高三数学一轮提能一日一讲（11月27日）

一、填空题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．1.(2013·湖北武汉模拟)如图所示，平行四边形ABCD中，AEBE＝12，若△AEF的面积等于1cm2，则△CDF的面积等于________cm2.解析∵AB∥CD，∴△AEF∽△CDF，又eq\f(AE,CD)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(1,3)，且相似三角形的面积之比等于对应边的比的平方．∴△CDF的面积等于9cm2.答案92.(2013·广东佛山模拟)如图所示，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，若BC＝3，DE＝2，DF＝1，则AB的长为________．解析∵DE∥BC，EF∥CD，又BC＝3，DE＝2，DF＝1，∴eq\f(AF,FD)＝eq\f(AE,EC)＝eq\f(AD,DB)＝2.∴AF＝2，AD＝3，BD＝eq\f(3,2)，则AB的长为eq\f(9,2).答案eq\f(9,2)3.如图所示，直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝4，以BC为直径的圆交边AC于点D，AD＝2，则∠C的大小为________．解析连接BD，∵BC为直径，∴∠BDC＝90°.∴∠ABD＝∠BCD，在直角△ABD中，∵AD＝2，AB＝4，∴∠ABD＝30°，故∠C＝∠ABD＝30°.答案30°4．(2013·重庆卷)如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为________．解析由已知BC＝ABsin60°＝10eq\r(3)，由弦切角定理∠BCD＝∠A＝60°，所以BD＝BCsin60°＝15，CD＝BCcos60°＝5eq\r(3)，由切割线定理CD2＝DE·BD，所以DE＝5.答案55.(2013·湖北卷)如图所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E.若AB＝3AD，则eq\f(CE,EO)的值为________．解析连接AC，BC，则AC⊥BC，又AB＝3AD，则AD＝eq\f(1,3)AB，BD＝eq\f(2,3)AB，OD＝eq\f(1,6)AB，OC＝eq\f(1,2)AB，△ABC中，CD2＝AD·BD＝eq\f(2,9)AB2，△OCD中，OD2＝OE·OC，CD2＝CE·OC可得：OE＝eq\f(1,18)AB，CE＝eq\f(4,9)AB，eq\f(CE,EO)＝8.答案86．(2013·广东惠州5月)如图所示，已知AD＝5，BD＝8，AO＝3eq\r(10)，则圆O的半径OC的长为________．解析取BD的中点M，连接OM，OB，则OM⊥BD，因为BD＝8，所以DM＝MB＝4，AM＝5＋4＝9，所以OM2＝AO2－AM2＝90－81＝9，所以半径OB＝eq\r(OM2＋BM2)＝eq\r(9＋16)＝eq\r(25)＝5，即OC＝5.答案57.(2013·天津和平5月)如图所示，圆M与圆N交于A，B两点，以A为切点作两圆的切线分别交圆M和圆N于C，D两点，延长DB交圆M于点E，延长CB交圆N于点F，已知BC＝5，BD＝10，则AB＝________；eq\f(CF,DE)＝________.解析根据弦切角定理，知∠BAC＝∠BDA，∠ACB＝∠DAB，故△ABC∽△DBA，则eq\f(AB,DB)＝eq\f(BC,BA)，故AB2＝BC·BD＝50，AB＝5eq\r(2).根据切割线定理，知CA2＝CB·CF，DA2＝DB·DE，两式相除，得eq\f(CA2,DA2)＝eq\f(CB,DB)·eq\f(CF,DE)(*)．由△ABC～△DBA，得eq\f(AC,DA)＝eq\f(AB,DB)＝eq\f(5\r(2),10)＝eq\f(\r(2),2)，eq\f(CA2,DA2)＝eq\f(1,2)，又eq\f(CB,DB)＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2)，由(*)得eq\f(CF,DE)＝1.答案5eq\r(2)18．(2013·陕西卷)如图所示，弦AB与CD相交于⊙O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知PD＝2DA＝2，则PE＝________.解析由PE∥BC得∠PED＝∠C＝∠A，△APE中与△EPD中，∠APE＝∠EPD，∠PED＝∠A，故△PDE∽△PEA，则eq\f(PD,PE)＝eq\f(PE,PA)，即PE2＝PA·PD，又PA＝PD＋DA＝3；PD＝2，故PE2＝2×3＝6，则PE＝eq\r(6).答案eq\r(6)9.(2013·天津卷)如图所示，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F.若AB＝AC，AE＝6，BD＝5，则线段CF的长为________．解析由切割线定理EA2＝EB·ED，得62＝EB·(EB＋5)，经计算EB＝4，∠EAB＝∠ACB＝∠ABC，所以AE∥BC，又因为AC∥BD，所以四边形AEBC是平行四边形，可得BC＝AE＝6，AC＝EB＝4.∠C＝∠C，∠CAF＝∠D＝∠C＝∠ABC，所以△CAF∽△CBA，所以eq\f(AC,BC)＝eq\f(CF,AC)，即CF＝eq\f(AC2,BC)＝eq\f(16,6)＝eq\f(8,3).答案eq\f(8,3)二、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．10．(本小题10分)(2013·云南大理二模)如图所示，在正△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝eq\f(1,3)BC，CE＝eq\f(1,3)CA，AD，BE相交于点P，求证：(1)四点P、D、C、E共圆；(2)AP⊥CP.证明(1)在△ABC中，由BD＝eq\f(1,3)BC，CE＝eq\f(1,3)CA知△ABD≌△BCE，∴∠ADB＝∠BEC，即∠ADC＋∠BEC＝π.∴四点P、D、C、E共圆．(2)如图所示，连接DE.在△CDE中，CD＝2CE，∠ACD＝60°，由正弦定理知∠CED＝90°.由四点P，D，C，E共圆知，∠DPC＝∠DEC，所以AP⊥CP.11.(本小题10分)(2013·全国卷Ⅱ)如图所示，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B、E、F、C四点共圆．(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；(2)若DB＝BE＝EA，求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．思路分析本题考查圆的基本性质、三角形相似定理、直角三角形射影定理等基本知识，是对考生基本推理能力以及转化与化归能力的考查．解(1)因为CD为△ABC外接圆的切线，所以∠DCB＝∠A，由题设知eq\f(BC,FA)＝eq\f(DC,EA)，故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.因为B，E，F，C四点共圆，所以∠CFE＝∠DBC，故∠EFA＝∠CFE＝90°.所以∠CBA＝90°，因此CA是△ABC外接圆的直径．(2)连接CE，因为∠CBE＝90°，所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE.由DB＝BE，有CE＝DC，又BC2＝DB·BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.而DC2＝DB·DA＝3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为eq\f(1,2).12.(本小题10分)(2013·全国卷Ⅰ)如图所示，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC＝eq\r(3)，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．解(1)连接DE，交BC于点G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.又DB⊥BE，所以DE为直径