三角形与四边形（传统解答证明题）-2022年中考数学压轴题分类（全国通用）（解析版）

专题11三角形与四边形（传统解答证明题）

一、解答题

1.（2021•湖北十堰•中考真题）已知等边三角形A8C,过A点作AC的垂线/,点尸为/上

一动点（不与点A重合），连接C尸，把线段CP绕点C逆时针方向旋转60。得到C。，连QB.

（图D（图3）

（1）如图1,直接写出线段AP与8。的数量关系；

（2）如图2,当点尸、8在AC同侧且AP=AC时，求证：直线尸B垂直平分线段CQ；

（3）如图3,若等边三角形ABC的边长为4,点P、8分别位于直线AC异侧，且AAPQ的

面积等于且，求线段AP的长度.

4

【答案】（1）AP=BQ；（2）见详解；（3）括或,或|6+率

【分析】

（1）根据旋转的性质以及等边三角形的性质，可得CP=CQ,SACP^BCQ,AC^BC,进而

即可得到结论；

（2）先证明△BC。是等腰直角三角形，再求出自CBD=45。，根据等腰三角形三线合一的性

质，即可得到结论；

（3）过点B作BESil,过点。作Q/W,根据△ACP^XBCQ,可得AP=BQ,回C4P=®C8Q=90。,

设”=x,则BQ=x,例。=片：指，QF=(X；G)XY1,再列出关于x的方程，即可求解.

332

【解析】

(1)证明：回线段CP绕点C逆时针方向旋转60。得到CQ,

EICP=C。，回PCQ=60°,

回在等边三角形ABC中，B4C8=60。，AC=BC,

E0ACP=I3BCQ,

回△ACPgZ\8CQ,

13Ap=BQ；

(2)0AP=AC,C40/,

回△人"是等腰直角三角形，

laAACP^ABCg,

回△BCQ是等腰直角三角形，(3CBQ=9O。，

回在等边三角形4BC中，AC=AB,回8ACRL48c=60°,

SAB=AP,0BAP=9O°-6O°=3O°,

aa48P=。4P8=(180°-30°片2=75°,

回回C8D=180°-75°-60°=45°,

SPD平分13cBQ,

团直线户8垂直平分线段CQ；

(3)①当点。在直线上方时，如图所示，

延长BQ交/与点E,过点。作。尸，/与点尸,

由题意得AC=8C,PC=CQ,ZACB=ZPCQ=6(rf

・•.ZACP=NBCQ,

:.^APC^BCQ(SAS),

/.AP=BQ,NC3Q=NC4P=90。，

vZC4B=ZABC=60°,

.\ZBAE=ZAB£=30°,

•/AB=AC=4,

...AE=BE=^a

3

.\ZBEF=60°,

设"=r,则3Q=f,

EQ考t

在Rf^EFQ中,。/=乎E。=乎(殍-)，

1J7

s

A”APyO=-2AP.—QF=—j,

即夫奉竽-）邛,

解得f=石或3,

3

即AP的长度为G或且;

3

②当点。在直线/下方时，

过点8作8£0/,过点。作。丸/,

由（1）小题，可知：△ACP四/SBCQ,

SAP=BQ,回CAP=I3CBQ=9O°,

0EL4CB=6OO,0CAM=9O",

aaAMB=360°-60°-90°-90°=120°,即：SBME=S\QMF=60°,

a3BAE=90°-60°=30°,AB=4,

SBE=-AB=2,

2

®BM=BE+sin60°=2+走，6,

23

设AP=x,则80=x,MQ=x-+g,QF=MQxsin60°=（x-±万）x@,

332

回AAPQ的面积等于必，

4

^APxQF=Jl,即：g风X：6）XB=J^,解得：x=2百+叵或x=26-叵（不

2423243333

合题意，舍去），

财P=2指+叵.

33

ME

Q

综上所述，AP的长为：6或立或26+叵.

333

【点睛】

本题主要考查等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形,

根据题意画出图形，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键.

2.(2021•辽宁大连•中考真题)已知AE=EF,ZABD=ZAEF.

(1)找出与皿尸相等的角并证明；

(2)求证：ZBFD=ZAFB；

AP

(3)AF=kDF,ZEDF+ZMDF=180°,求——.

MF

【答案】(1)NBAE(2)见解析(3)k-1

【分析】

(1)根据三角形外角的性质直接求解即可；

(2)在BF上截取BP,使AE=BP,即可证明△ME丝△ADP,进一步证明△隹/和△以«

均为等腰三角形且顶角相等，即可证明NB氏£>=/4即；

ApEF

(3)由(2)可得AAEFS^FPD，即可得--=--=k,设PF=PD=a,则£F=AE=ka，

DrPF

根据N£DF+NMCE=180。，可求得/PDM=ZPED,即可证明,列比例求

〃Ap

出加=三，代入以上数据即可求得等的值.

k-lMF

【解析】

(1)根据题意可知NA£F=NABb+/a4£,

ZABD=ZABF+/DBF,

•.ZABD=ZAEF,

:.ZDBF=ZBAE；

(2)如图，在3尸上截取5尸，使AE=8P,

由(1)得ZDBF=ZBAE,

即ND3P=N84E,

在△ABE和中，

AB=BD

</BAE=/DBP,

AE=BP

:.BE=DP,ZAEB=/BPD,

•;BP=AE,AE=EF,

:.BP=EF,

:.BP-EP=EF-EP,

即3石=尸尸，

♦：PE=PD,

；,PF=PD,

.•.△A£F和△尸汽。均为等腰三角形，

又,；ZAEB=/BPD,

:.ZAEF=ZFPD,

「•△A斯和为顶角相等的等腰三角形，

1.ZEAF=NEFA=ZPFD=ZPDF,

/BFD=ZAFB；

(3)又(1)可知△AEFs»p£),

-,-AF=kDF,

AFEF,

/.-----=-----=k,

DFPF

设PF=PD=a,则4£=砂二3，

・.・NEDF+ZMDF=180。,

ZMDF=/MDP+NPDF,

ZEDF=180°-/FED-APFD,

则180°=ZMDP+/PDF+180°-ZFED-ZPFD,

,,4PDF=4PFD,

..AMDP=/FED,

•.NEPD=NDPM,

.APMD^APDE，

PDPM,

••—=-r—，nn^PD2=PM^PE^

由此得a?=PM・(A-l)a,

则「*力'

【点睛】

本题主要考查三角形综合，涉及到的知识点有，等腰三角形判定与性质，全等三角形的判定

与性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质，根据题意用含字母的式子表示出

4E和"尸的值是解题关键.

3.(2021・湖南娄底•中考真题)如图①，E、F是等腰BAABC的斜边8c上的两动点，

ZEAF=45°,。£＞，5(7且。£)=的.

图①

(1)求证：

(2)求证：EF?=BE2+CF2；

(3)如图②，作A〃_L8C,垂足为H,设NEA”=a,ZFAH-(3,不妨设=请

tana+tan/?

利用(2)的结论证明：当。+月=45。时，tan(c+p)=成立.

1-tana-tanp

【答案】(1)证明见详解；(2)证明见详解；(3)证明见详解.

【分析】

(1)财3。是等腰直角三角形，AB=ACf回MC=90。，由CQ姐C,可求配＞。=财3E即可；

(2)EUI2L4BE00ACD,可得团;巩□二团EAR可证团4EF0MDF(S4S),可得£尸=。RSRt^CDF

中，根据勾股定理，。尸=82+。产即可；

(3)将酎BE逆时针绕点A旋转90。到△ACQ,由aABC为等腰直角三角形，可求回OC尸=90。，

由43=&,在放△A8C中由勾股定理8c=2,由A/708C,可求8H=CH=A”=1,可表示

EF=tan«+=l-tanct/CF=1-tan/?,可证比zkA。产(SAS),得至ij£b二。凡由

EF2=BE2+CF2(tana+tan/?)2=(l-tana)2+(l-tan/7)2,整理即得结论.

【解析】

(1)证明：瓯ABC是等腰直角三角形，

[M8=AC,MAC=90°,

的钻。湎4C3=45。，

0CZZ3BC,

团团DC6=90°,

fflDCA=90o-[MCB=90o-45o=45o=a4BE,

在AABE和AAC。中，

AB=AC

ZABE=ZACDf

BE=CD

回△ABEBAAC。(SAS),

(2)证明团

^BAE^CAD,AE=AD,

团团E4F=45°,

00BAE+[?1MC=9OO-0E4F=9OO-45O=45O,

^FAD=^FAC^CAD=^FAC+^BAE=^5°=^EAFf

在AAM和△4£>/中，

AE=AD

<NEAF=ZDAF,

AF=AF

^AE^ADF(SAS),

aEF=DF,

在CD尸中，根据勾股定理，

DF2=CD2+CF2,

BPEF2=BE2+CF2;

(3)证明：将"BE逆时针绕点A旋转90。到△ACO,连结FD,

团团BAE二团CAD,BE二CD,AE=AD,

团ZkABC为等腰直角三角形，

EL4C8二回8=勖C£)=45°,[3DCF=SDC/4+[?L4CF=45o+45o=90o,

团A8=&，

团AC=AB=y/i,

在Rt^ABC中由勾股定理BC=>jAB2^AC2=《用+(血J=2

^BH=CH=AH=-BC=]

2f

^EF=EH+FH=AHtana+AHtan夕=tana+tat\/3,BE=BH-EH=1-tana,CF=CH-HF=l-lav\p,

00EAF=45°,

^BAE-^CAF=90°-^EAF=45°,

^DAF^DAC+^CAF=^BAE^CAF=45°=^EAF,

在尸和尸中,

AE=AD

<ZEAF=ZDAF,

AF=AF

^LAEF^LADF(SAS),

0EF=DF,

在AfZiC。尸中，DF2=CD2+CF2RPEF2=BE2+CF2,

回(tana+tan/?y=(l-tana)~+(l-tan,

整理得2tanaTan/?=l-2tana+l-2tan/7,

EPtana-tan/?=1-tanor-tan/?,

团tana+tan夕=1-tana•tan夕,

言篙5…:…),

tana+tanp

[?]tan(«+/?)=

1-tan6?•tan[}

【点睛】

本题考查等腰直角三角形的性质，三角形全等判定与性质，三角形旋转变换，勾股定理，锐

角三角函数及其公式推导，掌握上述知识、灵活应用全等三角形的判定和性质是解题关键.

4.（2021•湖南郴州•中考真题）如图1,在等腰直角三角形ABC中，N54C=90。.点E,F

分别为AB,AC的中点，H为线段E尸上一动点（不与点E,尸重合），将线段4"绕点A

逆时针方向旋转90。得到AG,连接GC,HB.

（1）证明：i.AHB^AGC；

（2）如图2,连接GF,HC,A尸交A尸于点Q.

①证明：在点”的运动过程中，总有N"尸G=90。；

②若AB=AC=4,当£”的长度为多少时，AAQG为等腰三角形？

【答案】（1）见详解；（2）①见详解；②当E"的长度为2或正时，AAQG为等腰三角

形

【分析】

（1）由旋转的性质得AH=AG,I3/MG=9O。，从而得回B44=回CHG,进而即可得到结论；

（2）①由AAHB%AGC,得AH=AG,再证明^AEH^AFG,进而即可得到结论;②AAQG

为等腰三角形，分3种情况：Q）当®QAG=囱QG4=45。时，（6）当回G4Q=团GQ4=67.5。时，（c）

当MQG=IMG2=45。时，分别画出图形求解，即可.

【解析】

解：（1）回线段A"绕点A逆时针方向旋转90。得到AG,

EIAH=AG,回”4G=90°,

回在等腰直角三角形ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,

酬8A”=90°■团CA〃二包CAG,

团“"B四△AGC；

(2)①团在等腰直角三角形46C中，4历AC,点E,尸分别为A8,AC的中点,

团AEMF△用是等腰直角三角形，

^AH=AGf^BAH=0C4G,

回AAEH、AFG,

团酎七”二MR7=45°,

0(?)HFG=0AFG+1?L4FE=45O+45O=9OO,E|J：ZHFG=90°；

②回A8=AC=4,点E,尸分别为48,AC的中点，

^AE=AF=2,

aSAGH=45。，AAQG为等腰三角形，分3种情况：

(o)当回QAG=E1QG4=45°时，如图，贝腼/MF=90°-45°=45°,

B4”平分团E4尸，

团点”是所的中点，

SEH=yjAE2+AF2=x>/22+22=应；

(b)当13GAQ=E)G0A=(180°-45°)+2=67.5°时，如图，则®£4"=ElG4Q=67.5°,

aSE/M=180°-45°-67.5°=67.5°,

^EHA^EAH,

^1EH=EA=2；

(c)当财QG=MGQ=45。时，点”与点尸重合，不符合题意，舍去,

综上所述：当£77的长度为2或正时，AAQG为等腰三角形.

【点睛】

本题主要考查等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理,

熟练掌握全等三角形的判定定理，根据题意画出图形，进行分类讨论，是解题的关键.

5.(2021•海南•中考真题)如图1,在正方形ABC。中，点E是边8c上一点，且点E不与

点、B、C重合，点F是54的延长线上一点，且AF=CE.

（1）求证：ADCEmADAF；

（2）如图2,连接E尸，交AD于点K,过点、。作DH_LEF,垂足为H,延长“〃交BF于

点G,连接

①求证：HD=HB；

②若DKHC=6，求"E的长.

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②HE=\.

【分析】

（1）直接根据SAS证明即可；

（2）①根据（1）中结果及题意，证明△DFE为等腰直角三角形，根据直角三角形斜边上

的中线即可证明HD=HB;②根据已知条件，先证明ADCH”ABCH,再证明ADKFS^HEC,

然后根据等腰直角三角形的性质即可求出"E的长.

【解析】

（1）证明：13四边形ABCD是正方形，

CD=AD,ADCE=ZZMF=90°.

又•.•CE=47,

:.ADCE%DAF.

（2）①证明；由（1）得ADCE均DAF,

:.DE=DF,^CDE=ZADF.

NFDE=ZADF+ZADE=NCDE+AADE=ZADC=90°.

.”。庄为等腰直角三角形.

又YDH1.EF,

・・・点H为E户的中点.

:.HD=-EF.

2

同理，由是RtAEBF斜边上的中线得,

HB=-EF.

2

:.HD=HB.

②13四边形ABC。是正方形，

CD=CB.

又・；HD=HB,CH=CH,

:ADCH"ABCH.

ZDCH=ZBCH=45°.

又・.FDEF为等腰直角三角形，

ZDFE=45°.

:.ZHCE=ZDFK.

・・•四边形ABCO是正方形，

・•.AD//BC.

：.ZDKF=ZHEC.

.•.△DKFS&HEC.

DKDF

:.DKHC=DFHE.

又团在等腰直角三角形。切中，DF=6HF=OHE

:.DKHC=DFHE=42HE2=>/2.

：.HE=\.

【点睛】

本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、直角三

角形斜边上的中线以及等腰直角三角形的性质，熟知图形的性质与判定是解决本题的关键.

6.(2021•安徽•中考真题)如图1,在四边形ABCD中，ZABC=ABCD,点E在边上，

且A£//C£>,作CF//AD交线段AE于点尸，连接BF.

(1)求证：AAfiF^AEW；

(2)如图2,若AB=9,CD=5,AECF=ZAED,求BE的长；

(3)如图3,若BF的延长线经过AO的中点M,求B芸E的值.

【答案】(1)见解析；(2)6；(3)1+V2

【分析】

(1)根据平行线的性质及已知条件易证NABE=NA£B,NDCE=NDEC,即可得=

DE=DC；再证四边形AFC£)是平行四边形即可得AT=CD,所以AF=DE,根据SAS即

可证得△ABFAEAD；

(2)证明利用相似三角形的性质即可求解；

(3)延长BM、ED交于点G.易证^ABE^^DCE,可得空=空=空：设CE=1,BE=x,

DCDECE

DC=DE=a,由此可得==AF=CD=a；再证明ZWR丝△MOG,根据全

等三角形的性质可得QG=Afi=or.证明△E4"-Z\£EG,根据相似三角形的性质可得

PAAA?/7ax

—=-1即丁F=丁=，解方程求得x的值，继而求得的值.

FEEGa(x-Y)。(工+1)

【解析】

(1)证明：-AE//CD,

.・.ZAEB=ZDCE；

-DEIIAB,

ZABE=ZDECfZ1=Z2,

・・・ZABC=NBCD,

:.ZABE=^AEB,NDCE=/DEC,

/-AB=AEfDE=DC,

VAF//CD,AD//CF,

二•四边形AFC。是平行四边形

.\AF=CD

.\AF=DE

在△ABE与△£?!£)中.

AB=EA

<N1=N2,

AF=ED

.../\ABF^/\EAD(SAS)

(2)•八ARg八EAD.

.\BF=AD,

在。AFC£＞中，AD=CF,

；.BF=CF,

/FBC=/FCB,

又・・・NFC3=N2,Z2=Z1,

/.ZFBC=Z1,

在△££?/与△£4B中.

J/EBF=N1

1/BEF=/AEB，

:.△EBFsAEAB；

EBEF

一=——；

EAEB

-AB=9,

:,AE=9；

\CD=5,

：.AF=5；

;.EF=4,

,EB_4

•.8石=6或一6（舍）；

（3）延长BM、ED交于点G.

•「△ABE与△£)(%均为等腰三角形，ZABC=ZDCEf

・•.AABE^ADCE,

,ABAEBE

~DC~~DE~~CE，

设CE=1,BE=x,DC=DE=a,

则AB=AE=ax,AF=CD=a,

EF=a(x-I),

­.AB//DG,

.•.Z3=NG；

在△M43与△MDG中，

23=NG

<N4=N5,

MA=MD

/./\MDG(AAS)；

/.DG=AB=ax.

EG=a[x+\)•

­：ABIIEG,

:./\FAB^/\FEG,

FAAB

/.----=------,

FEEG

.a_ax

tz(x-l)a(x+\)'

/.x(x-l)=x+l,

x2—2x—1=0,

/.(x-1)2=2,

x=1±5/2,

Xj=1—V2(舍)，x2=1+V2,

EC

【点睛】

本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质及判定、相似三角形的性质及判定，熟练判

定三角形全等及相似是解决问题的关键.

7.(2021•江苏徐州•中考真题)如图1,正方形ABC。的边长为4,点尸在边上(P不与

A。重合)，连接PRPC.将线段尸B绕点P顺时针旋转90。得到PE,将线段PC绕点尸逆

时针旋转90。得到PF.连接EF,EA,FD.

(1)求证：

①尸的面积S=g；

②£4=包＞；

(2)如图2,E4.户曾的延长线交于点取E尸的中点N,连接MN,求MN的取值范围.

EE

【答案】(1)①见详解；②见详解：(2)4<MN<2>/5

【分析】

(1)①过点尸作FGBL4。交AO的延长线于点G,证明APFG之ACP。，即可得到结论；②

过点E作EM3D4交D4的延长线于点，，证明APE”当ABP4,结合APFG学ACPD,可得

GD=EH,同理：FG=AH,从而得“AHE丝“FGD,进而即可得到结论；

(2)过点尸作FGS4D交AD的延长线于点G,过点E作EHSDA交DA的延长线于点H,

可得财MQ=90°,MN=3EF,HG=2A£>=8,EH+FG=AD=4,然后求出当点P与点。重合时,

最大值=4有，当点P与的中点重合时，EF最小值="G=8,进而即可得到答案.

【解析】

(1)①证明：过点尸作尸GB4O交AO的延长线于点G,

图1

SSFPG+SPFG=90°,^FPG+^\CPD=90°,

团团bPG二团CPO,

又团团PG/7二团CD尸=90°,PC=PF,

伺APFGQACPD(A4S),

团FG=PD,

I3APDF的面积S=-PDFG=-PD2；

22

②过点E作EH&DA交DA的延长线于点H,

图1

H3EPH+回PE4=90°,SEPH+SBPA=90°,

^iPEH^BPA,

又EHPHE=I3BAP=9O°,PB=PE,

0.PEH%BPA(AAS),

^EH=PA,

由①得：FG=PD,

®EH+FG=PA+PD=AD=CD,

由①得：APFG迫CPD,

国PG=CD,

I3PD+GD=CD=EH+FG,

0FG+GD=EH+FG,

@GD=EH,

同理：FG二AH,

又［ML4H乐团FG£）,

团AAHE知FGD,

0E4=FE＞；

（2）过点尸作尸刖。交AO的延长线于点G,过点E作a应D4交D4的延长线于点”,

由（1）得：“WE丝△尸GO,

^\HAE=^GFD,

WGFD+^GDF=90°f

团团”AE+团G£>b=90°,

WHAE=^MADf^GDF^\MDA,

团团M4O+团MD4=90°,

0[?HMD=9OO,

团点N是Eb的中点，

团MN=；EF,

^EH=DG=APfAH=FG=PD,

^HG=AH+DG^AD=PD+AP^AD=2AD=8,EH+FG=AP+PD=AD=4,

当点P与点。重合时，FG=O,EH=4,HG=8,

此时EF最大值="2+82=46，

当点P与A。的中点重合时，FG=2,EH=2,HG=8,

此时E尸最小值=柩7=8,

的取值范围是：44MNV2后.

【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，添加辅助

线，构造直角全等的直角三角形，是解题的关键.

8.（2021・四川南充・中考真题）如图，点E在正方形ABCO边4）上，点尸是线段AB上的

动点（不与点A重合）.。尸交4c于点G,于点”，AB=\,DE=\-

D

AFB

(1)求tanZACE.

(2)设AF=x,GH=y,试探究y与x的函数关系式(写出x的取值范围).

(3)当NA£>F=NACE时，判断EG与AC的位置关系并说明理由.

1Y

【答案】(1)⑵尸7n⑶E的4C,理山见解析

【分析】

(1)过E作EMMC于M,根据正方形的性质得出自D4C=45。，AD=AB=BC=1,利用等腰三

角形的性质得出EM=AM怎,再利用正切的定义即可得出答案；

3

(2)过G作GNB48于N,先证得四边形HANG为正方形，再证明I3GN~~团94凡根据比

利式即可得出结论：

(3)根据EL43F=a4CE和3痼ACE=；得出AF=；,根据(2)中的函数关系式得出HG=；,

从而得出回暇/G为等腰直角三角形，继而得出EG0AC

【解析】

(1)过E作EM2L4c于M

在正方形ABC。中0£>AC=45。，AD=AB=BC=1

।2

^\DE=-f^\AE=-9AC=-72

®EM=AM=变AE=巫x2=也

2233

SCM=AC-AM=应-孝=手

EMI

在Rf^\CEM中,tcui^ACE=-—

⑵过6作6雁48于N

团HQ2A。，0DAB=9OO

团四边形"ANG为矩形，GA04D

团团HAG=45。

^AH=HG

团四边形HANG为正方形

⑦HG=GN=AN=y

0GAB4D

团团GNE〜0DAF

GNNF

团---=---

ADAF

0AF=X,^\NF=x-y

yx-y

[3—=——-

1x

x

0y=------(0V%«1)

x+l

⑶国AQF二朋CE

tan^\ACE=—

2

…LAF1

^\tcm^\ADF==—

AD2

财0=1

（?L4F=-

2

即

当X=L时，y=HG=-

23

在R/0AHG中，E）H4G=45。

田AH=HG=1,EIHGA=45°

3

BHE=AE-AH=-

3

aaEHG为等腰直角三角形

aaEGH=45°

0MGE=9O°

回EG包4c

【点睛】

本题考查了正方形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、解直角三角形等知识，适当添

加辅助线，灵活运用所学知识是解题的关键.

9.（2021•四川广元•中考真题）如图1,在AABC中，ZACB=90%AC=BC,点。是A8边

上一点（含端点A、8）,过点B作BE垂直于射线C。，垂足为E,点F在射线C。上，且印=破，

连接AF、BF.

图1图2

（1）求证：qABFs巫BE；

（2）如图2,连接AE,点P、M、N分别为线段AC、AE.E尸的中点，连接PM、MN、

PN.求NPMN的度数及空的值；

PM

（3）在（2）的条件下，若BC=C，直接写出AP暇N面积的最大值.

MNr-1

【答案】（1）证明见解析；（2）NPMN=135";—=72；（3）-

PM4

【分析】

（1）根据两边对应成比例，夹角相等判定即可.

MN

（2）NPMN的值可以根据中位线性质，进行角转换，通过三角形内角和定理求解即可，—7

PM

AT

的比值转换为黑的比值即可求得.

CE

（3）过点P作户。垂直于的延长线于点。，S^PMN=~MN.PQ,将相关线段关系转化为

CE,可得关系与加2二三。炉，观察图象，当CE=8C=夜时，可得最大值.

O

【解析】

(1)证明：1348=90°,AC=BC

SAB=y[2BC,ZABC=NBAC=45;

I28E垂直于射线C£),

0ZB£F=9O,

又⑦EF=BE

国FB=-JlEB,NFBE=NEFB=45'

0ZABC+ZABE=ZABE+NFBE

即：ZABF=NCBE

dABBFrr

又回一=—=J2

CBBE

团AABFS^CBE

(2)解：团点尸、M、N分别为线段AC、AE.历的中点

0PM//CN,MN//AF,PM」CE,MN」AF

22

回4MPN=4CNP,/CNM=NEFA

团ZMPN+NMNP=NCNP+ZMNP=4CNM=ZEFA

宓AABFSJJBE

0ZAFB=ZCEB=9O

又团ZEFB=45

^ZEFA=ZAFB-ZBFE=90-45=45°

⑦/MPNtNMNP=45,

又团/MPN+/MNP+NPMN=180

0ZPW=18O-45=135

-AF.

rMNAFc

又回——2_

PM

依CE

又EIAABFSACBE

^AFABrr

田---=---=J2

CECB

MNr-

0----=A/2

PM

(3)如下图:

过点P作PQ垂直于NM的延长线于点Q,

,;NPMN=135°,

ZPMQ^45°=ZMPQ,

PQ=^-PM,

又®8C=&

^AF=y/2CE

10o

回当CE取得最大值时•，APMN取得最大值,

・・•BE.LCE,

「.£在以6c的中点为圆心，8C为直径的圆上运动，

二当。七=。8=及时，CE最大，

11

EloS=-x2=—,

84

【点睛】

本题考查的是三角形相似和判定、以及三角形面积最大值的求法，根据题意找见相关的等量

是解题关键.

10.（2020・辽宁大连•中考真题）如图1,中，点D,E,F分别在边AB,BC,AC上，BE=CE,

点G在线段CO上，CG=CA,GF=DE,NAFG=NCDE.

（1）填空：与NC4G相等的角是；

（2）用等式表示线段A£＞与8。的数量关系，并证明；

AC

（3）ZBAC=90\ZABC=2ZACD（如图2）,求'~•的值.

AB

【答案】（1）ZCGA；（2）AD=^-BD,理由见解析；（3）立.

23

【分析】

（1）由CG=6可得到答案；

（2）在CG上取点丹，使GH=AF,连接£77,先证明AAGHGAGAF,再证明四边形AHED

是平行四边形，从而得到E”为ACBD的中位线，从而可得答案；

（3）如图，在CG上取点使GH=AF,连接同理可得：四边形是平行四

边形，证明A"=ZW=C"，再证明NBDE=/BED,得到BD=BE=CE,设A£>=〃?，利用

勾股定理求解4C,即可得到答案.

【解析】

解：(1)­.,CG=CA,

NG4G=ZCGA,

故答案为：NCGA.

(2)AD=-BD,理由如下：

2

在CG上取点使G”=AF,连接E4,

-.-ZHGA=ZFAG,AG=GA,

.,.△AGH/△GAF,

AH=GF,NGHA=ZAFG,

•・・GF=DE,ZAFG=/CDE,

ZGHA=/CDE,AH=DE,

/.AH"DE,

••・四边形A"E'。是平行四边形，

AD=EH,AD//EH,

・.・BE=CE,

・•・£〃为△CM的中位线，

:.EH=-BD,

2

・•.AD=-BD.

2

D

/1"

E

图1

（3）如图，在CG上取点〃，使G"=AF,连接£77,

同理可得：四边形4/石。是平行四边形，

AD=EH=^BD,即为△0?£＞的中位线，

•/ZBAC=90°,

・•.AH=DH=CH,

设N4CO=x。，

ZHAC=ZHCA=x0,

ZAHD=2x0,

ZHDA=/HAD=90°-x°,

AHUDE,

:.ZHDE=ZDHA=2x°,

.\ZBDE=180o-2xo-（90o-xo）=90o-x°,

\ZABC=2ZACDf

ZB=2x°,

/BED=180°-2x°-（90°-x°）=90°-廿，

/.ZBDE=/BED,

.・.BD=BE=CE,

设AD=m,

BD=BE=CE=2m,

AB=3m,BC=4/n,

:.AC=ylBC2-AB2=J（4m）2—（3加了=岛,

AC_币m_"

AB3〃？3

1.

图2

【点睛】

本题考查的等腰三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质,三角形的中位线的性质，

直角三角形的性质，勾股定理的应用，平行四边形的判定与性质掌握以上知识是解题的关

键.

11.（2021•重庆十八中模拟预测）如图1,在四边形ABCZ）中，/\B=AC,AC=60°,

团8+回。+&4£）8=4EIBAC,

於A工

DDD

图1图2图3

⑴求S4OC的度数；

⑵如图2,若AO=BO+CQ,求证：AQ平分团3£>C；

⑶如图3,在(2)的条件下，E、尸分别在AC、AB上，交于点P,使得回BPC=I38£>C,若

BD=EF=7,AD=15,求AEFP的面积.

【答案】⑴B4OC=60°

(2)见解析

⑶△EFP的面积为史迹

129

【分析】

(1)根据四边形的内角和解答即可；

(2)根据旋转的性质得出。、C、£三点共线，进而得出是等边三角形，最后根据旋

转的性质及等边三角形的性质解答即可；

(3)过点B、点尸分别作BGfflCQ,FHSAC,分别交的延长线于点G,连接BC,先证

△AFC00CEB,设CE=AF=x,根据解直角三角形得出AF、CE、8c的长，再根据三角形的

面积公式得出结论.

⑴

团团BAC=60°,

团团3+团C+团3£>C=360°-60°=300°,

^BDC=^\ADB+^ADCf0B+0C+0ADB=40BAC,

回鲂+0C+团8。。-妫。。=4吸。，

的4。。=300°-240°=60°；

(2)

把△A8O绕点A逆时针旋转60。得至IJzkACE,如图1,

图1

根据（1）得：a4DC=60",

由旋转的性质得：AD=AE,BD=CE,回D4E=EL4OC=60。，

^\AD—BD+CD,DE—DC+CE,

SO、C、E三点共线，

I30A0E是等边三角形，

0a4L>B=0£=6O°,

0HL4DB=EL4DC=6OO,

04。平分ELBOC；

⑶

过点8、点尸分别作BG0CD,FH^AC,分别交CD的延长线于点G,连接BC,

G

图2

由题意及（2）可得：△ABC是等边三角形，回8OC=120。,

^AB=AC=BCf^BDG=60°,

田BD=EF=7,AD=15f

7/?

^DG=-,BG=73,DC=AD-BD=8,

22

723

团GC=GD+DC=—F8=—,

22

在Rt^BGC中,BC=yjBG2+GC2=J（半+（y）2=13,

^BPC=^BDC=120°,

团团P8C+0PC8=18O°-120°=60°,

00ECP+0PCB=6O°,

^\ECP=^EBCf

在AAFC与ACEB中,

/-FAC=乙BCA=60°

AC=BC，

.乙ECP=乙EBC

团团AFCHaC硝（ASA）,

^CE=AF,

设CE=4尸=x,

（ME=13-x,AH=cos60°-x=^-x,FH=sin60°-x=^-x,

22

3

团EH=13x,

2

在RtAFHE中,FH2^EH2=EF2,

即（骂2+（13&）2=72,

22

解得：xi=5fX2=8,

①当CE=A/=5时，则AE=8,

回SABEC=SRAFC='FH二Xi3x2=这

224

s_1]2137365x/3»r-

_38c-、ABEC_7、13x----=26,3,

AA224

团SMiFE~SMRE一SMFE~26"\/5—10\fi=16\/5»

设S"FP=a,S^EFP=b,SABPC=C,S&EPC=d,

则有：a：c=b：d=FP：PC,

MSABFE=SABFP+SAFEP,SABEC=S^BPC+SXEPC,

团SABFE：SXBEC=FP：PC,

团S^FE:S^EC=FP:PC—16G:国产=",

465

同c1nrru1<5625-73

sS.=—C£•FH=—x5x---=-----,

"FEFCC2224

⑸c64c6425y/340073

□5^=—5^=—x--=--；

②当CE=AF=8时，AE=5,

则有：BEA=SAFC=-AC-FH=-x\3x^-=^H,

AUC/IA/ire222!

_169后6573__-

一°A4«C-D&BEC.：--=ZOV5，

48

团S^BFE=SgBE_SgFE=65,_10JJ=25y，

44

由①得：SgFE：S.EC=FP:PC=尊:266=盘,

4104

SS^.EC=^CEFH=-x8x4y/3=16yf3,

回5回）=至5_=至*16指=竺述

皿129129129

4008

综上所述，S

4£fP129

【点睛】

本题考查了四边形的综合题，考查了全等三角形、等边三角形等各个知识点，关键是灵活运

用各个知识点.

12.(2021•江苏•高港实验学校二模)如图，在正方形ABCC中，/为BC为边上的定点，E、

G分别是AB、CD边上的动点，AF和EG交于点”且人用瓦；.

(1)求证：AF=EG；

(2)若AB=6,BF=2.

①若BE=3,求AG的长；

②连结AG、EF,求AG+E尸的最小值.

【答案】(1)见解析；(2)①百；②4石

【分析】

(1)过点G作GMSAD交AB于点M,则可得AD=MG,然后证明团GMH3&4BF即可；

(2)①过点G作GMM。交A8于点M,连接4G,由(1)可得EM=BF=2,从而可求得

AM,在R/a4MG中由勾股定理即可求得AG的长；

②过点尸作尸H3EG,FP=EG,连接AP,则易得GP=EF,当A、G、P三点共线时，AG+EF

最小，在Rf^AFP中由勾股定理即可求得AP的长即可.

【解析】

(1)过点G作GM0A。交A8于点M

回四边形A5CD是正方形

团团BAO=团8=90°,A813C。，AD=AB

团团EMG二团BAO二团3二900

EL4B0CD,GMMO

团四边形AMGD是平行四边形

团四边形AMG。是矩形

^MG=AD

^\MG=AB

^AF^EG

^\AEH^EAH=90°

西EA//+0A必=90°

^\AEH=^\AFB

在团GME和M3月中

/EMG=/B

vZAEH=ZAFB

MG=AB

瓯GM£aaA8F(A4S)

0AF=EG

(2)①过点G作GMZL4。交A3于点M,连接AG,如图

由(1)知，^GME^ABF

国EM=BF=2

国48=6,BE=3

团A4=AB-8E=3

^AM=AE-EM=1

2222

在R/tZLAMG中，GM=AD=69由勾股定理得：AG=-^AM+GM=>/14-6=V37

②过点尸作尸咫EG,FP=EG9连接AP,如图

则四边形EFPG是平行四边形

aGP二EF

^AG+GP>GP

团当4、G、尸三点共线时，AG+M=AG+GP最小,最小值为线段A尸的长

ELA/T3EG,FP^\EG

0FFI2L4F

在R/B4B尸中，由勾股定理得小尸==&+力=2亚

^AF=EG,EG=FP

SFP=AF=2y/\0

在R/B4FP中，由勾股定理得AP=jAF〜FP?=46

所以AG+EF的最小值为4石.

本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判

定与性质，勾股定理,两点间线段最短等知识，灵活运用这些知识是解决的关键,确定AG+EF

最小值是线段AP的长是难点.

13.（2021•广东•深圳市宝安中学（集团）三模）在平行四边形A8C。中，AD=8,DC=6,

的顶点在BC上，EF交直线A8于尸点.

(1)如图1,若NFED=NB=90°,BE=5,贝ij8F=

图1

EFBE

(2)如图2,在AB上取点G,使3G=3E,连接EG,若NB=NFED=60。，求证：H==

ED