专题09正弦定理（5种题型）（原卷版）

专题09正弦定理（5种题型）思维导图核心考点聚焦题型一：已知三角形两角及一边解三角形题型二：已知三角形两边及一边的对角解三角形题型三：判断三角形形状的判断题型四：求三角形面积题型五：正弦定理的实际应用如图，在半径为的圆中，作直径，在圆周上任取异于、两点的一点点，连接、，在中将角、及所对边的边长分别记作、及，则，并且.在中，，，.故可得（为外接圆半径）以上是初三我们学习的直角三角形的求解问题，但在我们高中阶段所遇到的三（xiao）角（guai）形（shou）往往不再是直角三角形，而是“进化”为斜三（da）角（guai）形（shou）.【Attention】斜三角形=锐角三角形+钝角三角形.在三角形的三个角和三条边这6个元素中，经常会遇到已知其中三个元素（至少有一个元素为边长）求其他元素的问题，这称为解三角形.为此，需要知道边和角之间的数量关系，从而有了今天我们要学习的正弦定理.如图，在斜（钝角）中，同理可得由此可知，三角形的面积等于任意两边与它们夹角正弦值的乘积的一半，即三角形的面积公式为.将上式同时除以，就得到，即.这样，我们就得到了正弦定理：在一个三角形中，各边与所对角的正弦的比值相等，即（为外接圆半径）换言之，，.题型一：已知三角形两角及一边解三角形【例1】在△ABC中，已知A＝60°，B＝45°，c＝2，解这个三角形。【变式】在中，已知，，，解这个三角形.题型二：已知三角形两边及一边的对角解三角形【例2】在△ABC中，已知c＝eq\r(6)，A＝45°，a＝2，解这个三角形；【变式】在中，已知，，，解这个三角形.题型三：判断三角形形状的判断【例3】在△ABC中，acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－A))＝bcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－B))，判断△ABC的形状。【变式1】在中，已知，判断的形状.【变式2】在中，已知，，判断的形状.【变式3】.在△ABC中，若，试判断△ABC的形状.题型四：求三角形面积【例5】已知△ABC的外接圆半径为2，若，设AB的边长为，求△ABC的面积.【变式1】.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则△ABC的面积.【变式2】.在△ABC中，∠A＝60°，.（1）求的值；（2）若，求△ABC的面积.题型五：正弦定理的实际应用【例5】.2020年新冠肺炎肆虐全球，抗击新冠肺炎的有效措施之一是早发现，早隔离.某地发现疫情，卫生部门欲将一块如图所示的四边形区域ABCD沿边界用固定髙度的板材围城一个封闭隔离区，经测量，边界AB与AD的长都是200米，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°.（1）若∠ADC＝105°，求BC的长；（结果精确到米）（2）围成该区域至多需要多少米长度的板材？（不计损耗，结果精确到米）【变式】.在地面上一点A测得一电视塔塔尖的仰角为45°，再向塔底方向前进100米，测得塔尖的仰角为60°，则此电视塔的高度为米（精确到0.1米）.一、填空题1、在△ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝eq\f(1,3)，则sinB＝2、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a＝eq\r(3)bsinA，则sinB＝3、在△ABC中，a＝7，c＝5，则sinA∶sinC的值是4、在△ABC中，a＝bsinA，则△ABC一定是三角形5、已知△ABC外接圆半径是2，A＝60°，则BC边长为________．6、在△ABC中，A＝60°，a＝eq\r(13)，则eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)等于7、在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2eq\r(3)，则△ABC的面积等于.8、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝eq\f(4,5)，cosC＝eq\f(5,13)，a＝1，则b＝.9、下列条件判断三角形解的情况，正确的是（填序号）；①a＝8，b＝16，A＝30°，有两解；②b＝18，c＝20，B＝60°，有一解；③a＝15，b＝2，A＝90°，无解；④a＝40，b＝30，A＝120°，有一解．10、在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为11、在△ABC中，a＝2bcosC，则这个三角形一定是三角形12、在△ABC中，若(sinA＋sinB)(sinA－sinB)＝sin2C，则△ABC是________三角形．二、选择题13、在△ABC中，若eq\f(sinA,a)＝eq\f(cosC,c)，则C的值为()A．30°B．45°C．60°D．90°14、在△ABC中，b＋c＝eq\r(2)＋1，C＝45°，B＝30°，则()A．b＝1，c＝eq\r(2)B．b＝eq\r(2)，c＝1C．b＝eq\f(\r(2),2)，c＝1＋eq\f(\r(2),2) D．b＝1＋eq\f(\r(2),2)，c＝eq\f(\r(2),2)15、在△ABC中，若，则C的值为（）A．30° B．45° C．60° D．90°16、在△中，，，，则满足条件的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定三、解答题17、已知b＝10，c＝5eq\r(6)，C＝60°，解三角形．18、在△ABC中，若b＝5，B＝eq\f(π,4)，tanA＝2，求c的值．19、在△ABC中，已知c＝10，eq\f(cosA,cosB)＝eq\f(b,a)＝eq\f(4,3)，求a，b及△ABC的内切圆半径20、在△ABC中，A＝eq\f(π,3)，B