上海市金山2023年高三第五次模拟考试数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

考生须知：

1,全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2,请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.历史上有不少数学家都对圆周率作过研究，第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他用圆内接和外切

正多边形的周长确定圆周长的上下界，开创了圆周率计算的几何方法,而中国数学家刘徽只用圆内接正多边形就求得乃

的近似值，他的方法被后人称为割圆术.近代无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种万值的表达式纷纷出现，使

得不值的计算精度也迅速增加.华理斯在1655年求出一个公式：^=2X2X4X4X6X6X根据该公式绘制出了估

计圆周率兀的近似值的程序框图，如下图所示,执行该程序框图，已知输出的T>2.8,若判断框内填入的条件为42机？，

则正整数机的最小值是

A.2B.3C.4D.5

2.已知命题p:x<2m+1心：/-5x+6<0,且〃是4的必要不充分条件，则实数%的取值范围为（）

A.m>—B.m>—C.m>\D.m>1

22

3.为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为100分,

分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（）

.▲■甲■乙

A.甲的数据分析素养优于乙B.乙的数据分析素养优于数学建模素养

C.甲的六大素养整体水平优于乙D.甲的六大素养中数学运算最强

4.已知第函数/a）=xa的图象过点（3,5）,且。=上，。=五，c=log“一，贝！|4,b,C的大小关系为（）

4

A.c<a<bB.a<c<bC.a<b<cD.c<b<a

5,若函数/。）=/+℃2+3%_9在工=_3时取得极值，贝jq=（）

A.2B.3C.4D.5

6.已知四棱锥E-ABCD,底面A5CD是边长为1的正方形，ED=1,平面EC。，平面A5C。，当点C到平面A5E

的距离最大时，该四棱锥的体积为（）

A.—B.-C.—D.1

633

7.某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范

围是17.5,30],样本数据分组为17.5,20）,20,22.5）,22.5,25）,25,27.5）,27.5,30）.根据直方图，这200名学

生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）

A.56B.60C.140D.120

8.已知抛物线>2=2px(p>0),F为抛物线的焦点且MN为过焦点的弦，若|MN|=8,则.QWN的面

积为()

A.272B.3亚C.4夜。・当

9.如图所示，直三棱柱的高为4,底面边长分别是5,12,13,当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8,

n64区「96岛25理n

15.----------L•----------JLI.----------------

33

10.我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先

入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中,

等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金()

A.多1斤B.少1斤C.多2斤D.少1斤

33

一，元<0

11.已知函数/(x)=：，若函数/(x)=/(x)-履在R上有3个零点，则实数上的取值范围为()

\nx八

--,x>0

.x

A.(0,—)B.(0,—)C.(-00,—)D.(―,—)

e2e2e2ee

12.设团，”是空间两条不同的直线，a,仅是空间两个不同的平面，给出下列四个命题：

①若ml/a,nl//3,a11/3,则〃〃/〃；

②若。_L/?,〃?_!_，，m(ta,则m//a；

③若加_Ln,aI/(3,则〃//，；

④若aJ_p,aB=l，mlla,机_U,则根•!~/?.其中正确的是()

A.①②B.②③C.②④D.③④

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.为激发学生团结协作，敢于拼搏，不言放弃的精神，某校高三5个班进行班级间的拔河比赛.每两班之间只比赛

1场，目前（一）班已赛了4场，（二）班已赛了3场，（三）班已赛了2场，（四）班已赛了1场.则目前（五）班已

经参加比赛的场次为.

14.已知点P是直线y=x+/上的动点，点。是抛物线y=f上的动点.设点M为线段的中点，。为原点，则QM的最

小值为.

15.为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量y（〃?g/m）与时间t（h）

kt,o<?<-

2

的函数关系为y=1（如图所示），实验表明，当药物释放量y<0.75（mg/旭3）对人体无害.(1)

1

t>-

2

k=；（2）为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过_____分钟

人方可进入房间.

16.若的展开式中各项系数之和为32,则展开式中x的系数为

尤

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）在平面直角坐标系X0V中，直线）="+1仕。（））与抛物线。：/=4°），（0>0）交于4,B两点,且

当左=1时，|A@=8.

（1）求P的值；

（2）设线段A3的中点为抛物线。在点A处的切线与C的准线交于点N,证明：MN//y轴.

18.（12分）设,ABC的内角A,民C的对边分别为〃力,c,2Z?cosB=acosC+ccosA.

（1）求3；

（2）若A6C为锐角三角形，求二的取值范围.

a

19.（12分）二ABC中的内角A,B,C的对边分别是a,b,C,若J%=4c,B=2C.

（1）求cosB；

（2）若c=5,点。为边上一点，且33=6,求&A0C的面积.

20.(12分)已知。为坐标原点，点的(一0,0),6(、6,0),5(3夜,())，动点N满足|的|+|八5卜4百，点尸

为线段N”的中点，抛物线C：》2=2机>(加>0)上点4的纵坐标为八，OAOS=6展.

(1)求动点P的轨迹曲线W的标准方程及抛物线C的标准方程；

(2)若抛物线C的准线上一点。满足OPLOQ,试判断品y+仍，是否为定值，若是，求这个定值；若不是,

请说明理由.

21.(12分)在四棱锥产一ABC。中，46_1尸4,48〃。。,48=,8,424。是等边三角形，点”在棱PC上，

2

平面PAD，平面ABCD.

(1)求证：平面PC0_L平面尸AD；

(2)若AB=4D,求直线AM与平面P8C所成角的正弦值的最大值；

ANPMAN

(3)设直线AM与平面PBD相交于点N,若——=—7,求——的值.

AMPCAM

22(五、(五、

22.(10分)已知椭圆：C：=+二=1(0>/?>()),四点耳(1,1),6(0,1),A，P41，：中恰有三

ab\J\?

点在椭圆C上.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设椭圆。的左右顶点分别为A5.P是椭圆C上异于A3的动点，求NAPB的正切的最大值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

ooR

初始：Z=l,7=2,第一次循环：T=2xjx：=:<2.8,k=2,继续循环；

第二次循环：T=1X^X^=^>2.8,k=3,此时T>2.8,满足条件，结束循环，

所以判断框内填入的条件可以是人23?,所以正整数〃?的最小值是3,故选B.

2.D

【解析】

求出命题4不等式的解为2<x<3,〃是4的必要不充分条件，得4是。的子集，建立不等式求解.

【详解】

解：命题p:x<2/〃+l,g:x?-5x+6<0,即：2cx<3,

〃是4的必要不充分条件，

(2,3)a(-oo,2/n+l,),

：.2/??+1>3,解得，“2/.实数机的取值范围为〃22/.

故选：D.

【点睛】

本题考查根据充分、必要条件求参数范围，其思路方法：

⑴解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参

数的不等式(组)求解.

(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验.

3.D

【解析】

根据所给的雷达图逐个选项分析即可.

【详解】

对于A,甲的数据分析素养为100分，乙的数据分析素养为80分，

故甲的数据分析素养优于乙，故A正确；

对于B,乙的数据分析素养为80分，数学建模素养为60分，

故乙的数据分析素养优于数学建模素养，故B正确；

对于C,甲的六大素养整体水平平均得分为

100+80+100+80+100+80_310

3

80+60+80+60+60+100

乙的六大素养整体水平均得分为一丁，故C正确;

对于D,甲的六大素养中数学运算为80分，不是最强的，故D错误；

故选：D

【点睛】

本题考查了样本数据的特征、平均数的计算，考查了学生的数据处理能力，属于基础题.

4.A

【解析】

根据题意求得参数a,根据对数的运算性质，以及对数函数的单调性即可判断.

【详解】

依题意，得3“=5，故&=10835€(1,2),

(1、陶5_______|

故0<a=-<1,b=^/log35>1,c=loglogi5-<0,

34

则c<a<Z?.

故选：A.

【点睛】

本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，考查推理论证能力，属基础题.

5.D

【解析】

对函数求导，根据函数在x=-3时取得极值，得到/'(一3)=0,即可求出结果.

【详解】

因为/(x)=d+必2+3x-9,所以r(x)=3%2+2依+3,

又函数/(x)=x3+依2+3x-9在％=—3时取得极值，

所以/(—3)=27—6a+3=0,解得a=5.

故选D

【点睛】

本题主要考查导数的应用，根据函数的极值求参数的问题，属于常考题型.

6.B

【解析】

过点£作£以，。。，垂足为"，过“作〃垂足为尸，连接EE因为C。//平面48E,所以点C到平面

冗

ABE的距离等于点H到平面ABE的距离〃.设NCD£=8(0<eWq),将〃表示成关于。的函数，再求函数的最值,

即可得答案.

【详解】

过点E作E”_LCD,垂足为“，过"作〃尸，AB，垂足为尸，连接EE

因为平面EC。，平面A5C。，所以上夕，平面ABC。，

所以EHA.HF.

因为底面ABQ9是边长为1的正方形，HF//AD,所以狼=AQ=1.

因为CP//平面ABE,所以点C到平面ABE的距离等于点H到平面ABE的距离.

易证平面£FH，平面ABE,

所以点H到平面A5E的距离，即为“到E尸的距离〃.

不妨设/。£<=6(0<(9(5)，则£'"=$山6，EF=\]1+sin20•

因为SEHF=gEFh=g.EHFH,所以。Jl+sh?。=sin。，

,_sin。_1<3

所以‘飞+sin2=h门—彳，当。=方时，等号成立・

1,1

2

此时E/Z与E。重合，所以E”=l,VE_ABCD=-xIx1=-.

故选：B.

本题考查空间中点到面的距离的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力,

求解时注意辅助线及面面垂直的应用.

7.C

【解析】

试题分析：由题意得，自习时间不少于22.5小时的频率为（0.16+0.08+0.04）x2.5=0.7,故自习时间不少于22.5小时

的频率为0.7x200=140,故选C.

考点：频率分布直方图及其应用.

8.A

【解析】

根据I1=1可知V=4x，再利用抛物线的焦半径公式以及三角形面积公式求解即可.

【详解】

由题意可知抛物线方程为y2=4x,设点M（玉,%）点N（W,为），则由抛物线定义

知,MNHM用+1样1=药+马+2,1"N|=8则$+々=6.

2

由y2=4%得y）=4芭,y\=4X2则y；+及=24.

又MN为过焦点的弦，所以弘必=一4,则昆一y|="寸+货-2%%=4近,所以S1-凶|=2夜.

故选：A

【点睛】

本题考查抛物线的方程应用，同时也考查了焦半径公式等.属于中档题.

9.A

【解析】

设球心为。，三棱柱的上底面/由鸟G的内切圆的圆心为该圆与边与J切于点M,根据球的几何性质可得，。。产/为

直角三角形，然后根据题中数据求出圆。/半径，进而求得球的半径，最后可求出球的体积.

【详解】

如图，设三棱柱为，48C-4坊G，AAB=12,BC=5,AC=13,高必=4.

所以底面/当吗J为斜边是由的的直角三角形，设该三角形的内切圆为圆圆。/与边与g切于点M,

则圆。/的半径为=2.

0

B

设球心为O,则由球的几何知识得仞。也为直角三角形，且。0=8-4=4,

所以OA/=卜+/=2而，

即球。的半径为R5，

所以球O的体积为:x乃x(27=丝3.

故选A.

【点睛】

本题考查与球有关的组合体的问题，解答本题的关键有两个：

(1)构造以球半径及、球心到小圆圆心的距离4和小圆半径，为三边的直角三角形，并在此三角形内求出球的半径，这

是解决与球有关的问题时常用的方法.

(2)若直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c,则该直角三角形内切圆的半径「=伫0,合理利用中间结论可提高

2

解题的效率.

10.C

【解析】

设这十等人所得黄金的重量从大到小依次组成等差数列｛4｝，则％+4+%=4,%+%+%)=3,由等差数列的性

,441

质得%=大,%=1,・二g一%=§_]=q，

故选C

11.B

【解析】

根据分段函数，分当x<0,无>(),将问题转化为％=£国的零点问题，用数形结合的方法研究.

X

【详解】

当x<0时，k==\,令g(x)=4，g'(x)=--^->0,g(x)在xe(-8,0)是增函数，左>0时，攵=/1^1

XXx~XX

有一个零点,

当x>0时，人盘=与，令h(x)=H,〃，(x)=lz4H

XXXX

当xe((),五)时，〃'(x)X),；./z(x)在(0,〃)上单调递增，

当xe(G,+oo)时，"(x)VO,〃(x)在(〃,+oo)上单调递减,

所以当x=&时，〃(%)取得最大值乙，

2e

因为尸(x)=-履在R上有3个零点，

所以当x〉0时，。有2个零点，

X

如图所示：

综上可得实数A的取值范围为(。,»

故选：B

【点睛】

本题主要考查了函数的零点问题，还考查了数形结合的思想和转化问题的能力，属于中档题.

12.C

【解析】

根据线面平行或垂直的有关定理逐一判断即可.

【详解】

解：①：加、〃也可能相交或异面，故①错

②：因为。_L/7,mLp,所以加ua或加//c,

因为/nda,所以m//a,故②对

③：〃//£或〃u£,故③错

因为a0=1,在内a过点£作直线/的垂线a,

则直线。，尸，a±/

又因为m//a,设经过〃?和a相交的平面与a交于直线。，则加/必

又mL,所以。_U

因为a_L/,b±l,bua,aua

所以匕//a//〃z,所以“，尸，故④对.

故选：C

【点睛】

考查线面平行或垂直的判断，基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.2

【解析】

根据比赛场次，分析，画出图象，计算结果.

【详解】

画图所示，可知目前（五）班已经赛了2场.

（-•）班（二）班（三）班（四）班（五）班

故答案为：2

【点睛】

本题考查推理，计数原理的图形表示，意在考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.

3亚

14.~16

【解析】

过点。作直线平行于y=x+/,则M在两条平行线的中间直线上，当直线相切时距离最小，计算得到答案.

【详解】

如图所示：过点。作直线平行于丫=》+/,则卜在两条平行线的中间直线上，

11

2X=~V=X-~

y=x\则『=2x=],2,故抛物线的与直线平行的切线为-4.

3限

V=x+-d=—（==-----

点“为线段/b的中点，故M在直线§时距离最小，故也16.

34

故答案为：元.

【点睛】

本题考查了抛物线中距离的最值问题，转化为切线问题是解题的关键.

15.240

【解析】

(1)由/='时,

y=l,即可得出A的值;

2

2

(2)解不等式组,即可得出答案.

—<0.75

2t

【详解】

1]_1_SL_2

(D由图可知，当r=—时，>=1,即，1一in、一

2KX—

2

t>-

22

(2)由题意可得,解得/>§

—<0.75

[2t

2

则为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过60=40分钟人方可进入

房间.

故答案为:(1)2；(2)40

【点睛】

本题主要考查了分段函数的应用，属于中档题.

16.2025

【解析】

利用赋值法，结合展开式中各项系数之和列方程，由此求得〃的值.再利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中x的

系数.

【详解】

依题意，令x=l,解得2"=32,所以〃=5,则二项式的展开式的通项为:

(2Y三5

•一3/=55一。(—3)℃]X2

\7

3

令一5=1,得厂=4,所以x的系数为55-4、(一3尸xC：=2025.

2

故答案为：2025

【点睛】

本小题主要考查二项式展开式各项系数之和，考查二项式展开式指定项系数的求法，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)1；(2)见解析

【解析】

(1)设A(/y),联立直线和抛物线方程，得1-4*-4。=0,写出韦达定理，根据弦长公式，即可求

出P=l；

(2)由)得y，=；x,根据导数的几何意义，求出抛物线在点A点处切线方程，进而求出％N=XM，即可证

出A/N//y轴.

【详解】

解：⑴设A(X1,yJ,8(孙为)，

将直线/代入C中整理得：V-4冲-4/7=0,

x,+x2=4p,xix2--4p,

:.|AB\=>/2•J（X1+工2）2-4中2=3,Jl6P2+16p=8,

解得：P=L

⑵同（1）假设A（X1,yJ,B（x2,y2）,

由,y%2,得了=白,

从而抛物线在点4点处的切线方程为y#%(X一%),

1I

即an,=5玉彳_1石2，

令y=-i,得/=T—,

2%,

k+与々_X,+X_

由(1)知一4=否％2，从而砺2

2

这表明MN//y轴.

【点睛】

本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及联立方程组、韦达定理、弦长公式以及利用导数求切线方程，考查转化思想

和计算能力.

18.(1)B=—(2)一,21

312J

【解析】

(1)利用正弦定理化简已知条件，由此求得cosb的值，进而求得B的大小.

(2)利用正弦定理和两角差的正弦公式，求得£的表达式，进而求得二的取值范围.

aa

【详解】

(1)由题设知，2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA,

即2sinBcosB=sin(A+C),

所以2sin3cos3=sin3,

即cos3=',又()v3<九

2

TT

所以8=

3

(2)由题设知，csinCsin(1200-A)]cosA+；sinA,

asinAsinAsinA

即£=立L_+l,

a2tanA2

又ABC为锐角三角形，所以30°<A<90°,即tanA>也

3

所以0<」一<百，即!<且.-?—+!<2,

tanA22tanA2

所以上的取值范围是j1,21.

【点睛】

本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查利用角的范围，求边的比值的取值范围，属于中档题.

3

19.(1)-(2)10

5

【解析】

(1)由二倍角的正弦公式以及正弦定理，可得8$。=至，再根据二倍角的余弦公式计算COS8即可;

5

(2)由已知可得8=46,利用余弦定理解出。，由已知计算出8与sinC,再根据三角形的面积公式求出结果即

可.

【详解】

(1)B=2C,

•*-sinB=sin2C=2sinCcosC,

.———sinBb

在.A8C中，由正弦定理得，-----=-

sinCc

又用=4c，

.「sinBb2^5

…cosC=--------=—=------

2sinC2c5

、3

/.cosB—cos2C=2cos"C-1=—

5

•••b=4亚,

由余弦定理得，Z?2=a2+c2-2accos8,

,3

则80=标+25-

化简得，a2-6a-55=0,

解得。=11或。=一5（负值舍去）,

BD=6,：.CD=5,

COSC=~~'。€(°，%)，

sinC=Vl-cos2C=,

•••工ADC的面积S=，OC.AC-sinC=Lx5x4V^x乎=10.

22

【点睛】

本题考查了三角形面积公式以及正弦定理、余弦定理的应用，考查了二倍角公式的应用，考查了运算能力，属于基础

题.

2

20.（1）曲线卬的标准方程为、+y2=i.抛物线C的标准方程为*2=2#〃Q）见解析

【解析】

(1)由题知|产品|+|尸产2|=幽业川=26>|尸1尸2|,判断动点尸的轨迹W是椭圆，写出椭圆的标准方程，根据平面

2

向量数量积运算和点A在抛物线上求出抛物线C的标准方程；(2)设出点尸的坐标，再表示出点N和。的坐标，根

据题意求出产的值，即可判断结果是否成立.

\OP\-\0Q\-

【详解】

(1)由题知归周=中，|?用=峥1,

所以|P制+|P用」八用.；加周=26>忻用，

因此动点P的轨迹W是以"，工为焦点的椭圆，

又知2a=26，2c=2&，

2

所以曲线W的标准方程为±+y2=i.

3-

又由题知

所以OAOS=(%指卜卜0,0)=3瓜人=6屈,

所以4=26，

又因为点A(26,指)在抛物线C上，所以加=指，

所以抛物线C的标准方程为£=2a.

(2)设尸(赤，%),Q%2，一日)，

由题知OP_LOQ,所以X/%-迈型=0,即々=西上(％,*0),

22%p

—!~^+—!~^=,1,+二—3+2*

所以|OP『|OQ『片+疗3/3=(2-^v

2门23+叼

又因为与+次=1,"

3+2莓3+2xp]

所以(片+/)，

33(X2+1_4｝

Ip3>

所以Q^+历，为定值，且定值为1・

【点睛】

本题考查了圆锥曲线的定义与性质的应用问题，考查抛物线的几何性质及点在曲线上的代换，也考查了推理与运算能

力，是中档题.

21.(1)证明见解析(2)2叵(3)任=工

19AM2

【解析】

(1)取中点为0,连接P。,由等边三角形性质可得PO_LAQ,再由面面垂直的性质可得PO，DC，根据平行直线

的性质可得CD1PA，进而求证；

(2)以。为原点，过。作AB的平行线OF，分别以。4,OE,OP分别为x轴,丁机二轴建立空间直角坐标系，设

AB=AD=2,由点M在棱PC上河设QM=(1—r)OP+rOC=(T4f,G(1—1))/e[0,1]，即可得到AM，再求得平

面P3C的法向量，进而利用数量积求解；

ANPM__.___________

(3)设A£>=2,OC=〃z,——=：=女,则PM=ZPC,AN=kAM,求得AM，AN，即可求得点N的坐标，再由

AMPC

DN与平面PBD的法向量垂直，进而求解.

【详解】

(1)证明:取AD中点为连接P。，

因为丛PAD是等边三角形，所以PO1AD,

因为平面HADI平面ABCD且相交于AD，所以PO，平面ABCD,^以尸O_LDC,

因为AB〃CD,AB，PA,所以C。，P4,

因为P0PA=P,在平面PAD内，所以CO_L平面PAD,

所以平面PC。±平面PAO.

(2)以。为原点，过。作A3的平行线OF，分别以。4,OF,。尸分别为x轴,V轴，二轴建立空间直角坐标系，设

AB=AD=2,则A(l,0,0),5(1,2,0),C(-l,4,0),P((),0,6),

因为"在棱PC上，可设=(1-z)OP+/OC=(T,4r,V3(l-z)),re[0,l],

所以=—"8(IT)),

设平面PBC的法向量为〃=(x,y,z)，因为BC=(-2,2,0),PC=(-1,4,—百),

x=l

n-BC=0—2x+2y=0

所以《，令尤=1,可得，y=l，即〃

，即-x+4y—Gz=0=