分析力学五一

第五章刚体的运动刚体：特殊的质点组——任何两个质点之间的距离保持不变刚体的形状和大小都不变化(自由度降低)引入两套坐标系，确定刚体在空间的位置，即静止坐标系固连在刚体中的坐标系(参与刚体的全部运动)，它的原点在静止坐标系中的位矢为。

注：下图中oxyz为从静止坐标系过渡动坐标系的坐标系12刚体相对于静止坐标系的位置完全由运动坐标系的位置来确定(由于刚体中任意两点的距离保持不变，确定了动坐标系，则刚体上各点的位置就完全确定)。确定运动坐标系的原点o：

R0——3个自由度(平动)确定运动坐标系的三个轴：ox1、ox2

、ox3由3个独立的角度确定——3个自由度(转动)刚体有6个自由度3重点：欧勒角如图2：过o作oxyz和Ox0y0z0平行。分三步将oxyz转到ox1x2x3的位置。1.将oxyz绕z轴转角，使ox转到垂直于zx3平面的位置oN；2.绕oN轴转角，使z轴转到ox3位置；3.再绕ox3轴转角，使oN轴转到ox1位置。

(ox1与ox3确定，则ox2确定)定义为欧勒角(：确定自转轴位置，：确定绕自转轴转动的角度)4567刚体的基本运动形式：平动、转动平动规律：质量集中在质心上的单质点运动规律重点：转动转动的特点：绕不同轴的转动之间有相互关联§1.5.1刚体的角速度、角动量与转动能量一、不同转轴转动之间的关联角速度矢量线位移：沿不同方向彼此独立

A+B=B+A——平行四边形法则891011但：对转动，绕不同轴的转动，彼此之间互相关联。例子：书的大角度转动。显然：绕不同轴转动有限角度，与先后次序有关，并不独立。结论：两个有限转动的合成不服从平行四边形法则，不能看成矢量。注意：矢量——有大小、方向，且满足平行四边形法则的量。然而可证明：无限小角位移是矢量。

12设：刚体绕通过o点的轴线转动了一个微小角度。沿轴线方向作一有向线段：，。这一转动引起矢径r的变化则：(转动后)

转动：空间变换转动变换的数学表示：设：——绕两个不同轴的转动1.先转，后转时，r变为

132.先转，后转，r变为

两者之差：对于无限小转动：14略去二阶小量体现关联：顺序不一样，结果不一样)则即——两个无穷小转动与次序无关：两个无穷小角位移相加服从平行四边形法则

(r：任意)15结论：无穷小角位移是矢量。二、角速度矢量定义：——瞬时角速度(矢量)现证明：角速度与转动中心(转轴)的选择无关。指的是：转动是一样的，坐标系是任意的。设：Oxyz——固定坐标系；ox1x2x3——运动坐标系

1617o点对Oxyz的矢径：R0刚体上点P的矢径：R——对Oxyz；rop——对ox1x2x3：绕o点转动的角位移。矢径rop在转动后所发生的位移为，则固定坐标系：P点速度；o点速度(ω是以o点为中心的角速度)(平动+转动)18对另一点o'，且oo'=a，同理有现设：o'为转动中心，以o'为原点的坐标系中，P点的矢径为r'op

则rop=r'op+a另一方面，o'代替o时，有19

(是以点为中心的角速度)于是

——角速度不因转动中心(坐标系)的选择而变通常，以刚体的质心作为运动坐标系的原点，此时，V0——质心的速度。20三、角动量矢量与转动惯量张量1.刚体平动：单个质点的运动P=MV2.定轴转动：L=I

ω

3.刚体绕o点的转动：刚体——质点组，对o点的总角动量又21

—并矢同理，有比较：——定轴转动，即，L和共线

22定点转动：转动惯量不再是常数，而是一个并矢

——转动惯量张量

2324同理，有上式为的矩阵形式

并矢有九个分量

25

的矩阵形式令定义：为刚体对三个坐标轴x,y,z的转动惯量；为惯量积。

26质量连续分布：四、惯量主轴定义了转动惯量、惯量积后，得到27上式表明：角动量并不和角速度成正比。此时，刚体绕某一轴转动时，会在另一轴的方向上产生角动量(绕不同轴的转动相互关联)。绕任意轴转动，角动量一般不和角速度共线。但：绕某些特殊轴转动，L可能与共线。此时，。目的：找到这些轴。28因为所以(本征值方程)即——关于的线性齐次方程组

29非零解条件

I有三个正实根：Ia(a=1、2、3)由Ia的三组解三组解的方向决定了角动量与角速度共线的三个方向。这三个方向称为刚体的惯量主轴。Ia：沿主轴方向的转动惯量。

30实际上，就是前面讲的本征值方程，即由上式可解出相互垂直的本征方向，即角动量与角速度共线的方向或惯量主轴。在三个相互垂直的惯量主轴上，以三个本征值Ia为半轴作出的椭球，称为刚体的惯量椭球。它就是转动惯量矩阵的本征椭球。3132

若选相互垂直的三个惯量主轴作坐标轴，则：所有的惯量积都为零(为什么？)。此时，转动惯量张量具有对角形式

在这一坐标系中，成为33对以上结论的证明：设为的本征矢，本征值为，于是有又设为方向上的单位矢量，即，则由于满足正交归一条件，所以也可以选其作为一个坐标系的基矢。转动惯量张量在这一坐标系下的分量为34上式的矩阵形式为上面讨论了转动惯量张量在不同坐标系下的形式，现在来讨论在基矢中的表示形式与在基矢中表示形式之间的变换关系。因为—转动惯量张量的对角形式其中为坐标变换矩阵，是其逆矩阵。由于与35均为正交归一矢量组，所以它们之间的变换矩阵A是正交矩阵，即满足条件因此，有即36一般情况：求惯量主轴要求解本征值方程。但：对于具有对称性的刚体，容易找到惯量主轴。例：刚体是一个边长为a、b、c的质量均匀分布的长方体，则通过长方体中心的惯量主轴方向就是a、b、

c的方向。例：惯量积的