【数学】2024年高考第一次模拟考试（新高考Ⅰ卷02）（解析版）

2024年高考第一次模拟考试（新高考Ⅰ卷02）数学第I卷（选择题）一、单项选择题1．已知复数满足，则（

）A． B． C．2 D．1【答案】C【解析】由题意得，则，故选：C.2．已知集合，，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，且，因为所以.故选：C.3．某戏曲学院图书馆藏有四部戏曲名著各10本，由于该戏曲学院的部分学生对《牡丹亭》这部戏曲产生了浓厚的兴趣，该戏曲学院图书馆决定购买一批《牡丹亭》戏曲书籍（其他三部数量保持不变）若干本．若要保证购买后在该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著中任取一本，使得能取到一本《牡丹亭》戏曲书籍的概率不小于0.6，则该戏曲学院图书馆需至少购买《牡丹亭》戏曲书籍（

）A．25本 B．30本 C．35本 D．40本【答案】C【解析】设需购买《牡丹亭》戏曲书籍本，则购买后该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著共本，从中任取1本有种取法，《牡丹亭》戏曲书籍共本，从中任取1本有种取法，从该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著中任取一本，能取到一本《牡丹亭》戏曲书籍的概率为，根据题意可得，解得，即该戏曲学院图书馆需至少购买《牡丹亭》戏曲书籍35本.故选：C4．某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过该设备过滤后排放，以减少对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量（单位：）与过滤时间（单位：）的关系为（，是正常数）.若经过过滤后减少了的污染物，在此之后为了使得污染物减少到原来的还需要的时长大约为（参考数据：）（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为经过过滤后减少了的污染物，所以，解得.当时，，解得.故还需要大约93h.故选：5．如图，在中，，，P为上一点，且满足，若，，则的值为（

）

A． B．3 C． D．【答案】C【解析】因为，所以，所以，因为C，P，D三点共线，所以，即，所以，又，所以.故选：C.6．法国数学家傅里叶用三角函数诠释美妙音乐，代表任何周期性声音和震动的函数表达式都是形如的简单正弦型函数之和，这些正弦型函数各项的频率是最低频率的正整数倍（频率是指单位时间内完成周期性变化的次数，是描述周期运动频繁程度的量），其中频率最低的一项所代表的声音称为第一泛音，第二泛音的频率是第一泛音的2倍，第三泛音的频率是第一泛音的3倍…….例如，某小提琴演奏时发出声音对应的震动模型可以用如下函数表达：，（其中自变量表示时间），每一项从左至右依次称为第一泛音､第二泛音､第三泛音.若一个复合音的数学模型是函数（从左至右依次为第一泛音､第二泛音），给出下列结论：①的一个周期为；②的图象关于直线对称；③的极小值为；④在区间上有2个零点.其中正确结论的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【解析】对于①，的最小正周期为，故频率为，由题意得的频率为，故最小正周期为，因为的最小正周期为，的最小正周期为，故的最小正周期为，故①错误；对于②，，则，故，故的图象不关于直线对称，②错误；对于③，，，又，令得，，故故在区间上单调递增，令得，，故故在区间上单调递减，故在处取得极小值，此时，故，故的极小值为，③正确；对于④，，因为，所以当时，，故，当时，，故，在区间上有3个零点，④错误.故选：A7．已知正三棱柱的底面边长为，高为3，截去该三棱柱的三个角（如图1所示，D，E，F分别是三边的中点），得到几何体如图2所示，则所得几何体外接球的表面积是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】易知△DEF的外心即为的外心，如图，设△DEF的外心为，△ABC的外心为，则所得几何体外接球的球心O在直线上，因为正三棱柱得底面边长为，所以，，所以由正弦定理可得：，所以，同理，，设外接球的半径为R，则，联立解得：，，所以外接球的表面积为.故选：A.8．设，，，则下列正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】先来证明当时，.令，，则，所以函数在上单调递增，可得，即得；令，，则，所以函数在上单调递增，可得，即得；所以当时，.因为，由，因为，所以，则，所以，又，所以，所以.故选：D.二、多项选择题9．如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，则下列说法正确的是（

）

A．四面体的体积为B．向量在方向上的投影向量为C．直线与直线垂直D．直线与平面所成角的正弦值为【答案】AB【解析】以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立空间坐标系，如图所示：

则，，，，，，，对于A，因为，故正确；对于B，因为，，所以，，，所以在方向上的投影向量为：，故正确；对于C，因为，，，所以与不垂直，即直线与直线不垂直，故错误；对于D，，在正方体中，易知平面，得平面，即平面的法向量，设直线与平面的夹角为，则，故错误.故选：AB10．已知函数，其中e是自然对数的底数，则下列说法中正确的有（

）A．为周期函数B．的图像关于点对称C．在区间上是减函数D．关于x的方程有实数解【答案】ABC【解析】选项A：，是周期函数，故A正确；选项B：，所以函数关于点中心对称，故B正确；选项C：时，，所以函数在区间上为减函数，故C正确；选项D：，，当且仅当，时方程有解，即，同时成立时方程有解，但和无法同时满足，所以方程没有实数解，故D错误．故选：ABC.11．已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交抛物线于两点，则下列结论正确的是（

）A．抛物线的准线方程为 B．直线与抛物线相切C．为定值 D．【答案】ABD【解析】对于A：因为点在抛物线：上，则，解得，所以抛物线：，其准线为，故A正确；对于B：令，则，可得，即抛物线在A点处切线斜率与直线AB斜率相同，所以直线AB与抛物线C相切，故B正确；对于C：由题意可知，直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为，联立方程，消去y得：，可得，得，且，因为，故C错误；对于D：由题意可知，因为，则，所以，故D正确.故选：ABD．

12．定义在上的函数的导函数为，对于任意实数，都有，且满足，则（

）A．函数为奇函数B．不等式的解集为C．若方程有两个根，，则D．在处的切线方程为【答案】AC【解析】对于A，，由可得，所以，且定义域为，故为奇函数，A正确，由于，所以为常数，则又在中，令，则，故，故，所以，对于B,可得，又，故，则，故B错误，对于C，为单调递增函数，而为开口向上，且对称轴为的二次函数，且是的两个交点，的两个交点设为，则，且，又为单调递增函数，所以，所以，C正确，由得，所以在处的切线方程为，D错误，故选：AC.第II卷（非选择题）三、填空题13．已知的展开式中的系数为，则．【答案】【解析】由二项式定理可知的通项为，故展开式中含的项分别为，则的展开式中含的项为，则，解得．故答案为：．14．已知，点在圆上，且，则的取值范围为．【答案】【解析】由，可知点在以点为圆心，半径为的圆上，即点在圆上，所以问题等价于圆与圆有交点，所以，所以，解得或．故答案为：.15．已知曲线与曲线（）相交，且在交点处有相同的切线，则.【答案】【解析】易知：必有.设两曲线的交点为，，，由题意：，两式相除得：，∵，∴.代入得：解得.故答案为：16．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，连接并延长，交抛物线于点，若中点的纵坐标为，则当最大时，．【答案】16【解析】由题可得抛物线焦点为，准线为，设，则由抛物线定义可得，即，由题意可得中点的纵坐标为，则，由余弦定理可得，则，且，可得，当且仅当取等号，此时为等边三角形，轴，直线AD斜率为或，如图，设此时AD方程为，将其与抛物线联立有，消去y得，可知，设D，由韦达定理有，则，所以由抛物线定义有.故答案为：.四、解答题17．已知数列满足：，数列为等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)求和：．解：(1)因为，，数列为等比数列，所以，，则，即是以为首项，为公比的等比数列，所以，则.(2).18．已知中，内角所对的边分别为，且满足.(1)若，求；(2)求的取值范围.解：(1)解法一：因为，由正弦定理得，可得，即，又因为，由余弦定理得，即，联立方程组，可得，即，所以，由余弦定理定理得，因为，所以.解法二：因为，由正弦定理得，整理得，又因为，可得，所以，即，可得，即，因为，所以，所以，所以.(2)由(1)知，可得，且，所以，由三角形三边关系，可得，可得，令，可得，其中，所以函数，所以，所以的取值范围是.19．如图，是四棱柱，侧棱底面，底面是梯形，，．

(1)求证：平面平面；(2)E是底面所在平面上一个动点，是否存在点E使得与平面夹角的正弦值为？若存在，求点E到平面距离的最小值；若不存在，请说明理由．(1)证明：取中点，连接，则，所以四边形是菱形，是正三角形，所以，，因为，所以，所以，所以，因为底面，平面，所以，又因为平面，平面，，所以平面，因为平面，所以平面平面(2)解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，设，所以，，，设平面的一个法向量为，则，所以，取得：，所以，，因为与平面夹角的正弦值为，所以，即：，所以，所以由点到平面的距离公式得：，所以当时，点到平面距离的最小，最小值为20.已知函数．(1)试判断函数的单调性；(2)若在上恒成立，求实数的取值范围．解：(1)由已知得，故函数在，上单调递减；(2)由在上恒成立，即在上恒成立，设，则，令，得，令，得，即在上单调递减，在上单调递增，所以，所以.21．某中学在运动会期间，随机抽取了200名学生参加绳子打结计时的趣味性比赛，并对学生性别与绳子打结速度快慢的相关性进行分析，得到数据如下表：性别速度合计快慢男生65女生55合计110200(1)根据以上数据，能否有99%的把握认为学生性别与绳子打结速度快慢有关？(2)现有n根绳子，共有2n个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束.（i）当，记随机变量X为绳子围成的圈的个数，求X的分布列与数学期望；（ii）求证：这n根绳子恰好能围成一个圈的概率为附：0.1000.0500.0250.010k2.7063.8415.0246.635(1)解：依题意，完善列联表如下，性别速度合计快慢男生6535100女生4555100合计11090200所以.故有的把握，认为学生性别与绳子打结速度快慢有关.(2)（i）解：由题知，随机变量的所有可能取值为，，，所以的分布列为123所以.（ii）证明：不妨令绳头编号为，可以与绳头1打结形成一个圆的绳头除了1，2外有种可能，假设绳头1与绳头3打结，那么相当于对剩下根绳子进行打结，令根绳子打结后可成圆的种数为，那么经过一次打结后，剩下根绳子打结后可成圆的种数为，由此可得，，所以，所以，显然，故；另一方面，对个绳头进行任意2个绳头打结，总共有；所以.22．已知点是圆：上一动点（为圆心），点的坐标为，线段的垂直平分线交线段于点，动点的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)，是曲线上的两个动点，为坐标原点，直线、的斜率分别为和，且，则的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；(3)设为曲线上任意一点，延长至，使，点的轨迹为曲线，过点的直线交曲线于、两点，求面积的最大值．解：(1)因为线段的