2024届东北三省三校数学高二第二学期期末质量跟踪监视试题含解析

2024届东北三省三校数学高二第二学期期末质量跟踪监视试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，，分别是边长为4的等边的中线，圆是的内切圆，线段与圆交于点.在中随机取一点，则此点取自图中阴影部分的概率是（）A． B． C． D．2．已知变量之间的线性回归方程为，且变量之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（）A．变量之间呈现负相关关系B．的值等于5C．变量之间的相关系数D．由表格数据知，该回归直线必过点3．袋中有大小完全相同的2个红球和2个黑球，不放回地依次摸出两球，设“第一次摸得黑球”为事件，“摸得的两球不同色”为事件，则概率为()A． B． C． D．4．设，若，则的值为（）A． B． C． D．5．已知集合,,则下图中阴影部分所表示的集合为()A． B． C． D．6．某大学中文系共有本科生5000人，期中一、二、三、四年级的学生比为5:4:3:1，要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为260的样本，则应抽二年级的学生A．100人 B．60人 C．80人 D．20人7．已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件{两个点数互不相同}，{出现一个5点}，则()A． B． C． D．9．函数的导函数为，对任意的，都有成立，则（）A． B．C． D．与大小关系不确定10．若执行如图所示的程序框图，输出的值为，则输入的值是（）A． B． C． D．11．双曲线与双曲线有相同的（）A．顶点 B．焦点 C．渐近线 D．离心率12．若随机变量，且，则等于（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知两直线的方向向量分别为，，若两直线平行，则________．14．长方体内接于球O，且，，则A、B两点之间的球面距离为______．15．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件.再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件.给出下列结论：①P（B）25；②P（B|A1）511；③事件B与事件A1相互独立；④A1,A2,A3是两两互斥的事件；⑤P（B）的值不能确定，因为它与A1,A2,A3中究竟哪一个发生有关；其中正确的有（）②④①③②④⑤②③④⑤16．如果不等式的解集为，且，那么实数的取值范围是____三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知，．当时，求的值；当时，是否存在正整数n，r，使得、、，依次构成等差数列？并说明理由；当时，求的值用m表示．18．（12分）某商场举行促销活动，有两个摸奖箱，箱内有一个“”号球，两个“”号球，三个“”号球、四个无号球，箱内有五个“”号球，五个“”号球，每次摸奖后放回，每位顾客消费额满元有一次箱内摸奖机会，消费额满元有一次箱内摸奖机会，摸得有数字的球则中奖，“”号球奖元，“”号球奖元，“”号球奖元，摸得无号球则没有奖金．（1）经统计，顾客消费额服从正态分布，某天有位顾客，请估计消费额（单位：元）在区间内并中奖的人数.（结果四舍五入取整数）附：若，则，.（2）某三位顾客各有一次箱内摸奖机会，求其中中奖人数的分布列.（3）某顾客消费额为元，有两种摸奖方法，方法一：三次箱内摸奖机会；方法二：一次箱内摸奖机会.请问：这位顾客选哪一种方法所得奖金的期望值较大.19．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.若直线与曲线相切.（1）求曲线的极坐标方程；（2）在曲线上任取两点，，该两点与原点构成，且满足，求面积的最大值.20．（12分）宁德市某汽车销售中心为了了解市民购买中档轿车的意向，在市内随机抽取了100名市民为样本进行调查，他们月收入(单位：千元)的频数分布及有意向购买中档轿车人数如下表：月收入[3，4)[4，5)[5，6)[6，7)[7，8)[8，9)频数6243020155有意向购买中档轿车人数212261172将月收入不低于6千元的人群称为“中等收入族”，月收入低于6千元的人群称为“非中等收入族”．（Ⅰ）在样本中从月收入在[3，4)的市民中随机抽取3名，求至少有1名市民“有意向购买中档轿车”的概率.（Ⅱ）根据已知条件完善下面的2×2列联表，并判断有多大的把握认为有意向购买中档轿车与收入高低有关？非中等收入族中等收入族总计有意向购买中档轿车人数40无意向购买中档轿车人数20总计1000.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.879附：21．（12分）（1）解不等式:（2）设，求证：22．（10分）已知，均为正实数，求证：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

利用等边三角形中心的性质，求得内切圆的半径和阴影部分面积，再根据几何概型计算公式计算出所求的概率.【题目详解】在中，，，因为，所以，即圆的半径为，由此可得图中阴影部分的面积等于，的面积为，故所求概率.故选A.【题目点拨】本题考查几何概型问题，考查数据处理能力和应用意识.属于中档题.2、C【解题分析】分析：根据线性回归方程的性质依次判断各选项即可．详解：对于A：根据b的正负即可判断正负相关关系．线性回归方程为，b=﹣0.7＜0，负相关．对于B：根据表中数据：=1．可得=2．即，解得：m=3．对于C：相关系数和斜率不是一回事，只有当样本点都落在直线上是才满足两者相等，这个题目显然不满足，故不正确.对于D：由线性回归方程一定过（，），即（1，2）．故选：C．点睛：本题考查了线性回归方程的求法及应用，属于基础题，对于回归方程，一定要注意隐含条件，样本中心满足回归方程，再者计算精准，正确理解题意，应用回归方程对总体进行估计.3、B【解题分析】

根据题目可知，求出事件A的概率，事件AB同时发生的概率，利用条件概率公式求得，即可求解出答案．【题目详解】依题意，，，则条件概率．故答案选B．【题目点拨】本题主要考查了利用条件概率的公式计算事件的概率，解题时要理清思路，注意的求解．4、D【解题分析】

分别取代入式子，相加计算得到答案.【题目详解】取得：取得：两式相加得到故答案选D【题目点拨】本题考查了二项式定理，取特殊值是解题的关键.5、B【解题分析】分析：根据韦恩图可知阴影部分表示的集合为，首先利用偶次根式满足的条件，求得集合B，根据集合的运算求得结果即可.详解：根据偶次根式有意义，可得，即，解得，即，而题中阴影部分对应的集合为，所以，故选B.点睛：该题考查的是有关集合的运算的问题，在求解的过程中，首先需要明确偶次根式有意义的条件，从而求得集合B，再者应用韦恩图中的阴影部分表示的是，再利用集合的运算法则求得结果.6、C【解题分析】

要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为260的样本,

则应抽二年级的学生人数为:

(人).

故答案为80.7、A【解题分析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，从而可得结果.详解：：由于复数，，在复平面的对应点坐标为，在第一象限，故选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.8、A【解题分析】由题意事件A={两个点数都不相同}，包含的基本事件数是36−6=30，事件B:出现一个5点，有10种，∴，本题选择A选项.点睛：条件概率的计算方法：(1)利用定义，求P(A)和P(AB)，然后利用公式进行计算；(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB)，然后求概率值.9、B【解题分析】

通过构造函数,由导函数,结合,可知函数是上的增函数，得到,即可得到答案.【题目详解】构造函数，则，故函数是上的增函数，所以，即，则.故选B.【题目点拨】本题的难点在于构造函数,由,构造是本题的关键,学生在学习中要多积累这样的方法.10、C【解题分析】

将所有的算法循环步骤列举出来，得出不满足条件，满足条件，可得出的取值范围，从而可得出正确的选项.【题目详解】，；不满足，执行第二次循环，，；不满足，执行第三次循环，，；不满足，执行第四次循环，，；不满足，执行第五次循环，，；满足，跳出循环体，输出的值为，所以，的取值范围是.因此，输入的的值为，故选C.【题目点拨】本题考查循环结构框图的条件的求法，解题时要将算法的每一步列举出来，结合算法循环求出输入值的取值范围，考查分析问题和推理能力，属于中等题.11、C【解题分析】

根据选项分别写出两个双曲线的几何性质，比较后得到答案.【题目详解】的顶点是，焦点是，渐近线方程是，离心率是；的顶点是，焦点是，渐近线方程是，离心率，比较后可知只有渐近线方程一样.故选C.【题目点拨】本题考查了双曲线的几何性质，属于简单题型.12、A【解题分析】

由正态密度曲线的对称性得出，由此可得出结果.【题目详解】由于，则正态密度曲线关于直线对称，所以，故选A.【题目点拨】本题考查正态分布在指定区间上概率的计算，解题时要确定正态密度曲线的对称轴，利用对称性列等式计算，考查计算能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

根据题意可得出，从而得出m1﹣4＝0，解出m即可．【题目详解】∵；∴m1﹣4＝0；∴m＝±1．故答案为±1．【题目点拨】考查直线的方向向量的概念，以及平行向量的坐标关系．14、【解题分析】

利用长方体外接球直径为其体对角线长求得外接球半径，及所对球心角，利用弧长公式求出答案．【题目详解】由，，得，长方体外接球的半径为正三角形，，两点间的球面距离为，故答案为：．【题目点拨】本题考查了长方体外接球问题，以及求两点球面距离，属于简单题．15、②④【解题分析】试题解析：：由题意可知A1,A2,AP(B|A3=P(A1)P(B|A1考点：相互独立事件，条件概率．【方法点晴】本题主要考查了相互独立事件，条件概率的求法等，解题的关键是理解题设中的各个事件，且熟练掌握相互独立事件的概率公式，本题较为复杂，正确理解事件的内涵是解题的突破点．解答本题的关键是在理解题意的基础上判断出A1,A2,A3是两两互斥的事件，根据条件概率公式得到P(B|A116、【解题分析】

将不等式两边分别画出图形，根据图像得到答案.【题目详解】不等式的解集为，且画出图像知：故答案为：【题目点拨】本题考查了不等式的解法，将不等式关系转化为图像是解题的关键.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）不存在；（3）.【解题分析】

在的二项式定理中，先令得所有项系数和，再令得常数项，然后相减即得．将变成后，利用二项展开式的通项公式可得，再假设存在正整数n，r满足题意，利用等差数列的性质得，化简整理，解方程即可判断存在性；求得，2，3的代数式的值，即可得到所求结论．【题目详解】解：，，当时，令和，可得：，，故；当时，假设存在正整数n，r，使得、、，依次构成等差数列，由二项式定理可知，，若、、成等差数列，则，即，即，化简得，即为，若、、成等差数列，同理可得，即有，即为，化为，可得，方程无解，则不存在正整数n，r，使得、、，依次构成等差数列；，当时，；当时，；当时，；可得时，．【题目点拨】本题考查二项式定理及等差数列的性质，组合数公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于综合题．18、(1)中奖的人数约为人.(2)分布列见解析.(3)这位顾客选方法二所得奖金的期望值较大.【解题分析】分析：（1）依题意得，，得，消费额在区间内的顾客有一次箱内摸奖机会，中奖率为，人数约，可得其中中奖的人数；（2）三位顾客每人一次箱内摸奖中奖率都为，三人中中奖人数服从二项分布，，，从而可得分布列；（3）利用数学期望的计算公式算出两种方法所得奖金的期望值即可得出结论.详解：（1）依题意得，，得，消费额在区间内的顾客有一次箱内摸奖机会，中奖率为人数约人其中中奖的人数约为人（2）三位顾客每人一次箱内摸奖中奖率都为，三人中中奖人数服从二项分布，，故的分布列为（或）（或）（或）（或）（3）箱摸一次所得奖金的期望为箱摸一次所得奖金的期望为方法一所得奖金的期望值为，方法二所得奖金的期望值为，所以这位顾客选方法二所得奖金的期望值较大点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤：①“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；②“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率加法公式、独立事件的概率公式以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；③“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；④“求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望．对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．19、（1）；（2）【解题分析】

（1）由直线与圆相切，可得圆心到直线的距离等于半径，列方程求解,进而由直角坐标转化为极坐标即可；（2）设，（，，），由，展开利用三角函数求最值即可.【题目详解】（1）由题意可知，直线的直角坐标方程为.曲线是圆心为，半径为的圆，由直线与曲线相切可得.可知曲线的直角坐标方程为.所以曲线的极坐标方程为，即.（2）由（1）不妨设，（，，）..当时，面积的最大值为.【题目点拨】本题主要考查了直角坐标与极坐标的互化，考查了极坐标系下三角形的面积公式，考查了三角函数的最值问题，属于中档题.20、(Ⅰ)；(Ⅱ)90%的把握认为有意向购买中高档轿车与收入高低有关【解题分析】

（Ⅰ）解法1：利用古典概型概率公式计算出“至少有名市民有意向购买者中档轿车”的对立事件“没有市民愿意购买中档轿车”的概率，然后利用对立事件的概率公式计算出所求事件的概率；解法2：将事件“至少有名市民购买中档轿车”分为两个基本事件，分别利用古典概型概率公式计算出这两个基本事件的概率，再将两个概率相加可得出答案；（Ⅱ）列出列联表，并计算出的观测值，利用临界值表找出犯错误的概率，即可下结论．【题目详解】（Ⅰ）记“至少有1名市民有意向购买中档轿车”为事件A.解法1：；解法2：，所以至少有1名市民“有意