高三数学 经典例题精解分析 2-3-2 双曲线的简单几何性质

2.3.2双基达标限时20分钟1．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为()．A．－eq\f(1,4)B．－4C．4D.eq\f(1,4)解析由双曲线方程mx2＋y2＝1，知m<0，则双曲线方程可化为y2－eq\f(x2,－\f(1,m))＝1，则a2＝1，a＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴b＝2，∴－eq\f(1,m)＝b2＝4，∴m＝－eq\f(1,4)，故选A.答案A2．双曲线3x2－y2＝3的渐近线方程是()．A．y＝±3xB．y＝±eq\f(1,3)xC．y＝±eq\r(3)xD．y＝±eq\f(\r(3),3)x解析令x2－eq\f(y2,3)＝0，则y＝±eq\r(3)x.答案C3．已知中心在原点，对称轴为坐标轴且经过点P(1，3)，离心率为eq\r(2)的双曲线的标准方程为()．A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1B.eq\f(y2,4)－eq\f(x2,4)＝1C.eq\f(x2,8)－eq\f(y2,8)＝1D.eq\f(y2,8)－eq\f(x2,8)＝1解析由离心率为eq\r(2)，∴e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)＝2，即a＝b，∴双曲线为等轴双曲线，故设所求双曲线的标准方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，又点P(1，3)在双曲线上，则λ＝1－9＝－8，∴所求双曲线的标准方程为eq\f(y2,8)－eq\f(x2,8)＝1.故选D.答案D4．与双曲线x2－eq\f(y2,4)＝1有共同的渐近线，且过点(2，2)的双曲线的标准方程是________．解析依题意设双曲线的方程x2－eq\f(y2,4)＝λ(λ≠0)，将点(2，2)代入求得λ＝3，所以所求双曲线的标准方程为eq\f(x2,3)－eq\f(y2,12)＝1.答案eq\f(x2,3)－eq\f(y2,12)＝15．双曲线eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,k)＝1的离心率e∈(1，2)，则k的取值范围是________．解析双曲线方程可变为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,－k)＝1，则a2＝4，b2＝－k，c2＝4－k，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(4－k),2)，又∵e∈(1，2)，则1<eq\f(\r(4－k),2)<2，解得－12<k<0.答案(－12，0)6．求双曲线x2－eq\f(y2,4)＝1的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长与渐近线方程．解把方程化为标准方程为eq\f(x2,12)－eq\f(y2,22)＝1，由此可知实半轴长a＝1，虚半轴长b＝2，顶点坐标是(－1，0)，(1，0)，c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，焦点的坐标是(－eq\r(5)，0)，(eq\r(5)，0)，渐近线方程为eq\f(x,1)±eq\f(y,2)＝0，即y＝±2x.综合提高（限时25分钟）7．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在y轴上，一条渐近线的方程为x－2y＝0，则它的离心率为()．A.eq\r(5)B.eq\f(\r(5),2)C.eq\r(3)D．2解析由题意知，这条渐近线的斜率为eq\f(1,2)，即eq\f(a,b)＝eq\f(1,2)，而e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋（\f(b,a)）2)＝eq\r(1＋22)＝eq\r(5)，故选A.答案A8．若0<k<a2，则双曲线eq\f(x2,a2－k)－eq\f(y2,b2＋k)＝1与eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1有()．A．相同的虚轴B．相同的实轴C．相同的渐近线D．相同的焦点解析a2－k>0，b2＋k>0，所以a2－k＋b2＋k＝a2＋b2＝c2.所以两双曲线有相同的焦点．答案D9．若双曲线中心在原点，焦点在y轴，离心率e＝eq\f(13,5)，则其渐近线方程为________．解析由已知设双曲线方程为eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)．由e＝eq\f(13,5)，得e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)＝eq\f(169,25).∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(144,25)，则eq\f(b,a)＝eq\f(12,5)，∴渐近线方程为y＝±eq\f(a,b)x＝±eq\f(5,12)x.答案y＝±eq\f(5,12)x10．过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，点F1是另一个焦点，若∠PF1Q＝90°，则双曲线的离心率等于________．解析设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，由题意知在焦点三角形F1PF2中，|PF1|＝2eq\r(2)c，|PF2|＝2c，又|PF1|－|PF2|＝2a，故有e＝eq\r(2)＋1.答案eq\r(2)＋111．求与双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1共渐近线且过A(3eq\r(3)，－3)的双曲线的方程．解设与eq\f(x2,42)－eq\f(y2,32)＝1共渐近线且过A(3eq\r(3)，－3)的双曲线的方程为eq\f(x2,42)－eq\f(y2,32)＝λ，则eq\f(（3\r(3)）2,42)－eq\f(（－3）2,32)＝λ，从而有λ＝eq\f(11,16)，所求双曲线的方程为eq\f(x2,11)－eq\f(16y2,99)＝1.12．(创新拓展)已知点N(1，2)，过点N的直线交双曲线x2－eq\f(y2,2)＝1于A、B两点，且eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．(1)求直线AB的方程；(2)若过点N的直线交双曲线于C、D两点，且eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？解(1)由题意知直线AB的斜率存在．设直线AB：y＝k(x－1)＋2，代入x2－eq\f(y2,2)＝1得(2－k2)x2－2k(2－k)x－(2－k)2－2＝0. (*)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1、x2是方程(*)的两根，∴2－k2≠0.且x1＋x2＝eq\f(2k（2－k）,2－k2).∵eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))，∴N是AB的中点，∴eq\f(x1＋x2,2)＝1，∴k(2－k)＝－k2＋2，k＝1，∴直线AB的方程为y＝x＋1.(2)共圆．将k＝1代入方程(*)得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3，∴A(－1，0)，B(3，4)．∵eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，∴CD垂直AB，∴CD所在直线方程为y＝－(x－1)＋2，即y＝3－x，代入双曲线方程整理得x2＋6x－11＝0，令C(x3，y3)，D(x4，y4)及CD中点M(x0，y0)则x3＋x4＝－6，x3·x4＝－11，∴x