2023-2024学年湘教版必修第二册 4-2平面 课件（40张）

4.2平面新知初探·课前预习题型探究·课堂解透最新课程标准学科核心素养1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义．2．了解关于平面的三个基本事实．1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法．(数学抽象)2．能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系．(直观想象)3．能用三个基本事实证明简单的共面、共线问题．(逻辑推理)新知初探·课前预习教材要点要点一平面概念几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体中抽象出来的，是无限延展的画法通常用一个平行四边形来代替平面表示方法(1)用小写希腊字母：如α，β，γ，…来表示；(2)用表示平面的平行四边形顶点字母表示；(3)用表示平面的平行四边形的对角顶点字母来表示．状元随笔(1)平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量；(2)平面无厚薄、无大小，是无限延展的．要点二空间中点、线、面的位置关系的符号表示数学符号表示文字语言表达图形语言表达________点A在直线l上________点A在直线l外________点A在平面α内________点A在平面α外A∈lA∉lA∈αA∉α________直线l在平面α内________直线l在平面α外________直线l，m相交于点A________平面α，β相交于直线ll⊂αl⊄α

要点三平面的基本事实与推论

内容图形符号推论基本事实1如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线在这个平面内A∈l，B∈l且A∈α，B∈α⇒______

基本事实2过_____________的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α推论1一条直线和直线外一点确定一个平面．推论2两条相交直线确定一个平面．推论3两条平行直线确定一个平面．两个点AB⊂α不在一条直线上基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α且

P∈β⇒____________

状元随笔(1)基本事实1的作用：①用直线检验平面(常被应用于实践，如泥瓦工用直的木条刮平地面上的水泥浆)；②判断直线是否在平面内(经常被用于立体几何的证明中).(2)基本事实2的作用：①确定平面；②证明点、线共面.基本事实2中要注意条件“不在同一条直线上的三点”，事实上，共线的三点是不能确定一个平面的．同时要注意经过一点、两点或在同一条直线上的三点可能有无数个平面；过不在同一条直线上的四点，不一定有平面．因此，要充分重视“不在同一条直线上的三点”这一条件的重要性．(3)基本事实3的主要作用：①判定两个平面是否相交；②证明共线问题；③证明线共点问题．基本事实3强调的是两个不重合的平面，只要它们有公共点，其交集就是一条直线．以后若无特别说明，“两个平面”是指不重合的两个平面．基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)有一个平面的长是50m，宽是20m，厚20cm.(

)(2)一条直线和一个点可以确定一个平面．(

)(3)空间不同的三点可以确定一个平面．(

)(4)四边形是平面图形．(

)××××2．如果a⊂α，b⊂α，l∩a＝A，l∩b＝B，那么下列关系成立的是(

)A．l⊂α

B．l∉αC．l∩α＝A

D．l∩α＝B答案：A

3．如果空间四点A、B、C、D不共面，那么下列判断正确的是(

)A．A、B、C、D四点中必有三点共线B．A、B、C、D四点中不存在三点共线C．直线AB与CD相交D．直线AB与CD平行答案：B解析：A、B、C、D四点中若有三点共线，则必与另一点共面；直线AB与CD既不平行也不相交，否则A、B、C、D共面．题型探究·课堂解透题型1文字语言、图形语言、符号语言的相互转化例1

(1)若A，B表示点，a表示直线，α表示平面，则下列叙述中正确的是(

)A．若A⊂α，B⊂α，则AB⊂αB．若A∈α，B∈α，则AB∈αC．若A∉a，a⊂α，则AB∉αD．若A∈a，a⊂α，则A∈α解析：点与面的关系用符号∈，而不是⊂，所以选项A错误；直线与平面的关系用⊂表示，则AB∈α表示错误；点A不在直线a上，但只要A，B都在平面α内，也存在AB⊂α，选项C错误；A∈a，a⊂α，则A∈α，所以选项D正确．故选D.答案：D(2)如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．

方法归纳(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着先用文字语言表示，再用符号语言表示．(2)要注意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”表示；直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”表示．(3)根据已知符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．跟踪训练1

(1)已知α，β是不同的平面，l，m，n是不同的直线，P为空间中一点．若α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，m∩n＝P，则点P与直线l的位置关系用符号表示为________．P∈l

(2)根据下列条件画出图形：α∩β＝AB，a⊂α，b⊂β，a∥AB，b∥AB.解析：图形如图所示．题型2点、线共面问题例2

已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．

方法归纳证明点线共面的常用方法(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．跟踪训练2

如图，已知直线a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：直线a，b，c和l共面．解析：方法一(辅助平面法)因为a∥b，所以a，b确定一个平面α.因为A∈a，B∈b，所以a∈α，B∈α.又A∈l，B∈l，所以l⊂α.因为C∈l，所以C∈α，所以直线a与点C同在平面α内．又a∥c，所以直线a，c确定一个平面β.因为C∈c，c⊂β，所以C∈β，即直线a与点C同在平面β内．由推论1，可得平面α和平面β重合，则c⊂α.所以a，b，c，l共面．方法二(纳入平面法)因为a∥b，所以a，b确定一个平面α.因为A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α.又A∈l，B∈l，所以l⊂α.则a，b，l都在平面α内，即b在a，l确定的平面内．同理可证c在a，l确定的平面内．因为过a与l只能确定一个平面，所以a，b，c，l共面于a，l确定的平面．题型3三点共线、三线共点问题例3

如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1的中点．求证：CE，D1F，DA三线交于一点．

方法归纳(1)证明三点共线的方法(2)证明三线共点的步骤跟踪训练3

已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图．求证：P，Q，R三点共线．

易错辨析忽略基本事实的重要条件致误例4已知A，B，C，D，E五点中，A，B，C，D共面，B，C，D，E共面，则A，B，C，D，E五点的位置关系是(

)A．共面B．不共面C．共线D．不确定答案：D解析：分两类进行讨论．(1)若B，C，D三点不共线，则它们确定一个平面α.因为A，B，C，D共面，所以点A在平面α内．因为B，C，D，E共面，所以点E在平面α内．所以点A，E都在平面α内，即A，B，C，D，E五点一定共面．(2)若B，C，D三点共线于l，若A∈l，E∈l，则A，B，C，D，E五点一定共面，但平面不唯一；若A，E中有且只有一个在l上，则A，B，C，D，E五点一定共面；若A，E都不在l上，则A，B，C，D，E五点可能共面，也可能不共面．易错警示易错原因纠错心得解本题时易误认为因为A，B，C，D共面，所以点A在B，C，D所确定的平面内，因为B，C，D，E共面，所以点E也在B，C，D所确定的平面内，所以点A，E都在B，C，D所确定的平面内，即A，B，C，D，E五点一定共面．以上错解忽略了基本事实1中“不在一条直线上的三个点”这个重要条件．实际上B，C，D三点有可能共线．对于确定平面问题，在应用基本事实1及三个推论时一定要注意它们成立的前提条件．课堂十分钟1．下列四个选项中的图形表示两个相交平面，其中画法正确的是(

)答案：D解析：画两个相交平面时，被遮住的部分用虚线表示．2．空间中，可以确定一个平面的条件是(

)A．三个点

B．四个点C．三角形

D．四边形答案：C解析：由平面的基本性质及推论得：在A项中，不共线的三个点能确定一个平面，共线的三个点不能确定一个平面，故A项错误；在B项中，不共线的四个点最多能确定四个平面，故B项错误；在C项中，由于三角形的三个顶点不共线，因此三角形能确定一个平面，故C项正确；在D项中，四边形有空间四边形和平面四边形，空间四边形不能确定一个平面，故D项错误．3．如果A点在直线a上，而直线a在平面α内，点B在α内，可以表示为(

)A．A⊂a，a⊂α，B∈α