山西省吕梁市2023届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)

2023年山西省吕梁市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.计算：-3-5的结果是(

)A.-2 B.2 C.-8 D.82.如图，直线AB//CD，若∠A=110°，则∠1的度数是(

)A.70°

B.20°

C.80°

D.90°3.已知某物体的三视图如图所示，那么与它对应的物体是(

)A.

B.

C.

D.4.笛卡尔是法国著名数学家，他于1637年发明了现代数学的基础工具——平面直角坐标系.平面直角坐标系的引入，使得我们可以用几何方法研究代数问题，又可以用代数方法研究几何问题，主要体现的数学思想是(

)

A.方程思想 B.数形结合思想 C.公理化思想 D.分类思想5.2023年1月17日，国家航天局公布了我国嫦娥五号月球样品的科研成果，科学家们通过对月球样品的研究，精确测定了月球的年龄是20.3亿年.数据20.3亿年用科学记数法表示为(

)A.20.3×108年

B.20.3×109年

C.0.203×106.将抛物线y=-12(x-3)2-5先向左平移2A.y=-12(x-5)2-8 B.y=-7.生物兴趣小组对某大豆杂交品种进行育苗试验，培育结果统计如下：总粒数黄色子叶粒数青色子叶粒数黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率黄色子叶粒数与青色子叶粒数的理论比率246187593.16：13：1365827389202.98：13：17679578118983.06：13：1312132343677773.01：13：1根据上述培育结果，下列说法正确的是(

)A.只要增加试验的粒数，黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率就更加接近于3：1

B.随着试验粒数的增加，黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率稳定于3：1

C.培育该大豆杂交品种时，出现青色子叶粒数的概率为13

D.培育该大豆杂交品种时，出现黄色子叶数的概率为8.如图，在△ABC中，DE//AC，DF//BC.则下列比例中错误的是(

)A.ADBD=DFBC

B.ADBD=AF

9.如图，用形状大小相同的菱形组成一组有规律的图案，其中第1个图案中有4个菱形，第2个图案中有7个菱形，第3个图案中有10个菱形，…按此规律排下去，若相邻的两个图案中菱形的个数共有83个，则这两个图案分别是(

)

A.第10个，第11个 B.第11个，第12个 C.第12个，第13个 D.第13个，第14个10.小明在化简分式Aa2-b2-aa+b时，计算得正确的结果为A.2ab-a2 B.ab+a C.ab-a 二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.因式分解：2x3-8xy12.大自然中的大部分物质具有热胀冷缩现象，而水则具有反膨胀现象，如图所示是当温度在0℃-15℃时，水的密度ρ(单位：g/m3)随着温度t(单位：℃)的变化关系图象，请写出当温度在0℃到15℃变化时，函数ρ的一条性质：______13.图形的密铺(或称图形的镶嵌)指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间既不留空隙、也不互相重叠地把一部分平面完全覆盖.图1所示的是一种五边形密铺的结构图，图2是从该密铺图案中抽象出的一个五边形，其中∠C=∠E=90°，∠A=∠B=∠D，则∠A的度数是______．14.近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面.图1所示是一款智能送货机器人，图2是其侧面示意图，现测得其矩形底座ABCD的高BC为30cm，上部显示屏EF的长度为30cm，侧面支架EC的长度为100cm，∠ECD=80°，∠FEC=130°，则该机器人的最高点F距地面AB的高度约为______cm.(参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67)15.如图，在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，点E，F分别在边AB和BC上，且∠EPF=45°，若CF=2DP=4，AE=12，则AB的长度为______．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.(本小题8.0分)

(1)计算：(x+2y)2-x(x+2y)；

(2)解不等式组：17.(本小题8.0分)

如图，直线l分别与x轴，y轴交于A，D两点，与反比例函数y=kx(x>0)的图象在第一象限内交于点B，BC⊥x轴，垂足为C，D为AB的中点.AC=6，CD=5．

(1)求出反比例函数的关系表达式；

(2)若P(m,n)是该反比例函数图象上一点，且m>3.请直接写出18.(本小题8.0分)

操作计算：用尺规作图法作正多边形是数学史上很经典的几何问题，在边数小于10的正多边形中，可以用尺规作图法作出的有正三、正四、正五、正六和正八边形，德国数学家高斯已经证明不能用尺规作图法作出正七边形和正九边形，但是我们可以用下列方法近似地作出一个正七边形：

如图，已知AB为⊙O的直径．

步骤一：作出半径OB的垂直平分线，与⊙O分别交于E，F两点，垂足为D．

步骤二：以ED为半径，在⊙O上依次截取BG=GH=HM=MN=NP=PQ=ED．

步骤三：顺次连接各分点，即可得到一个近似的正七边形BGHMNPQ．

(1)动手操作：请用上面方法，用直尺(没有刻度)和圆规在已知⊙O中作出正七边形BGHMNPQ.要求：不写作法，但保留作图痕迹．

(2)推理计算：若⊙O的半径为1，则EF的长度为______，所作出的正七边形BGHMNPQ的周长为______．19.(本小题8.0分)

随着新能源汽车的普及，我国新能源汽车的保有量已经处于世界第一，解决汽车快速充电技术已经成为新能源汽车发展的主要研究方向，从2023年开始，4C甚至6C的快速充电方案已经开始逐步落地.据测试数据显示，使用6C充电技术，每分钟充电量的续航里程(汽车所能行驶的路程)比采用4C技术提高了50%，若采用6C充电技术，续航里程480公里的充电时间，比采用4C充电技术续航里程400公里的充电时间节省2分钟，求采用6C充电技术，每分钟充电量的续航里程为多少公里？20.(本小题8.0分)

山西省文化和旅游厅发布《关于2023年全省景区首道门票优惠活动参与景区名单的公告》，公布了我省11个地市的优惠景区数量，具体情况见下表所示：地区太原市大同市朔州市忻州市阳泉市吕梁市晋中市长治市晋城市临汾市运城市优惠景区数量(单位：家)631832209181620根据上面信息，解答下列问题：

(1)我省11个地市中，参加首道门票优惠活动的景区数量的平均数是______家(精确到0.1)，中位数是______家，众数是______家.

(2)小明在网上搜到平遥古城、介休绵山、五台山、云冈石窟四张图片，并把这四张图片制成形状大小相同的四张卡片，分别编号为A，B，C，D.将这四张卡片背面朝上洗匀，并从中随机抽取其中的两张，请用画树状图或列表的方法，求出小明恰好抽中平遥古城和介休绵山的概率是多少？

(3)“五一长假”期间，小明去“平遥古城”和“介休绵山”风景区游玩，两个景区首道门票的标价共235元，打折后两个景区的首道门票共花费了163元，已知“五一长假”期间平遥古城首道门票按标价的6折销售，介休绵山首道门票按标价的8折销售，请求出平遥古城和介休绵山首道门票的标价各为多少元？21.(本小题8.0分)

阅读与思考：下面是小宇同学写的一篇数学小论文，请认真阅读并完成相应学习任务：

对角线互相垂直的四边形的性质探究

在平行四边形一章中，我们已经学习过平行四边形、矩形、菱形及正方形的性质，那么对于对角线互相垂直的四边形，它有哪些特殊的性质呢？容易得知：

对角线互相垂直的四边形，两组对边的平方和相等，证明过程如下：

如图1，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O．

求证：AD2+BC2=AB2+CD2．

证明：∵AC⊥BD于点O，

∴AD2+BC2=(OA2+OD2)+(OB2+OC2)(依据1)=(OA2+OB2)+(OD2+OC2)=AB2+CD2

若对角线互相垂直的四边形内接于圆，它还有什么特殊性质呢，通过探究，我得出如下结论：对角线互相垂直的圆内接四边形，每组对边的平方和等于它的外接圆半径平方的4倍，证明过程如下(不完整)：

如图2，已知⊙O的半径为R，四边形ABCD内接于⊙O，且AC⊥BD．

求证：AB2+CD2=4R2．

证明：过点B作直径BE，分别连接OA，OE，OD，OC，AE．

∵BE是⊙O的直径，∴∠EAB=90°(依据2)

∴∠2+∠E=90°22.(本小题8.0分)

问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在菱形纸片ABCD中，E为BC的中点.将该菱形纸片沿过点E的直线折叠，使得点C的对应点C'落在AB的延长线上，试猜想CC'与AB的位置关系，并加以证明．

(1)数学思考：请解答老师提出的问题；

(2)拓展再探：如图2，“兴趣小组”受到老师所提问题的启发，将菱形纸片沿直线DE折叠，点C的对应点C'，连接C'B并延长与AD交于点F，他们认为四边形BEDF是平行四边形.“兴趣小组”得出的结论是否正确，请说明理由．

(3)问题解决：如图3，“智慧小组”突发奇想，将菱形纸片沿直线MN折叠，使点A的对应点A'与点E重合，得到的折痕为MN.他们提出了一个新问题：若菱形纸片ABCD的边长为10，tanA=43，求BN的长度.请你思考该问题，并直接写出结果．23.(本小题8.0分)

如图，抛物线y=-12x2+x+4与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，D为抛物线的顶点，点E(3,t)在抛物线上．

(1)求出直线AE的函数关系表达式，并直接写出顶点D的坐标；

(2)点P(m,n)是直线AE上方抛物线上的一个动点，过点P作x轴的平行线，并且与直线AE交于点Q．

①分别连接AP，BQ，当AP=BQ时，求出m的值；

②连接BD，过点P作直线l//BD，直线l与直线AE交于点M，当S△PQM答案和解析1.【答案】C

解析：解：-3-5=-8．

故选：C．

根据有理数的减法运算法则，减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．

本题考查了有理数的减法，熟记运算是解题的关键，运算时要注意符号的处理．

2.【答案】A

解析：解：∵AB//CD，

∴∠A+∠AED=180°，

∵∠A=110°，

∴∠AED=70°，

∴∠1=∠AED=70°．

故选：A．

根据平行线的性质，得∠A+∠AED=180°，再根据对顶角相等即可得出答案．

本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质，对顶角相等．

3.【答案】B

解析：解：A选项，俯视图为长方形和正方形组合图形，非圆形，排除;

B选项，三视图符合题干图形，符合题意;

C选项，圆柱体高度和半径显然和题干主视图，俯视图中相应尺寸不符合，排除;

D选项，俯视图大致是两个同心圆，和题干俯视图不一致，排除．

故选：B．

4.【答案】B

解析：解：平面直角坐标系的引入，使得我们可以用几何方法研究代数问题，又可以用代数方法研究几何问题，主要体现的数学思想是数形结合思想，

故选：B．

平面直角坐标系体现了数形结合的思想．

本题考查了平面直角坐标系的概念，是数形结合思想的体现．

5.【答案】D

解析：解：20.3亿年=2030000000年=2.03×109年，

故选：D．

科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于6.【答案】C

解析：解：将抛物线y=-12(x-3)2-5先向左平移2个单位，再向下平移7.【答案】B

解析：解：A、增加试验的次数，黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率不一定就更加接近于3：1，原说法错误，不符合题意；

B、随着试验粒数的增加，黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率稳定于3：1，原说法正确，符合题意；

C、培育该大豆杂交品种时，出现青色子叶粒数的概率为14，原说法错误，不符合题意；

D、培育该大豆杂交品种时，出现黄色子叶数的概率为34，原说法错误，不符合题意；

故选：B．

A、根据随着试验次数的增加，频率都会稳定在一个值附近即可判断；

B、根据随着试验次数的增加，频率都会稳定在一个值附近即可判断；

C、根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值即可判断；

8.【答案】A

解析：解：∵DF//BC，

∴ADDB=AFFC，∠B=∠ADF，

∵DE//AC，

∴∠A=∠BDE，

∴△ADF∽△DBE，

∴9.【答案】D

解析：解：第1个图案中有4个菱形，

第2个图案中有7个菱形，

第3个图案中有10个菱形，…

按此规律排下去，

第n个图案中有(1+3n)个菱形，

由第n个图案和(n-1)个图案中菱形的个数共有83个，得，

3n+1+3(n-1)+1=83

解得：n=14，

∴n-1=13．

故选：D．

根据图形规律求得第n个图案中有(1+3n)个菱形，根据题意列出方程，解方程即可求解．

本题考查了图形类规律，一元一次方程的应用，找到规律是解题的关键．

10.【答案】D

解析：解：由题意得：Aa2-b2-aa+b=aba2-b2，

∴Aa11.【答案】2x(x+2y)(x-2y)

解析：解：2x3-8xy2

=2x(12.【答案】当温度t等于4°C时，水的密度ρ的值最大(答案不唯一)

解析：解：当0°C<t<4°C时，水体积就是逐渐变小的，

根据公式ρ=mv可知水的密度ρ随t的增大而增大，

所以是热缩冷胀，

当4°C<t<15°C时，水的体积就是逐渐增大的，水的密度ρ随t的增大减小

故答案为：当温度t等于4°C时，水的密度ρ的值最大(答案不唯一)．

当0°C<t<4°C时，水体积就是逐渐变小的，当4°C<t<15°C时，水的体积就是逐渐增大的，根据公式13.【答案】120°

解析：解：∵∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=(5-2)×180°=540°，∠A=∠B=∠D，∠C=∠E=90°，

∴3∠A+2×90°=540°，

则∠A=120°．

故答案为：120°．

根据n边形内角和公式(n-2)⋅180°求解即可．

本题考查了多边形的内角和问题，掌握多边形的内角和公式是解答的关键．

14.【答案】143

解析：解：过点E，F分别

作EH⊥CD，FN⊥CD，垂足为N，H，过点E作EM⊥FH，垂足为M，则：四边形EMNH为矩形，MN=EH，EM=HN，

在Rt△EHC中，sin∠ECH=EHCE=EH100≈0.98，

∴EH≈98cm，

∵∠EHC=90°，∠HCE=80°，

∴∠CEH=10°，

∴∠FEM=∠FEC-∠MEH-∠CEH=130°-90°-10°=30°，

∴FM=12EF=15cm，

∴点F到CD的高度为MN+FM=EH+FM≈113cm，

∵矩形底座ABCD的高BC为30cm，

∴点F到底面的高度约为113+30=143cm．

故答案为：143．

过点E，F分别

作EH⊥CD，FN⊥CD，垂足为N，H，过点E作EM⊥FH，垂足为M，分别解Rt△EHC，Rt△EMF15.【答案】8+2解析：解：过点P作MN⊥BC交BC于点M，交AD于点N；过点P作JG⊥AB交AB于点G，交DC于点J，

∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，

∴AD=BC=JG，AB=DC=MN，∠ADB=45°，

∵CF=2DP=4，

∴PJ=PN=2，

∴CM=MF=2，AG=2，

∵AE=12，

∴GE=10，

∵△PGB是等腰直角三角形，

∴PG=GB，

过点E作EH⊥DB交BD于点H，设EH=x，

∴EH2+HB2=EB2，

∴EB=2x，

∴PG=GB=10+2x，

∴PB=2(10+2x)，

∴PH=PB-HB=2(10+2x)-x，

∵∠EPF=∠FPB+∠EPB=45°，∠MPB=∠MPF+∠FPB=45°，

∴∠EPB=∠MPF，

∴△PMF∽△PHE，

∴MFEH=PMPH，

∴2x=10+2x2(10+2x)-x，

解得：x=27-22，

∴EB=214-4，

∴AB=8+214．

故答案为：8+214．

过点P作MN⊥BC交16.【答案】解：(1)(x+2y)2-x(x+2y)

=x2+4xy+4y2-x2-2xy

=2xy+4y2．

(2)解析：(1)根据(a±b)2=17.【答案】解：(1)∵BC⊥x轴，D为AB的中点，

∴AB=10，

∵AC=6，

∴BC=AB2-AC2=8，

∵OD⊥OC，

∴OC=12AC=3，

∴点B的坐标为：(3,8)，

∴8=k3，

∴k=24，

∴反比例函数的表达式为y=24x(x>0)解析：(1)根据BC⊥x轴，D为AB的中点，得AB=10，根据勾股定理，等腰三角形的性质，求出点B的坐标，再把点B的坐标代入反比例函数y=kx(x>0)，即可；

(2)根据P(m,n)是该反比例函数图象上一点，得nm=24，根据m>318.【答案】2π3

7解析：解：(1)如图所示，七边形BGHMNPQ为所要作的正七边形；

(2)连接OE，OF，

∵EF垂直平分OB，⊙O的半径为1，

∴OD=12OB=12×1=12，

∴ED=OE2-OD2=12-(12)2=32，

∴cos∠DOE=ODOE=121=12，

∴∠DOE=60°，

∵OE=OF，

∴∠DOF=∠DOE=60°，

∴∠EOF=120°，

∴EF的弧长=120π⋅1180=2π3；

∵BG=GH=HM=MN=NP=PQ=ED19.【答案】解：设采用4C充电技术，每分钟充电量的续航里程为x公里，则采用6C充电技术的续航里程为(1+50%)x公里，

根据题意，得480(1+50%)x=400x-2，

解得：x=40，

经检验，x=40是原分式方程的解，

当x=40时，(1+50%)x=60，

答：采用解析：设采用4C充电技术，每分钟充电量的续航里程为x公里，则采用6C充电技术的续航里程为(1+50%)x公里，根据题意，列出分式方程，求解验根即可．

本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系，列出分式方程是解题的关键．

20.【答案】9.6

8

3和20

解析：解：(1)x-=6+3+1+8+3+2+20+9+18+16+2011≈9.6(家)，

从小到大排列：1，2，3，3，6，8，9，16，18，20，20，

∴中位数：8，众数：3和20．

(2)列树状图如图所示：

由树状图可知，所有等可能结果有12种，其中正好抽中“平遥古城”和“介休绵山”的结果有2种．

∴小明恰好抽中“平遥古城”和“介休绵山”的概率为P=212=16．

(3)设平遥古城首道门票的标价为x元，根据题意

得0.6x+0.8(235-x)=163，

∴x=125，

当x=125时，235-125=110．

答：平遥古城首道门票的标价为125元，介休绵山首道门票的标价为110元．

(1)根据表中数据利用平均数的计算公式列式计算即可求得平均数，将数据从小到大排列后第21.【答案】勾股定理(或直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方)

直径所对的圆周角等于90°

解析：解：(1)勾股定理(或直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方)；

直径所对的圆周角等于90°．

(2)过点B作直径BE，分别连接OA，OE，OD，OC，AE．

∵BE是⊙O的直径，

∴∠EAB=90°，

∴∠2+∠E=90°，

∵AC⊥BD，

∴∠1+∠ACB=90°．

∵∠E=∠ACB，

∴∠1=∠2，

∵∠AOE=2∠2，∠DOC=2∠1；

∴∠AOE=∠DOC，

∴DC=AE，

∴AB2+CD2=AB2+AE2=BE2，

∴AB2+CD2=(2R)2=4R2；

(3)连接BD交AC于F，如图，

∵∠DBC=∠E，∠ACB+∠E=90°，

∴∠ACB+∠DBC=90°，

∴∠BFC=90°，AC⊥BD，

由(2)得：AB2+CD2=BE2=4R2，

∴AB2+CD2=64AB+CD=10(AB<CD)，

解得：AB=5-7CD=5+22.【答案】解：(1)CC'⊥AB，

证明：由折叠可知，CE=C'E，

∴∠ECC'=∠EC'C，

∵CE=BE，

∴BE=C'E，

∴∠EBC'=∠EC'B，

∵∠BCC'+∠CC'B+∠CBC'=180°，

∴2∠BC'E+2∠CC'E=180°

∴∠BC'E+∠CC'E=90°，

∴CC'⊥AB；

(2)“兴趣小组”得到的结论是正确的．

理由如下：

连接CC'，延长DE交CC'于点H，

由折叠可知，CE=C'E，

∴∠ECC'=∠EC'C，

∵CE=BE，

∴BE=C'E，

∴∠EBC'=∠EC'B，

∵∠BCC'+∠CC'B+∠CBC'=180°，

∴2∠BC'E+2∠CC'E=180°，

∴∠BC'E+∠CC'E=90°，

∴∠BC'C=90°，

又∵C，C'关于DH对称，

∴DH⊥CC'，

∴∠DHC=90°，

∴∠BC'C=∠DHC，

∴BF//DE，

∵四边形ABCD是菱形，DF//BE，

∴四边形BEDF是平行四边形；

(3)过点E作EF⊥AB，交AB的延长线于点F，

∵菱形纸片ABCD的边长为10，

∴BE=12BC=5，

∵AD//CB，

∴∠EBF=∠A，

∴tan∠EBF=EFBF=tan∠A=43，

∴设EF=4x，BF=3x，

则：BE=BF2+EF2=5x=5，

∴x=1，

∴EF=4，BF=3，

设BN=k，

则：NF=3+k解析：(1)由折叠推出CE=C'E=BE，等边对等角得到∠