，则___________.【答案】5【详解】由，得，解得或.当时，，不符合题意，舍去；当时，，，∴.故答案为：5例题5．（2022·全国·高一课时练习）已知且，求：(1)；(2)．【答案】(1)(2)（1）因为，所以，于是．设．．（2）．同类题型演练1．（2022·全国·高一期末）已知，若是第二象限角，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：因为，所以，又是第二象限角，所以，所以.故选：B．2．（多选）（2022·全国·高一课时练习）tan（）A． B． C． D．【答案】AC【详解】因为tan，故A正确；，故B错误；∵sin2α＝1﹣cos2α∴tan，故C正确，D错误；故选：AC.3．（2022·江苏·南京师大附中高一期中）已知，且为钝角，则的值为___________.【答案】【详解】因为为钝角，即，所以，又，所以故答案为：.4．（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）已知，___________.【答案】【详解】因为，所以.所以.故答案为：重点题型二：简单的三角恒等变换典型例题例题1．（多选）（2022·全国·高一课时练习）设的终边在第二象限，则的值可能为（

）A．1 B．-1 C．-2 D．2【答案】AB【详解】∵的终边在第二象限，∴，，∴，，，故当，时，，当，时，，.故选：AB例题2．（2022·吉林·东北师大附中高一阶段练习）已知(1)求；(2)求的值.【答案】(1)；(2).（1）由，所以；（2）同类题型演练1．（2022·全国·高一）求证：.【答案】证明见解析.【详解】由，知：左式右式，故等式得证.2．（2022·全国·高一课时练习）已知．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)（1）因为，，且，得，，，，，从而．（2）．重点题型三：辅助角公式的应用典型例题例题1．（2022·河南南阳·高一期末）化简=（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【详解】.故选：C.例题2．（2022·全国·高一课时练习）求值：____________．【答案】【详解】．故答案为：例题3．（2022·江苏·金沙中学高一阶段练习）函数在区间上的零点所在的区间为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：，，，

令，得，，，，在上的零点为故选：B例题4．（2022·北京亦庄实验中学高一期末）已知的最大值是2，则在中的最大值是（

）A． B．3C． D．【答案】C【详解】解：根据辅助角公式可得，其中.由的最大值为2可得,解得.∴.∵，∴.∴当，即时，取得最大值.故.故选:C.例题5．（2022·上海市第十中学高一期末）已知函数（）.求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值.【答案】，的最大值为2，最小值为-1.【详解】解：函数，，，所以函数的最小正周期，因为，所以，所以，所以的最大值为2，最小值为-1.同类题型演练1．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高一期末）已知函数，则的（

）A．最小正周期为，最小值为 B．最小正周期为，最小值为C．最小正周期为，最小值为 D．最小正周期为，最小值为【答案】B【详解】因为，所以最小正周期为,最小值为.故选：B.2．（多选）（2022·全国·高一单元测试）已知函数，则下列说法中正确的是（

）A．的最大值为2 B．的最小正周期为C．的图像关于直线对称 D．的图像关于点对称【答案】ABC【详解】因为，所以的最大值为2，故A正确.最小正周期是，故B正确.将代入，可得，则其图像关于直线对称，故C正确.当时，，所以的图像关于点对称．故D错误.故选:ABC.3．（多选）（2022·全国·高一课时练习）（多选）若，则的值可能为（

）A． B． C． D．【答案】AD【详解】因为，，故，故的值可能为．故B，C错误.故选：AD.4．（2022·全国·高一课时练习）当函数取得最大值时，____________．【答案】##【详解】，且，∴，∴当，即时，函数取最大值2．故答案为：5．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，，求函数的值域．【答案】．【详解】由题意得，因为，所以，所以，则，所以函数的值域为．重点题型四：三角函数的实际应用典型例题例题1．（2022·全国·高一课时练习）如图，锐角（单位为弧度）的终边与单位圆交于点，作轴于点(1)利用单位圆中的三角函数线证明：当时，；(2)求的周长与面积之和的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)（1）由题图可知，，，在中，，即所以当时，；（2）的周长为.的面积为，记的周长与面积之和为L，则，设，，因为，，所以，即，且，则，所以易知函数在上单调递增，故，得，即的周长与面积之和的取值范围为例题2．（2022·山东青岛·高一期末）如图所示，已知是半径为，中心角为的扇形，为弧上一动点，四边形是矩形，．(1)求矩形的面积的最大值及取得最大值时的值；【答案】(1)当时，；(2).(1)因为，所以，则，又，所以，所以，，则，故当时，即当时，函数取得最大值，.同类题型演练1．（2022·四川眉山·高一期末（理））已知的内角分别为A，B，C，且．(1)求角C的大小；(2)求的取值范围．【答案】(1)(2)(1)解：因为，所以，解得或，由于，所以，可得；(2)解：，因为，所以，则，所以，所以的取值范围是.2．（2022·全国·高一专题练习）如图，已知扇形的半径为，中心角为，四边形是扇形的内接矩形，为上一动点，问：点在怎样的位置时，矩形的面积最大？并求出这个最大值．【答案】当为中点时，矩形的面积取到最大值【详解】如图，在中，设，则在中，，所以．所以设矩形的面积为，则由于，所以当，即时，．因此，当时，矩形的面积最大，最大面积为．第四部分：高考第四部分：高考（模拟）题体验1．（2022·江西·上饶市第一中学二模（文））已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由，得，，，