四川省眉山市仁寿一中南校区2024届数学高二第二学期期末检测模拟试题含解析

四川省眉山市仁寿一中南校区2024届数学高二第二学期期末检测模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三梭柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为()A． B． C． D．2．设，是两个不重合的平面，，是空间两条不重合的直线，下列命题不正确的是（）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则3．（2017新课标全国I理科）记为等差数列的前项和．若，，则的公差为A．1 B．2C．4 D．84．已知实数满足则的最大值是()A．-2 B．-1 C．1 D．25．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是()A．假设三内角都不大于60° B．假设三内角都大于60°C．假设三内角至多有一个大于60° D．假设三内角至多有两个大于60°6．已知集合，则等于()A． B． C． D．7．函数的图像大致为()A． B．C． D．8．随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数的期望为（）A．0.6 B．1 C．3.5 D．29．已知集合,,则（）A． B． C． D．10．如表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产产品过程中的记录的产量与相应的生产能耗的几组对应数据如图：根据下表数据可得回归方程，那么表中的值为（）A． B． C． D．11．已知函数的最大值为，最小值为，则等于（）A．0 B．2 C．4 D．812．某射手射击所得环数的分布列如下：78910已知的数学期望，则的值为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在极坐标系中，圆上的点到直线的距离的最小值是____14．椭圆绕轴旋转一周所得的旋转体的体积为___________．15．已知（为常数），在上有最小值，那么在上的最大值是16．已知函数，则函数的最大值为_______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，，∠ABC=∠BCD=90°，E为PB的中点．（1）证明：CE∥面PAD.（2）若直线CE与底面ABCD所成的角为45°，求四棱锥P-ABCD的体积．18．（12分）已知.（1）求及；（2）试比较与的大小，并用数学归纳法证明.19．（12分）某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各随机抽取了100件产品作为样本来检测一项质量指标值，若产品的该项质量指标值落在内，则为合格品，否则为不合格品．表1是甲套设备的样本的频数分布表，图是乙套设备的样本的频率分布直方图．表甲套设备的样本的频数分布表质量指标值频数2103638122（1）将频率视为概率．若乙套设备生产了10000件产品，则其中的合格品约有多少件？（2）填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关．甲套设备乙套设备合计合格品不合格品合计附表及公式：，其中；0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82820．（12分）已知椭圆的焦距为2，左右焦点分别为，以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．(1)求椭圆的方程；(2)设不过原点的直线与椭圆C交于两点,若直线与的斜率分别为，且，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标；21．（12分）如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是是的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的大小；22．（10分）已知函数,．（Ⅰ）求函数的单调减区间；（Ⅱ）证明:；（Ⅲ）当时，恒成立，求实数的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】分析：先还原几何体，再根据棱柱各面形状求面积.详解：因为几何体为一个以俯视图为底面的三棱柱，底面直角三角形的两直角边长为2和，所以棱柱表面积为，选D.点睛：空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．2、D【解题分析】

选项逐一分析，得到正确答案.【题目详解】A.正确，垂直于同一条直线的两个平面平行；B.正确，垂直于同一个平面的两条直线平行；C.正确，因为平面内存在直线，使，若，则，则；D.不正确，有可能.故选D.【题目点拨】本题重点考查了平行和垂直的概念辨析问题，属于简单题型.3、C【解题分析】设公差为，，，联立解得，故选C.点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如为等差数列，若，则.4、C【解题分析】作出可行域，如图内部（含两边），作直线，向上平移直线，增加，当过点时，是最大值．故选C．5、B【解题分析】

“至少有一个”的否定变换为“一个都没有”，即可求出结论.【题目详解】“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设是假设三内角都大于.故选：B.【题目点拨】本题考查反证法的概念，注意逻辑用语的否定，属于基础题.6、D【解题分析】分析：求出集合，，即可得到.详解：故选D.点睛：本题考查两个集合的交集运算，属基础题.7、B【解题分析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：为奇函数，舍去A,舍去D;，所以舍去C；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．8、C【解题分析】

写出分布列，然后利用期望公式求解即可．【题目详解】抛掷骰子所得点数的分布列为123456所以．故选：．【题目点拨】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．9、D【解题分析】分析：先化简集合P,Q，再求.详解：由题得，，所以.故答案为：D.点睛：本题主要考查集合的化简与交集运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平，属于基础题.10、D【解题分析】

计算出、，将点的坐标代入回归直线方程可求出的值.【题目详解】由题意得，，由于回归直线过样本的中心点，所以，，解得，故选：D.【题目点拨】本题考查回归直线方程的应用，解题时要熟悉回归直线过样本中心点这一结论的应用，考查计算能力，属于基础题.11、C【解题分析】

因为，所以是奇函数，则由奇函数的性质，又因为，，即，，故，即，应选答案C．12、B【解题分析】

根据分布列的概率之和是，得到关于和之间的一个关系式，由变量的期望值，得到另一个关于和之间的一个关系式，联立方程，解得的值.【题目详解】由题意可知：，解得.故选：B.【题目点拨】本题考查期望和分布列的简单应用，通过创设情境激发学生学习数学的情感，培养其严谨治学的态度，在学生分析问题、解决问题的过程中培养其积极探索的精神，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解题分析】试题分析：圆的直角坐标方程为，直线的直角坐标方程为，圆心到直线的距离，圆上的点到直线的距离的最小值为.考点：直角坐标与极坐标、距离公式.14、【解题分析】

利用定积分在几何中的应用解答；所求为计算可得．【题目详解】解：由，得，将椭圆绕轴旋转一周所得的旋转体的体积为故答案为：【题目点拨】本题考查了定积分的应用；将旋转得到几何体的体积为，属于基础题．15、57【解题分析】试题分析：单调增区间为减区间为，最大值为考点：函数导数与最值16、0【解题分析】

求出函数的导函数，然后利用导数的性质求出函数的最大值.【题目详解】解：由，得，因为，所以，所以在上单调递减，所以的最大值为故答案：0【题目点拨】此题考查函数在闭区间上的最大值的求法，考查导数性质等基础知识，考查运算求解能力和思维能力，考查函数与方程思想，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）【解题分析】

（1）取PA中点Q，连接QD，QE，可证四边形CDQE为平行四边形，从而CE∥QD，于是证得线面平行；（2）连接BD，取BD中点O，连接EO，CO，可证EO∥PD，从而得到直线CE与底面ABCD所成的角，求得EO也即能求得PD，最终可得棱锥体积．【题目详解】解法一:(1)取PA中点Q，连接QD，QE，则QE∥AB，且QE=AB∴QE∥CD，且QE=CD.即四边形CDQE为平行四边形，CE∥QD.又∵CE平面PAD，QD平面PAD，∴CE∥平面PAD.(2)连接BD，取BD中点O，连接EO，CO则EO∥PD，且EO=PD.∵PD⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD.则CO为CE在平面ABCD上的射影，即∠ECO为直线CE与底面ABCD所成的角，∠ECO=45°在等腰直角三角形BCD中，BC=CD=2，则BD=2，则在RtΔECO中，∠ECO=45°，EO=CO=BD=2PD=2E0=2，∴∴∴四棱锥P-ABCD的体积为.解法二：(1)取AB中点Q，连接QC，QE则QE∥PA∵PA平面PAD，QE平面PAD∴QE∥平面PAD，又∵AQ=AB=CD，AQ∥CD，∴四边形AQCDカ平行四迹形，则CQ∥DA∵DA平面PAD，CQ平面PAD，∴CQ∥平面PAD，(QE∥平面PAD.CQ∥平面PAD，证明其中一个即给2分)又QE平面CEQ，CQ平面CEQ，QECQ=Q，∴平面CEQ∥平面PAD，又CE平面CQ，∴CE∥平面PAD.(2)同解法一.【题目点拨】本题考查线面平行的判定，考查棱锥的体积，考查直线与平面所成的角．涉及到直线与平面所成的角，必须先证垂直（或射影），然后才有直线与平面所成的角．18、（1），；（2）.【解题分析】分析：（1）令，则，，则，两式做差得到结果；（2）要比较与的大小，只要比较与的大小，接下来应用数学归纳法得到结果即可.详解：（1）令，则，令，则，所以．（2）要比较与的大小，只要比较与的大小．猜想：．下面用数学归纳法证明：①当时，,结论成立．②假设当时结论成立，即，则当时，，因为，所以，所以所以，即时结论也成立．由①②可知，时，所以.点睛：本题考查了二项式展开式的系数和问题，以及数学归纳法的证明的应用，数学归纳法，注意假设n=k+1的证明过程中，一定要用到n=k的结论.19、（1）8600件；（2）列联表见解析，不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下可以认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关．【解题分析】

（1）计算出不合格品率，和不合格品件数，由此求得合格品件数.（2）根据题目所给表格和图像数据，填写好联表，计算出的值，由此判断出“不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下可以认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关．”【题目详解】解：（1）由题图1知，乙套设备生产的不合格品的概率约为，∴乙套设备生产的10000件产品中不合格品约为（件），故合格品的件数为（件）．（2）由题中的表1和图1得到2×2列联表如下：甲套设备乙套设备合计合格品9686182不合格品41418合计100100200将2×2列联表中的数据代入公式计算得的观测值，因为6.105<6.635，所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下可以认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关．【题目点拨】本小题主要考查用频率估计总体，考查联表独立性检验，考查运算求解能力，属于中档题.20、（1）（2）线恒过定点，详见解析【解题分析】

（1）根据焦距得到，根据圆心到直线的距离得到，由得到，从而得到椭圆方程；（2）直线，联立得到，然后表示，代入韦达定理，得到和的关系，从而得到直线过的定点.【题目详解】(1)由题意可得，即，由直线与圆相切，可得，解得，即有椭圆的方程为；(2)证明：设，将直线代入椭圆，可得，即有，，由，即有，代入韦达定理，可得，化简可得，则直线的方程为，即，故直线恒过定点；【题目点拨】本题考查求椭圆方程，直线与椭圆的关系，椭圆中的定点问题，属于中档题.21、（1）证明见解析；（2）.【解题分析】分析：⑴设与相交于点，连接，根据题意可得，利用线面平行的判定定理得到平面；⑵建立空间直角坐标系，求出法向量，然后运用公式计算二面角的大小详解：（1）设与相交于点P，连接PD，则P为中点，D为AC中点，PD//,又PD平面D，//平面D.（2）如图建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（1，0，0），（