《高等数学与工程数学》课件无穷级数

《高等数学与工程数学》课件无穷级数目录CONTENTS无穷级数基本概念与性质正项级数敛散性判别法任意项级数敛散性判别法幂级数展开与性质Fourier级数展开与性质无穷级数在工程数学中应用举例01无穷级数基本概念与性质无穷级数定义及分类无穷级数定义无穷级数是由无穷多个数相加而成的，这些数按照某种规则排列，可以表示为$sum_{n=1}^{infty}u_n$。无穷级数分类根据无穷级数的项$u_n$的性质，无穷级数可分为正项级数、交错级数和任意项级数。对于正项级数，常用的收敛判别法有比较判别法、比值判别法、根值判别法等；对于交错级数，常用的收敛判别法有莱布尼茨判别法。如果无穷级数的通项$u_n$不趋于零，或者部分和数列无界，则该无穷级数发散。收敛与发散判别法发散判别法收敛判别法VS如果无穷级数的每一项的绝对值所构成的级数收敛，则称原级数为绝对收敛。条件收敛如果无穷级数收敛，但其每一项的绝对值所构成的级数发散，则称原级数为条件收敛。绝对收敛绝对收敛与条件收敛123无穷级数的和是其部分和数列的极限，记为$S=lim_{ntoinfty}sum_{k=1}^{n}u_k$。无穷级数的和无穷级数具有线性性质、结合律和分配律等性质，但需要注意的是，无穷级数的乘法运算一般不满足交换律和结合律。无穷级数的性质无穷级数在数学分析、物理学、工程学等领域有着广泛的应用，如泰勒级数、傅里叶级数等。无穷级数的应用无穷级数性质探讨02正项级数敛散性判别法通过比较两个级数的通项大小关系，来判断它们的敛散性。比较判别法的基本思想适用于通项易于比较大小的正项级数，如等比级数、P-级数等。比较判别法的应用对于某些通项不易比较大小的正项级数，比较判别法可能无法直接应用。比较判别法的局限性比较判别法及其应用03比值判别法的局限性对于某些通项比值不存在或不易计算的正项级数，比值判别法可能无法直接应用。01比值判别法的基本思想通过计算级数相邻两项的比值，并根据比值的极限情况来判断级数的敛散性。02比值判别法的应用适用于通项比值为常数或极限存在的正项级数，如几何级数、等比级数等。比值判别法及其应用根值判别法的基本思想通过计算级数每一项的n次方根，并根据根值的极限情况来判断级数的敛散性。根值判别法的应用适用于通项根值为常数或极限存在的正项级数，如幂级数、指数级数等。根值判别法的局限性对于某些通项根值不存在或不易计算的正项级数，根值判别法可能无法直接应用。根值判别法及其应用积分判别法简介积分判别法的基本思想通过将正项级数的和与某个函数的积分进行比较，来判断级数的敛散性。积分判别法的应用适用于通项可以表示为某个函数的正项级数，如幂级数、三角级数等。积分判别法的局限性对于某些通项无法表示为函数或不易找到合适函数的正项级数，积分判别法可能无法直接应用。同时，积分判别法需要计算函数的积分，有时计算过程可能较为复杂。03任意项级数敛散性判别法交错级数敛散性判别法若交错级数的通项满足$a_{n+1}leqa_n$且$lim_{ntoinfty}a_n=0$，则该交错级数收敛。举例$sum_{n=1}^{infty}frac{(-1)^{n+1}}{n}$是一个收敛的交错级数。交错级数定义交错级数是正项和负项交替出现的级数。交错级数敛散性判别法若级数$sum_{n=1}^{infty}|a_n|$收敛，则称原级数$sum_{n=1}^{infty}a_n$绝对收敛。绝对收敛定义若原级数$sum_{n=1}^{infty}a_n$收敛，但其绝对值级数$sum_{n=1}^{infty}|a_n|$发散，则称原级数条件收敛。条件收敛定义绝对收敛的级数一定是收敛的，但收敛的级数不一定是绝对收敛的。条件收敛的级数在重排后可能改变其敛散性。关系绝对收敛与条件收敛关系Dirichlet判别法和Abel判别法Dirichlet判别法和Abel判别法常用于判断一些复杂级数的敛散性，特别是当通项不易直接比较时。应用若数列${a_n}$单调递减且趋于0，而数列${b_n}$的部分和数列有界，则级数$sum_{n=1}^{infty}a_nb_n$收敛。Dirichlet判别法若数列${a_n}$单调且有界，而数列${b_n}$单调递减且趋于0，则级数$sum_{n=1}^{infty}a_nb_n$收敛。Abel判别法04幂级数展开与性质幂级数定义形如$sum_{n=0}^{infty}a_nx^n$的级数称为幂级数，其中$a_n$为常数，$x$为自变量。收敛半径与收敛域对于幂级数$sum_{n=0}^{infty}a_nx^n$，存在正数$R$，当$|x|<R$时级数收敛，$|x|>R$时级数发散，称$R$为收敛半径，以原点为中心、$R$为半径的区间称为收敛域。和函数的性质在收敛域内，幂级数的和函数具有连续性、可导性和可积性。010203幂级数基本概念和性质通过幂级数的定义，将函数直接展开成幂级数的形式。直接展开法利用已知函数的幂级数展开式，通过变量代换、逐项求导或逐项积分等方法，将待展开函数转化为已知函数的形式，从而得到其幂级数展开式。间接展开法函数展开成幂级数方法和函数的连续性在收敛区间内，幂级数的和函数是连续的。内闭一致收敛性在收敛区间的任意闭子区间上，幂级数是一致收敛的。逐项求导与逐项积分在收敛区间内，幂级数的和函数可以逐项求导和逐项积分，结果仍为幂级数形式。幂级数在收敛区间内性质$e^x=sum_{n=0}^{infty}frac{x^n}{n!}$指数函数$sinx=sum_{n=0}^{infty}frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}$正弦函数$cosx=sum_{n=0}^{infty}frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}$余弦函数$ln(1+x)=sum_{n=1}^{infty}frac{(-1)^{n+1}x^n}{n}$（$-1<xleq1$）对数函数常见函数幂级数展开式05Fourier级数展开与性质Fourier级数基本概念和性质将周期为$2pi$的周期函数表示为无穷三角级数的形式，即$f(x)=frac{a_0}{2}+sum_{n=1}^{infty}(a_ncosnx+b_nsinnx)$，其中$a_n,b_n$为Fourier系数。收敛性当$f(x)$满足Dirichlet条件时，Fourier级数在$f(x)$的连续点处收敛于$f(x)$，在间断点处收敛于左右极限的算术平均值。奇偶性若$f(x)$为奇函数，则其Fourier级数只包含正弦项；若$f(x)$为偶函数，则其Fourier级数只包含余弦项。Fourier级数定义直接法间接法函数展开成Fourier级数方法利用已知函数的Fourier级数展开式，通过线性组合、逐项求导或逐项积分等方法得到目标函数的Fourier级数展开式。通过求解Fourier系数$a_n,b_n$，将函数展开成Fourier级数。具体步骤包括计算积分$int_{-pi}^{pi}f(x)cosnxdx$和$int_{-pi}^{pi}f(x)sinnxdx$，求解系数并代入级数公式。123逐项可积性一致收敛性Parseval等式Fourier级数在收敛区间内性质若$f(x)$的Fourier级数在区间$[a,b]$上一致收敛于$f(x)$，则在该区间内Fourier级数的和函数连续，且和函数的值等于$f(x)$在该区间内的值。若$f(x)$的Fourier级数在区间$[a,b]$上一致收敛，则在该区间内可以逐项积分，即$int_{a}^{b}f(x)dx=int_{a}^{b}(frac{a_0}{2}+sum_{n=1}^{infty}(a_ncosnx+b_nsinnx))dx$。若$f(x)$的Fourier级数在区间$[-pi,pi]$上一致收敛，则Parseval等式成立，即$frac{1}{pi}int_{-pi}^{pi}|f(x)|^2dx=|a_0|^2+2sum_{n=1}^{infty}(|a_n|^2+|b_n|^2)$。010203方波函数方波函数的Fourier级数展开式为$f(x)=frac{4}{pi}sum_{n=1}^{infty}frac{1}{2n-1}sinfrac{(2n-1)pix}{L}$，其中$L$为方波周期。锯齿波函数锯齿波函数的Fourier级数展开式为$f(x)=frac{A}{2}-frac{2A}{pi}sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n}sinfrac{2npix}{T}$，其中$A$为锯齿波幅值，$T$为锯齿波周期。三角波函数三角波函数的Fourier级数展开式为$f(x)=frac{8A}{pi^2}sum_{n=1}^{infty}frac{1}{(2n-1)^2}sinfrac{(2n-1)pix}{T}$，其中$A$为三角波幅值，$T$为三角波周期。常见函数Fourier级数展开式06无穷级数在工程数学中应用举例幂级数解法利用幂级数的性质，将微分方程转化为幂级数的等式，通过比较系数求解微分方程。傅里叶级数解法对于周期性微分方程，可以利用傅里叶级数展开为三角函数形式进行求解。无穷级数在求解微分方程中应用分离变量法对于某些偏微分方程，可以通过分离变量的方法将其转化为无穷级数的形式进行求解。积分变换法利用积分变换（如拉普拉斯变换、傅里叶变换等）将偏微分方程转化为无穷级数的等式，进而求解。无