新教材2023版高中数学第二章直线和圆的方程2.5直线与圆圆与圆的位置关系2.5.1直线与圆的位置关系学生用书新人教A版选择性必修第一册

2.5.1直线与圆的位置关系[课标解读]1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系.3.会用直线与圆的位置关系来解决一些实际问题．教材要点要点直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断位置关系相交相切相离公共点个数____个____个____个判定方法几何法：设圆心到直线的距离d＝Aa+Bb+Cd____rd____rd____r代数法：由Ax+By+C=0消元得到一元二次方程的判别式ΔΔ____0Δ____0Δ____0状元随笔“几何法”与“代数法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面，不同的思路来判断的．“几何法”更多地侧重于“形”，更多地结合了图形的几何性质；“代数法”则侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”．基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)直线与圆最多有两个公共点．()(2)如果一条直线被圆截得的弦长最长，则此直线过圆心．()(3)若A，B是圆O外两点，则直线AB与圆O相离.()(4)若C为圆O内一点，则过点C的直线与圆O相交.()2．直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．无法判断3．设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝()A．1B．2C．3D．24．若直线x＋y＝2与圆x2＋y2＝m(m>0)相切，则m的值为()A．12B．C．2D．25．直线x＋2y＝0被圆C：x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦长等于________．题型1直线与圆的位置关系例1已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝4(a>0，b>0)与x轴、y轴分别相切于A、B两点．(1)求圆C的方程；(2)试讨论直线l：y＝kx－2与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝4(a>0，b>0)的位置关系．方法归纳判断直线与圆位置关系的3种方法巩固训练1过三点A(0，0)，B(0，2)，C(2，0)的圆M与直线l：kx－y＋2－2k＝0的位置关系是()A．相交B．相切C．相交或相切D．相切或相离题型2直线与圆相切问题例2(1)过点P(－2，4)的直线l与圆C：x2＋y2＋2x－2y－3＝0相切，则直线l的方程为()A．x＝－2或2x－y＋8＝0B．x＝－2或x＋2y－6＝0C．2x－y＋8＝0或x＋2y－6＝0D．x－2y＋10＝0或2x＋y＝0(2)过点M(2，－3)作圆C：x2＋y2＝13的切线，则切线的方程为__________________．方法归纳圆的切线的求解策略巩固训练2(1)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是()A．－2或12B．2或－12C．－2或－12D．2或12(2)由直线y＝2x＋5上的点向圆x2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为()A．5B．6C．4D．2题型3直线与圆相交问题例3(1)已知直线l：mx－3y－4m＋9＝0与圆C：x2＋y2＝100相交于A、B两点，则|AB|的最小值为()A．52B．53C．102D．103(2)已知圆C与x轴相切，圆心在直线y＝3x上，且到直线y＝2x的距离为55①求圆C的方程；②若圆C的圆心在第一象限，过点(1，0)的直线l与C相交于A、B两点，且|AB|＝32，求直线l的方程．方法归纳求圆的弦长的2种常用方法巩固训练3(1)已知圆x2＋y2＝r2(r>0)与直线y＝kx＋2至少有一个公共点，则r的取值范围为()A．r>2B．r≥1C．r≥2D．0<r≤2(2)已知圆M的方程为x2＋y2＋4x－4y＋4＝0.①写出圆M的圆心坐标和半径；②经过点N(－1，0)的直线l被圆M截得弦长为23，求l的方程．易错辨析忽略了圆的一个隐含条件例4已知圆的方程为x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0，一定点A(1，2)，要使过定点A(1，2)作圆的切线有两条，则a的取值范围为________．解析：圆的标准方程为(x＋a2)2＋(y＋1)2＝4-3a24，圆心C坐标为(－a2，－1)，半径r＝4-3a24＝4-3又过点A(1，2)作圆的切线有两条，则点A必在圆外，即1+a22化简得a2＋a＋9>0，不等式a2＋a＋9>0恒成立，故a的取值范围是(－233易错警示易错原因纠错心得忽视了圆的方程x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0中有一个隐含条件，即D2＋E2－4F>0.同学们在解答含有参数的问题时，要多一些严谨，以免遗漏某些条件，导致结果出错．2.5.1直线与圆的位置关系新知初探·课前预习要点一210<＝>>＝<[基础自测]1．(1)√(2)√(3)×(4)√2．解析：圆心(0，0)到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝-53∵d＝r，∴直线与圆相切．答案：B3．解析：直线y＝x过圆x2＋y2＝1的圆心C(0，0)，则|AB|＝2.答案：D4．解析：圆x2＋y2＝m(m>0)的圆心为(0，0)，半径为m，因为直线x＋y＝2与圆x2＋y2＝m(m>0)相切，所以圆心到直线x＋y＝2的距离等于半径，列出方程得：21+1＝m，解得：m＝答案：D5．解析：由已知圆心C(3，1)，半径r＝5.又圆心C到直线l的距离d＝3+25＝5，则弦长＝2r2-d答案：45题型探究·课堂解透例1解析：(1)由已知可得圆C的圆心为C(a，b)，由于圆C与x轴、y轴分別相切于A、B两点，圆心C到x轴、y轴的距离分别为b、a，则a＝b＝2，因此，圆C的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4.(2)圆心C(2，2)到直线l的距离为d＝2k-圆C的半径为r＝2.①当d>r时，即k<34时，直线l与圆C②当d＝r时，即k＝34时，直线l与圆C③当d<r时，即k>34时，直线l与圆C综上所述，当k<34时，直线l与圆C当k＝34时，直线l与圆C当k>34时，直线l与圆C巩固训练1解析：方法一由题意得，圆M是过原点，以BC为直径的圆，所以圆的方程为：(x－1)2＋(y－1)2＝2，直线l过定点(2，2)，定点在圆上，所以圆与直线的位置关系为相交或相切，所以答案是C.方法二圆M的圆心为(1，1)，半径为2，圆心到直线l的距离d为d＝-k+1k2+1＝k当k＝0时，d＝1<2，所以直线和圆相交．当k<0时，d＝1-2kk2+1＝1+21-当k>0时，d＝1-2kk2+1＝1-2答案：C例2解析：(1)由题意可知，P(－2，4)在圆C的外部，故点P不是切点；圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝5.当直线斜率不存在时，直线方程为x＝－2，圆心C(－1，1)到切线l的距离为d＝|－1－(－2)|＝1≠5，此时直线和圆不相切；作圆C的切线，斜率存在，设为k，则切线方程为l：y＝k(x＋2)＋4，即l：kx－y＋2k＋4＝0.圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝5，圆心C(－1，1)到切线l的距离为d＝-k-1+2k+4化简可得2k2－3k－2＝0，解得k＝－12或k＝2∴切线方程为l：y＝－12(x＋2)＋4或y＝2(x＋2)＋4化简可得x＋2y－6＝0或2x－y＋8＝0.(2)由圆C：x2＋y2＝13得到圆心C的坐标为(0,0)，圆的半径r＝13，而|CM|＝22+-32所以点M在圆C上，则过M作圆的切线与CM所在的直线垂直，又M(2，－3)，得到CM所在直线的斜率为－32所以切线的斜率为23，则切线方程为：y＝23(x－2)－即2x－3y－13＝0.答案：(1)C(2)2x－3y－13＝0巩固训练2解析：(1)方法一由3x＋4y＝b，得y＝－34x＋b4，代入x2＋y2－2x－2y＋1＝并化简得25x2－2(4＋3b)x＋b2－8b＋16＝0，Δ＝4(4＋3b)2－4×25(b2－8b＋16)＝0，解得b＝2或12.方法二由圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0⇒(x－1)2＋(y－1)2＝1，可知圆心坐标为(1，1)，半径为1，直线和圆相切，则3×1+4×1-b32(2)设P(x，y)为直线y＝2x＋5上任意一点，|OP|min＝512+22＝5，切线长的最小值为：答案：(1)D(2)D例3解析：(1)依题意，直线mx－3y－4m＋9＝0恒过定点D(4，3)，∵D在圆C内部，∴弦|AB|的长度最小时，直线AB与直线CD垂直，又|CD|＝42+3此时|AB|＝2100-25＝10(2)①设圆心C的坐标为(a，3a)，则该圆的半径长为3|a|，因为圆心C到直线y＝2x的距离为a5＝55，解得a＝所以圆心C的坐标为(1，3)或(－1，－3)，半径为3，因此，圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝9或(x＋1)2＋(y＋3)2＝9.②若圆C的圆心在第一象限，则圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝9.因为|AB|＝32，所以圆心到直线l的距离d＝r2-3222若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝1，此时圆心C到直线l的距离为2，不合乎题意；所以，直线l的斜率存在，可设直线l的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，由题意可得d＝3k2+1＝322所以，直线l的方程为y＝x－1或y＝1－x，即x－y－1＝0或x＋y－1＝0.答案：(1)D(2)见解析巩固训练3解析：(1)圆心(0，0)到直线y＝kx＋2的距离d＝21+k2≤2，当且仅当k＝0时等号成立，故只需r(2)①圆M的标准方程