分析力学基础8.2虚位移原理0806

前言达朗贝尔原理虚位移原理动力学普遍方程拉格朗日第一类方程拉格朗日第二类方程理论力学CAI版权所有,2000(c)上海交通大学工程力学系理论力学CAI分析力学基础虚位移原理2024/2/61理论力学CAI分析力学基础虚位移原理前言虚位移虚位移原理及其应用

广义力质点系平衡条件

分析动力学基础/虚位移原理2024/2/62理论力学CAI分析力学基础虚位移原理前言虚位移虚位移原理及其应用

广义力质点系平衡条件

分析动力学基础/虚位移原理2024/2/63理论力学CAI分析力学基础前言虚位移原理是分析静力学的一个基本原理从力的功出发直接建立起系统处于平衡时主动力间的关系矢量力学：主动力与约束力间的关系虚位移原理与达朗贝尔原理一起构成了分析动力学的基础分析动力学基础/虚位移原理/前言2024/2/64理论力学CAI分析力学基础虚位移原理前言虚位移虚位移原理及其应用

广义力质点系平衡条件

分析动力学基础/虚位移原理2024/2/65理论力学CAI分析力学基础虚位移质点系运动学关系的描述

实位移与虚位移

独立（广义）坐标虚位移

分析动力学基础/虚位移原理/虚位移2024/2/66理论力学CAI分析力学基础质点系运动学关系的描述笛卡儿坐标分析动力学基础/虚位移原理/虚位移质点系质点Pk笛卡儿坐标质点Pk

的矢径惯性基质点系笛卡儿坐标阵运动q(t)质点系的运动2024/2/67理论力学CAI分析力学基础分析动力学基础/虚位移原理/虚位移质点系惯性基质点系笛卡儿坐标阵自由质点系外力运动q(t)动力学方程处理动力学问题一般方法非自由质点系不独立约束方程外力运动q(t)动力学方程约束方程处理动力学问题一般方法2024/2/68理论力学CAI分析力学基础分析动力学基础/虚位移原理/虚位移质点系质点系笛卡儿坐标阵非自由质点系的独立坐标不独立约束方程自由度独立坐标广义坐标非独立坐标外力运动w(t)动力学方程处理动力学问题独立坐标方法约束方程运动u(t)2024/2/69理论力学CAI分析力学基础分析动力学基础/虚位移原理/虚位移质点系质点系笛卡儿坐标阵非自由质点系约束方程的另一形式不独立自由度另外定义独立（广义）坐标约束方程外力运动w(t)动力学方程处理动力学问题独立坐标方法约束方程运动q(t)2024/2/610理论力学CAI分析力学基础分析动力学基础/虚位移原理/虚位移/例[例]质量为m，摆长为l的单摆试描述摆的运动2024/2/611理论力学CAI分析力学基础分析动力学基础/虚位移原理/虚位移/解[解]惯性基方法1笛卡儿坐标约束方程动力学方程方法2自由度另外定义独立（广义）坐标约束方程动力学方程2024/2/612理论力学CAI分析力学基础实位移与虚位移真实运动分析动力学基础/虚位移原理/虚位移外力真实运动q(t)动力学方程约束方程实位移可能运动q*(t)约束方程可能位移可能运动可能位移满足的方程唯一性（初始条件）多种可能2024/2/613理论力学CAI分析力学基础分析动力学基础/虚位移原理/虚位移/例[例]实位移可能位移外力初始条件约束约束2024/2/614理论力学CAI分析力学基础虚位移分析动力学基础/虚位移原理/虚位移可能位移虚位移满足的方程虚位移虚位移理解为约束方程的等时变分

定常约束：虚位移即为可能位移，实位移为虚位移之一非定常约束：虚位移一般不是可能位移多种可能微分2024/2/615理论力学CAI分析力学基础独立坐标虚位移描述1分析动力学基础/虚位移原理/虚位移自由度独立（广义）坐标约束方程非独立坐标非独立坐标与独立坐标虚位移间关系约束方程微分等时变分2024/2/616理论力学CAI分析力学基础描述2分析动力学基础/虚位移原理/虚位移另外定义独立（广义）坐标约束方程约束方程微分等时变分笛卡尔坐标与独立坐标虚位移间关系2024/2/617理论力学CAI分析力学基础分析动力学基础/虚位移原理/虚位移/例[例]质量为m，摆长为l的单摆求摆笛卡儿坐标与独立坐标虚位移的关系2024/2/618理论力学CAI分析力学基础分析动力学基础/虚位移原理/虚位移/解[解]惯性基方法1笛卡儿坐标约束方程笛卡儿坐标虚位移等时变分定义独立（广义）坐标非独立坐标笛卡儿坐标与独立坐标虚位移的关系非独立坐标与独立坐标虚位移的关系2024/2/619理论力学CAI分析力学基础分析动力学基础/虚位移原理/虚位移/解惯性基方法2笛卡儿坐标自由度另外定义独立（广义）坐标约束方程等时变分笛卡儿坐标与独立坐标虚位移的关系比较合理选取广义坐标是有意义的2024/2/620理论力学CAI分析力学基础分析动力学基础/虚位移原理/虚位移/例[例]r曲柄滑块机构，曲柄长r，连杆长l该机构只有一个独立变量令曲柄的转角j为广义坐标l求点A与B的虚位移与广义坐标虚位移的关系2024/2/621理论力学CAI分析力学基础分析动力学基础/虚位移原理/虚位移/解[解]参考基：O方法1（坐标法）写出点A的坐标与广义坐标的关系等时变分写出点B的坐标与广义坐标的关系等时变分附加几何关系等时变分2024/2/622理论力学CAI分析力学基础分析动力学基础/虚位移原理/虚位移/解参考基：O方法2（速度法）写出点A的速度与广义速度的关系方向设定2024/2/623理论力学CAI分析力学基础分析动力学基础/虚位移原理/虚位移/解参考基：O写出点B的速度与广义速度的关系连杆的长度不可改变，点A与点B的速度矢量在杆上的投影相等2024/2/624理论力学CAI分析力学基础虚位移原理前言虚位移虚位移原理及其应用

广义力质点系平衡条件

分析动力学基础/虚位移原理2024/2/625理论力学CAI分析力学基础虚位移原理与应用原理描述分析动力学基础/虚位移原理/虚位移原理与应用具有双面理想约束的质点系，其平衡的充分必要条件为：系统内所有主动力对于质点系的任意虚位移所作的元功之和为零，即元功dW称为虚功，故虚位移原理也称为虚功原理

2024/2/626理论力学CAI分析力学基础应用分析动力学基础/虚位移原理/虚位移原理与应用讨论质点系平衡优点：直接给出了主动力之间的关系而无需顾及理想约束力2024/2/627理论力学CAI分析力学基础分析动力学基础/虚位移原理/虚位移原理与应用/例[例]r曲柄滑块机构。在图示位置，系统受到力偶、铅垂力与水平力，该机构处于平衡l求这些主动力(偶)之间的关系

2024/2/628理论力学CAI分析力学基础分析动力学基础/虚位移原理/虚位移原理与应用/解[解]参考基：以系统为对象虚功原理O定义虚位移定义独立坐标的变分关系独立坐标的变分平衡的充要条件

平衡位置已知主动力间的关系平衡位置主动力已知2024/2/629理论力学CAI分析力学基础分析动力学基础/虚位移原理/虚位移原理与应用/例[例]图示机构是由8根连杆铰接成3个相同的菱形。菱形的边长为b，铰O固定，铰A、B与C限定在铅垂线上运动。不计各杆的重量求机构在如图所示位置处于平衡时，力FA与FC的比2024/2/630理论力学CAI分析力学基础分析动力学基础/虚位移原理/虚位移原理与应用/解[解]参考基：一个自由度定义角j为广义坐标虚功原理虚位移的关系定义虚位移独立坐标的变分平衡的充要条件

在此条件下任何位置都平衡

2024/2/631理论力学CAI分析力学基础应用：平衡态理想约束力的计算分析动力学基础/虚位移原理/虚位移原理与应用将待求约束力相关的约束解除，把该约束力作为主动力处理，从而可得到它与主动力的关系

每次解除一个自由度

2024/2/632理论力学CAI分析力学基础[例]分析动力学基础/虚位移原理/虚位移原理与应用/例图示一三孔拱桥，不计桥自重，桥上有两集中载荷求支座C的理想约束力2024/2/633理论力学CAI分析力学基础[解]分析动力学基础/虚位移原理/虚位移原理与应用/解解除约束C，加上约束反力系统有一个自由度

广义坐标

虚功原理参考基：定义虚位移2024/2/634理论力学CAI分析力学基础分析动力学基础/虚位移原理/虚位移原理与应用/解参考基：虚位移的关系（速度法）瞬心O方向方向瞬时平动方向2024/2/635理论力学CAI分析力学基础分析动力学基础/虚位移原理/虚位移原理与应用/解参考基：平衡的充要条件

2024/2/636理论力学CAI分析力学基础小结写出主动力的虚功的表达式通过运动学的关系作等时变分，得到各点的虚位移与广义坐标变分的关系式坐标法速度法代入虚功的表达式，得到只含独立坐标变分的等式得到平衡充要条件已知主动力可求平衡位形已知平衡位形可求主动力应满足的关系为了求理想约束力，需通过释放约束，将该约束力作主动力处理分析动力学基础/虚位移原理/虚位移原理与应用2024/2/637理论力学CAI分析力学基础虚位移原理前言虚位移虚位移原理及其应用

广义力质点系平衡条件

分析动力学基础/虚位移原理2024/2/638理论力学CAI分析力学基础广义力质点系平衡条件广义力

质点系平衡条件计算广义力的方法势力场中质点系平衡条件与稳定性分析动力学基础/虚位移原理/广义力质点系平衡条件2024/2/639理论力学CAI分析力学基础广义力分析动力学基础/虚位移原理/广义力质点系平衡条件质点系质点系笛卡儿坐标阵不独立自由度定义独立（广义）坐标约束方程2024/2/640理论力学CAI分析力学基础分析动力学基础/虚位移原理/广义力质点系平衡条件广义坐标约束方程笛卡儿坐标阵等时变分主动力的虚功令2024/2/641理论力学CAI分析力学基础分析动力学基础/虚位移原理/广义力质点系平衡条件广义坐标约束方程笛卡儿坐标阵主动力的虚功作用于系统所有主动力关于广义坐标wj

的广义力广义力的量纲取决于广义坐标的量纲当wj为长度时，Qj为力量纲当wj为角度时，Qj为力偶量纲2024/2/642理论力学CAI分析力学基础分析动力学基础/虚位移原理/广义力质点系平衡条件/例[例]rlO2024/2/643理论力学CAI分析力学基础质点系平衡条件分析动力学基础/虚位移原理/广义力质点系平衡条件虚位移原理具有双面理想约束的质点系，其平衡的充分必要条件为所有关于广义坐标的广义力均为零2024/2/644理论力学CAI分析力学基础分析动力学基础/虚位移原理/广义力质点系平衡条件/例[例]rlO2024/2/645理论力学CAI分析力学基础计算广义力的方法方法1列出所有主动力的虚功根据约束方程推导虚位移与广义坐标虚位移的关系进行广义坐标虚位移的同类项合并，即得到关于各广义坐标的广义力方法2

取某广义坐标的变分dwj，令其他广义坐标的变分为零计算由于该变分引起的各主动力所作的元虚功dWj分析动力学基础/虚位移原理/广义力质点系平衡条件2024/2/646理论力学CAI分析力学基础分析动力学基础/虚位移原理/广义力质点系平衡条件/例[例]图示一双摆，摆长分别为l1与l2，质量分别为m1与m2在摆端B上受到一水平力求系统平衡时，双摆的位形2024/2/647理论力学CAI分析力学基础分析动力学基础/虚位移原理/广义力质点系平衡条件/解[解]质心C1坐标主动力的虚功参考基：系统有两个自由度取广义坐标质心C2坐标点B坐标2024/2/648理论力学CAI分析力学基础分析动力学基础/虚位移原理/广义力质点系平衡条件/解求广义力参考基：令主动力的虚功2024/2/649理论力学CAI分析力学基础分析动力学基础/虚位移原理/广义力质点系平衡条件/解求广义力参考基：令主动力的虚功2024/2/650理论力学CAI分析力学基础分析动力学基础/虚位移原理/广义力质点系平衡条件/解平衡充要条件平衡位形2024/2/651理论力学CAI分析力学基础势力场中质点系平衡条件与稳定性势力场质点系平衡条件平衡稳定性分析动力学基础/虚位移原理/势力场质点系平衡条件与稳定性2024/2/652理论力学CAI分析力学基础势力场质点系平衡条件广义力分析动力学基础/虚位移原理/势力场质点系平衡条件与稳定性质点系有势力势函数主动力2024/2/653理论力学CAI分析力学基础分析动力学基础/虚位移原理/势力场质点系平衡条件与稳定性质点系势函数或广义力2024/2/654理论力学CAI分析力学基础平衡条件分析动力学基础/虚位移原理/势力场质点系平衡条件与稳定性在势力场中，质点系在平衡位形处的势能取极值或2024/2/655理论力学CAI分析力学基础平衡稳定性定义分析动力学基础/虚位移原理/势力场质点系平衡条件与稳定性当质点系在某平衡位形处受到微小扰动时，其位形只在平衡位置附近运动而不产生明显的偏离，则称为该平衡位形是稳定的，否则称为不稳定

在实际问题中只有稳定的平衡位形才可能存在稳定不稳定2024/2/656理论力学CAI分析力学基础拉格朗日-狄利克雷(P.G.L.Dirichlet)定理分析动力学基础/虚位移原理/势力场质点系平衡条件与稳定性若质点系在平衡位形上的势能具有极小值，则该平衡位形是稳定的李亚普诺夫(A.M.Lyapunov)定理若质点系在平衡位形上的势能取极大，则平衡位置不稳定稳定不稳定2024/2/657理论力学CAI分析力学基础多元函数极值判断的一些结论分析动力学基础/虚位移原理/势力场质点系平衡条件与稳定性单自由度系统

平衡位形

若势能V(w)的不等于零的最低阶导数是偶数阶平衡位位形w=w*为稳定V(w*)取极小在w=w*为正在w=w*为负V(w*)取极大平衡位位形w=w*为不稳定2024/2/658理论力学CAI分析力学基础分析动力学基础/虚位移原理/势力场质点系平衡条件与稳定性两自由度系统

平衡位形

平衡位位形w=w*为稳定V(w*)取极小如果2024/2/659理论力学CAI分析力学基础分析动力学基础/虚位移原理/势力场质点系平衡条件与稳定性/例[例]一质量为m的小球A套在一半径为r的圆环上，圆环平面在铅垂平面内