中考数学试题分类汇编考点36相似三角形含解析

2018中考数学试题分类汇编：考点36相似三角形

一.选择题（共28小题）

1.（2018•重庆）制作一块3mX2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相

同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是

（）

A.360元B.720元C.1080元D.2160元

【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长

方形广告牌的面积，计算即可.

【解答】解：3mX2m=6m',

...长方形广告牌的成本是120+6=20元Ai?,

将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，

则面积扩大为原来的9倍，

扩大后长方形广告牌的面积=9X6=54nK

.•.扩大后长方形广告牌的成本是54X20=1080m2,

故选：C.

2.（2018•玉林）两三角形的相似比是2：3,则其面积之比是（）

A.y/sB.2：3C.4：9D.8：27

【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可.

【解答】解：•••两三角形的相似比是2：3,

其面积之比是4：9,

故选：C.

3.（2018•重庆）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm,

6cm和9cm,另一个三角形的最短边长为2.5cm,则它的最长边为（）

A.3cmB.4cmC.4.5cmD.5cm

【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解可得.

【解答】解：设另一个三角形的最长边长为xcm,

根据题意，得：=-,

2.5x

解得:x=4.5,

即另一个三角形的最长边长为4.5cm,

故选：C.

4.（2018•内江）已知△ABC与△ABG相似,且相似比为1：3,则AABC与△ABG的面积

比为（）

A.1：1B.1：3C.1：6D.1：9

【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方，求出即可.

【解答】解:已知AABC与△ABG相似，且相似比为1：3,

则△ABC与△AiBC的面积比为1：9,

故选：D.

5.（2018•铜仁市）已知△ABCSADEF,相似比为2,且aABC的面积为16,则aDEF的面

积为（）

A.32B.8C.4D.16

【分析】由△ABCs^DEF,相似比为2,根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即

可得AABC与aDEF的面积比为4,又由AABC的面积为16,即可求得4DEF的面积.

【解答】解：：△ABCS^DEF,相似比为2,

.二△ABC与aDEF的面积比为4,

,.•△ABC的面积为16,

.二△DEF的面积为：16X

故选：C.

6.（2017•重庆）已知△ABCs^DEF,且相似比为1：2,则AABC与4DEF的面积比为（）

A.1：4B.4：1C.1：2D.2：1

【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可.

【解答】解：•••△ABCS/XDEF,且相似比为1：2,

.,.△ABC与4DEF的面积比为1：4,

故选：A.

7.（2018•临安区）如图，小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形（阴影部分）与4

ABC相似的是（）

【分析】根据正方形的性质求出NACB,根据相似三角形的判定定理判断即可.

【解答】解：由正方形的性质可知，ZACB=180°-45°=135°,

A、C、D图形中的钝角都不等于135°,

由勾股定理得，BC=&,AC=2,

对应的图形B中的边长分别为1和血,

...图B中的三角形（阴影部分）与aABC相似,

故选:B.

8.（2018•广东）在AABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则AADE与AABC的面积

之比为（）

A.---B.C.---D.

2346

【分析】由点D、E分别为边AB、AC的中点，可得出DE为△ABC的中位线，进而可得出DE

〃BC及△ADES^ABC,再利用相似三角形的性质即可求出aADE与aABC的面积之比.

【解答】解：：点D、E分别为边AB、AC的中点，

ADE为AABC的中位线，

，DE〃BC,

.".△ADE^AABC,

.S2kADE_.DE）2_1

^AABCBC4

故选：c.

9.（2018•自贡）如图，在aABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若4ADE的面积为4,

则4ABC的面积为（）

【分析】直接利用三角形中位线定理得出DE〃BC,DE=aBC,再利用相似三角形的判定与性

质得出答案.

【解答】解：•••在4ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，

ADEZ/BC,DE=",

2

.'.△ADE^AABC,

.SAADE_1

••-f

^AABC4

「△ADE的面积为4,

.,.△ABC的面积为：16,

故选：D.

10.（2018•崇明县一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1,连

接AE交BD于点F,则ADEF的面积与aBAF的面积之比为（）

A.3：4B.9：16C.9：1D.3：1

【分析】可证明△DFEs^BFA,根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案.

【解答】解：:四边形ABQ）为平行四边形，

.,.DC//AB,

/.△DFE^ABFA,

VDE：EC=3：1,

/.DE：DC=3：4,

/.DE：AB=3：4,

••S△诉E：SABFA_9：16.

故选：B.

11.（2018•随州）如图，平行于BC的直线DE把aABC分成面积相等的两部分，则典■的值

AD

为（）

【分析】由DE〃BC可得出△ADEs^ABC,利用相似三角形的性质结合SAMS*彩百，可得

出粤返，结合BD=AB-AD即可求出空的值，此题得解・

AB2AD

【解答】解：；DE〃BC,

，/ADE=NB,ZAED=ZC,

AADE^AABC,

,**SAADE=S四边形BCEI），

.AD_V2

••~-------;

AB2

故选：C.

12.（2018•哈尔滨）如图，在AABC中，点D在BC边上，连接AD,点G在线段AD上，GE

〃BD,且交AB于点E,GF〃AC,且交CD于点F,则下列结论一定正确的是（）

E卜_k?

BDFC

AAB_AGBDF_DGcFG=EGDAE=CF

；'AE-AD■CF-AD'AC-BD'BE-DF

【分析】由GE〃BD、GF〃AC可得出△AEGS^ABD、ADFG^ADCA,根据相似三角形的性质

即可找出典-绊要，此题得解.

BEDGDF

【解答】解:VGE//BD,GF〃AC,

.".△AEG^AABD,ADFG^ADCA,

.AE_AGDG=DF

"AB^AD，DA-DC）

.AEAGCF

"BEDGDF'

故选：D.

13.（2018•遵义）如图，四边形ABCD中，AD〃BC,ZABC=90°,AB=5,BC=10,连接AC、

BD,以BD为直径的圆交AC于点E.若DE=3,则AD的长为（）

A.5B.4C.3遥D.2A/5

【分析】先求出AC,进而判断出△ADFs^CAB,即可设DF=x,AD=J^x,利用勾股定理求出

BD,再判断出△DEFs^DBA,得出比例式建立方程即可得出结论.

【解答】解：如图，在RtZXABC中，AB=5,BC=10,

；.AC=5代

过点D作DF±AC于F,

；./AFD=NCBA,

VAD/7BC,

NDAF=NACB,

.".△ADF^ACAB,

.DFAD

,,瓶w

.DF_AD

・,丁根击，

设DF=x,贝ijAD=J^x,

在RtaABD中，BD=^AB2+AD2=^5X2+25,

VZDEF=ZDBA,ZDFE=ZDAB=90°,

.,•△DEF^ADBA,

•DEDF

••—■>

BDAD

3_x

’6x2+25而'

.'.x=2,

AD=J^x=2

故选：D.

14.（2018•扬州）如图，点A在线段BD上,在BD的同侧作等腰RtaABC和等腰Rt^ADE,

CD与BE、AE分别交于点P,M.对于下列结论：

①△BAEs/\CAD；②MP・MD=MA・ME：③2cB2=CP・CM.其中正确的是（）

【分析】(1)由等腰RtZ\ABC和等腰RtZXADE三边份数关系可证;

(2)通过等积式倒推可知，证明△PAMS/\EMD即可；

(3)2CBz转化为AC2,证明△ACPs/\MCA,问题可证.

【解答】解：由已知I：AC=J》B,AD二&AE

.AC_AD

**AB^AE

・.,ZBAC=ZEAD

AZBAE=ZCAD

/.△BAE^ACAD

所以①正确

VABAE^ACAD

，ZBEA=ZCDA

:ZPME=ZAMD

/.△PME^AAMD

.MP二ME

，MP・MD=MA,ME

所以②正确

■:ZBEA=ZCDA

NPME=/AMD

・・・P、E、D、A四点共圆

AZAPD=ZEAD=90°

ZCAE=180°-ZBAC-ZEAD=90°

AACAP^ACMA

/.AC2=CP*CM

〈AC二&AB

r.2CB2=CP»CM

所以③正确

故选：A.

15.(2018•贵港)如图，在AABC中，EF〃BC,AB=3AE,若S西.BCFE=16,则S△皿=()

A.16B.18C.20D.24

【分析】由EF〃BC,可证明△AEFsaABC,禾佣相似三角形的性质即可求出则S△械的值.

【解答】解：；EF〃BC,

AAEF^AABC,

VAB=3AE,

；.AE：AB=1：3,

••SAAEF：SAABC=1:9,

设SAAEI;=X,

S四边)BBCFE=16,

，X_1

..16+xT

解得：x=2,

•'•SAABC=IS,

故选:B.

16.（2018•孝感）如图，AABC是等边三角形，AABD是等腰直角三角形，ZBAD=90°,AE

LBD于点E,连CD分别交AE,AB于点F,G,过点A作AHJ_CD交BD于点H.则下列结论：

①NADC=15°；②AF=AG；③AH=DF；©AAFG^ACBG；⑤AF=（百-1）EF.其中正确结论

的个数为（)

D.

A.5B.4C.3D.2

【分析】①由等边三角形与等腰直角三角形知4CAD是等腰三角形且顶角NCAD=150。，据

此可判断；②求出/AFP和/FAG度数，从而得出NAGF度数，据此可判断；③证△ADFgA

BAH即可判断；④由即AFG=NCBG=60°、ZAGF=ZCGB即可得证；⑤设PF=x,则AF=2x、

AP=VAF^PF2=V5<.设EF=a,由4ADF丝ABAH知BH=AF=2x,根据aABE是等腰直角三角

形之BE=AE=a+2x,据此得出EH=a,证△PAFs/\EAH得,从而得出a与x的关系即

EHAE

可判断.

【解答】解：:△ABC为等边三角形，AABD为等腰直角三角形，

ZBAC=60"、ZBAD=90°、AC=AB=AD,/ADB=NABD=45°,

...△CAD是等腰三角形，且顶角/CAD=150°,

.\ZADC=15°,故①正确；

VAE1BD,即NAED=90°,

；./DAE=45°,

/.ZAFG=ZADC+ZDAE=60°,ZFAG=45°,

AZAGF=75°,

由ZAFG^ZAGF知AFWAG,故②错误;

记AH与CD的交点为P,

D.

由AH_LCD且/AFG=60°知NFAP=30°,

则NBAH=NADC=15°,

在4ADF和aBAH中，

，ZADF=ZBAH

DA=AB，

NDAF=NABH=45°

AADF^ABAH(ASA),

；.DF=AH,故③正确；

VZAFG=ZCBG=60°,ZAGF=ZCGB,

AAAFG^ACBG,故④正确；

在RSAPF中，设PF=x,则AF=2x、AP=^/Ap2_pF2=^；,

设EF=a,

AADF^ABAH,

；.BH=AF=2x,

△ABE中，,/ZAEB=90°、ZABE=45°,

/.BE=AE=AF+EF=a+2x,

AEH=BE-BH=a+2x-2x=a,

VZAPF=ZAEH=90°,ZFAP=ZHAE,

/.△PAF^AEAH,

.PF_AP即x_«x

EHAE'aa+2x

整理，得：2x2=(5/3-1)ax,

由xWO得2x=(«-1)a,即AF=(«-1)EF,故⑤正确;

故选：B.

17.（2018•泸州）如图，正方形ABCD中,E,F分别在边AD,CD±,AF,BE相交于点G,

若AE=3ED,DF=CF,则学■的值是（）

【分析】如图作，FN〃AD,交AB于N,交BE于M.设DE=a,则AE=3a,利用平行线分线段

成比例定理解决问题即可；

【解答】解：如图作，FN〃AD,交AB于N,交BE于M.

•••四边形ABCD是正方形，

；.AB〃CD,VFN/7AD,

四边形ANFD是平行四边形，

♦."=90°,

四边形ANFD是解析式，

VAE=3DE,设DE=a,则AE=3a,AD=AB=CD=FN=4a,AN=DF=2a,

VAN=BN,MN〃AE,

,FM多，

VAE/7FM,

.AG_AE--16

••--------5—

GFFMya5

故选：C.

18.（2018•临安区）如图,在ZiABC中,DE〃BC,DE分别与AB,AC相交于点D,E,若AD=4,

DB=2,则DE：BC的值为（）

【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似,

再根据相似三角形的对应边成比例解则可.

【解答】解：：DE〃BC,

.'△ADES/XABC,

.DE^AD_AD_4_2

"BC=ABAD+DBTT

故选：A.

19.（2018•恩施州）如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC

边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点.已知FG=2,则线段AE的长度为（）

A.6B.8C.10D.12

【分析】根据正方形的性质可得出AB〃CD,进而可得出△ABFsaCDF,根据相似三角形的

性质可得出绊等2,结合FG=2可求出AF、AG的长度，由CG〃AB、AB=2CG可得出CG为

△EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解.

【解答】解：,・•四边形ABCD为正方形，

.\AB=CD,AB〃CD,

・・・NABF=NGDF,NBAF=NDGF,

AAABF^AGDF,

.AFAB9

GFGD

；.AF=2GF=4,

/.AG=6.

VCG/7AB,AB=2CG,

，CG为aEAB的中位线，

AAE=2AG=12.

故选：D.

20.(2018•杭州)如图，在AABC中，点D在AB边上，DE〃BC,与边AC交于点E,连结

BE.记△ADE,ABCE的面积分别为S”S2()

A.若2AD>AB,则3sA2S?B.若2AD>AB,则3SV2s2

C.若2ADVAB,则3sA2s2D.若2AD<AB,则3SV2s2

【分析】根据题意判定△ADES/XABC,由相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答.

【解答】解：：如图，在△ABC中,DE〃BC,

AAADE^AABC,

Si

s1+s2+sABDE

...若2AD>AB,即黑时，-~----->二，

AB2S]+S2+^ABDE4

此时3sAs2+SA眦,而SZ+SABX2s2.但是不能确定3sl与2s2的大小,

故选项A不符合题意，选项B不符合题意.

若2ADVAB,BP—<^,---------------------<—,

AB2S1+S2+SABDE4

此时3SiVSz+SziBOEV2s2，

故选项C不符合题意，选项D符合题意.

21.（2018•永州）如图，在ZXABC中，点D是边AB上的一点,ZADC=ZACB,AD=2,BD=6,

A.2B.4C.6D.8

【分析】只要证明△ADCS/XACB,可得告丝，即AC?=AD・AB,由此即可解决问题;

ABAC

【解答】解:VZA=ZA,ZADC=ZACB,

.,.△ADC^AACB,

.AC_AD

•,记而，

.\AC2=AD»AB=2X8=16,

VAOO,

AACM,

故选:B.

22.（2018•香坊区）如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB、AC、BC上的点，若DE〃BC,

EF〃AB,则下列比例式一定成立的是（）

AD_DEBF_EFAE_BF0EF_DE

BC.------u

DB-BC'BC'ADECFCAB-BC

【分析】用平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定即可得出结论.

【解答】解：；DE〃BC,

.ADAE

.,DE/7BC,

,.△ADE^AABC,

,AD_AE_DE

•正1C=BC'

；EF〃AB,

.AE_BF

-CE=CF'

；EF〃AB,

,.△CEF^ACAB,

.CE_CF_EF

•而=CB=AB'

；DE〃BC,EF〃AB,

•.四边形BDEF是平行四边形，

\DE=BF,EF=BD,

.AD_AEAE_DEAD_AE_BFCE_CF_BD

'EF^CE'CE^CF'AB^AC^BC，AE=CB=AB'

屋具正确，

故选：C.

23.（2018•荆门）如图，四边形ABCD为平行四边形，E、F为CD边的两个三等分点，连接

AF、BE交于点G,贝IJSAFG：S.BG:()

A.1：3B.3：1C.1：9D.9：1

【分析】利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方即可解决问题;

【解答】解：,・•四边形ABCD是平行四边形，

.二CD=AB,CD/7AB,

VDE=EF=FC,

AEF：AB=1：3,

AAEFG^ABAG,

S

.AEFG_zEF.2_1

2ABAG处9

故选：C.

24.（2018•达州）如图,E,F是平行四边形ABCD对角线AC上两点,AE=CF=L\C.连接DE,

4

s

DF并延长，分别交AB,BC于点G,H,连接GH,则誉虹。的值为（）

SABGH

D.1

(分析］首先证明AG：AB=CH：BC=1：3,推出G【I〃AC,推出ZXBGHsABAC,可得:△AD£-：ABAC

SABGH°ABGH

（黑）、A24，鲁电斗由此即可解决问题.

BG24SAADC3

【解答】解：：四边形ABCD是平行四边形

.\AD=BC,DC=AB,

VAC=CA,

.'.△ADC^ACBA,

SZUDLS/SABC，

VAE=CF=^C,AG〃CD,CH〃AD,

4

AAG：DC=AE：CE=1：3,CH：AD=CF：AF=1：3,

AAG：AB=C1I：BC=1：3,

.•.GH/7AC,

.,.△BGH^>ABAC,

.“ADC="BAC=（BA）2=（3）2=_9

2ABGH^ABGHBG24

..SAADG1

2AADC3

S

.AADG_9x13

2ABGH434

故选：C.

25.（2018•南充）如图，正方形ABCD的边长为2,P为CD的中点，连结AP,过点B作BE

•LAP于点E,延长CE交AD于点F,过点C作CHJLBE于点G,交AB于点H,连接HF.下列

C.cosZCEP=^-D.HF?=EF・CF

5

【分析】首先证明BH二A1L推出EG二BG,推出CE二CB,再证明△CEHgZkCBILRtAIlFE^RtA

HFA,利用全等三角形的性质即可一一判断.

【解答】解:连接EH.

・・•四边形ABCD是正方形，

・・・CD=AB-BC=AD=2,CD〃AB,

VBE±AP,CH1BE,

・・・CH〃PA,

J四边形CPAH是平行四边形，

ACP=AH,

VCP=PD=1,

AAH=PC=1,

AAH=BH,

在RtZ\ABE中，VAH=HB,

AEH=HB,VHC1BE,

ABG=EG,

ACB=CE=2,故选项A错误，

VCH=CH,CB=CE,HB=HE,

/.△ABC^ACEH,

AZCBH=ZCEH=90°,

VHF=HF,HE=HA,

.•.RtAHFE^RtAHFA,

AAF=EF,设EF=AF=x,

在RtaCDF中，有2?+(2-x)2=(2+x)2

AEF=y,故B错误，

VPA//CH,

AZCEP=ZECH=ZBCH,

cosZCEP^cosZBCH=-,故C错误.

CH5

•.•如=恒EF=—,FC=—

222

.••HF-EF吓C,故D正确，

故选：D.

26.（2018•临沂）如图.利用标杆BE测量建筑物的高度.已知标杆BE高1.2m,测得

AB=1.6m.BC=12.4m.则建筑物CD的高是（）

□

□

□

A.9.3mB.10.5mC.12.4mD.14m

【分析】先证明...△ABES/XACI）,则利用相似三角形的性质得，），然后利用

1.6+12.4CD

比例性质求出CD即可.

【解答】解：：EB〃CD,

AABE^AACD,

.AB_BE即1.6_1.2

"AC'CD，1.6+12.4CD'

.\CD=10.5（米）.

故选：B.

27.（2018•长春）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其

中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问

竿长儿何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一

根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（）

竹

标

杆\

A.五丈B.四丈五尺C.一丈D.五尺

【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论.

【解答】解：设竹竿的长度为x尺,

•••竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺,

各具金，解得x=45（尺）.

150.5

故选：B.

28.（2018•绍兴）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕。点旋转到AC位置，

已知AB_LBD,CDXBD,垂足分别为B,D,A0=4m,AB=1.6m,C0=lm,则栏杆C端应下降的垂

直距离CD为（）

A.0.2mB.0.3mC.0.4mD.0.5m

【分析】由NAB0=/CD0=90°、ZA0B=ZC0D知△ABOs^CDO,据此得■一邺,将已知数

COCD

据代入即可得.

【解答】M：VAB±BD,CD±BD,

.\ZAB0=ZCD0=90°,

又「/AOBuNCOD,

.,,△ABO^ACDO,

则到超，

COCD

VAO=4m,AB=1.6m,CO=lm,

•.•-4._.1..6

1CD

解得：CD=O.4,

故选：c.

二.填空题（共7小题）

29.（2018•邵阳）如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE,交

CD于点F,连接BF.写出图中任意一对相似三角形：△ADFs/jECF.

【分析】利用平行四边形的性质得到AD〃CE,则根据相似三角形的判定方法可判断AADFs

△ECF.

【解答】解：：四边形ABCD为平行四边形,

；.AD〃CE,

.,.△ADF^AECF.

故答案为△ADFS/XECF.

30.（2018•北京）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F,

若AB=4,AD=3,则CF的长为空

【分析】根据矩形的性质可得出AB〃CD,进而可得出/FAE=/FCD,结合/AFE=/CFD（对

顶角相等）可得出△AFEs/\CFD,利用相似三角形的性质可得出叁!2,利用勾股定理

AFAE

可求出AC的长度，再结合CF=BH-AC,即可求出CF的长.

CF+AF

【解答】解：,・•四边形ABCD为矩形,

AAB=CD,AD=BC,AB//CD,

/.ZFAE=ZFCD,

XVZAFE=ZCFD,

AAAFE^ACFD,

.CFCD?

AFAE

，

-*AC=>/AB2+BC2=5,

31.（2018•包头）如图，在口ABCD中，AC是一条对角线，EF〃BC,且EF与AB相交于点E,

与AC相交于点F,3AE=2EB,连接DF.若坛旭=1,则的值为

2

【分析】由3AE=2EB可设AE=2a、BE=3a,根据EF〃BC得，＞芈匚=（M）=_^,结合SAAEF=1

SAABC前25

知SAMC=SAABC=3E，再由/一坐L?知c△妞F=3,继而根据SAADkySAAK可得答案.

4FCBE3SACDF35

【解答】解：；3AE=2EB,

可设AE=2a、BE=3a,

VEF/7BC,

.♦.△AEFs/xABC,

.江研口(AE>2=(2a)2_4

,△ABCAB2a+3a25

22

,*,SAAEF1f

丁四边形ABCD是平行四边形,

SAADC=SAABC=~~

4

VEF/7BC,

.AF_AE_2a_2

'"FCBE3^T

.SAADFAF2

^ACDFCF3

•C_J9C_2J7255

・・OAADF--ITOAADC一"二"K

55

故答案为：

32.（2018•资阳）已知:如图,△ABC的面积为12,点D、E分别是边AB、AC的中点，则

四边形BCED的面积为9.

【分析】设四边形BCED的面积为x,则%眦=12-x,由题意知DE〃BC且DE="|BC,从而得

含巴（罂）:据此建立关于x的方程，解之可得.

^△ABCBC

【解答】解：设四边形BCED的面积为x,则S*DE=12-X,

•.•点D、E分别是边AB、AC的中点，

；.DE是AABC的中位线，

.".DE//BC,且DE寺C,

，△ADES/XABC,

解得:x=9,

即四边形BCED的面积为9,

故答案为：9.

33.（2018•泰安）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一

个问题：”今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步面见木？”

用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的

正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木,

求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）？请你计算KC的长为

2000步

【分析】证明△CDKS/SDAII,利用相似三角形的性质得巴一吧，然后利用比例性质可求

10015

出CK的长.

【解答】解：DH=100,DK=100,AH=15,

VAH/7DK,

.,.ZCDK=ZA,

而NCKD=NAHD,

.".△CDK^ADAH,

.CKDKnnCK100

DHAH10015

.”-2000

••L/i\—•

3

答：KC的长为空上步.

34.（2018•岳阳）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，

股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：”今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步,

股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题

的答案是黑步.

【分析】如图1,根据正方形的性质得：DE〃BC,则△ADEsZ\ACB,列比例式可得结论；如

图2,同理可得正方形的边长，比较可得最大值.

【解答】解：如图1,：四边形CDEF是正方形，

ACD=ED,DE/7CF,

设ED=x,则CD=x,AD=12-x,

VDE/7CF,

AZADE=ZC,ZAED=ZB,

/.△ADE^AACB,

.DEAD

BCAC

•,•一x,■”=_—1.2.-.x-”,

512

x=殁,

17

如图2,四边形DGFE是正方形，

过C作CP_LAB于P,交DG于Q,

设ED=x,

SAABC=^\C»BC=^AB•CP,

22

12X5=13CP,

CP=—,

13

同理得：△CDGs/XCAB,

.DGCQ

••—，

ABCP

60

•x71T3-x

■年毁'

IT

X-_728209</6l07，

该直角三角形能容纳的正方形边长最大是患（步）,

故答案为：

CFB

图1

35.（2018•吉林）如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D,ZB=ZC=90°,测得

BD=120m,DC=60m,EC=50m,求得河宽AB=100m.

【分析】由两角对应相等可得△BADs/^CED,利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB.

【解答】解：VZADB=ZEDC,ZABC=ZECD=90°,

.,.△ABD^AECD,

.ABBDcBDXEC

ECCDCD

解得：AB」2。,50=]go（米）.

60

故答案为：100.

三.解答题（共15小题）

36.（2018•张家界）如图，点P是。0的直径AB延长线上一点，且AB=4,点M为众上一

个动点（不与A,B重合），射线PM与。0交于点N（不与M重合）

（1）当M在什么位置时，AMAB的面积最大，并求出这个最大值；

（2）求证:APAN^APMB.

【分析】（1）当M在弧AB中点时，三角形MAB面积最大，此时OM与AB垂直，求出此时三

角形面积最大值即可；

（2）由同弧所对的圆周角相等及公共角，利用两对角相等的三角形相似即可得证.

【解答】解：（1）当点M在窟的中点处时，^MAB面积最大，此时OMLAB,

V0M=^B=yX4=2,

S&®=LB.0M=LX4X2=4；

22

（2）VZPMB=ZPAN,NP=NP,

.,.△PAN^APMB.

37.（2018•株洲）如图，在RtaABM和RtaADN的斜边分别为正方形的边AB和AD,其中

AM=AN.

（1）求证：RtAABM^RtAAND；

（2）线段MN与线段AD相交于T,若AT=5AD，求tanNABM的值.

4

【分析】(1)利用HL证明即可;

(2)想办法证明△DNTs/xAMT,可得需必由AT=/AD，推出等在R3BM中,

tan/ABM9@二

BMDN3

【解答】解：(1)VAD=AB,AM=AN,ZAMB=ZAND=90"

.".RtAABM^RtAAND(HL).

(2)由RtZ\ABM咨RtZXAND易得：ZDAN=ZBAM,DN=BM

VZBAM+ZDAM=90°；ZDAN+ZADN=90°

ZDAM=ZAND

；.ND〃AM

.,.△DNT^AAMT

.AWJT

-，DN^Af

"•'AT=-^-AD>

.AM1

"DN^?

VRtAABM

AM_AM_1

tanZABM=-Bf^DN^3

38.(2018•大庆)如图，AB是。0的直径，点E为线段OB上一点(不与0,B重合)，作

EC10B,交。0于点C,作直径CD,过点C的切线交DB的延长线于点P,作AFJ_PC于点F,

连接CB.

(1)求证：AC平分NFAB；

(2)求证：BC2=CE«CP；

（3）当AB=4j狙冷小寸，求劣弧面的长度.

Si

【分析】（1）根据等角的余角相等证明即可；

（2）只要证明△CBEs^CPB,可得弃”■解决问题；

CPCB

（3）作BM_LPF于M.则CE=CM=CF,设CE=CM=CF=3a,PC=4a,PM=a,利用相似三角形的性

质求出BM,求出tan/BCM的值即可解决问题；

【解答】（1）证明：TAB是直径，

AZACB=90°,

AZBCP+ZACF=90°,ZACE+ZBCE=90°,

VZBCP=ZBCE,

・・・NACF=NACE,即AC平分NFAB.

(2)证明：VOC=OB,

.\ZOCB=ZOBC,

〈PF是。。的切线，CE±AB,

/.Z0CP=ZCEB=90°,

•••NPCB+NOCB=90°,ZBCE+Z0BC=90°,

AZBCE=ZBCP,

〈CD是直径，

.\ZCBD=ZCBP=90°,

/.△CBE^ACPB,

.CB_CE

,,CTCB,

.\BC2=CE*CP；

(3)解：作BMJ_PF于M.则CE=CM二CF,设CE=CM=CF=3a,PC=4a,PM=a,

VZMCB+ZP=90°,NP+NPBM=90°，

：.ZMCB=ZPBM,

〈CD是直径，BM±PC,

AZCMB=ZBMP=90°，

.BM.CM

•・前丽，

ABM2=CM*PM=3a2,

***

•+/DPHBMV3

..tanNBCM=----=--,

CM3

/.ZBCM=30°,

AZ0CB=Z0BC=ZB0C=60°,ZB0D=120°

内工120,兀・2娟473

..BD的长二---------上之」2±n

DU1803

39.（2018•江西）如图，在AABC中，AB=8,BC=4,CA=6,CD〃AB,BD是/ABC的平分线,

BD交AC于点E,求AE的长.

【分析】根据角平分线定义和平行线的性质求出ND二NCBD,求出BOCD=4,证△AEBs^CED,

得出比例式，求出AE=2CE,即可得出答案.

【解答】解：YBD为NABC的平分线，

・・・NABD二NCBD,

VAB//CD,

・・・ND=NABD,

AZD=ZCBD,

・・・BOCD,

VBC=4,

ACD=4,

・・・AB〃CD,

/.△ABE^ACDE,

.AB_AE

,"CETCE,

.8_AE

••------，

4CE

.\AE=2CE,

VAC=6=AE+CE,

；.AE=4.

40.（2018•上海）己知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE1AP,DF1AP,垂

足分别是点E、F.

(1)求证:EF=AE-BE；

(2)联结BF,如课乩12.求证：EF=EP.

BFAD

【分析】（1）利用正方形的性质得AB=AD,ZBAD=90°,根据等角的余角相等得到N1=N3,

则可判断AABE丝Z\DAF,则BE=AF,然后利用等线段代换可得到结论：

（2）利用研-DF和AF=BE得到里此，则可判定RtABEF^RtADFA,所以N4=/3,再

BFADDFAD

证明N4=/5,然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP.

【解答】证明：（1）•••四边形ABCD为正方形，

AAB=AD,ZBAD=90°,

VBE±AP,DF±AP,

ZBEA=ZAFD=90°,

VZ1+Z2=9O°,Z2+Z3=90°,

.-.Z1=Z3,

在△ABE和ADAF中

，ZBEA=ZAFD

-Z1=Z2>

,AB=DA

.-.△ABE^ADAF,

；.BE=AF,

.\EF=AE-AF=AE-BE；

⑵如图，嘴&F为DF

而AF=BE,

.BE_DF

*'BFAD'

.BE_BF

*'DFAD'

.,.RtABEF^RtADFA,

N4=N3,

而N1=N3,

AZ4=Z1,

VZ5=Z1,

:.Z4=Z5,

即BE平分NFBP,

而BE±EP,

/.EF=EP.

41.（2018•东营）如图，CD是00的切线，点C在直径AB的延长线上•

(1)求证：ZCAD=ZBDC；

【分析】(1)连接0D,由OB=OD可得出NOBD=/ODB,根据切线的性质及直径所对的圆周

角等于180°,利用等角的余角相等,即可证出NCAD=NBDC；

(2)由/C=/C、/CAD=NCDB可得出△CDBs^CAD,根据相似三角形的性质结合BD=1AD、

AC=3,即可求出CD的长.

【解答】(1)证明：连接OD,如图所示.

VOB=OD,

ZOBD-ZODB.

：CD是。。的切线，OD是。。的半径，

AZ0DB+ZBDC=90°.

：AB是00的直径，

AZADB=90°,

Z0BD+ZCAD=90°,

ZCAD=ZBDC.

(2)解：；/C=NC,ZCAD-ZCDB,

.,.△CDB^ACAI),

.BD_CD

"AD^AC-

.BD_2

••，

AD3

•.C•D_2，

AC3

又,^=3,

ACD=2.

42.(2018•南京)如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE.过点A作AFLDE,

垂足为F,。。经过点C、D、F,与AD相交于点G.

(1)求证：AAFG^ADFC；

(2)若正方形ABCD的边长为4,AE=1,求。。的半径.

【分析】（1）欲证明△AFGS/XDFC,只要证明NFAG=NFDC,NAGF=NFCD；

（2）首先证明CG是直径，求出CG即可解决问题；

【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，ZADC=90°,

/.ZCDF+ZADF=90°,

VAF1DE,

AZAFD=90°,

AZDAF+ZADF=90°,

.\ZDAF=ZCDF,

・・・四边形GFCD是。0的内接四边形，

AZFCD+ZDGF=180Q,

VZFGA+ZDGF=180°,

・・・ZFGA=ZFCD,

AAAFG^ADFC.

(2)解：如图,连接CG.

TNEAD=NAFD=90°,ZEDA=ZADF,

AAEDA^AADF,

.EA_DA即EAAF

"AF-DF，DTDF'

VAAFG^ADFC,

,AG_AF

''DC^W

,AG_EA

••记笳

在正方形ABCD中，DA=DC,

；.AG=EA=1,DG=DA-AG=4-1=3,

•*-CG=VDG2+DC2=5,

VZCDG=90°,

；.CG是。。的直径,

43.(2018•滨州)如图,AB为。0的直径，点C在00上，AD_LCD于点D,且AC平分/DAB,

求证：

(1)直线DC是。。的切线；

(2)AC2=2AD«AO.

【分析】(1)连接OC,由OA=OC、AC平分/DAB知NOAC=NOCA=NDAC,据此知0C〃AD,

根据AD1DC即可得证；

(2)连接BC,证△DACs^CAB即可得.

【解答】解：（1）如图，连接0C,

VOA=OC,

JZOAC=ZOCA,

・.,AC平分NDAB,

・・・ZOAC=ZDAC,

・・・ZDAC=ZOCA,

A0C/7AD,

又TAD_LCD,

.\OC±DC,

・・・DC是。0的切线;

(2)连接BC,

〈AB为。。的直径，

/.AB=2A0,ZACB=90°,

VAD1DC,

AZADC=ZACB=90°,

又•:ZDAC=ZCAB,

AADAC^ACAB,

・・・£世，B|JAC2=AB*AD,

ABAC

VAB=2A0,

AAC2=2AD*AO.

44.（2018•十堰）如图，^ABC中，AB=AC,以AB为直径的。。交BC于点D,交AC于点E,

过点D作FGLAC于点F,交AB的延长线于点G.

（1）求证：FG是。。的切线；

(2)若tanC=2,求善■的值.

GA

【分析】（1）欲证明FG是。0的切线，只要证明ODLFG；

（2）由△GDBS/^GAD,设BG=a.可得现凶二弧工，推出DG=2a,AG=4a,由此即可解决

ADGDGA2

问题；

【解答】（1）证明：连接AD、0D.

；AB是直径,

AZADB=90°,BPADXBC,

VAC=AB,

.\CD=BD,

VOA=OB,

；.OD〃AC,

VDF±AC,

；.ODJ_DF,

；.FG是。。的切线.

(2)解：VtanC=-^2,BD=CD,

CD

・・・BD：AD=1：2,

VZGDB+ZODB=90°,ZAD0+Z0DB=90°,

VOA=OD,

AZOAD=ZODA,

・•・NGDB=NGAD,

VZG=ZG,

/.△GDB^AGAD,设BG=a.

,BD_BG_DG_1

**ADGDGA7,

/.DG=2a,AG=4a,

ABG：GA=1：4.

45.（2018•杭州）如图，