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文档简介
习题课函数单调性与奇偶性的综合应用激趣诱思知识点拨图1和图2分别是偶函数和奇函数的一部分图像,你能结合奇偶函数图像的特征画出相应图像的另一部分吗激趣诱思知识点拨知识点、函数的单调性与奇偶性1函数的奇偶性是函数定义域上的概念,而函数的单调性是区间上的概念,因此在判定函数的单调性的时候,一定要指出函数的单调区间2在定义域关于原点对称的前提下,f=2n-1n∈型函数都是奇函数;f=2nn∈型函数及常数函数都是偶函数3设f,g的定义域分别是D1,D2,则它们在公共定义域上,满足奇奇=奇,偶偶=偶,奇×奇=偶,奇×偶=奇,偶×偶=偶激趣诱思知识点拨4若f为奇函数,且在区间a<b上是增减函数,则f在区间上是增减函数;若f为偶函数,且在区间a<b上是增减函数,则f在区间上是减增函数,即奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同;而偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反5若f为奇函数,且在=0处有定义,则f0=0;若f为偶函数,则f=f-=f||激趣诱思知识点拨微练习1若函数f=m-22m-12是偶函数,则f1,7]上是增函数 -7,2]上是增函数-5,-3]上是增函数 -3,3]上是增函数2若奇函数f满足f3<f1,则下列各式中一定成立的是Af-1<f-3 Bf0>f1Cf-2<f3 Df-3<f5激趣诱思知识点拨解析:1因为函数f=m-22m-12是偶函数,所以m==-22,结合函数f的单调性可知选C2因为f是奇函数,所以f3=-f-3,f1=-f-1又f3<f1,所以-f-3<-f-1,所以f-3>f-13由已知条件可知f在[0,∞内单调递减,故f3<f2<f1再由偶函数性质得f3<f-2<f1答案:1C2A3f3<f-2<f1探究一探究二素养形成当堂检测利用函数的奇偶性求解析式例1已知函数f是定义在R上的奇函数,当>0时,f=-2231,求:1f0;2当<0时,f的解析式;3f在R上的解析式分析1利用奇函数的定义求f0;探究一探究二素养形成当堂检测解:1因为函数f是定义在R上的奇函数,所以f-0=-f0,即f0=02当<0时,->0,f-=-2-23-1=-22-31由于f是奇函数,故f=-f-,所以f=223-1,<03函数f在R上的解析式为探究一探究二素养形成当堂检测反思感悟利用函数奇偶性求解析式的注意事项1在哪个区间求解析式,就把“”设在哪个区间;2利用已知区间的解析式进行代入;的奇偶性把f-写成-f或f,从而解出f;0=0探究一探究二素养形成当堂检测变式训练1本例中若把“奇函数”换成“偶函数”,求<0时f的解析式解:设<0,则->0,∴f-=-2-23-1=-22-31∵f是偶函数,∴f-=f∴f=-22-31,<0探究一探究二素养形成当堂检测应用函数的单调性与奇偶性判定函数值的大小例2设偶函数f的定义域为R,当∈[0,∞时,f是增函数,则f-2,fπ,f-3的大小关系是Afπ>f-3>f-2Bfπ>f-2>f-3Cfπ<f-3<f-2Dfπ<f-2<f-3解析:∵f在R上是偶函数,∴f-2=f2,f-3=f3而2<3<π,且f在[0,∞内为增函数,∴f2<f3<fπ∴f-2<f-3<fπ故选A答案:A探究一探究二素养形成当堂检测反思感悟利用函数性质比较大小的常用方法在应用函数的单调性与奇偶性判定函数值的大小时,先利用函数的奇偶性将自变量转化到同一个单调区间上,再根据函数的单调性对函数值的大小作出比较探究一探究二素养形成当堂检测变式训练2若将本例中的“增函数”改为“减函数”,其他条件不变,则f-2,fπ,f-3的大小关系如何解:因为当∈[0,∞时,f是减函数,所以有f2>f3>fπ又f是R上的偶函数,故f-2=f2,f-3=f3,从而有f-2>f-3>fπ探究一探究二素养形成当堂检测化归思想在解抽象不等式中的应用典例已知函数f的定义域为-1,1,且满足下列条件:①f为奇函数;②f在定义域上单调递减;③f1-af1-a2<0,求实数a的取值范围分析要由不等式f1-af1-a2<0求实数a的取值范围,应利用函数f的奇偶性与单调性去掉“f”,建立关于a的不等式组求解探究一探究二素养形成当堂检测解:∵f是奇函数,∴f1-a2=-fa2-1∴f1-af1-a2<0⇒f1-a<-f1-a2⇒f1-a<fa2-1∵f在定义域-1,1内是单调递减的,∴a的取值范围为0,1探究一探究二素养形成当堂检测方法点睛1本题的解答充分体现了化归思想的作用,将抽象不等式借助函数的性质转化成为具体不等式,问题从而解决2本题中还要注意以下化归与计算等细节易错问题:1由函数f为奇函数,将不等式f1-af1-a2<0等价变形时出错;2利用函数f单调递减去掉“f”,建立关于a的不等式组时,因忽略函数f的定义域出错;3解错不等式组或表示a的取值范围出错探究一探究二素养形成当堂检测变式训练设函数f是定义在R上的奇函数,且在区间-∞,0内是减函数,且f>0,实数a满足不等式f3a2a-3<f3a2-2a,求实数a的取值范围解:∵f在区间-∞,0内是减函数,∴f的图像在y轴左侧递减又∵f是奇函数,∴f的图像关于原点中心对称,则在y轴右侧同样递减,且f<0又f-0=-f0,解得f0=0,∴f的图像在R上递减∵f3a2a-3<f3a2-2a,∴3a2a-3>3a2-2a,解得a>1,即实数a的取值范围为1,∞探究一探究二素养形成当堂检测是定义在上的偶函数,且f4>f1,则下列各式一定成立的是Af0<f6 Bf4>f3Cf2>f0 Df-1<f4解析:∵f是定义在上的偶函数,∴f-1=f1又f4>f1,∴f4>f-1答案:D探究一探究二素养形成当堂检测>0时,f=-2019,且知f在定义域R上是奇函数,则当<0时,f的解析式是Af=2019 Bf=-2019Cf=--2019 Df=-2019解析:设<0,则->0,所以f-=--2019又因为f是奇函数,所以f=-f-=2答案:A探究一探究二素养形成当堂检测=5a3b-8,且f-2=10,那么f2=
解析:∵f-2=-25a·-23b·-2-8=10,∴25a·232b=
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