(人教A版必修第二册)高一数学下册同步讲义 专题01 平面向量的概念及线性运算（课时训练）（原卷版+解析）

专题01平面向量的概念、线性运算A组基础巩固1．（2020·山西·灵丘县豪洋中学高一期中）下列说法正确的是（）A．单位向量都相等B．若，则C．若，则D．若，（），则与是平行向量2．（2020·宁夏育才中学高一阶段练习）有下列命题：①若，则；②若，则四边形是平行四边形；③若，，则；④若，，则.其中，假命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．43．（2021·广西·田东中学高二期末（理））下列命题中，正确的个数是（）①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量；③若，满足且与同向，则；④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；⑤若∥∥，则∥．A．0个 B．1个C．2个 D．3个4．（2022·广东番禺·高二期末）在空间四边形OABC中，，，，点M在线段OA上，且，N为BC的中点，则等于（）A． B．C． D．5．（2021·全国·高一课时练习）如图，四边形ABCD，CEFG，CGHD都是全等的菱形，HE与CG相交于点M，则下列关系不一定成立的是（）A．||=|| B．与共线C．与共线 D．与共线6．（2021·四川乐山·高一期末）如图，、、分别是等边各边的中点，则下列结论成立的是（）A． B．C． D．7．（2022·浙江·高三专题练习）如图，设是正六边形的中心，则与不相等的向量为（）A． B． C． D．8．（2021·安徽·亳州二中高一期末）已知三点A(－1，1)，B(0，2)，C(2，x)，若A，B，C三点共线，则x＝（）A．2 B．－2C．4 D．－49．（2021·福建福州·高三期中）在中，AD为边BC上的中线，E为AD的中点，则（）A． B． C． D．10．（2022·辽宁辽阳·高一期末）在中，为的中点，为上靠近点的三等分点，则（）A． B．C． D．11．（2022·辽宁大连·高一期末）在中，，分别是边，上的点，且，，若，，则（）A． B． C． D．12．（2022·湖南·高一课时练习）下列条件中能得到的是（）A． B．与的方向相同；C．，为任意向量 D．且13．（2022·全国·高一）在下列说法中正确的有（）①在物理学中，作用力与反作用力是一对共线向量；②温度有零上温度和零下温度，因此温度也是向量；③方向为南偏西的向量与北偏东的向量是共线向量

；④平面上的数轴都是向量.A．个 B．个 C．个 D．个14．（2022·全国·高一专题练习）如图，在矩形中，可以用同一条有向线段表示的向量是（）A．和 B．和C．和 D．和15．（2021·全国·高一课时练习）如图，在正六边形ABCDEF中，点O是对角线AD､BE､CF的交点，在以A､B､C､D､E､F､O为端点的向量中与向量相等的向量的个数是___________.16．（2021·全国·高二课时练习）下列命题中正确的是______．①空间向量与是共线向量，则，，，四点必在一条直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形是平行四边形的充要条件是；⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件．

B组能力提升17．（2021·全国·高一课时练习）（多选题）在下列结论中，正确的有（）A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 B．平行向量又称为共线向量C．两个相等向量的模相等 D．两个相反向量的模相等18．（2021·全国·高一课时练习）（多选题）如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，则在这6个向量中（）A．向量的模相等 B．C．向量共线 D．19．（2021·全国·高二课时练习）（多选）下列说法中正确的是（）A．单位向量都相等B．任一向量与它的相反向量不相等C．四边形是平行四边形的充要条件D．模为0是一个向量的方向是任意的充要条件20．（2021·湖南·雷锋学校高一阶段练习）（多选题）下列四个命题中错误的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则21．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：（1）与相等的向量共有几个；（2）与方向相同且模为的向量共有几个；22．（2020·全国·高一课时练习）飞机从A地按北偏西15°的方向飞行到达B地，再从B地按南偏东75°的方向飞行到达C地，那么C地在A地什么方向上？C地距A地多远？

23．（2022·湖南·高一课时练习）如图，已知，为两个非零向量．(1)求作向量及；(2)向量，成什么位置关系时，？（不要求证明）24．（2021·全国·高一课时练习）如图，已知，，，，，试用，，，，表示以下向量：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．专题01平面向量的概念、线性运算A组基础巩固1．（2020·山西·灵丘县豪洋中学高一期中）下列说法正确的是（）A．单位向量都相等B．若，则C．若，则D．若，（），则与是平行向量【答案】D【解析】【分析】根据相等向量，共线向量的定义判断可得；【详解】解：对于，单位向量的模长相等，但方向不一定相同，所以错误；对于，当时，其模长与可能相等或，或，所以错误；对于，当时，不一定有，因为要且与同向，所以错误；对于，，（），则与是平行向量，正确．故选：．【点睛】本题考查了平面向量的基本概念应用问题，属于基础题．2．（2020·宁夏育才中学高一阶段练习）有下列命题：①若，则；②若，则四边形是平行四边形；③若，，则；④若，，则.其中，假命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】根据平面向量的概念及向量平行的相关知识逐个判断即可.【详解】，则的方向不确定,则不一定相等,①错误;若,则的方向不一定相同,所以四边形不一定是平行四边形,②错误;若,,则,③正确；若，，则时,不一定成立,所以④错误.综上,假命题的是①②④,共3个.故选:C.【点睛】本题主要考查平面向量的概念,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.3．（2021·广西·田东中学高二期末（理））下列命题中，正确的个数是（）①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量；③若，满足且与同向，则；④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；⑤若∥∥，则∥．A．0个 B．1个C．2个 D．3个【答案】A【解析】根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可.【详解】解：对于①，单位向量的模长相等，但方向不一定相同，故①错误；对于②，模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故②错误；对于③，向量是有方向的量，不能比较大小，故③错误；对于④，向量是可以自由平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点和终点不一定相同，故④错误；对于⑤，时，若，则与不一定平行．综上，以上正确的命题个数是0．故选：A．【点睛】本题考查了平面向量的基本概念，涉及零向量、单位向量、平行向量、相等向量等，意在考查学生对于基础知识的掌握情况.4．（2022·广东番禺·高二期末）在空间四边形OABC中，，，，点M在线段OA上，且，N为BC的中点，则等于（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】由题意结合图形，直接利用，求出，然后即可解答.【详解】解：因为空间四边形OABC如图，，，，点M在线段OA上，且，N为BC的中点，所以.所以.故选：B.5．（2021·全国·高一课时练习）如图，四边形ABCD，CEFG，CGHD都是全等的菱形，HE与CG相交于点M，则下列关系不一定成立的是（）A．||=|| B．与共线C．与共线 D．与共线【答案】C【解析】【分析】结合平面图形的几何性质逐项分析即可求出结果.【详解】因为四边形ABCD，CEFG都是全等的菱形，所以||=||，故A正确；因为，且与共线，故与共线，所以B正确；直线BD与EH不一定平行，因此不一定与共线，C项错误；因为=，所以与共线，故D正确；故选：C.6．（2021·四川乐山·高一期末）如图，、、分别是等边各边的中点，则下列结论成立的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】本题可通过相等向量的性质得出结果.【详解】A项：与方向不同，A错误；B项：因为、分别是、的中点，所以且，故，B正确；C项：与方向相反，C错误；D项：与方向相反，D错误，故选：B.7．（2022·浙江·高三专题练习）如图，设是正六边形的中心，则与不相等的向量为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由正六边形的性质结合平面向量相等的概念即可得解.【详解】由题意，，.故选：D.8．（2021·安徽·亳州二中高一期末）已知三点A(－1，1)，B(0，2)，C(2，x)，若A，B，C三点共线，则x＝（）A．2 B．－2C．4 D．－4【答案】C【解析】【分析】根据向量共线定理的坐标表示进行求解即可.【详解】因为A，B，C三点共线，所以,又因为，所以，解得：.故选：C.9．（2021·福建福州·高三期中）在中，AD为边BC上的中线，E为AD的中点，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用向量的线性运算即可得到答案.【详解】因为在中，AD为边BC上的中线，E为AD的中点，所以.故选：A10．（2022·辽宁辽阳·高一期末）在中，为的中点，为上靠近点的三等分点，则（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】利用向量加法的三角形法则，转化为和即可．【详解】.故选：B11．（2022·辽宁大连·高一期末）在中，，分别是边，上的点，且，，若，，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据向量的线性运算直接运算.【详解】如图所示：，故选：A.12．（2022·湖南·高一课时练习）下列条件中能得到的是（）A． B．与的方向相同；C．，为任意向量 D．且【答案】D【解析】【分析】根据相等向量的概念，即可得到结果.【详解】由于，所以与的大小相等，方向相同，故D正确.故选：D.13．（2022·全国·高一）在下列说法中正确的有（）①在物理学中，作用力与反作用力是一对共线向量；②温度有零上温度和零下温度，因此温度也是向量；③方向为南偏西的向量与北偏东的向量是共线向量

；④平面上的数轴都是向量.A．个 B．个 C．个 D．个【答案】B【解析】【分析】利用向量的定义可判断②④的正误，利用共线向量的定义可判断①③的正误.【详解】解：既有大小，又有方向的量统称为向量，结合向量的定义可知仅有②④错误，结合向量的概念以及共线向量的定义可知①③正确，故选：B.14．（2022·全国·高一专题练习）如图，在矩形中，可以用同一条有向线段表示的向量是（）A．和 B．和C．和 D．和【答案】B【解析】【分析】根据相等向量的概念，得到和是相等向量，即可求解.【详解】对于A中，向量和的方向相反，但长度相等，所以和不是相等向量；对于B中，向量和的方向相同且长度相等，所以和是相等向量，对于C中，向量和的方向不同，且长度不相等，所以和不是相等向量；对于D中，向量和的方向不同，且长度不相等，所以和不是相等向量；所以只有向量和可以用同一条有向线段表示.故选：B.15．（2021·全国·高一课时练习）如图，在正六边形ABCDEF中，点O是对角线AD､BE､CF的交点，在以A､B､C､D､E､F､O为端点的向量中与向量相等的向量的个数是___________.【答案】3【解析】【分析】由相等向量的模长、方向均相同，结合几何图形写出的相等向量，即知个数.【详解】由题图知：与向量相等的向量有，∴共有3个.故答案为：316．（2021·全国·高二课时练习）下列命题中正确的是______．①空间向量与是共线向量，则，，，四点必在一条直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形是平行四边形的充要条件是；⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件．【答案】④⑤【解析】【分析】根据共线向量的概念，以及单位向量、零向量的定义，以及充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解.【详解】由共线向量即为平行向量，只要求两个向量方向相同或相反即可，并不要求两个向量，在同一条直线上，所以①不正确．由单位向量的模均相等且为1，但方向并不一定相同，所以②不正确．零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的，所以③不正确，．若，可得且，所以四边形为平行四边形，当时若为平行四边形，可得，所以④正确．由模为0是一个向量为，其中的方向时不确定的，所以⑤正确．故答案为：④⑤.

B组能力提升17．（2021·全国·高一课时练习）（多选题）在下列结论中，正确的有（）A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 B．平行向量又称为共线向量C．两个相等向量的模相等 D．两个相反向量的模相等【答案】BCD【解析】【分析】根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案.【详解】A.若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；B.平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确；C.相等向量方向相同，模相等，正确；D.相反向量方向相反，模相等，故正确；故选：【点睛】本题考查了向量的定义和性质，属于简单题.18．（2021·全国·高一课时练习）（多选题）如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，则在这6个向量中（）A．向量的模相等 B．C．向量共线 D．【答案】BC【解析】【分析】对于ABD，通过计算向量的模进行判断即可，对于C，通过判断直线的位置关系来判断两向量是否共线【详解】对于A，因为，所以，所以A错误，对于B，因为，所以B正确，对于C，因为，所以∥，所以向量共线，所以C正确，对于D，因为，所以D错误，故选：BC19．（2021·全国·高二课时练习）（多选）下列说法中正确的是（）A．单位向量都相等B．任一向量与它的相反向量不相等C．四边形是平行四边形的充要条件D．模为0是一个向量的方向是任意的充要条件【答案】CD【解析】【分析】A.由单位向量的定义判断；B.由零向量的定义判断；C.由相等向量的定义判断；D.由零向量的定义判断.【详解】A.单位向量的模均相等且为1，但方向并不一定相同，故错误；B.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的，故错误；C.若四边形是平行四边形，则一组对边平行且相等，有，若，则，则四边形是平行四边形，故正确；D.由零向量的规定，知正确．故选：CD20．（2021·湖南·雷锋学校高一阶段练习）（多选题）下列四个命题中错误的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】ABC【解析】【分析】根据相等向量、共线向量、向量模长的定义逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.【详解】对于A：若，可得到，共线，但，的模长不一定相等，所以得不出，故选项A不正确；对于B：若，但，方向不一定相同，所以得不出，故选项B不正确；对于C：若，但，方向不确定，不一定平行，所以得不出，故选项C不正确；对于D：若，则且，方向相同，故选项D正确，所以ABC不正确，故选：ABC.21．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：（1）与相等的向量共有几个；（2）与方向相同且模为的向量共有几个；【答案】（1）5；（2）2.【解析】【分析】根据共线向量和相等向量的定义、以及模的计算和对正方形的对角线即可.【详解】解：由题可知，每个小方格都是单位正方形，每个小正方形的对角线的长度为且都与平行，则，（1）由于相等向量是指方向和大小都相等的两个向量，则与相等的向量共有5个，如图1；（2）与方向相同且模为的向量共有2个，