概论概率新六章

引言

前面，我们讨论了参数点估计.它是用样本算得的一个值去估计未知参数.但是，点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，使用起来把握不大.区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷.第三节区间估计置信区间定义置信区间的求法单侧置信区间正态总体均值和方差的区间估计小结布置作业一、置信区间定义及求法满足设是一个待估参数，给定X1,X2,…Xn确定的两个统计量则称区间是的置信水平（置信度)为的置信区间.和分别称为置信下限和置信上限.若由样本置信度和置信区间的意义:置信区间的长度反映估计的精度；如何保证达到置信度（可靠度）置信度反映估计的可靠度.（用频率来解释）置信区间的可靠度和精度的矛盾；~N(0,1)选的点估计为,求参数的置信度为的置信区间.

例1

设X1,…Xn是取自

的样本，明确问题,是求什么参数的置信区间?置信水平是多少？寻找未知参数的一个良好估计.解一个包含待估参数的样本的的函数，其分布为已知.于是所求的置信区间为对给定的置信水平有从中解得对于给定的置信水平,根据U的分布，确定一个区间,使得U取值于该区间的概率为置信水平.

从例1解题的过程，我们归纳出求置信区间的一般步骤如下:1.明确问题,是求什么参数的置信区间?

置信水平

是多少?2.寻找参数的一个良好的点估计T=T(X1,X2,…Xn)

3.从T出发寻找一个含待估参数的样本

的函数W=W(X1,X2,…Xn),且其分布为已知.5.将不等式等价变形为4.对于给定的置信水平

，根据W的分布，确定常数a,b，使得注意：给定样本，给定置信水平，置信区间也

不是唯一的，区间的长度各不相同。~N(0,1)上例中取不同的a,b,可得到不同的置信区间在概率密度为单峰且关于y轴对称的情形，如标准正态分布和t分布,当a=-b时求得的置信区间的长度为最短.在置信水平相同的情况下，我们总是希望置信区间尽可能短.即使在概率密度不对称的情形，如分布，F分布，习惯上仍取对称的分位点来计算未知参数的置信区间.二、单侧置信区间

上述置信区间中置信限都是双侧的，但对于有些实际问题，人们关心的只是参数在一个方向的界限.

例如对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命过长没什么问题，过短就有问题了.

这时,可将置信上限取为+∞，而只着眼于置信下限，这样求得的置信区间叫单侧置信区间.于是引入单侧置信区间和置信限的定义：满足设是一个待估参数，给定若由样本X1,X2,…Xn确定的统计量则称区间是的置信水平为的单侧置信区间.定义称为的置信水平为的单侧置信下限.对于任意,满足若由样本X1,X2,…Xn确定的统计量则称区间是的置信水平为的单侧置信区间.称为的置信水平为的单侧置信上限.对于任意,~N(0,1)选的点估计为,求参数的置信度为的单侧置信上限.

例2

设X1,…Xn是取自

的样本，解对给定的置信水平有从中解得于是所求

的置信度为

的单侧置信上限为三、正态总体均值与方差的区间估计单个总体的情况两个总体的情况（一）、单个总体的情况并设为来自总体的样本,分别为样本均值和样本方差.均值的置信区间为已知可得到

的置信水平为的置信区间为或为未知可得到

的置信水平为的置信区间为此分布不依赖于任何未知参数由或

例有一大批糖果.现从中随机地取16袋,称得重量(以克计)如下:506508499503504510497512514505493496506502509496设袋装糖果的重量近似地服从正态分布,试求总体均值的置信水平为0.95的置信区间.解这里

的置信水平为的置信区间为即于是

的置信水平为的置信区间为可得到

的置信水平为的置信区间为方差的置信区间(未知的情形)由可得到标准差

的置信水平为的置信区间为由知

例有一大批糖果.现从中随机地取16袋,称得重量(以克计)如下:506508499503504510497512514505493496506502509496设袋装糖果的重量近似地服从正态分布,试求总体标准差的置信水平为0.95的置信区间.解这里

的置信水平为的置信区间为即于是得到的置信水平为的置信区间为（二）、两个总体的情况设已给定置信水平为,并设是来自第一个总体的样本,是来自第二个总体的样本,这两个样本相互独立.且设分别为第一、二个总体的样本均值,为第一、二个总体的样本方差.因为相互独立,所以相互独立.故或两个总体均值差的置信区间为已知便得到

的置信水平为的置信区间为或由

便得到

的置信水平为的置信区间为其中为未知由两个总体均值差的置信区间

例3为比较I,Ⅱ

两种型号步枪子弹的枪口速度,随机地取I型子弹10发,得到枪口速度的平均值为标准差随机地取Ⅱ

型子弹20发,得到枪口速度的平均值为标准差假设两总体都可认为近似地服从正态分布.且生产过程可认为方差相等.求两总体均值差的置信水平为0.95

的置信区间.解

依题意,可认为分别来自两总体的样本是相互独立的.又因为由假设两总体的方差相等

,但数值未知

,故两总体均值差的置信水平为的置信区间为其中这里故两总体均值差的置信水平为0.95的置信区间为即(3.07,4.93).两个总体方差比的置信区间(为未知)由即可得到

的置信水平为的置信区间为

例4研究由机器A

和机器B

生产的钢管的内径,随机地抽取机器A生产的钢管18只,测得样本方差随机地取机器B

生产的钢管13只,测得样本方差设两样本相互独立,且设由机器A

和机器B

生产的钢管的内径分别服从正态分布这里(i=1,2)

均未知.试求方差比的置信水平为0.90

的置信区间.这里即(0.45,2.79).解故两总体方差比的置信水平为0.90的置信区间为

某单位要估计平均每天职工的总医疗费，观察了30天,其总金额的平均值是170元,标准差为30元，试决定职工每天总医疗费用平均值的区间估计（置信水平为0.95）.解设每天职工的总医疗费为X，近似服从正态分布由中心极限定理，E(X)=,D(X)=则有三、课堂练习近似N(0,1)分布

使得均值