数学一次函数奥数及重点中考难题详解

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例2（2000年全国初中数学竞赛试题）一个一次函数图象与直线y=]x+1平行，

与x轴、y轴的交点分别为A、B,并且过点（-1,-25）,则在线段AB上（包括端点A、B）,

横、纵坐标都是整数的点有（）.

（A）4个（B）5个（C）6个（D）7个

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分析：根据所求一次函数图象与直线y=]x+1平行且过点（-1,-25）,即可确定

该函数的解析式，然后采用列举法进行分析.

5955

解：设与直线y=Ix+Z-平行的直线的方程为y=]x+k,又（T,-25）在直线y=?

95

x+k上，得k=-4•

595

因为A、B为y=]x-与x轴、y轴的交点，所以A（19,0）,B（0,-4）・

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=（x-19），0WxW19,x-19必须是4的整数倍，只有当x=3,7,

又y=4x-44

11,15,19时，y为整数，

因此在线段AB上（包括端点A、B）,横、纵坐标都是整数的点有5个，选B.

评注：所谓横坐标、纵坐标都是整数的点，即求该函数解析式（二元一次方程）在某

范围内的整数解.

例3（2005年富阳市初二数学竞赛）不论k为何值，解析式（2k-l）x-（k+3）y-

（k-11）=0表示的函数的图象经过一定点，则这个定点是.

分析：该题是“直线束”问题，可在k的取值范围内取两个定值两条特殊直线求得交点，

再证明其他直线必过此点.

解：因为已知函数是一次函数，故k+3W0,分别令k=l与k=2,得

^-4^+10=0Jx=2

3x—5y+9=O解得jy=3，即两特殊直线相交于点A（2,3），

而当x=2时，函数式为2（2k-l）-（k+3）y-（k-11）=0.

整理得（k+3）y=3（k+3）,

所以k取不等于-3的任何值时，y=3.当x=2时，必得y=3.

不论k为何值该一次函数的图象恒过定点（2,3）.

评注：利用“不论”性，取k的任意两个特殊值，代入函数关系式，求出x、y的值,

再验证所求得的x、y值适合函数关系式，从而确定函数图象恒过定点，这是解决这类问题

常用的方法.此外本题还可利用一次方程2*=13有无数解的条件来解，同学们不妨一试.

例4（2005年富阳市初二数学竞赛）在一次函数y=-x+3的图象上取一点P,作PA

±x轴，垂足为A,作PBJ_y轴，垂足为B,且矩形OAPB的面积为乙，则这样的点P共有（）

4

（A）4个（B）3个（C）2个（D）1个

分析：设点P的坐标为（x,-x+3），则矩形0APB的面积表示为Ix|X|-（-x+3）|

9

=|X2-3X|=~,然后分两种情况进行讨论.

解：选（B）.

评注：本题通过数形互动，结合一元二次方程实根个数来确定符合条件的点的个数，这

是解决这类问题常用方法.止匕外，由点的坐标表示距离时，不能忘记加绝对值.

例5（2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题）设0<k<l,关于x的一次函

数丫=1«+1（1-x）,当1WXW2时的最大值是（）

k

1£1

(A)k(B)2k-T(D)k+7

k©Ik

J_11伏+1)(1)

分析：y=（k-4）x+女，V0<k<l,Ak-7=k<0,该一次函数

11

的值随X的增大而减小，当1WXW2时，最大值为k-1+/=k.

解：选（A）.

评注：对于自变量有限范围的一次函数极值问题，应结合一次函数的增减性来确定.

例6（2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）初赛试题）设直线y=kx+k-l和直线y=

（k+1）x+k（k是正整数）与x轴围成的三角形面积为Sk,则S1+S2+S3+…+S2006的值是.

分析：先求出直线y=kx+k-l和直线y=(k+1)x+k的交点，再求出这两条直线与x轴

围成的三角形面积&的表达式.

[y=kx+k-lIx=-1

解：因为方程组jy=(k+1)%+k的解为=

所以这两直线的交点(-1,-1),

直线y=kx+k-l和直线y=(k+1)x+k(k是正整数)与x轴的交点分别是

1—上0),(—%

11-Z—k1J_]

叶川X--=21I-l+T1-

所以S1+S2+S3+…S2006

j_LLLLL

(1-++-

222-334

1111、1003

----------------)=—x(1---------)=------

20062007220072007-

111

评注：本题在求解过程中的关键是：将k(k+l)拆成/ITl这是常用技

巧.

评注：仔细审题，观察图象，应弄清进水时，每分钟4L；既进又放时，每分钟净增水

1L,故每分钟放水为3L,这是解本题的关键.

例8(2006年全国初中数学竞赛(海南赛区))在平面直角坐标系中，已知A(2,

-2)，点P是y轴上一点，则使A0P为等腰三角形的点P有()

(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个

分析:分三种情况来讨论，即：如图所示，①以0为顶点的等腰三角形有：△OPiA,△OPzA；

②以A为顶点的等腰三角形是△OP3A；③以P为顶点的等腰三角形是△0PA因此，满足条

件的点P有4个.

O

鸟

2

舄

解：选(D).

评注：分类讨论是重要的数学思想方法，竞赛题中经常出现需要分类的考题，这类问

题的求解，既要有扎实的基础知识，也要有一定的分析问题和综合解决问题的能力，要强化

这方面的训练.

例10(2006年四川省数学竞赛初二初赛试题)平面直角坐标系内有A(2,-1),B(3,

3)两点，点P是y轴上一动点，求P到A、B距离之和最小时的坐标.

分析：根据几何模型，得出点A关于y轴对称点A'的坐标，再由待定系数法求出直线

A'B解析式，就可得解.

解：如图，点A关于y轴对称的点为A'(-2,-1),

-l=-2k+b

设过A'、B两点的直线的一次函数为y=kx+b,有［3=3左+0解得

4

k

3

b

5

43

.•.y==x+《.

3。

当x=0时，y=q，即直线A'B与y轴父于点(0,C),

DJ

3

可得所求点p的坐标为(o,5).

a+b_b+cc+a

13.已知abcWO,而且「ab=p,那么直线y=px+p一定通过

()

(A)第一、二象限(B)第二、三象限

(C)第三、四象限(D)第一、四象限

a+b_b+c_c+a

13.B提示：：0—q一力=P

(a+b)+(b+c)+(c+a)

①若a+b+cHO,则p=a+b~+；c=2；

a+b_-c

②若a+b+c=O,则p==-=-l,

C

・••当p=2时,y=px+q过第一、二、三象限;

当p=T时，y=px+p过第二、三、四象限，

综上所述，y=px+p一定过第二、三象限.

7.由方程|x-1|+|y-1|=1确定的曲线围成的图形是什么图形，其面积是多少？

7.当x2l,yNl时，y=-x+3；当x2l,y<l时，y=xT；

当x〈l,y21时，y=x+l；当x<1,y<l时，y=-x+l.

由此知，曲线围成的图形是正方形，其边长为友,面积为2.

（2007南充市）平面直角坐标系中，点A的坐标是（4,0）,点P在直线y=-x+加上,

且AP=。尸=4.求加的值.

"y

OA

解：由已知AP=OP,点P在线段的垂直平分线PM上................（2分）

如图，当点尸在第一象限时，OM=2,OP=4.

在RtAOPM中，PM=\JOP2-OM2=742-22=273..................（4分）

?.P（2,2A/3）.

,/点尸在y=-x+加上，m=2+2s/3.............................（6分）

当点P在第四象限时，根据对称性，P'（（2,一26）.

点P'在），=一工+机上，，机=2—2百.............................（8分）