新教材2023版高中数学第二章直线和圆的方程2.2直线的方程2.2.3直线的一般式方程学生用书新人教A版选择性必修第一册

2.2.3直线的一般式方程[课标解读]1.掌握直线的一般式方程.2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线.3.会进行直线方程的五种形式之间的转化．教材要点要点一直线方程的一般式1．定义：关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不全为0)都表示一条直线，把它叫做直线的一般式方程，简称一般式．2．适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示．3．系数的几何意义：当B≠0时，则－AB＝k(斜率)，－CB＝b(y轴上的截距当B＝0，A≠0时，则－CA＝a(x轴上的截距)状元随笔①x的系数为正；②x，y的系数及常数项一般不出现分数；③按含x项，含y项、常数项顺序排列．要点二直线各种形式方程的互化状元随笔解题时，若无特殊说明，应把求得的直线方程化为一般式．基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)任何直线方程都能表示为一般式．()(2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化．()(3)对于二元一次方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0，B≠0时，方程表示斜率不存在的直线．()(4)当A，B同时为零时，方程Ax＋By＋C＝0也可表示为一条直线．()2．直线3x＋4y＋12＝0的斜率为()A．43B．C．－43D．－3．直线x－y－1＝0的倾斜角α为()A．30°B．45°C．60°D．90°4．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为()A．A≠0B．B≠0C．A·B≠0D．A2＋B2≠05．斜率为2，且经过点A(1，3)的直线的一般式方程为________．题型1直线方程的一般式例1根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．(1)斜率是－12，经过点A(8，－2)(2)经过点B(4，2)，平行于x轴；(3)在x轴和y轴上的截距分别是32、－3(4)经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4)．方法归纳求直线的一般式方程的策略巩固训练1(1)过点P(－2，3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是()A．x－y＋1＝0B．x－y＋1＝0或3x＋2y＝0C．x－y－5＝0D．x－y＋5＝0或3x＋2y＝0(2)过点A(－2，1)，且倾斜角的余弦值为－55的直线的一般式方程为________题型2一般式下直线的平行与垂直的问题例2(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求实数m的值；(2)已知直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0垂直，求实数a的值．方法归纳一般式在直线平行、垂直中的应用直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，(1)平行：①A2，B2，C2均不为0，l1∥l2⇔A1A2＝B②A2，B2中有一个为0，则根据A1，B1是否为0判断位置关系；③若C2为0，则根据①只需判断A1，B1与A2，B2的关系．(2)垂直：l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.巩固训练2(1)已知直线l1：(m＋2)x－(m－2)y＋2＝0，直线l2：3x＋(m＋2)y－5＝0，若l1⊥l2，则m＝()A．2或－5B．－2或－5C．2或5D．－2或5(2)若过点O(0，0)和M(1，3)的直线与直线ax－y－2＝0平行，则a＝________．题型3含参数的一般式方程例3已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．方法归纳已知含参数的直线的一般式方程求参数的值或取值范围的步骤巩固训练3若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直线．(1)求实数m的范围；(2)若该直线的斜率k＝1，求实数m的值．易错辨析忽视特殊情形，转化不等价致错例4已知两直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当l1∥l2时，求m的值．解析：由1×3－m(m－2)＝0得，m＝－1或m＝3.当m＝－1时，l1：x－y＋6＝0，l2：3x－3y＋2＝0.两直线显然不重合，即l1∥l2.当m＝3时，l1：x＋3y＋6＝0，l2：x＋3y＋6＝0.两直线重合．故m的值为－1.易错警示出错原因纠错心得易忽略检验截距是否相等已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则A1B2－A2B1＝0⇔l1∥l2或l1与l2重合．所以，由A1B2－A2B1＝0求出参数值后，需检验两直线是否重合．2.2.3直线的一般式方程新知初探·课前预习[基础自测]1．(1)√(2)×(3)×(4)×2．解析：直线方程的斜截式为：y＝－34x－3，斜率为－3答案：D3．解析：根据题意，易知直线x－y－1＝0的斜率k＝1，由tanα＝k＝1，得α＝45°.答案：B4．解析：根据直线方程的一般式可知，要使得Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B不能同时为零，即A2＋B2≠0.答案：D5．解析：由直线点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，化为一般式为：2x－y＋1＝0.答案：2x－y＋1＝0题型探究·课堂解透例1解析：选择合适的直线方程形式．(1)由点斜式得y－(－2)＝－12(x－8)即x＋2y－4＝0.(2)由斜截式得y＝2，即y－2＝0.(3)由截距式得x32+y-3＝1，即2x(4)由两点式得y--2-4--2＝x巩固训练1解析：(1)若直线在坐标轴上的截距为0，设直线方程为y＝kx(k≠0)，因为直线过点P(－2，3)，所以3＝－2k，即k＝－32所以直线方程为y＝－32x，即3x＋2y＝0若直线在坐标轴上的截距不为0，设直线方程为xa+y-a＝因为直线过点P(－2，3)，所以-2a+3-a＝所以直线方程为x-5+y5＝1，即x－故所求直线方程为x－y＋5＝0或3x＋2y＝0.(2)设直线的倾斜角为θ，则θ∈[0，π)，因为cosθ＝－55，所以sinθ＝1-cos2θ所以直线的斜率k＝tanθ＝sinθcosθ＝2所以直线的方程为：y－1＝－2(x＋2)，所以直线的一般式方程为：2x＋y＋3＝0.答案：(1)D(2)2x＋y＋3＝0例2解析：(1)由2×3－m(m＋1)＝0，得m＝－3或m＝2.当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.同理，当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，l1与l2不重合，l1∥l2，故m的值为2或－3.(2)由直线l1⊥l2，得(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1.故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.巩固训练2解析：(1)根据题意，由l1⊥l2，则有：3(m＋2)－(m－2)(m＋2)＝0，解得：m＝－2或m＝5.(2)因为过点O(0，0)和M(1，3)的直线与直线ax－y－2＝0平行，所以k＝3-01解得a＝3.答案：(1)D(2)3例3解析：(1)方法一将直线l的方程整理为y－35＝a(x－15∴直线l的斜率为a，且过定点A(15，而点A(15，35)在第一象限内，故不论方法二直线l的方程可化为(5x－1)a－(5y－