高考数学一轮总复习 第一章 集合与常用逻辑用语课时训练 理-人教版高三数学试题

第一章集合与常用逻辑用语第1课时集合的概念1.(2014·南通一模)已知集合A＝{x|x≥3}∪{x|x＜－1}，则∁RA＝________．答案：[－1，3)解析：∁RA＝[－1，3)．2.(2014·苏北三市期末)已知集合A＝{2＋eq\r(a)，a}，B＝{－1，1，3}，且AB，则实数a的值是________．答案：1解析：由题设a＝1，2＋eq\r(a)＝3，从而a＝1.3.已知集合A＝{－1，1}，B＝{m|m＝x＋y，x∈A，y∈A}，则集合B＝________．答案：{－2，0，2}解析：因为x∈A，y∈A，所以x＋y＝－2，0或2，所以集合B＝{－2，0，2}．4.已知A＝{x|x2－2x－3≤0}，若实数a∈A，则a的取值范围是________．答案：[－1，3]解析：由条件知a2－2a－3≤0，从而a∈[－1，3]．5.已知A＝{1，2，3}，B＝{x∈R|x2－ax＋1＝0，a∈A}，则BA时，a＝________．答案：1或2解析：验证a＝1时B＝满足条件；验证a＝2时B＝{1}也满足条件．6.已知集合A＝{x|x2＋eq\r(m)x＋1＝0}，若A只有一个子集，则实数m的取值范围是____________．答案：[0，4)解析：由题意，A＝，∴Δ＝(eq\r(m))2－4＜0，∴0≤m＜4.7.若集合{x|ax2＋2x＋1＝0}与集合{x2－1＝0}的元素个数相同，则实数a的取值集合为__________．答案：{0，1}解析：∵集合{x2－1＝0}的元素个数为1，∴方程ax2＋2x＋1＝0有且只有一个实数解．∴a＝0或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≠0，,Δ＝0，))即a＝0或1.8.已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若AB，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________．答案：4解析：A＝{x|0<x≤4}，B＝(－∞，a)，AB，故c＝4.9.(2014·江苏检测)已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，集合B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且BA，则实数m的取值范围是____________．答案：m≤3解析：由已知，集合A＝{x|－2≤x≤5}，因为B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且BA，所以当B＝时，有m＋1>2m－1，即m<2时，符合题意；当B≠时，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1≤2m－1，,－2≤m＋1，,2m－1≤5，))解得2≤m≤3.综上得实数m的取值范围是m≤3.10.(2014·宁夏月考改)设集合Sn＝{1，2，3，…，n}，若x是Sn的子集，把x中的所有数的乘积称为x的容量(若x中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0)．若x的容量为奇(偶)数，则称x为Sn的奇(偶)子集．若n＝4，求Sn的所有奇子集的容量之和．解：由奇子集的定义可知：奇子集一定是Sn中为奇数的元素构成的子集．由题意可知，若n＝4，Sn中为奇数的元素只有1，3，所有奇子集只有3个，分别是{1}，{3}，{1，3}，则它们的容量之和为1＋3＋1×3＝7.11.(2014·如皋中学期中)已知集合A＝{x|eq\f(1－x,x－7)＞0}，B＝{x|x2－2x－a2－2a＜0}．(1)当a＝4时，求A∩B；(2)若AB，求实数a的取值范围．解：(1)A＝{x|1<x<7}，当a＝4时，B＝{x|x2－2x－24＜0}＝{x|－4＜x＜6}，∴A∩B＝(1，6)．(2)B＝{x|(x＋a)(x－a－2)<0}，①当a＝－1时，B＝，∴AB不成立；②当a＋2>－a，即a>－1时，B＝(－a，a＋2)，∵AB，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－a≤1，,a＋2≥7，))解得a≥5；③当a＋2<－a，即a<－1时，B＝(a＋2，－a)，∵AB，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋2≤1，,－a≥7，))解得a≤－7.综上，实数a的取值范围是(－∞，－7]∪[5，＋∞)．第2课时集合的基本运算1.(2014·南师附中冲刺)设集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜4，x∈N}，则A∩B＝________．答案：{1}解析：A、B的公共元素是1，∴A∩B＝{1}．2.已知集合P＝{－1，m}，Q＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－1<x<\f(3,4))))).若P∩Q≠，则整数m＝________．答案：0解析：m∈Q，即－1<m<eq\f(3,4)，而m∈Z，∴m＝0.3.(2014·苏锡常镇一模)已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{m，4，7}．若A∩B＝{1，4}，则A∪B＝________．答案：{1，2，3，4，7}解析：由A∩B＝{1，4}，知m＝1，从而A∪B＝{1，2，3，4，7}．4.已知集合A＝{(0，1)，(1，1)，(－1，2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x、y∈Z}，则A∩B＝________．答案：{(0，1)，(－1，2)}解析：A、B都表示点集，A∩B即是由A中在直线x＋y－1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．5.已知集合A＝{1，3，eq\r(m)}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝________．答案：0或3解析：∵A∪B＝A，∴BA.又A＝{1，3，eq\r(m)}，B＝{1，m}，∴m＝3或m＝eq\r(m).由m＝eq\r(m)得m＝0或m＝1.但m＝1不符合集合中元素的互异性，故舍去，故m＝0或m＝3.6.(原创)集合A＝{x|kπ＋eq\f(π,4)≤x≤kπ＋π，k∈Z}，B＝{x|－2≤x≤2}，则集合A∩B＝________．答案：[－2，0]∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，2))解析：由已知集合A＝…∪[－π＋eq\f(π,4)，－π＋π]∪[eq\f(π,4)，π]∪[π＋eq\f(π,4)，π＋π]∪…，B＝{x|－2≤x≤2}，利用数轴表示易得A∩B＝[－2，0]∪[eq\f(π,4)，2]．7.已知集合A＝{y|y＝eq\r(－x2＋2x)}，B＝{x||x－m|<2015}，若A∩B＝A，则m的取值范围是________．答案：(－2014，2015)解析：集合A表示函数y＝eq\r(－x2＋2x)的值域，由t＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，可得0≤y≤1，故A＝[0，1]．集合B是不等式|x－m|<2015的解集，解得m－2015<x<m＋2015，所以B＝(m－2015，m＋2015)．因为A∩B＝A，所以AB.如图，由数轴可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－2015<0，,m＋2015>1，))解得－2014<m<2015.8.给定集合A，若对于任意a、b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论：①集合A＝{－4，－2，0，2，4}为闭集合；②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；③若集合A1、A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．其中正确的结论是________．(填序号)答案：②解析：－4＋(－2)＝－6A，所以①不正确；设n1、n2∈A，n1＝3k1，n2＝3k2，k1、k2∈Z，则n1＋n2∈A，n1－n2∈A，所以②正确；令A1＝{x|x＝2k，k∈Z}，A2＝{x|x＝3k，k∈Z}，则A1、A2为闭集合，但A1∪A2不是闭集合，9.(2014·济南模拟)已知集合A＝{－1，1}，B＝{x|ax＋1＝0}，若BA，则实数a的所有可能取值组成的集合为______________．答案：{－1，0，1}解析：若a＝0，B＝，满足BA；若a≠0，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)))，∵BA，∴－eq\f(1,a)＝－1或－eq\f(1,a)＝1，∴a＝1或a＝－1.∴a＝0或a＝1或a＝－1组成的集合为{－1，0，1}．10.(2014·启东检测)已知集合A＝{x|x2－2x－3>0}，B＝{x|x2－4x＋a＝0，a∈R}．(1)存在x∈B，使得A∩B≠，求a的取值范围；(2)若A∩B＝B，求a的取值范围．解：(1)由题意得B≠，故Δ＝16－4a≥0，解得a≤4.①令f(x)＝x2－4x＋a＝(x－2)2＋a－4，对称轴为x＝2，∵A∩B≠，又A＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，∴f(3)<0，解得a<3.②由①②得a的取值范围为(－∞，3)．(2)∵A∩B＝B，∴BA.当Δ＝16－4a<0，即a>4时，B是空集，这时满足A∩B＝B；当Δ＝16－4a≥0时，a≤4.③令f(x)＝x2－4x＋a，对称轴为x＝2，∵A＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)≠，∴f(－1)<0，解得a<－5.④由③④得a<－5.综上得a的取值范围为(－∞，－5)∪(4，＋∞)．11.已知集合A＝{y|y＝－2x，x∈[2，3]}，B＝{x|x2＋3x－a2－3a＞0}．(1)当a＝4时，求A∩B；(2)若A∩(∁RB)＝，求实数a的取值范围．解：(1)A＝[－8，－4]，当a＝4时，B＝(－∞，－7)∪(4，＋∞)．由数轴图得A∩B＝[－8，－7)．(2)∵A∩(∁RB)＝，∴AB.又方程x2＋3x－a2－3a＝0的两根分别为a，－a－3，①当a＝－a－3时，即a＝－eq\f(3,2)时，B＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，＋∞))，满足AB；②当a<－eq\f(3,2)时，a<－a－3，B＝(－∞，a)∪(－a－3，＋∞)，则a>－4或－a－3<－8，得－4<a<－eq\f(3,2)，满足AB；③当a>－eq\f(3,2)时，a>－a－3，B＝(－∞，－a－3)∪(a，＋∞)，则a<－8或－a－3>－4，得－eq\f(3,2)<a<1，满足AB.综上所述，实数a的取值范围是(－4，1)．第3课时简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1.(2014·南京调研)命题“x∈R，x2－2x＋2＞0”的否定是______________．答案：x∈R，x2－2x＋2≤0解析：根据全称命题的否定是存在性命题可得答案．2.(2014·九江一模改)命题“若x2＞y2，则x>y”的逆否命题是______________．答案：“若x≤y，则x2≤y2解析：根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”3.方程eq\f(x2,k＋1)＋eq\f(y2,k－5)＝1表示双曲线的充要条件是k∈____________．答案：(－1，5)解析：方程eq\f(x2,k＋1)＋eq\f(y2,k－5)＝1表示双曲线的充要条件是(k＋1)(k－5)＜0，解得－1<k<5.4.(2014·南京、盐城一模)设函数f(x)＝cos(2x＋φ)，则“f(x)为奇函数”是“φ＝eq\f(π,2)”的__________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件．答案：必要不充分解析：必要性，当φ＝eq\f(π,2)时，f(x)＝cos(2x＋φ)可化为f(x)＝－sin2x，它为奇函数；而当φ＝eq\f(π,2)＋2π时，f(x)＝cos(2x＋φ)可化为f(x)＝－sin2x，也是奇函数，所以充分性不成立，故应填必要不充分．5.已知命题p：若实数x、y满足x2＋y2＝0，则x、y全为零．命题q：若a>b，则eq\f(1,a)<eq\f(1,b).给出下列四个复合命题：①p且q；②p或q；③非p；④非q.其中真命题是________．(填序号)答案：②④解析：命题p为真命题．若a＝2>b＝－1，而eq\f(1,a)＝eq\f(1,2)>eq\f(1,b)＝－1，命题q为假命题．由真值表可知，p或q、非q为真命题．6.(2014·中华中学调研)已知命题p：x∈R，使sinx＝eq\f(\r(5),2)；命题q：x∈R，都有x2＋x＋1＞0.给出下列命题：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(q)”是假命题；③命题“(p)∨q”是真命题；④命题“(p)∨(q)”是假命题．其中正确的是__________．(填序号)答案：②③解析：由已知，p假q真，由真值表知，正确命题为②③.7.(2014·扬州中学月考)设f(x)＝x3＋lg(x＋eq\r(x2＋1))，则对任意实数a、b，“a＋b≥0”是“f(a)＋f(b)≥0”的____________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件．答案：充要解析：∵f(x)＝x3＋lg(x＋eq\r(x2＋1))，∴f(－x)＝－x3＋lg(－x＋eq\r(x2＋1))＝－x3＋lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x＋\r(x2＋1))))＝－x3－lg(x＋eq\r(x2＋1))＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．又可证f(x)＝x3＋lg(x＋eq\r(x2＋1))是增函数，由a＋b≥0得a≥－b，∴f(a)≥f(－b)，即f(a)≥－f(b)，∴f(a)＋f(b)≥0，反之也成立．故“a＋b≥0”是“f(a)＋f(b)≥0”的充要条件．8.若存在实数x，使得x2－4bx＋3b<0成立，则b的取值范围是________．答案：(－∞，0)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞))解析：由题意知只需满足相应方程x2－4bx＋3b＝0的判别式Δ>0，则4b2－3b>0，解得b<0或b>eq\f(3,4).9.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)全等三角形一定相似；(2)末位数字是零的自然数能被5整除．解：(1)逆命题：若两个三角形相似，则它们全等，为假命题；否命题：若两个三角形不全等，则它们不相似，为假命题；逆否命题：若两个三角形不相似，则它们不全等，为真命题．(2)逆命题：能被5整除的自然数末位数字是零，为假命题；否命题：末位数字不是零的自然数不能被5整除，为假命题；逆否命题：不能被5整除的自然数末位数字不是零，为真命题.10.设条件p：2x2－3x＋1≤0，条件q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解：条件p为eq\f(1,2)≤