2024届北京市朝阳区力迈国际学校数学高二第二学期期末考试模拟试题含解析

2024届北京市朝阳区力迈国际学校数学高二第二学期期末考试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．参数方程（为参数）对应的普通方程为（）A． B．C． D．2．设函数f(x)=x3+3x,x∈R，若当0<θ<π2A．(-∞,1]B．[1,+∞)C．(123．学校新入职的5名教师要参加由市教育局组织的暑期3期上岗培训，每人只参加其中1期培训，每期至多派2人，由于时间上的冲突，甲教师不能参加第一期培训，则学校不同的选派方法有()A．种 B．种 C．种 D．种4．已知椭圆的离心率为.双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为A． B．C． D．5．若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则（）A． B． C． D．6．双曲线经过点，且离心率为3，则它的虚轴长是（）A． B． C．2 D．47．已知双曲线：1，左右焦点分别为，，过的直线交双曲线左支于，两点，则的最小值为（）A． B．11 C．12 D．168．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则（）A．1 B．-1 C．2 D．-29．若一个直三棱柱的所有棱长都为1，且其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）．A． B． C． D．10．已知，，，则的大小关系是（）A． B． C． D．11．双曲线的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交曲线左支于A，B两点，△F2AB是以A为直角顶点的直角三角形，且∠AF2B＝30°．若该双曲线的离心率为e，则e2＝（）A． B． C． D．12．以下四个命题，其中正确的个数有（）①由独立性检验可知，有的把握认为物理成绩与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀.②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在线性回归方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2个单位；④对分类变量与，它们的随机变量的观测值来说，越小，“与有关系”的把握程度越大.A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设为实数时，实数的值是__________．14．若函数y=fx的图象在x=4处的切线方程是y=-2x+9，则f415．如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为_____．16．已知函数，若，则m的取值范围是___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设椭圆：的离心率与双曲线的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线交椭圆于，两点，（）为椭圆上一点，求面积的最大值．18．（12分）大型综艺节目,《最强大脑》中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方，盲拧在外人看来很神奇，其实原理是十分简单的，要学会盲拧也是很容易的根据调查显示，是否喜欢盲拧魔方与性别有关为了验证这个结论，某兴趣小组随机抽取了50名魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示，并邀请其中20名男生参加盲拧三阶魔方比赛，其完成情况如表所示．（Ⅰ）将表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关？（Ⅱ）现从表中成功完成时间在和这两组内的6名男生中任意抽取2人对他们的盲拧情况进行视频记录，求2人成功完成时间恰好在同一组内的概率．附参考公式及数据：，其中．19．（12分）为纪念“五四运动”100周年，某校团委举办了中国共产主义青年团知识宣讲活动活动结束后，校团委对甲、乙两组各10名团员进行志愿服务次数调查，次数统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以表示．（1）若甲组服务次数的平均值不小于乙组服务次数的平均值，求图中所有可能的取值；（2）团委决定对甲、乙两组中服务次数超过15次的团员授予“优秀志愿者”称号设，现从所有“优秀志愿者”里任取3人，求其中乙组的人数的分布列和数学期望．20．（12分）已知函数，.（Ⅰ）若，求的极值；（Ⅱ）求函数的单调区间.21．（12分）已知函数=│x+1│–│x–2│.（1）求不等式≥1的解集；（2）若不等式≥x2–x+m的解集非空，求实数m的取值范围.22．（10分）随着生活水平的提高，越来越多的人参与了潜水这项活动.某潜水中心调查了100名男性与100女性下潜至距离水面5米时是否耳鸣，下图为其等高条形图：①绘出列联表；②根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为耳鸣与性别有关系？附：，其中.0.0250.0100.0050.0015.0246.6357.87910.828

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

将参数方程消参后，可得普通方程，结合三角函数值域即可判断定义域.【题目详解】参数方程（为参数），消参后可得，因为所以即故选：C.【题目点拨】本题考查了参数方程与普通方程的转化，注意自变量取值范围，属于基础题.2、A【解题分析】∵f(x)=x3+x，∴f(-x)=(-x)3+(-x)=-x3-x=-f(x)，

∴函数f(x)=x3+x为奇函数；

又f'(x)=3x2+1>0，∴函数f(x)=x3+x为R上的单调递增函数．

∴f(msinθ)+f(1-m)>0由m<11-sinθ恒成立知：点睛：本题考查函数的奇偶性与单调性，突出考查转化思想与恒成立问题，属于中档题；利用奇函数f(x)=x3+x单调递增的性质，可将不等式f(msinθ)+f(1-m)>0恒成立，转化为m3、B【解题分析】

由题意可知这是一个分类计数问题.一类是：第一期培训派1人；另一类是第一期培训派2人，分别求出每类的选派方法，最后根据分类计数原理，求出学校不同的选派方法的种数.【题目详解】解:第一期培训派1人时，有种方法,第一期培训派2人时，有种方法,故学校不同的选派方法有，故选B.【题目点拨】本题考查了分类计数原理，读懂题意是解题的关键，考查了分类讨论思想.4、D【解题分析】

由题意，双曲线的渐近线方程为，∵以这四个交点为顶点的四边形为正方形，其面积为16，故边长为4，∴（2，2）在椭圆C：上，∴，∵，∴，∴，∴∴椭圆方程为：.故选D.考点：椭圆的标准方程及几何性质；双曲线的几何性质.5、B【解题分析】分析：由题意可知，，然后利用二项式定理进行展开，使之与进行比较，可得结果详解：由题可知：而则故选点睛：本题主要考查了二次项系数的性质，根据题目意思，将转化为是本题关键，然后运用二项式定理展开求出结果6、A【解题分析】

根据双曲线经过的点和离心率，结合列方程组，解方程组求得的值，进而求得虚轴长.【题目详解】将点代入双曲线方程及离心率为得，解得，故虚轴长，故本小题选A.【题目点拨】本小题主要考查双曲线的离心率，考查双曲线的几何性质，考查方程的思想，属于基础题.解题过程中要注意：虚轴长是而不是.7、B【解题分析】

根据双曲线的定义，得到，再根据对称性得到最小值，从而得到的最小值.【题目详解】根据双曲线的标准方程，得到，根据双曲线的定义可得，，所以得到，根据对称性可得当为双曲线的通径时，最小.此时，所以的最小值为.故选：B.【题目点拨】本题考查双曲线的定义求线段和的最小值，双曲线的通径，考查化归与转化思想，属于中档题.8、B【解题分析】

根据f（x）是R上的奇函数，并且f（x+1）=f（1-x），便可推出f（x+4）=f（x），即f（x）的周期为4，而由x∈[0，1]时，f（x）=2x-m及f（x）是奇函数，即可得出f（0）=1-m=0，从而求得m=1，这样便可得出f（2019）=f（-1）=-f（1）=-1．【题目详解】∵是定义在R上的奇函数，且；∴；∴；∴的周期为4；∵时，；∴由奇函数性质可得；∴；∴时，；∴.故选：B.【题目点拨】本题考查利用函数的奇偶性和周期性求值，此类问题一般根据条件先推导出周期，利用函数的周期变换来求解，考查理解能力和计算能力，属于中等题.9、B【解题分析】

根据题意画出其立体图形.设此直三棱柱两底面的中心分别为,则球心为线段的中点,利用勾股定理求出球的半径,即可求得该球的表面积．【题目详解】画出其立体图形:直三棱柱的所有棱长都为1,且每个顶点都在球的球面上，设此直三棱柱两底面的中心分别为,则球心为线段的中点，设球的半径为，在中是其外接圆半径,由正弦定理可得:,,即在中∴球的表面积.故选:B.【题目点拨】本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质.解决本题的关键在于能想象出空间图形,并能准确的判断其外接球的球心就是上下底面中心连线的中点．10、C【解题分析】，故答案选11、D【解题分析】

设，根据是以为直角顶点的直角三角形，且，以及双曲线的性质可得，再根据勾股定理求得的关系式，即可求解.【题目详解】由题意，设，如图所示，因为是以为直角顶点的直角三角形，且，由，所以，由，所以，所以，即，所以，所以，，在直角中，，即，整理得，所以，故选D.【题目点拨】本题主要考查了双曲线的定义，以及双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)．.12、B【解题分析】对于命题①认为数学成绩与物理成绩有关，不出错的概率是99%，不是数学成绩优秀，物理成绩就有99%的可能优秀，不正确；对于④，随机变量K2的观测值k越小，说明两个相关变量有关系的把握程度越小，不正确；容易验证②③正确，应选答案B。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、3【解题分析】

设为实数，，可得或又因为，故答案为.14、3【解题分析】∵函数y=fx的图象在x=4处的切线方程是∴f'∴f故答案为3点睛：高考对导数几何意义的考查主要有以下几个命题角度：（1）已知切点求切线方程；（2）已知切线方程(或斜率)求切点或曲线方程；（3）已知曲线求切线倾斜角的取值范围．15、【解题分析】

互为反函数的图象关于直线对称，所以两个阴影部分也关于直线对称.利用面积分割和定积分求出上部分阴影面积，再乘以2得到整个阴影面积.【题目详解】如图所示，连接，易得，，.【题目点拨】考查灵活运用函数图象的对称性和定积分求解几何概型，对逻辑思维能力要求较高.本题在求阴影部分面积时，只能先求上方部分，下方部分中学阶段无法直接求.16、【解题分析】

求导得到，利用均值不等式判断，得到函数单调递增，故，解得答案.【题目详解】，函数在R上单调递增，又，，可得，解得或.故答案为：.【题目点拨】本题考查了利用函数的单调性解不等式，均值不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解题分析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，椭圆的长轴为及，求得的值，进而求得椭圆的方程；（Ⅱ）将直线与（Ⅰ）求得的椭圆方程联立，利用韦达定理和，利用弦长公式及点到直线的距离，求得的面积，同时，进而求得的面积的最大值.试题解析：（Ⅰ）双曲线的离心率为（1分），则椭圆的离心率为（2分），2a=1，（3分）由⇒，故椭圆M的方程为．（5分）（Ⅱ）由，得，（6分）由，得﹣2＜m＜2∵，．（7分）∴=又P到AB的距离为．（10分）则，（12分）当且仅当取等号（13分）∴．（11分）考点：1.椭圆的标准方程；2.韦达定理；3.弦长公式.18、（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解题分析】

（Ⅰ）根据总人数和表格中的数据可以完成，计算卡方观测值，结合卡方观测值所在区间判定；（Ⅱ）根据古典概型的求解方法求解.【题目详解】解：Ⅰ依题意，补充完整的表1如下：喜欢盲拧不喜欢盲拧总计男23730女91120总计321850由表中数据计算的观测值为所以能在犯错误的概率不超过的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关．(Ⅱ)从成功完成时间在和这两组内的6名男生中任意抽取2人，基本事件总数为种，这2人恰好在同一组内的基本事件为种，故所求的概率为．【题目点拨】本题主要考查独立性检验和古典概率的求解，侧重考查数据分析，数学建模和数学运算的核心素养.19、（1）的取值为0或1或1．（1）见解析，【解题分析】

（1）根据甲组服务次数的平均值不小于乙组服务次数的平均值列不等式，由此求得的可能取值.（1）根据超几何分布的分布列计算公式，计算出分布列并求得数学期望.【题目详解】（1）甲组10名团员服务次数的平均值为，乙组10名团员服务次数的平均值为．由题意得，即．故图中的取值为0或1或1．（1）由图知，甲组“优秀志愿者”有1人，乙组“优秀志愿者”有3人．由题意，随机变量的所有可能取值为1，1，3，则．所以的分布列为113故．【题目点拨】本小题主要考查根据茎叶图计算平均数，考查超几何分布分布列和期望的计算，考查数据处理能力，属于基础题.20、（Ⅰ）极大值，极小值；（Ⅱ）见解析.【解题分析】

（Ⅰ）将代入函数的解析式，求出该函数的定义域与导数，求出极值点，然后列表分析函数的单调性，可得出函数的极大值和极小值；（Ⅱ）求出函数的导数为，对分、、和四种情况讨论，分析导数在区间上的符号，可得出函数的单调区间.【题目详解】（Ⅰ）当时，，函数的定义域为，，令，或.列表如下：极大值极小值所以，函数的极大值，极小值；（Ⅱ）由题意得，（1）当时，令，解得；，解得.（2）当时，①当时，即时，令，解得或；令，解得；②当时，恒成立，函数在上为单调递增函数；③当时，即当时，令，解得或；令，解得.综上所述，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.【题目点拨】本题考查利用导数求函数的极值，以及利用导数求函数的单调区间，在处理含参数的函数问题时，要弄清楚分类讨论的基本依据，结合导数分析导数符号进行求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.21、（1）；（2）.【解题分析】

（1）由于f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|，解不等式f（x）≥1可分﹣1≤x≤2与x＞2两类讨论即可解得不等式f（x）≥1的解集；（2）依题意可得m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）＝f（x）﹣x2+x，分x≤1、﹣1＜x＜2、x≥2三类讨论，可求得g（x）max，从而可得m的取值范围．【题目详解】解：（1）∵f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|，f（x）≥1，∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2；综上，不等式f（x）≥1的解集为{x|x≥1}．（2）原式等价于