2024届黑龙江省哈尔滨市第三中学数学高二下期末综合测试试题含解析

2024届黑龙江省哈尔滨市第三中学数学高二下期末综合测试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．生活中有这样一个实际问题：如果一杯糖水不够甜，可以选择加糖的方式，使得糖水变得更甜．若，则下列数学模型中最能刻画“糖水变得更甜”的是（）A． B．C． D．2．设，，，则A． B． C． D．3．已知变量，由它们的样本数据计算得到的观测值，的部分临界值表如下：0.100.050.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.879以下判断正确的是（）A．在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为变量有关系B．在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为变量没有关系C．有的把握说变量有关系D．有的把握说变量没有关系4．甲乙等人参加米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是（）A． B． C． D．5．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好体育，得到表：参照附表，得到的正确结论是附：由公式算得：附表：0.250.150.100.050.0250.0100.0051.3232.7022.7063.8415.0246.6357.879A．有以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关”B．有以上的把握认为“爱好体育运动与性别无关”C．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好体育运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好体育运动与性别无关”6．下列函数中，是偶函数且在区间上单调递减的函数是（）A． B． C． D．7．设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是A．， B．C．， D．8．己知O为坐标原点，设F1、F2分别是双曲线x24-y2=1的左、右焦点，P为双曲线左支上任一点，过点A．12 B．1 C．2 D．9．将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象如图所示，则函数的解析式是（）A．（） B．（）C．（） D．（）10．已知6个高尔夫球中有2个不合格，每次任取1个，不放回地取两次．在第一次取到合格高尔夫球的条件下，第二次取到不合格高尔夫球的概率为（）A． B． C． D．11．定义1分的地球球心角所对的地球大圆弧长为1海里．在北纬45°圈上有甲、乙两地，甲地位于东经120°，乙位于西经150°，则甲乙两地在球面上的最短距离为（）A．5400海里 B．2700海里 C．4800海里 D．3600海里12．椭圆C：x24+y23=1的左右顶点分别为AA．[12,34]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若关于的不等式的解集是空集，则实数的取值范围是__________.14．设，则______.15．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，则______.16．已知复数z＝，其中i是虚数单位，则z的实部为________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知中，，且.（1）求m；（2）求.18．（12分）已知函数，。（1）求的解析式；（2）求在处的切线方程.19．（12分）已知函数，.（1）若在区间上单调，求的取值范围；（2）设，求证：时，.20．（12分）设函数，.（1）求函数的单调递增区间；（2）若函数与在区间内恰有两个交点，求实数的取值范围.21．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，且过点．（1）求椭圆的方程；（2）设点，点在轴上，过点的直线交椭圆交于，两点．①若直线的斜率为，且，求点的坐标；②设直线，，的斜率分别为，，，是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．22．（10分）为了让观赏游玩更便捷舒适，常州恐龙园推出了代步工具租用服务.已知有脚踏自行车与电动自行车两种车型，采用分段计费的方式租用.型车每分钟收费元（不足分钟的部分按分钟计算），型车每分钟收费元（不足分钟的部分按分钟计算），现有甲乙丙丁四人，分别相互独立地到租车点租车骑行（各租一车一次），设甲乙丙丁不超过分钟还车的概率分别为，并且四个人每人租车都不会超过分钟，甲乙丙均租用型车，丁租用型车．（1）求甲乙丙丁四人所付的费用之和为25元的概率；（2）求甲乙丙三人所付的费用之和等于丁所付的费用的概率；（3）设甲乙丙丁四人所付费用之和为随机变量，求的概率分布和数学期望．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

由题意可得糖水甜可用浓度体现，设糖的量为，糖水的量设为，添加糖的量为，对照选项，即可得到结论．【题目详解】由题意，若，设糖的量为，糖水的量设为，添加糖的量为，选项A，C不能说明糖水变得更甜，糖水甜可用浓度体现，而，能体现糖水变甜；选项D等价于，不成立，故选：B．【题目点拨】本题主要考查了不等式在实际生活中的运用，考查不等式的等价变形，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2、D【解题分析】

依换底公式可得，从而得出，而根据对数函数的单调性即可得出，从而得出，，的大小关系．【题目详解】由于，；，又，．故选．【题目点拨】本题主要考查利用对数函数的单调性比较大小以及换底公式的应用．3、A【解题分析】分析：根据所给的观测值，对照临界值表中的数据，即可得出正确的结论．详解：∵观测值，

而在观测值表中对应于3.841的是0.05，

∴在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为变量有关系．

故选：A．点睛：本题考查了独立性检验的应用问题，是基础题．4、D【解题分析】由题得甲不跑第一棒的总的基本事件有个，甲不跑第一棒，乙不跑第二棒的基本事件有,由古典概型的概率公式得在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是.故选D.5、A【解题分析】

根据参照表和卡方数值判定，6.635<7.8<7.879,所以有以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关”.【题目详解】因为6.635<7.8<7.879,所以有以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关”，故选A.【题目点拨】本题主要考查独立性检验，根据数值所在区间能描述统计结论是求解关键.6、D【解题分析】

由奇函数和偶函数图象的对称性，根据的图象和的定义域便可判断出错误，而由的单调性便可判断选项错误，从而得出正确．【题目详解】选项：根据的图象知该函数非奇非偶，可知错误；选项：的定义域为，知该函数非奇非偶，可知错误；选项：时，为增函数，不符合题意，可知错误；选项：，可知函数为偶函数，根据其图象可看出该函数在上单调递减，可知正确.本题正确选项：【题目点拨】本题考查奇函数和偶函数图象的对称性，函数单调性的问题，属于基础题．7、D【解题分析】

由正态分布的性质，结合图像依次分析选项即可得到答案。【题目详解】由题可得曲线的对称轴为，曲线的对称轴为，由图可得，由于表示标准差，越小图像越瘦长，故，故A,C不正确；根据图像可知，，，；所以，，故C不正确，D正确；故答案选D【题目点拨】本题考查正态分布曲线的特点以曲线所表示的意义，考查正态分布函数中两个特征数均值和方差对曲线的位置和形状的影响，正态分布曲线关于对称，且越大图像越靠右边，表示标准差，越小图像越瘦长，属于基础题。8、C【解题分析】

根据中位线性质得到OH=12【题目详解】如图所示：延长F1H交PF∠F1PF2的平分线为PA在ΔF1F2B中，O是F1⇒OH=故答案选C【题目点拨】本题考查了双曲线的性质，利用中位线性质将OH=129、A【解题分析】设，由的图像可知，函数的周期为，所以，将代入得，所以，向右平移后得到.10、B【解题分析】

记事件第一次取到的是合格高尔夫球，事件第二次取到不合格高尔夫球，由题意可得事件发生所包含的基本事件数，事件发生所包含的基本事件数，然后即可求出答案.【题目详解】记事件第一次取到的是合格高尔夫球事件第二次取到不合格高尔夫球由题意可得事件发生所包含的基本事件数事件发生所包含的基本事件数所以故选：B【题目点拨】本题考查的是条件概率，较简单.11、D【解题分析】

求出甲乙两地的球心角，根据比例关系即可得出答案。【题目详解】地球表面上从甲地（北纬45°东经120°）到乙地（北纬45°西经150°），乙两地对应的AB的纬圆半径是,经度差纬90°，所以AB=R,球心角为60°，最短距离为【题目点拨】求出甲乙两地的球心角，根据比例关系即可得出答案。12、B【解题分析】设P点坐标为(x0,y0)，则于是kPA1∵kPA2【考点定位】直线与椭圆的位置关系二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、(－∞，6]【解题分析】由题意可设，则当时，；当时，；当时，不等式可化为。在平面直角坐标系中画出函数的图像如图，结合图像可知当，不等式的解集是空集，则实数的取值范围是，应填答案。14、1.【解题分析】分析：首先求得复数z，然后求解其模即可.详解：由复数的运算法则有：，则：.点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15、0.6【解题分析】

由题意知，，根据二项分布的概率、方差公式计算即可.【题目详解】由题意知，该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，所以，所以或．

由，得，

即，所以，

所以，

故答案为：．【题目点拨】本题主要考查的是二项分布问题，根据二项分布求概率，再利用方差公式求解即可．16、【解题分析】分析：先化简复数z＝,再确定复数z的实部.详解：由题得z＝=，所以复数z的实部为，故答案为.点睛：(1)本题主要考查复数的运算和复数的实部的概念，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本运算能力.(2)复数的实部是a,虚部为b，不是bi.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）29524【解题分析】

（1）由二项式定理求出第4项和第7项的系数，代入已知可得；（2）令得所有项系数和，令得奇数项系数和与偶数项系数和的差，两者结合后可得偶数项系数和，是常数项易求，从而可得，【题目详解】（1）因为，，依题意得：，因为，所以，得.（2）令得：.①令得：.②由①②得：，即.又，所以【题目点拨】本题考查二项式定理的应用和赋值法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，导向对发展数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注.18、（1）；（2）【解题分析】分析：（1）求出函数的导数，利用已知条件列出方程，求解即可；（2）求出切线的斜率，然后求解切线方程．详解：（1）依题意有①②由①②解有所以的解析式是（2）在处的切线的斜率所以有即故所求切线的方程为.点睛：这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.19、（1）或（2）见解析【解题分析】

（1）在区间上单调且是增函数，所以或，进而得到答案．（2）令，，由的导函数研究的单调性并求出最小值，则可知在时是增函数，从而证得答案．【题目详解】解：（1）∵是增函数．又∵在区间上单调，∴或．∴或（2）令．∵，．∴时，是减函数，时，是增函数，∴时，．∵，∴．∴在时是增函数．∴，即．【题目点拨】本题考查函数的单调性以及利用导函数证明不等式问题，解题的关键是令，属于偏难题目．20、(1);(2).【解题分析】分析：（1）求函数的导数，解便得增区间．（2）要使函数与在区间内恰有两个交点，也就是让函数在[1，3]内有两个零点，令，下面要做的就是考查在区间内最值情况，若有最大值，则限制最大值大于0，然后两个端点值都小于0，若有最小值，情况恰好相反．详解：（1），∵，时，，所以函数的单调递增区间是.（2）令，则，∴时，，时，，∴是的极大值，也是在上的最大值.∵函数与在区间内恰有两个交点，∴函数在区间内有两个零点，则有，，.所以有.解得，所以的取值范围是.点睛：利用导数求函数的单调区间，这个不难掌握，注意做第二题，，.，这几个限制条件的得出，并掌握做这类题的方法．.21、（1）（2）①②存在，；【解题分析】

（1）根据椭圆离心率及过点，建立方程组，求解即可（2）①设直线的方程为：,联立椭圆方程，利用弦长公式即可求出m,得到点的坐标②直线分斜率为0与不为0两种情况讨论，斜率为0时易得存在，斜率不为0时，联立直线与椭圆方程，利用恒成立，可化简知存在定点.【题目详解】（1）∵椭圆：的离心率为，且过点．∴，，∴椭圆的方程为：．（2）设，，①设直线的方程为：．．．，．，解得.∴．②当直线的斜率为0时，，，.由可得，解得，即.当直线的斜率不为0时，设直线的方程为．由.，．由可得，，..，∴当时，上式恒成立，存在定点，使得恒成立．【题目点拨】本题主要考查了椭圆的标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，定点问题，属于难题.22、（1）；（2）；（3）.【解题分析】

（1）“甲乙丙丁四人所付的费用之和为25元”，即4人均不超过30分钟。（2）即丁付20元，甲乙丙三人中有且只有一人付10，其余2人付5，分3种情况。用相互独立事件同时发生概率公式与互斥事件的和事件概率公式可求解。（3）根据分类可知随机变量的所有取值为25，30，35，40，45，50,求出概率及期望。【题目详解】（1）记“甲乙丙丁四人所付的费用之和为25元”为事件，即4人均不超过30分钟，则.答：求甲乙丙丁四人所付的费用之和为25元的概率是（2）由题意，甲乙丙丁在分钟以上且不超过分钟还车的概率分别为，设“甲乙