湖南省宁乡县一中2024届数学高二第二学期期末学业质量监测试题含解析

湖南省宁乡县一中2024届数学高二第二学期期末学业质量监测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．随机变量，且，则（）A．0.20 B．0.30 C．0.70 D．0.802．若函数在（0，2）内单调递减，则实数的取值范围为（）A．≥3 B．=3 C．≤3 D．0<<33．把边长为的正方形沿对角线折起，使得平面⊥平面，形成三棱锥的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为()A． B．C． D．4．在的展开式中的系数是（）A．40 B．80 C．20 D．105．用反证法证明命题“已知函数在上单调，则在上至多有一个零点”时，要做的假设是（）A．在上没有零点 B．在上至少有一个零点C．在上恰好有两个零点 D．在上至少有两个零点6．一个袋中装有大小相同的个白球和个红球，现在不放回的取次球，每次取出一个球，记“第次拿出的是白球”为事件，“第次拿出的是白球”为事件，则事件与同时发生的概率是（）A． B． C． D．7．函数是定义在上的奇函数，当时，，则A． B． C． D．8．等于()A． B．2 C．-2 D．+29．若曲线与曲线在它们的公共点处具有公共切线，则实数的值为（）A． B． C． D．10．已知复数，，.在复平面上，设复数，对应的点分别为，，若，其中是坐标原点，则函数的最大值为（）A． B． C． D．11．6名同学安排到3个社区，，参加志愿者服务，每个社区安排两名同学，其中甲同学必须到社区，乙和丙同学均不能到社区，则不同的安排方法种数为（）A．5 B．6 C．9 D．1212．若复数满足，其中为虚数单位，则在复平面上复数对应的点的坐标为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某天有10名工人生产同一零部件，生产的件数分别是：15、17、14、10、15、17、17、16、14、12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则a、b、c从小到大的关系依次是________14．已知函数是的导函数，若，则的______.（其中为自然对数的底数）15．已知实数，满足不等式组且的最大值为，则=_____．16．复数(为虚数单位)的共轭复数为，则_________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，（其中，且），（1）若，求实数的值；（2）能否从（1）的结论中获得启示，猜想出一个一般性的结论并证明你的猜想．18．（12分）2016年底某购物网站为了解会员对售后服务(包括退货、换货、维修等)的满意度，从2016年下半年的会员中随机调查了个会员，得到会员对售后服务的满意度评分如下：958875829094986592100859095778770899390848283977391根据会员满意度评分,将会员的满意度从低到高分为三个等级:满意度评分低于分分到分不低于分满意度等级不满意比较满意非常满意（1）根据这个会员的评分，估算该购物网站会员对售后服务比较满意和非常满意的频率；（2）以(1)中的频率作为概率，假设每个会员的评价结果相互独立.（i）若从下半年的所有会员中随机选取个会员,求恰好一个评分比较满意，另一个评分非常满意的概率；（ii）若从下半年的所有会员中随机选取个会员，记评分非常满意的会员的个数为，求的分布列及数学期望．19．（12分）若,且（1）求的最小值；（2）是否存在，使得？并说明理由.20．（12分）已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，求函数的最大值.21．（12分）已知二次函数,且,是否存在常数,使得不等式对一切实数恒成立?并求出的值.22．（10分）为降低养殖户养鸭风险，某保险公司推出了鸭意外死亡保险，该保单合同规定每只幼鸭投保2元，若生长期内鸭意外死亡，则公司每只鸭赔付12元.假设鸭在生长期内的意外死亡率为0.15，且每只鸭是否死亡相互独立.若某养殖户养鸭3000只，都投保该险种.（1）求该保单保险公司赔付金额等于保费时，鸭死亡的只数；（2）求该保单保险公司平均获利多少元.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】分析：由及可得．详解：∵，∴．故选B．点睛：本题考查正态分布，若随机变量中，则正态曲线关于直线对称，因此有，（）．2、A【解题分析】

由题可得：在恒成立.整理得：在恒成立.求得：，即可得：，问题得解．【题目详解】由题可得：在恒成立.即：在恒成立．又，所以.所以故选A【题目点拨】本题主要考查了导数与函数单调性的关系，还考查了恒成立问题解决方法，考查转化能力，属于中档题．3、C【解题分析】取BD的中点E，连结CE，AE，∵平面ABD⊥平面CBD，∴CE⊥AE，∴三角形直角△CEA是三棱锥的侧视图，∵BD=,∴CE=AE=，∴△CEA的面积S=××=，故选C.4、A【解题分析】

把按照二项式定理展开，可得的展开式中的系数.【题目详解】解：由的展开式中，，令，可得，可得的展开式中的系数是：，故选：A.【题目点拨】本题主要考查二项式展开式及二项式系数的性质，属于基础题型.5、D【解题分析】分析：利用反证法证明，假设一定是原命题的完全否定，从而可得结果.详解：因为“至多有一个”的否定是“至少有两个”，所以用反证法证明命题“已知函数在上单调，则在上至多有一个零点”时，要做的假设是在上至少有两个零点，故选D.点睛：反证法的适用范围是，（1）否定性命题；（2）结论涉及“至多”、“至少”、“无限”、“唯一”等词语的命题；（3）命题成立非常明显，直接证明所用的理论较少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明；（4）要讨论的情况很复杂，而反面情况较少．6、D【解题分析】

将事件表示出来，再利用排列组合思想与古典概型的概率公式可计算出事件的概率．【题目详解】事件：两次拿出的都是白球，则，故选D.【题目点拨】本题考查古典概型的概率计算，解题时先弄清楚各事件的基本关系，然后利用相关公式计算所求事件的概率，考查计算能力，属于中等题．7、D【解题分析】

利用奇函数的性质求出的值.【题目详解】由题得，故答案为：D【题目点拨】(1)本题主要考查奇函数的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)奇函数f(-x)=-f(x).8、D【解题分析】∵.故选D9、A【解题分析】分析：设公共点，求导数，利用曲线与曲线在它们的公共点处具有公共切线，建立方程组，即可求出a的值.详解：设公共点，，，曲线与曲线在它们的公共点处具有公共切线，，解得.故选：A.点睛：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查学生的计算能力，正确求导是关键.10、B【解题分析】

根据向量垂直关系的坐标运算和三角函数的最值求解.【题目详解】据条件，，，且，所以，，化简得，，当时，取得最大值为.【题目点拨】本题考查向量的数量积运算和三角函数的最值，属于基础题.11、C【解题分析】分析：该题可以分为两类进行研究，一类是乙和丙之一在A社区，另一在B社区，另一类是乙和丙在B社区，计算出每一类的数据，然后求解即可.详解：由题意将问题分为两类求解：第一类，若乙与丙之一在甲社区，则安排种数为种；第二类，若乙与丙在B社区，则A社区还缺少一人，从剩下三人中选一人，另两人去C社区，故安排方法种数为种；故不同的安排种数是种，故选C.点睛：该题考查的是有关分类加法计数原理，在解题的过程中，对问题进行正确的分类是解题的关键，并且需要将每一类对应的数据正确算出.12、C【解题分析】

利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【题目详解】z=，故选：C.【题目点拨】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、.【解题分析】

分析：将数据由小到大排列好，根据众数，中位数，平均数的概念得到相应的数据即可.详解：根据提干得到中位数为b=15，众数为c=17，平均数为=a.故.故答案为.点睛：这个题目考查了中位数，众数，平均数的概念和计算，较为基础,众数即出现次数最多的数据，中位数即最中间的数据，平均数即将所有数据加到一起，除以数据个数.14、【解题分析】

构造函数根据函数单调性解不等式得到答案.【题目详解】构造函数单调递增.故答案为【题目点拨】本题考查了函数的导数，利用函数的单调性解不等式，构造函数是解题的关键.15、【解题分析】作出可行域，目标函数可变为，令，作出，由平移可知直线过时取最大值，则．则．故本题应填．16、2【解题分析】

根据直接求解即可.【题目详解】本题正确结果：【题目点拨】本题考查复数模的求解，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）猜想：；证明见解析【解题分析】

（1）分别代入并化简，可得，即可求出答案；（2）猜想：；分别代入表达式，化简并整理即可证明.【题目详解】解：（1）.因为函数与具有相同的单调性，且都是单调函数，所以是单调函数..（2）由，猜想：.证明:.所以.【题目点拨】本题考查了归纳推理，考查了学生的推理能力，属于中档题.18、(1)可估算该购物网站会员对售后服务比较满意和非常满意的频率分别为和.(2)（i）；（ii）分布列见解析，0.6.【解题分析】试题分析：（1）由给出的个数据可得，非常满意的个数为，不满意的个数为，比较满意的个数为，由此可估算该购物网站会员对售后服务比较满意和非常满意的频率；（2）记“恰好一个评分比较满意，另一个评分非常满意”为事件，则.（ii）的可能取值为，由题意，随机变量由此能求出的分布列，数学期望及方差.试题解析：（1）由给出的个数据可得，非常满意的个数为，不满意的个数为，比较满意的个数为，，可估算该购物网店会员对售后服务比较满意和非常满意的频率分别为和，（2）（i）记“恰好一个评分比较满意，另一个评分非常满意”为事件，则.（ii）的可能取值为，，，，，则的分布列为由题可知.19、（1）；（2）不存在.【解题分析】

（1）由已知，利用基本不等式的和积转化可求，利用基本不等式可将转化为，由不等式的传递性，可求的最小值；（2）由基本不等式可求的最小值为，而，故不存在．【题目详解】（1）由，得，且当时取等号．故，且当时取等号．所以的最小值为；（2）由（1）知，．由于，从而不存在，使得成立．【考点定位】基本不等式．20、（1）的单调增区间为，；单调减区间为（2）【解题分析】

（1）函数求导数，分别求导数大于零小于零的范围，得到单调区间.（2）根据（1）中的单调区间得到最大值.【题目详解】解：（1）当时，，或；当时，．∴的单调增区间为，；单调减区间为．（2）分析可知的递增区间是，，递减区间是，当时，；当时，．由于，所以当时，．【题目点拨】本题考查了函数的单调区间，最大值，意在考查学生的计算能力.21、【解题分析】

由，令可得，结合，又利用恒成立可得，从而可得结果.【题目详解】存在常数使恒成立，因为，所以，即，又=0，所以，代人恒成立，得恒成立，得.故，.【题目点拨】本题主要考查二次函数的解析式以及一元二次不等式恒成立问题，属于难题.一元二次不等式恒成立问题主要方法：（1）若实数集上恒成立，考虑判别式小于零即可；（2