相似三角形-2022年《三步冲刺中考数学》之第1步重课本·理考点(解析版)

专题16相似三角形

许考分布「

7k

相似三角形是中学数学重要的重难点知识，中考中多以选择题、填空题、解答题的形式

出现，主要考查基本概念、基本技能，知识点之间相互转化与穿插，难度系数较难。主要体

现的思想方法：转化的思想、数形结合的思想等。

1.了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例。线段与黄金分割；

2.了解相似的意义；理解相似图形的性质，了解相似三角形判定定理和性质定理；

3.了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小；.

4.利用图形的相似解决一些实际问题（如利用相似测矍旗杆的）。

杀识框袤

I”-------------■-二----------

形状相同、对应角相等、对应边成比例的图形

两个比值相萼的式子

形状相罔

对应角相等

备—J对应边成比例

--------面积比是对应边比值的平方

周长比等于对应边之比

相似三角形的定义

表示方式

相似比

相似三角形的对应向相等

相似三角形的对应边成比例

相似三角形的对应高线的比等于相似比

相似三角形的对应中线的比等于相似比

相似三角形性质相似三角形的对应角平分线的比等于相似比

相似三角形的周长比等于相似比

相似三角抡的面枳比等于相似比的平方

相似三角形具有传递性

两边对应成比例夹角相等

____________________具备普通三角」的般方法

直角三角形—一条直角边与斜边对应成比例

重要考厂I

考点一：相似图形中的比例问题

主要利用相似三角形的性质定理，相似三角形的对应线段比值等于相似比，周长比值对应相

似比，面积比值对应相似比的平方。在求解三角形边长的过程中，通过相似求解对应高和底

的比值即可解决相关三角形对应线段，对应周长，对应面积的比值求解问题。

主要知识点概括：

(一).比例

1.第四比例项、比例中项、比例线段；

2.比例性质：

]abj

(1)基本性质：-=—<=>ad=be—=—ob-=ac

bdbc

aca+bc+d

(2)合比定理：一=—n--

bdbd

cma+c+・・・+ma,,八、

(3)等比定理：-———.••—二>------------------=—.(/z?+dH------F〃w0)

bdnb+dT-----\-nb

3.黄金分割：如图，若PA?=PBAB,则点P为线段AB的黄金分割点.A。？八B

4.平行线分线段成比例定理

如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。

(二湘似

1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.

2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例，对应角相等.

3.相似三角形的判定

(1)平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

(2)如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

(3)如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角

形相似。

(4)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形

相似。

4.相似三角形的性质

(1)对应边的比相等，对应角相等.

(2)相似三角形的周长比等于相似比.

(3)相似三角形的面积比等于相似比的平方.

(4)相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比.

5.三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

三角形中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

6相似三角形的应用：

1、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例(或等积式)；

2、利用三角形相似，求线段的长等

3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。如求河的宽度、求建筑物

的高度等。

7.位似

定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样

的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比•因此，位似

图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形.

性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.

注意：（1）位似图形是相似图形的一个特例，位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定

是位似图形.

（2）两个位似图形不仅相似而且对应点连线交于一点，对应边平行或在同一直线上

考点二：主要考查其他几何性质在相似三角形的中的综合应用，以及如何做好辅助线，构造

相似或者相似三角形所需要的条件。

1、角平分线的性质，三角函数，相似三角形的性质；

2、直角梯形，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质；

3、相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识;

4、正确作出辅助线，构造相似或者相似三角形所需要的条件。

考点三:相似三角形与圆的结合

圆周角定理，或者圆的切线性质，

垂径定理，从而转化到等腰三角形，利用等腰三角形的性质，勾股定理解直角三角形；

以此与圆相交的直线构成三角形，通过角度相等来获得相似三角形，再由相似三角形对应边

比值来求得线段长度。

加常用辅助线，构造平行线解决问题

一、单选题

1.（2021・湖南湘西•中考真题）如图，在AECD中，NC=9O。，AB_LEC于点B,AB=].2,

EB=1.6,BC=12.4,则CD的长是（）

A.14B.12.4C.10.5D.9.3

【答案】C

【分析】

由题意易得NABE=NC=90。，EC=14,则有AB〃CD,然后可得AABESAOCE,然后根

据相似三角形的性质可求解.

【解析】

解：VZC=90°,AB1EC,

ZABE=ZC=90°,

AB//CD,

△ABEs&DCE，

ABEB

CD~1EC

AB=1.2,EB=1.6,BC=12.4,

£0=14,

1.21.6

~CD~~14

CD=10.5；

故选c.

【点睛】

本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.

AnAp\

2.（2021・四川巴中・中考真题）如图，“8C中，点。、E分别在A8、4C上，且能二净之

DBEC2

下列结论正确的是（）

A.DE：BC=1：2

B.AAOE与AABC的面积比为1：3

C.AAOE与AABC的周长比为1：2

D.DE//BC

【答案】D

【分析】

根据相似三角形的判定与性质进行逐一判断即可.

【解析】

AE

V—一，

DBEC2

：.AD：AB=AE：AC=\：3,

NA=NA,

AADE^AABC,

：.DE-BC=1：3,故A错误；

,//\ADE^/\ABC,

；.△AOE与AA8C的面积比为I：9,周长的比为1；3,故8和C错误；

,//\ADE^/\ABC,

：.NADE=NB,

：.DE//BC.故。正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质.

3.（2021.辽宁沈阳•中考真题）如图，AABC与△A8C位似，位似中心是点O,若

。4:。4=1:2,贝IJ△45c与",耳G的周长比是（）

Ai

A.1:2B.1:3C.1:4D.1:72

【答案】A

【分析】

根据位似图形的概念得到AABCs^A与G，AC〃A£,进而得出AAOCs^A0G，根据

相似三角形的性质解答即可.

【解析】

解：•.•AABC与△AB©位似，

AABCs△%B£,AC//AG,

・•.A40cs△AOG,

.ACOA\

'^C~~OA~2,

...AABC与△AAG的周长比为1:2,

故选：A.

【点睛】

本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似图形是相似图形、位似图形的

对应边平行是解题的关键.

4.（2021•广西百色•中考真题）下列四个命题：①直径是圆的对称轴；②若两个相似四边形

的相似比是1：3,则它们的周长比是1：3,面积比是1：6;③同一平面内垂直于同一直线

的两条直线互相平行；④对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形.其中真命题有

（）

A.①③B.①④C.③④D.②③④

【答案】C

【分析】

根据有关性质，对命题逐个判断即可.

【解析】

解：①直径是圆的对称轴，直径为线段，对称轴为直线，应该是直径所在的直线是圆的对称

轴，为假命题：

②若两个相似四边形的相似比是1：3,面积比是1：9,而不是1：6,为假命题；

③根据平行和垂直的有关性质，可以判定为真命题：

④根据正方形的判定方法，可以判定为真命题；

故答案选C.

【点睛】

此题考查了命题的判定，熟练掌握命题有关内容的基础知识是解题的关键.

5.（2020・四川成都・中考真题）如图，直线/"34，直线4c和。尸被12,4所截，AB=5,

BC=6,EF=4,则OE的长为（）

10

A.2B.3C.4D.T

【答案】D

【分析】

根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入已知线段得长度求解即可.

【解析】

解：・・,直线h〃12〃b，

.ABDE

**BC-EF,

VAB=5,BC=6,EF=4,

-5_DE

••一=.

64

.nn_10

3

故选：D.

【点睛】

本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是

解此题的关键.

6.(2020.贵州遵义.中考真题)如图，AABO的顶点A在函数y=A(x>0)的图象上，ZABO

X

=90。，过A。边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交A8于点P、Q.若四边形MNQP

的面积为3,则％的值为()

【答案】D

【分析】

由==0用,9〃2知//08得到相似三角形，利用相似三角形的性质得到三角形之

间的面积关系，利用反比例函数系数的几何意义可得答案.

【解析】

解：AN=NM^OM,NQ//PM//OB,

:.zMi*4AMp4MAps

.S6MIQ_(AN)_I

四边形MNQP的面积为3,

.S<MN2_J_

''Q+3-4'

»&ANQ十。,

SIANQ=1,

"'•$A4Mp=4,

•,^MOH=9，

，k=2SMOB=18.

故选D.

【点睛】

本题考查的是相似三角形的判定与性质，反比例函数系数的几何意义，掌握以上知识是解题

的关键.

7.（2019・广西玉林・中考真题）如图，AB//EF//DC,AD//BC,EF与AC交于点G,则

是相似三角形共有（）

A.3对B.5对C.6对D.8对

【答案】C

【分析】

根据相似三角形的判定即可判断.

【解析】

图中三角形有：AAEG,MDC,\CFG,\CBA,

VAB//EF//DC,AD//BC

：.MEG^AADC^ACFG^CBA

共有6个组合分别为：AAEGsAAOC,MEG^ACFG,SAEG^\CBA,MDC^ACFG,

MDC^^CBA,\CFG^\CBA

故选C.

【点睛】

此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理.

8.（2021・四川巴中•中考真题）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即:

如图，点P是线段AB上一点(AP>8P),若满足三;=芸，则称点P是AB的黄金分割点.黄

APAB

金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观

众看上去感觉最好.若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在

舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是()

APB

A.(20-x)2=20XB.f=20(20-x)

C.x(20-x)=202D.以上都不对

【答案】A

【分析】

RpAp

点P是A8的黄金分割点，且PBV%,PB=x,®JM=20-X,WJ—=—，即可求解.

APAB

【解析】

解：由题意知，点P是AB的黄金分割点，

S.PB<PA,PB=x,则如=20-x,

.BPAP

"~AP~~AB，

(20-JC)2=20X,

故选：A.

【点睛】

本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题

的关键.

9.(2021・山东济南・中考真题)如图，在AABC中，ZABC=90°,ZC=30°,以点A为圆心,

以A8的长为半径作弧交AC于点。，连接8D,再分别以点8,。为圆心，大于;劭的长

为半径作弧，两弧交于点P，作射线转交BC于点E,连接。E,则下列结论中不正确的是

()

A

A.BE=DEB.DE垂直平分线段4c

C.=—D.BD?=BC•BE

S«MPC3

【答案】C

【分析】

由题中作图方法易证AP为线段BD的垂直平分线，点E在AP上，所以BE=DE,再根据,

ZAfiC=90。，NC=30。得到A48D是等边三角形，由“三线合一''得AP平分NB4C,则

NB4C=NC=30。，AE=CE,且30。角所对的直角边等于斜边的一半，故AB=AO=；AC,

所以DE垂直平分线段AC,证明\EDC~MBC可得型=里即可得到结论.

ABBC

【解析】

由题意可得：A£>=A8,点P在线段BD的垂直平分线上

:4)=43，，点A在线段BD的垂直平分线上

•.AP为线段BD的垂直平分线

,••点E在AP上，，BE=DE,故A正确；

ZAfiC=90°,ZC=30°,

二N&4C=60。且48=A。」AC

2

，为等边三角形且4)=CD

:.AB=AD=BD,

r.AP平分N8AC

ZEAC=-ZBAC=30°,

2

AE=EC，

；.££>垂直平分AC,故B正确;

■：AECD=ZACB=3G°,ZEDC=ZABC=90°,

:.\EDCs\ABC,

EDCDAB1

商一前一正一⑻

.•・电叱=(1=)=：故C错误;

S^ABC\\3)3

•,•ED=BE,AB=CD=BD

BEBD

~BD~~BC

:.BD2=BCBE,故D正确

故选C.

【点睛】

本题考查30。角的直角三角形的性质、线段垂直平分线的判定和性质，相似三角形的判定和

性质，掌握这些基础知识为解题关键.

10.（2021•四川绵阳•中考真题）如图，在△ACD中，4）=6,BC=5,AC2=AB（AB+BC）,

S.^DAB~^DCA,若A£>=3”，点。是线段A8上的动点，则PQ的最小值是（)

A后B.显c.fD

22-I

【答案】A

【分析】

根据相似三角形的性质舶喘=某得到的*日心4,过8作8人加于从

根据等腰三角形的性质得到AH=；AO=3,根据勾股定理得到

BH=用=阴万=用，当尸时，PQ的值最小，根据相似三角形的性质即

可得到结论.

【解析】

解：-.-^DAB-^DCA,

ADCD

••丽—茄’

.65+BD

~BD~-6-'

解得：BD=4（负值舍去）,

vADAB-ADCA,

.A。_8_9_3

\\B~~AD~6~29

3

AC=-AB

2f

-AC2=AB（AB+BC）,

..£回=A3（A3+BC）,

:.AB=4,

..AB=BD=4f

过3作3H_L4）于H,

/.AH=-AD=3,

2

BH=>]AB2-AH2=742-32=>/7，

・.•AO=3AP,AO=6,

AP=2,

当PQ_LA3时，P。的值最小,

ZAQP=ZAHB=90°,Z^42=/BAH

:2PQ〜ISABH,

AP_PQ

••茄一丽'

2PQ

-=-j=,

:PQ空,

故选：A.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅

助线构造相似三角形是解题的关键.

11.(2021.山东聊城•中考真题)如图，在直角坐标系中，点A,8的坐标为A(0,2),B(-

1,0),将△AB。绕点。按顺时针旋转得到△A/B/。，若则点4的坐标为()

A.(迈，还)B.(姮，述)C.(^)D,(^)

55553355

【答案】A

【分析】

先求出AB,04,再作辅助线构造相似三角形，如图所示，得到对应边成比例，求出OC

和4C,即可求解.

【解析】

解:如图所示，•.•点A,B的坐标分别为A(0,2),B(-1,0),

.♦.08=1,OA=2,

,,AB=JI2+2?=逐,

*.•ZAOB=90°f

：.ZA/OB/=90°,

：.OAiLOB/f

又〈AB上OBj,

：.OAi//AB,

AZ1=Z2,

过4点作4/CLx轴，

・•・NA/CO=NAOB,

:./XAOB^A^CO,

.A.OOC\C

•・茄一丽―茄’

'：0Ai=0A=2,

20cAe

.・.存=7=可’

0C=|6，/\C=|>/5,

.」2有4用

”〔可三J

故选：A.

【点睛】

本题综合考查了勾股定理、旋转的性质、相似三角形的判定和性质等内容，解决本题的关键

是理解并掌握相关概念，能通过作辅助线构造相似三角形等，本题蕴含了数形结合的思想方

法等.

12.（2021•内蒙古通辽•中考真题）如图，已知AD//8C,ABA.BC,A8=3,点E为射线BC

上一个动点，连接4E,将△ABE沿4E折叠，点8落在点8'处，过点3'作4。的垂线，分

别交A。，BC于M,N两点，当&为线段MN的三等分点时，BE的长为（）

C.或|忘D.卡或|不

【答案】D

【分析】

因为点为线段MN的三等分点，没有指明线段ZTM的占比情况，所以需要分两种情况讨

i2

论：②B'M=jMN.然后由一线三垂直模型可证.AMB's/NE,

再根据相似三角形的性质求得硒的值，最后由BE=BN-EN即可求得BE的长.

【解析】

当点8,为线段的三等分点时，需要分两种情况讨论：

①如图1,当夕时,

,/AD//BC,ABA.BC,MN工BC,

四边形AB/VM为矩形，

AB'M=-MN=-AB=},B'N=-MN=-AB=2,BN=AM.

3333

由折叠的性质可得A'3=A3=3,ZAB'E=ZABC=90°.

在Rt^AB,M中，AM=ylAB2-B,M2=732-12=2忘.

VZAB'M+AMAB'=90°,ZAB'M+ZEB'N=90°,

：./EB'N=NMAB',

：.AB'NES4AMB',

曷=箸‘即竿=击’解得硒考，

・•・BE=BN—EN=2屈一直=^~

22

2

②如图2,当时,

*.•AD//BC,ABLBC,MN1BC,

，四边形为矩形，

AB'M=-MN=-AB=2,B'N=-MN=-AB=l,BN=AM.

3333

由折叠的性质可得AB'=AB=3,ZAB'E=ZABC=9Q°.

在心"夕”中，AM=\lAB'2-B'M2=V32-22=5/5-

•/ZAB'M+AMAB'=9^Q,/AB'M+/EB'N=90。，

:.ZEB，N=/MAB',

:・4B'NEsAAMB',

・ENB'NnnEN1

>•----=----,即=-=~F=解得EN=—

B,MAM2y/55

JBE=BN-EN=y/5-^-=—,

55

综上所述，防的长为乎或管.

故选：D.

【点睛】

本题考查了矩形的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，由9为线段MV的三等分

点，分两种情况讨论线段B'M的占比情况，以及利用K型相似进行相关计算是解决此题的

关键.

二、填空题

13.（2021•湖南湘潭・中考真题）如图，在“U5C中，点。，E分别为边AB,AC上的点，

试添加一个条件：,使得AADE与AMC相似.（任意写出一个满足条件的即可）

【分析】

根据相似三角形的判定方法：两边成比例，夹角相等解题.

【解析】

AnAp

解：根据题意，添加条件法=就,

ZA=ZA

&ADE~^ABC

ADAE

故答案为:

Afi-AC

【点睛】

本题考查相似三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

14.（2021•上海长宁•一模）如果两个相似三角形对应边上的中线之比为5：4.那么这两个

三角形的周长之比为.

【答案】5:4

【分析】

根据相似三角形的性质可直接得出结论.

【解析】

解：：两个相似三角形的对应中线的比为5：4,

，其相似比为5：4,

；•这两个相似三角形的周长的比为5：4.

故答案为：5：4.

【点睛】

本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比是解题的

关键.

15.（2021•黑龙江大庆♦中考真题）已知则匚汇=________

234yz

【答案】|

O

【分析】

设再将x，y，z分别用左的代数式表示，再代入约去上即可求解.

【解析】

解：设]=]=j=人力0，

则x=2亿y=3Z,z=4k,

以f+孙Qk）2+2kx3k4公+6尸10公

故------=------------=---------=----=—5

yz3kx4kUk212k26

故答案为：。.

o

【点睛】

本题考查了比例的性质，正确用同一字母表示各数是解决此类题的关键.

16.（2021.上海.中考真题）如图，已知/也=5,则产=_________.

、ABCD乙、cBCD

D

【答案】|2

【分析】

先根据等高的两个三角形的面积比等于边长比，得出差=再根据△4。。62\。。8得出

DC2

%=婴=〈，再根据等高的两个三角形的面积比等于边长比计算即可

OB2

【解析】

解：作AE_L8C,CF±BD

S1

•S-2

°ABCD4

.,.△ABD和△88等高，高均为AE

o—AZ)・AEani

:.S“BD-2______JDJ

S.BCD-BC-AEBC5

2

U：AD//BC

：.△AODs^COB

.OPAD

U9~OB~~BC~2

,•,△BOC和△OOC等高，高均为CF

Q—OB'CFCA0

・・.S.BOC=2=OB=2

S.DOC-ODCF°。1

2

.S.BOC=2

S-BCD3

2

故答案为：y

【点睛】

本题考查相似三角形的判定和性质、等高的两个三角形的面积比等于边长比，熟练掌握三角

形的面积的特点是解题的关键

17.（2021.湖南郴州•中考真题）下图是一架梯子的示意图，其中AA//BBJ/CCJ2D、,且

AB=BC=CD.为使其更稳固，在A,2间加绑一条安全绳（线段4。），量得AE=0.4m,

则明=________

【答案】1.2

【分析】

根据平行线分线段成比例定理，可得AE=EF=FQ,进而即可求解.

【解析】

解：,/AA,HBB\HCC\HDD\,AB=BC=CD,

AE=EF=皿，

A£=0.4m,

ADt=3A£=L2m,

故答案是：1.2.

【点睛】

本题主要考查平行线分线段成比例定理，掌握''平行线所截得的对应线段成比例”，是解题的

关键.

18.（2021•山东东营・中考真题）如图，正方形纸片A8C£＞的边长为12,点F是AO上一点,

将沿C尸折叠，点。落在点G处，连接。G并延长交48于点E.若AE=5,则GE

的长为.

【答案】E

【分析】

因为折叠，则有。G_LCF,从而可知△AEDs/V/QC,利用线段比求出OG的长，即可求

出EG.

【解析】

如图，丁四边形A3CZ）是正方形，

.\Z1+Z2=9O°,

因为折叠，.•.ZX7，b,设垂足为H,

:.DH=HGf

.-.Z2+Z3=90°,

..MED^AHDC,

AEPH

访一灰，

•：AE=5,AD=DC=12,DE=y/AD2+AE2=13，

.5一DH

••一，

1312

・•,DH=—

13f

:.EG=ED-GD

=ED-2GH

=13-2x—

13

49

故答案为言.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理，找到

/\HDC是解题的关键.

19.（2021•湖北随州•中考真题）如图，在R/AABC中，ZACB=90°,。为A8的中点，OD

平分N4OC交AC于点G,OD=OA,8。分别与AC,0c交于点E,F,连接AD,CD,

则要的值为.,；若CE=CF,则要的值为

DCOF

【答案】y&

【分析】

（1）根据条件，证明△AOD=△（%>£>,从而推断NOG4=9（r,进一步通过角度等量，证

明AAOG〜△ABC,代入推断即可.

（2）通过。4=OD=OC=Q8,可知A,8,C,Q四点共圆，通过角度转化，证明

/\ODF-ACBF,代入推断即可.

【解析】

解：（1）VZACB=90°,。为A8的中点

?.OA=OC

又•:。。平分乙40c

ZAOD=ZCOD

又•：OD=OD

J/\AOD=/\COD

：.AD=CD

：.OD±AC

NOGA=90

在"OG与△ABC中

乙GM)=/BAC,ZOGA=ZBCA=90

・♦・/\AOG-Z\ABC

OGAO1

~BC~~AB~2

⑵：OA=OD=OC=OB

・・・A3,C,。四点共圆，如下图:

•:CE=CF

：./CEF=/CFE

又丁/CFE=/BFO

：.NCEF=ZBFO

":/\AOD=/\COD

：.AD=CD

AD=CD

：.NOBF=/CBE

ZBFO+ZOBF=ZCEF+ZCBE=90

即NBOC=90

,:OB=OC

・•・BC=V20C=垃OA=COD

•・•NOGA=NBCA=90

・♦・NODB=NFBC

■:/OFD=/CFB

:./XODF〜ACBF

.•乌=生=加

OFOD

故答案为：,近

【点睛】

本题考查三角形的相似，三角形的全等以及圆的相关知识点，根据图形找见相关的等量关系

是解题的关键.

二、解答题综合

一、解答题

1.（2017•重庆渝中•一模）已知：平行四边形4BCO,E是BA延长线上一点，CE与A。、BD

交于G、F.

【答案】见解析

【分析】

根据平行四边形的性质得到AO〃BC,AB//CD,得至DFGS^BFC,△DFC^^XBFE,

根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可.

【解析】

证明：♦.•四边形ABC。是平行四边形，

AAD//BC,AB//CD,

:.△DFGSXBFC,△DFC^/\BFE

.GFDFCFDF

*'CF-BF'

.GFCF

••=,

CFEF

^CF2=GFEF.

【点睛】

本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关

键.

2.（2021•浙江余杭•二模）如图，在aABC中，D、E分别是AB,AC上的点，NAED=NB,

△ABC用平分线AF交。E于点G,交BC于点、F.

/-＞、,几AO2/AG任

（2）设:不==，求工1的vl值.

AC3AF

Ad7

【答案】（1）见解析；（2）黑=：.

AF3

【分析】

（I）根据两组对应角相等的两个三角形相似，可证明△AEQs^ABC.

（2）根据相似三角形的性质结合已知条件A尸平分/8AC,判定

^ADG^/XACF,在结合已知条件嘿=],可以进行计算.

AC3

【解析】

（1）•:NAED=NB,ZBAC=ZDAE,

：./\AED^^ABC；

（2）V/\AED^/\ABC,

：.ZADE^ZACB,

尸平分/BAC,

：.ZDAG^ZCAF,

：.AADG^AACF,

.AGAD_2

'•寿一就一§•

【点睛】

本题考查了相似三角形的性质和判定.相似三角形的对应边成比例，解答本题，要找到两组

对应角相等，灵活运用是关键.

3.（2018•上海普陀•一模）如图所示,在^ABC中，点。在边BC上，联结AD,/ADB=NCDE,

DE交边AC于点E,OE交8A延长线于点凡S.AD2=DE»DF.

(1)求证：△BFDs^CAD；

(2)求证：BF・DE=AB・AD.

【答案】(1)见解析；(2)见解析

【分析】

(1)根据已知条件证明△A£»ESZ\FD4,推出/D4E=NF,依据/C£>E,推出

ZFDB=ZADC,即可得到结论；

RFAD

(2)根据△BEDsaCA。，推出笠=等，ZB=ZC,得到AB=AC,由此推出结论.

ACDE

【解析】

解：(1)U：AD2=DE^DF.

,ADDF

••方一布’

又：ZADE=ZFDAf

：.XADEsRFDA,

：./DAE=NF,

丁NADB=NCDE,

・・・NFDB:/ADC,

：.△8EDs△eg

(2)*：△BFDsACAD,

.BFDF

•・就一茄’

..ADDF

•~DE~~^DJ

.BFAD

^~AC~~DEf

■:ABEDSACAD,

：.NB=NC,

：.AB=AC,

.BFAD

••----=-----,

ABDE

：・BF・DE=AB・AD.

【点睛】

此题考查相似三角形的判定及性质，熟记相似三角形的判定及性质定理并熟练应用解决问题

是解题的关键.

4.(2021•上海金山•二模)如图，已知在梯形ABC。中，AD//BC,对角线8。平分NABC,

点G在底边8c上，联结。G交对角线4C于F,NDGB=NDAB.

(1)求证：四边形ABG。是菱形；

(2)联结EG,求证：BG・EG=BC,EF.

【答案】(1)见解析；(2)见解析.

【分析】

(1)先证四边形ABG。是平行四边形，再由菱形的判定可得结论；

AnEF

(2)由“SAS'可证△然£0ZiGBE,可得反AAE,由相似三角形的性质可得可二年，即

BCAE

可得结论.

【解析】

证明：(1)•:ADIIBC,

：./£>A8+NA8G=180°,ZDGB+ZADG=\S00,

*//DGB=ZDABf

：.ZABG=ZADG,

・・・四边形ABGD是平行四边形,

YBO平分NA8C,

/ABD=/GBD,

":ADHBG,

：.ZADB=ZABD=/GBD,

：.AB=AD,

・・・四边形A3G。是菱形；

(2)如图，连接EG,

D

E

BGC

・・•四边形A8G。是菱形，

：.AB=BG=AD,NABE=NGBE,

在△48后和4GBE中,

AB=BG

/ABE=/GBE,

BE=BE

:、XABEgXGBE(SAS),

:・EG=AE,

・：ADHBC,

：.XADEsXCBE,

.ADDE

••正一床’

,:DFHAB,

.DEEF

^~BE~~AE9

.ADEF

^~BC~~AE"

♦：AD=BG,AE=EG,

.BGEF

**BC-EG*

：・BG*EG=B(yEF.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识,

灵活运用这些性质解决问题是本题的关键.

5.(2021•山东济南•中考真题)在△ABC中，Z£MC=90°,AB=AC,点。在边8C上，

BD=；BC,将线段03绕点。顺时针旋转至OE,记旋转角为。，连接BE,CE,以CE为

斜边在其一侧制作等腰直角三角形CE尸.连接A尸.

(1)如图1,当1=180。时，请禀撰写中线段A尸与线段8E的数量关系；

(2)当0°<a<180。时，

①如图2,(1)中线段AF与线段BE的数量关系是否仍然成立？请说明理由；

②如图3,当B,E,尸三点共线时，连接AE,判断四边形AECF的形状，并说明理由.

【答案】(1)BE=&F;⑵①BE=&AF成立，理由见解析；②平行四边形，理由见

解析；

【分析】

(1)如图1,证明M//EF,由平行线分线段成比例可得==黑，由45。的余弦值可得

ECBE

BE=-J2AF;

(2)①根据两边成比例，夹角相等，证明AABCSAFEC,即可得空=g=&；

AFAC

②如图3,过A作AVL5C,连接MF,AC,EF交于点N,根据已知条件证明EZ)〃尸M,根

据平行线分线段成比例可得BE=2EF,根据锐角三角函数以及①的结论可得AF=EC,

根据三角形内角和以及AABCSAF£C可得进而可得AB//EC,即可证明四

边形AECF是平行四边形.

【解析】

(1)如图1,

VABAC=90°,AB=AC,

.".ZB=ZC=45°,

•・・△CE/是以EC为斜边等腰直角三角形，

ZFEC=45°,Z.EFC=90°,

:.ZB=/FEC,

・•.AB//EF,

FCAF

,~EC~~BE'

Fc^2

,/cosC=----=cos45°=——，

EC2

AFy/2

---=—,

BE2

即JBE=0AF;

（2）①=仍然成立，理由如下:

如图2,

A

VZR4C=90°,AB=AC,

/.ZABC=ZAC^=45°,

・・•△CE/是以EC为斜边等腰直角三角形,

\2FCE45?,ZEFC=90°,

・•・/FCE=ZACB,

cosZFCE=cosZACB,

HrlFCACA”6

即---=---=cos45=——，

ECBC2

•・•/FCE=ZACB,

Z1+ZACE=N2+ZACE,

.•21=/2,

.-.△FCA^AECB,

.AFAC

即BE=yf2AF;

②四边形AEtT是平行四边形，理由如下：

如图3,过A作连接MEAC,EF交于点、N,

vZfi4C=90°,AB=ACf

/.BM=MC==BC,

2

・；DB=DE,

:./EBD=/DEB,

・•./EDC=2/EBD,

•••△CEF是以EC为斜边等腰直角三角形,

:.NEFC=900,

,:B,E,/三点共线，

•;BM=MC,

:.MF=-BC=BM,

2

/./FBC=NBFM,

/FMC=2/FBC,

NFMC=/EDC,

ED//FM,

BEBD

•・・BD=-BC,

3

：.DM=BM-BD=-BC--BC=-

236f

BD2

---=-,

DM1

.BEBD_2

"EF-DM-T，

；.BE=2EF,

由①可知BE=在AF，

:.AF=^j2EF，

•・•△CEF是以EC为斜边等腰直角三角形，

；.EF=FC,EC=6EF,

AF=EC,

・.AFCA^AECB,

:.ZEBC=ZFAC,

\ZBNC=ZANF,

ZAFN=180°-ZFAC-ZANF,ZNCB=180。—ZFBC-ZBNC,

・•.ZAFN=/NCB,

即ZAFE=ZACB=45°f

•/ZFEC=45°,

；.ZAFE=/FEC,

AFIIEC,

••・四边形才是平行四边形.

【点睛】

本题考查了等腰三角形性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边，平行线分线段成比例，相

似三角形的性质与判定，平行四边形的判定，熟练掌握平行线分线段成比例以及相似三角形

的性质与判定是解题的关键.

6.（2021・辽宁鞍山•中考真题）如图，在AABC中，AB^AC,ZB^C=a（00<a<180°）,

过点A作射线AM交射线BC于点。，将AM绕点A逆时针旋转a得到AN,过点C作CF//AM

交直线AN于点F,在AM上取点E,使NA£S=NACB.

（1）当AM与线段8C相交时，

①如图1,当a=60。时，线段CE和CF之间的数量关系为.

②如图2,当。=90。时，写出线段AE,"和CF之间的数量关系，并说明理由.

4

（2）当tana=§,AB=5时，若是直角三角形，直接写出A尸的长.

【分析】

（1）①结论：AE=CF+CE.如图1中，作C77/AF交AM于T.想办法证明A7=CF,

ET=CE,可得结论.

②结论：EC=yf2CAE-CF）.过点C作CQ_LAE于Q.想办法证明CF=AQ,CE=~j2EQ,

可得结论.

（2）分两种情形:如图3—I中，当ZCD£=90°时，过点8作区/，AC于J,过点尸作FK，AE

于K.利用勾股定理以及面积法求出CQ,再证明FK=CZ）,可得结论.如图3—2中，当

NECC^9（）。时，ND4B=90。，解直角三角形求出4K,可得结论.