平面向量初步

汇报人：XX2024-01-25平面向量初步目录向量基本概念与性质平面直角坐标系中的向量向量的数量积与投影平面向量基本定理与线性表示向量空间及其子空间线性变换与矩阵表示01向量基本概念与性质向量是既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示。向量的定义向量可以用小写字母加箭头表示，如$vec{a}$，也可以用起点和终点的大写字母表示，如$vec{AB}$。向量的表示方法向量的定义及表示方法满足平行四边形法则或三角形法则，即$vec{a}+vec{b}=vec{c}$。向量的加法满足三角形法则，即$vec{a}-vec{b}=vec{c}$。向量的减法满足数乘的分配律和结合律，即$k(vec{a}+vec{b})=kvec{a}+kvec{b}$，$(k+l)vec{a}=kvec{a}+lvec{a}$。向量的数乘向量的线性运算性质向量的大小称为向量的模，记作$|vec{a}|$。非零向量与正$x$轴的夹角称为向量的方向角，记作$theta$，其中$0leqtheta<2pi$。向量的模与方向角向量的方向角向量的模零向量、单位向量、共线向量等概念单位向量相等向量模为1的向量称为单位向量。大小相等且方向相同的向量称为相等向量。零向量共线向量相反向量模为零的向量称为零向量，记作$vec{0}$。方向相同或相反的向量称为共线向量。大小相等且方向相反的向量称为相反向量。02平面直角坐标系中的向量0102平面直角坐标系简介在平面直角坐标系中，任意一点P都可以用一对有序实数(x,y)来表示，其中x是点P到y轴的距离，y是点P到x轴的距离。平面直角坐标系是一种二维坐标系，由两条互相垂直、原点重合的数轴组成，分别称为x轴和y轴。向量在平面直角坐标系中的表示方法在平面直角坐标系中，向量可以用有向线段来表示，有向线段的起点为向量的始点，终点为向量的终点。向量的坐标表示方法：若向量AB的始点A的坐标为(x1,y1)，终点B的坐标为(x2,y2)，则向量AB可以表示为(x2-x1,y2-y1)。若向量a=(x1,y1)，向量b=(x2,y2)，则向量a+向量b=(x1+x2,y1+y2)。向量的加法运算向量的减法运算向量的数乘运算若向量a=(x1,y1)，向量b=(x2,y2)，则向量a-向量b=(x1-x2,y1-y2)。若向量a=(x,y)，实数λ，则λ向量a=(λx,λy)。030201向量坐标运算规则向量共线的条件若向量a与向量b共线，则存在实数λ，使得向量a=λ向量b。向量共线的判定方法若向量a=(x1,y1)，向量b=(x2,y2)，则向量a与向量b共线的充要条件是x1y2-x2y1=0。向量共线条件及判定方法03向量的数量积与投影定义：两个向量$vec{a}$和$vec{b}$的数量积（点积）定义为$vec{a}cdotvec{b}=|vec{a}||vec{b}|costheta$，其中$theta$是$vec{a}$和$vec{b}$之间的夹角。性质交换律：$vec{a}cdotvec{b}=vec{b}cdotvec{a}$分配律：$(vec{a}+vec{b})cdotvec{c}=vec{a}cdotvec{c}+vec{b}cdotvec{c}$结合律：$(lambdavec{a})cdotvec{b}=lambda(vec{a}cdotvec{b})=vec{a}cdot(lambdavec{b})$零向量与任何向量的数量积为零。数量积定义及性质在直角坐标系中，若$vec{a}=(x_1,y_1)$，$vec{b}=(x_2,y_2)$，则$vec{a}cdotvec{b}=x_1x_2+y_1y_2$。数量积的坐标表示法提供了一种方便计算向量数量积的方法，无需考虑向量之间的夹角。数量积的坐标表示法投影概念及其在几何中的应用投影定义：向量$vec{b}$在向量$vec{a}$上的投影定义为$frac{vec{a}cdotvec{b}}{|vec{a}|}$。几何应用计算一个向量在另一个向量上的投影长度。判断两个向量的夹角是锐角、直角还是钝角。在物理中，用于计算力在某一方向上的分量。设两个非零向量$vec{a}$和$vec{b}$的夹角为$theta$，则$costheta=frac{vec{a}cdotvec{b}}{|vec{a}||vec{b}|}$。夹角公式设两点$A(x_1,y_1)$和$B(x_2,y_2)$，则$AB=sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$。距离公式夹角公式和距离公式04平面向量基本定理与线性表示如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1,λ2，使a=λ1e1+λ2e2。平面向量基本定理平面向量基本定理表明，平面内的任何向量都可以由两个不共线的向量线性表示。这为向量的线性运算和坐标表示提供了基础。定理意义平面向量基本定理内容线性组合对于向量a1,a2,...,an和实数k1,k2,...,kn，称向量k1a1+k2a2+...+knan为向量组a1,a2,...,an的一个线性组合。线性表示如果存在一组实数k1,k2,...,kn，使得向量b可以表示为向量组a1,a2,...,an的线性组合，即b=k1a1+k2a2+...+knan，则称向量b可由向量组a1,a2,...,an线性表示。线性组合与线性表示方法线性相关与线性无关概念线性相关如果向量组a1,a2,...,an中存在不全为零的实数k1,k2,...,kn，使得k1a1+k2a2+...+knan=0，则称向量组a1,a2,...,an线性相关。线性无关如果向量组a1,a2,...,an中只有当k1=k2=...=kn=0时，才有k1a1+k2a2+...+knan=0，则称向量组a1,a2,...,an线性无关。极大无关组和秩的概念在向量组A中，如果存在一个部分组A0，满足A0线性无关，且A中任意添加一个向量后，所得的新向量组都线性相关，则称A0是A的一个极大无关组。极大无关组向量组的极大无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。记作R(A)，其中A表示向量组。秩05向量空间及其子空间VS设V是一个非空集合，P是一个数域，若对V中任意两个元素α与β，总有唯一元素γ∈V与之对应，称为α与β的和，记作γ=α+β；若对V中任意元素α与P中任意元素k，总有唯一元素δ∈V与之对应，称为k与α的数乘，记作δ=kα；并且和与数乘满足八条运算法则，则称V是数域P上的一个线性空间，或向量空间。向量空间性质向量空间具有加法封闭性、数乘封闭性、加法结合律、加法交换律、数乘结合律、数乘分配律、加法零元、加法负元等性质。向量空间定义向量空间定义及性质设W是数域P上的线性空间V的一个非空子集，若W对于V中的加法和数乘也构成数域P上的线性空间，则称W是V的一个线性子空间（简称子空间）。判断一个子集是否为子空间，需要验证该子集是否满足向量空间的定义和性质。具体来说，需要验证加法封闭性、数乘封闭性、加法结合律、加法交换律、数乘结合律、数乘分配律等性质是否成立。子空间概念判定方法子空间概念及其判定方法维数基中向量的个数n称为线性空间的维数。基在线性空间中，如果存在n个线性无关的向量α1,α2,…,αn，使得V中任意向量α都可以由它们线性表示出来，即α=k1α1+k2α2+…+knαn，则称向量组α1,α2,…,αn为V的一个基。坐标对于线性空间中任意向量α，如果存在一组数k1,k2,…,kn使得α=k1α1+k2α2+…+knαn，则称这组数为向量α在基α1,α2,…,αn下的坐标。基、维数和坐标等概念设α1,α2,…,αn与β1,β2,…,βn是线性空间V的两组基，由基的定义可知，向量组β1,β2,…,βn可由向量组α1,α2,…,αn线性表示出来，即存在一组数cij(i,j=1,2,…,n)使得βi=∑cijαj(i=1,2,…,n)。这组数构成的矩阵C=(cij)称为由基α1,α2,…,αn到基β1,β2,…,βn的过渡矩阵。过渡矩阵设向量α在基α1,α2,…,αn下的坐标为(x1,x2,…,xn)T，在基β1,β2,…,βn下的坐标为(y1,y2,…,yn)T，则有坐标变换公式(y1,y2,…,yn)T=C(x1,x2,…,xn)T。坐标变换公式过渡矩阵和坐标变换公式06线性变换与矩阵表示线性变换定义：设V和W是数域F上的线性空间，σ是V到W的映射。若对V中任意的向量α，β和F中任意的数k，都有σ(α+β)=σ(α)+σ(β)，σ(kα)=kσ(α)，则称σ是V到W的一个线性映射或线性变换。线性变换性质线性变换保持向量加法运算和数乘运算。零向量经线性变换后仍为零向量。若向量α可经线性变换得到向量β，则向量α与向量β等价。线性变换定义及性质矩阵表示法：在取定基下，线性变换可以表示为矩阵。设σ是数域F上线性空间V的一个线性变换，α1，α2，…，αn是V的一个基，如果以α1，α2，…，αn的像σ(α1)，σ(α2)，…，σ(αn)为列构成一个n阶矩阵A，则这个矩阵A就称为线性变换σ在基α1，α2，…，αn下的矩阵。运算规则线性变换的矩阵乘法满足结合律和分配律。不同基下的线性变换矩阵是相似的。同一线性变换在不同基下的矩阵是相似的。0102030405矩阵表示法及其运算规则特征值设A是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量x，使得Ax=mx成立，则称m是A的一个特征值（characteristicvalue)。要点一要点二特征向量对应于特征值m的非零n维列向量