高考数学一轮总复习 第六章 不等式课堂过关 理-人教版高三数学试题

第六章不等式第1课时一元二次不等式及其解法(对应学生用书(文)、(理)84～86页)掌握一元二次不等式解法，理解一元二次不等式、一元二次方程、二次函数之间关系并能灵活运用．①会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.②通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解程序框图．1.(必修5P77练习2(2)改编)不等式3x2－x－4≤0的解集是__________.答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(4,3)))解析：由3x2－x－4≤0，得(3x－4)(x＋1)≤0，解得－1≤x≤eq\f(4,3).2.(必修5P75例1(1)改编)不等式2x2－x－1>0的解集是________．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪(1，＋∞)解析：由2x2－x－1>0，∴(2x＋1)(x－1)>0，∴x>1或x<－eq\f(1,2).3.(必修5P79习题1(3)改编)不等式8x－1≤16x2的解集是________．答案：R解析：原不等式转化为16x2－8x＋1≥0，即(4x－1)2≥0，则x∈R，故不等式的解集为R.4.(必修5P80习题9改编)已知不等式x2－2x＋k2－3>0对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围是________．答案：k>2或k<－2解析：由Δ＝4－4(k2－3)<0，知k>2或k<－2.5.(必修5P80习题8(2)改编)关于x的不等式x2＋(a＋1)x＋ab>0的解集是{x|x<－1或x>4}，则a＋b＝________．答案：－3解析：由题意知，－1，4为方程x2＋(a＋1)x＋ab＝0的两根，∴a＋1＝－3，ab＝－4.∴a＝－4，b＝1.∴a＋b＝－3.1.一元二次不等式的解法在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，令y＝0，得到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．若将等号“＝”改为不等号“＞”或“＜”，便得到一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或＜0)．因此，可以通过y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象与x轴的交点求得一元二次不等式的解，具体如下表：二次函数一元二次方程一元二次不等式一般式y＝ax2＋bx＋c(a>0)Δ＝b2－4acax2＋bx＋c＝0(a＞0)ax2＋bx＋c＞0(a＞0)ax2＋bx＋c＜0(a＞0)图象与解Δ>0x＝x1，x＝x2x<x1或x>x2x1<x<x2Δ＝0x＝x0＝－eq\f(b,2a)x≠－eq\f(b,2a)Δ<0无解R2.用一个流程图来描述一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的求解的算法过程[备课札记]题型1一元二次不等式的解法例1解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a∈R)．解：原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0.①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.②当a＞0时，原不等式化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,a)))(x＋1)≥0，解得x≥eq\f(2,a)或x≤－1.③当a＜0时，原不等式化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,a)))(x＋1)≤0.当eq\f(2,a)＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤eq\f(2,a)；当eq\f(2,a)＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意；当eq\f(2,a)＜－1，即a＞－2，解得eq\f(2,a)≤x≤－1.综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；当a＞0时，不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≥\f(2,a)，或x≤－1))))；当－2＜a＜0时，不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)≤x≤－1))))；当a＝－2时，不等式的解集为{x|x＝－1}；当a＜－2时，不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤\f(2,a))))).eq\a\vs4\al(变式训练)已知函数f(x)＝ax2＋bx－a＋2.(1)若关于x的不等式f(x)>0的解集是(－1，3)，求实数a、b的值；(2)若b＝2，a>0，解关于x的不等式f(x)>0.解：(1)∵不等式f(x)>0的解集是(－1，3)，∴－1，3是方程ax2＋bx－a＋2＝0的两根，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b－a＋2＝0，,9a＋3b－a＋2＝0，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝2.))(2)当b＝2时，f(x)＝ax2＋2x－a＋2＝(x＋1)(ax－a＋2)，∵a>0，∴(x＋1)(ax－a＋2)>0(x＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a－2,a)))>0，①若－1＝eq\f(a－2,a)，即a＝1，解集为{x|x≠－1}；②若－1>eq\f(a－2,a)，即0<a<1，解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<\f(a－2,a)或x>－1))))；③若－1<eq\f(a－2,a)，即a>1，解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<－1或x>\f(a－2,a))))).题型2由二次不等式的解求参数的值或范围例2已知不等式mx2－2x＋m－2＜0.(1)若对于所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围；(2)设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围．解：(1)对所有实数x，都有不等式mx2－2x＋m－2<0恒成立，即函数f(x)＝mx2－2x＋m－2的图象全部在x轴下方，当m＝0时，－2x－2<0，显然对任意x不能恒成立；当m≠0时，由二次函数的图象可知有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m<0，,Δ＝4－4m（m－2）<0，))解得m<1－eq\r(2).综上可知m的取值范围是(－∞，1－eq\r(2))．(2)设g(m)＝(x2＋1)m－2x－2，它是一个以m为自变量的一次函数，由x2＋1>0知g(m)在[－2，2]上为增函数，则由题意只需g(2)<0即可，即2x2＋2－2x－2<0，解得0<x<1.所以x的取值范围是(0，1)．eq\a\vs4\al(备选变式（教师专享）)已知函数f(x)＝x2＋ax＋3.(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；(2)当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围．解：(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，即x2＋ax＋3－a≥0对任意实数x恒成立，则Δ＝a2－4(3－a)≤0，解得－6≤a≤2，∴a的范围是{a|－6≤a≤2}．(2)当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，即x2＋ax＋3－a≥0对任意x∈[－2，2]恒成立，∴Δ≤0，或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(a,2)<－2，,f（－2）≥0.))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(a,2)>2，,f（2）≥0.))解得－7≤a≤2.∴a的范围为{a|－7≤a≤2}．题型3三个二次之间的关系例3若关于x的不等式(2x－1)2<kx2的解集中整数恰好有2个，求实数k的取值范围．解：因为原不等式等价于(－k＋4)x2－4x＋1<0，从而方程(－k＋4)x2－4x＋1＝0的判别式Δ＝4k>0，且有4－k>0，故0<k<4.又原不等式的解集为eq\f(1,2＋\r(k))<x<eq\f(1,2－\r(k))，且eq\f(1,4)<eq\f(1,2＋\r(k))<eq\f(1,2)，则1，2一定为所求的整数解，所以2<eq\f(1,2－\r(k))≤3，得k的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(9,4)，\f(25,9))).eq\a\vs4\al(备选变式（教师专享）)关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0的解集中，恰有3个整数，求a的取值范围．解：原不等式可能为(x－1)(x－a)＜0，当a＞1时得1＜x＜a，此时解集中的整数为2，3，4，则4＜a≤5，当a＜1时得a＜x＜1，则－3≤a＜－2，故a∈[－3，－2)∪(4，5]．题型4一元二次不等式的应用例4一个服装厂生产风衣，月销售量x(件)与售价p(元/件)之间的关系为p＝160－2x，生产x件的成本R＝500＋30x(元)．(1)该厂月产量多大时，月利润不少于1300元？(2)当月产量为多少时，可获得最大利润，最大利润是多少？解：(1)由题意知，月利润y＝px－R，即y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500.由月利润不少于1300元，得－2x2＋130x－500≥1300.即x2－65x＋900≤0，解得20≤x≤45.故该厂月产量在20～45件时，月利润不少于1300元．(2)由(1)得，y＝－2x2＋130x－500＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(65,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3225,2)，由题意知，x为正整数．故当x＝32或33时，y最大为1612.所以当月产量为32或33件时，可获最大利润1612元．eq\a\vs4\al(备选变式（教师专享）)某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x(百台)，总成本为G(x)(万元)，其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)；销售收入R(x)(万元)满足：R(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－0.4x2＋4.2x－0.8，0≤x≤5，,10.2，x>5，))假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律求下列问题．(1)要使工厂有赢利，产量x应控制在什么范围内？(2)工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？解：依题意，G(x)＝x＋2，设利润函数为f(x)，则f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－0.4x2＋3.2x－2.8，0≤x≤5，,8.2－x，x>5.))(1)要使工厂有赢利，即解不等式f(x)>0，当0≤x≤5时，解不等式－0.4x2＋3.2x－2.8>0，即x2－8x＋7<0，得1<x<7，∴1<x≤5.当x>5时，解不等式8.2－x>0，得x<8.2，∴5<x<8.2.综上所述，要使工厂赢利，x应满足1<x<8.2，即产品产量应控制在大于100台，小于820台的范围内．(2)0≤x≤5时，f(x)＝－0.4(x－4)2＋3.6，故当x＝4时，f(x)有最大值3.6；而当x>5时，f(x)<8.2－5＝3.2.所以，当工厂生产400台产品时，赢利最多．1.(2014·江苏)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意的x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，则实数m的取值范围是________．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，0))解析：由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（m）＝m2＋m2－1<0，,f（m＋1）＝（m＋1）2＋m（m＋1）－1<0，))解得－eq\f(\r(2),2)＜m＜0.2.(2014·北京东城模拟)定义在R上的运算：x*y＝x(1－y)，若不等式(x－y)*(x＋y)＜1对一切实数x恒成立，则实数y的取值范围是________．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2)))解析：∵(x－y)×(x＋y)＝(x－y)(1－x－y)＝x－x2－y＋y2＜1.∴－y＋y2＜x2－x＋1，要使该不等式对一切实数x恒成立，则需有－y＋y2＜(x2－x＋1)min＝eq\f(3,4)，解得－eq\f(1,2)＜y＜eq\f(3,2).3.(2014·南京二模)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，x≥0，,x2，x<0，))则不等式f(x2)＞f(3－2x)的解集是________．答案：(－∞，－3)∪(1，3)解析：当x≤eq\f(3,2)时，原不等式化为x2＞3－2x，解得x＜－3或1＜x≤eq\f(3,2)；当x＞eq\f(3,2)时，原不等式化为x2＞(3－2x)2，解得eq\f(3,2)＜x＜3.综上，x＜－3或1＜x＜3.4.(2014·盐城二模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝－x2－3x，则不等式f(x－1)＞－x＋4的解集是________．答案：(4，＋∞)解析：由题意得f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2－3x，x≤0，,x2－3x，x>0，))f(x－1)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－（x－1）2－3（x－1），x－1≤0，,（x－1）2－3（x－1），x－1>0，))即f(x－1)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2－x＋2，x≤1，,x2－5x＋4，x>1，))所以不等式f(x－1)＞－x＋4可化为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2－x＋2>－x＋4，,x≤1，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－5x＋4>－x＋4，,x>1，))解得x＞4.1.解关于x的不等式(1－ax)2<1.解：由(1－ax)2<1得a2x2－2ax＋1<1，即ax(ax－2)<0.①当a＝0时，不等式转化为0<0，故x无解．②当a<0时，不等式转化为x(ax－2)>0，即xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,a)))<0.∵eq\f(2,a)<0，∴不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)<x<0)))).③当a>0时，原不等式转化为x(ax－2)<0，又eq\f(2,a)>0，即原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(2,a))))).综上所述，当a＝0时，原不等式解集为；当a<0时，原不等式解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)<x<0))))；当a>0时，原不等式解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(2,a))))).2.函数f(x)＝x2＋ax＋3.(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围；(2)当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．解：(1)∵x∈R，f(x)≥a恒成立，∴x2＋ax＋3－a≥0恒成立，则Δ＝a2－4(3－a)≤0，得－6≤a≤2.∴当x∈R时，f(x)≥a恒成立，则a的取值范围为[－6，2]．(2)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,2)))eq\s\up12(2)＋3－eq\f(a2,4).讨论对称轴与[－2，2]的位置关系，得到a的取值满足下列条件：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)≤－2，,f（－2）≥a))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2＜－\f(a,2)＜2，,3－\f(a2,4)≥a))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)≥2，,f（2）≥a，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≥4，,7－2a≥a))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－4＜a＜4，,a2＋4a－12≤0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≤－4，,7＋2a≥a.))解得－7≤a≤2.∴当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，则a的取值范围为[－7，2]．3.某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价，减少进货量的办法来增加利润，已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件，问该商场将销售价每件定为多少元时，才能使得每天所赚的利润最多？销售价每件定为多少元时，才能保证每天所赚的利润在300元以上？解：设每件提高x元(0≤x≤10)，即每件获利润(2＋x)元，每天可销售(100－10x)件，设每天获得总利润为y元，由题意有y＝(2＋x)(100－10x)＝－10x2＋80x＋200＝－10(x－4)2＋360.所以当x＝4时，ymax＝360元，即当定价为每件14元时，每天所赚利润最多．要使每天利润在300元以上，则有－10x2＋80x＋200＞300，即x2－8x＋10＜0，解得4－eq\r(6)＜x＜4＋eq\r(6).故每件定价在(14－eq\r(6))元到(14＋eq\r(6))元之间时，能确保每天赚300元以上．4.设函数f(x)＝x2－1，对任意x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,m)))－4m2f(x)≤f(x－1)＋4f(m)恒成立，则实数m的取值范围是________．答案：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(3),2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，＋∞))解析：由题意得：eq\f(x2,m2)－1－4m2(x2－1)≤(x－1)2－1＋4(m2－1)在x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))上恒成立，即eq\f(1,m2)－4m2≤－eq\f(3,x2)－eq\f(2,x)＋1在x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))上恒成立．即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m2)－4m2))≤(－eq\f(3,x2)－eq\f(2,x)＋1)min，当x＝eq\f(3,2)时函数y＝－eq\f(3,x2)－eq\f(2,x)＋1取得最小值－eq\f(5,3)，所以eq\f(1,m2)－4m2≤－eq\f(5,3)，即(3m2＋1)(4m2－3)≥0，解得m≤－eq\f(\r(3),2)或m≥eq\f(\r(3),2).1.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0的解就是使二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0或小于0时x的范围，应充分和二次函数图象结合去理解一元二次不等式的解集表．2.解含参数的不等式(x－a)(x－b)>0，应讨论a与b的大小再确定不等式的解，解一元二次不等式的一般过程是：一看(看二次项系数的符号)，二算(计算判别式，判断方程的根的情况)，三写(写出不等式的解集)．3.应注意讨论ax2＋bx＋c>0的二次项系数a是否为0.4.要注意体会数形结合与分类讨论的数学思想．分类讨论要做到“不重”、“不漏”、“最简”的三原则．请使用课时训练(A)第1课时(见活页)．[备课札记]

第2课时二元一次不等式(组)与简单的线性规划(对应学生用书(文)、(理)87～88页)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.③会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．1.(必修5P83练习1改编)若点P(a，3)在2x＋y<3表示的区域内，则实数a的取值范围是________．答案：a<0解析：点P(a，3)在2x＋y<3表示的区域内，则2a＋3<3，解得a<0.2.(必修5P86练习2(1)改编)不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x－y＋4≥0，,x＋y≥0，,x≤3)))所表示的平面区域的面积是________．答案：25解析：直线x－y＋4＝0与直线x＋y＝0的交点为A(－2，2)，直线x－y＋4＝0与直线x＝3的交点为B(3，7)，直线x＋y＝0与直线x＝3的交点为C(3，－3)，则不等式组表示的平面区域是一个以点A(－2，2)、B(3，7)、C(3，－3)为顶点的三角形，所以其面积为S△ABC＝eq\f(1,2)×5×10＝25.3.(2014·南通期末)设实数x、y满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,x＋y≤3，,2x＋y≤4，))则z＝3x＋2y的最大值是________．答案：7解析：由题设可知可行域的四个顶点坐标分别为(0，0)，(2，0)，(0，3)，(1，2)．从而(3x＋2y)max＝3×1＋2×2＝7.4.(必修5P34练习7改编)设变量x、y满足约束条件：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(y≥x，,x＋2y≤2，,x≥－2，)))则z＝x－3y的最小值为________．答案：－8解析：画出可行域与目标函数线，如图可知，目标函数在点(－2，2)处取最小值－8.5.(2014·湖南)若x、y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y≤x，,x＋y≤4，,y≥k，))且z＝2x＋y的最小值为－6，则k＝________．答案：－2解析：画出可行域，如图中阴影部分所示，不难得出z＝2x＋y在点A(k，k)处取最小值，即3k＝－6，解得k＝－2.1.二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)二元一次不等式表示的平面区域一般地，直线y＝kx＋b把平面分成两个区域，y>kx＋b表示直线y＝kx＋b上方的平面区域，y<kx＋b表示直线y＝kx＋b下方的平面区域．(2)选点法确定二元一次不等式表示的平面区域①任选一个不在直线上的点；②检验它的坐标是否满足所给的不等式；③若适合，则该点所在的一侧区域即为不等式所表示的平面区域，否则，直线的另一侧区域为不等式所表示的平面区域．(3)二元一次不等式组表示的平面区域不等式组中各个不等式表示平面区域的公共区域．2.线性规划中的基本概念名称定义约束条件变量x、y满足的一次不等式组目标函数欲求最大值或最小值所涉及的变量x、y的线性函数可行域约束条件所表示的平面区域称为可行域最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题题型1二元一次不等式表示的平面区域例1画出不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x－y＋5≥0，,x＋y≥0，,x≤3)))表示的平面区域．解：不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及右下方的点的集合，x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及左方的点的集合，所以不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x－y＋5≥0，,x＋y≥0，,x≤3)))表示的平面区域如下图所示．eq\a\vs4\al(变式训练)在平面直角坐标系中，若不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－1≥0，,x－1≤0，,ax－y＋1≥0))(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a＝________．答案：3解析：不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－1≥0，,x－1≤0，,ax－y＋1≥0，))所围成的区域如图所示．则A(1，0)，B(0，1)，C(1，1＋a)，且a>－1，∵S△ABC＝2，∴eq\f(1,2)(1＋a)×1＝2，解得a＝3.题型2线性规划问题例2已知关于x、y的二元一次不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y≤4，,x－y≤1，,x＋2≥0.))(1)求函数u＝3x－y的最大值和最小值；(2)求函数z＝x＋2y＋2的最大值和最小值．解：(1)作出不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y≤4，,x－y≤1，,x＋2≥0))表示的平面区域，如图所示．由u＝3x－y，得y＝3x－u，得到斜率为3，在y轴上的截距为－u，随u变化的一组平行线，由图可知，当直线经过可行域上的C点时，截距－u最大，即u最小，解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝4，,x＋2＝0，))得C(－2，3)，∴umin＝3×(－2)－3＝－9.当直线经过可行域上的B点时，截距－u最小，即u最大，解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝4，,x－y＝1，))得B(2，1)，∴umax＝3×2－1＝5.∴u＝3x－y的最大值是5，最小值是－9.(2)作出二元一次不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y≤4，,x－y≤1，,x＋2≥0))表示的平面区域，如图所示．由z＝x＋2y＋2，得y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)z－1，得到斜率为－eq\f(1,2)，在y轴上的截距为eq\f(1,2)z－1，随z变化的一组平行线，由图可知，当直线经过可行域上的A点时，截距eq\f(1,2)z－1最小，即z最小，解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝1，,x＋2＝0，))得A(－2，－3)，∴zmin＝－2＋2×(－3)＋2＝－6.当直线与直线x＋2y＝4重合时，截距eq\f(1,2)z－1最大，即z最大，∴zmax＝4＋2＝6.∴z＝x＋2y＋2的最大值是6，最小值是－6.eq\a\vs4\al(变式训练)若x、y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≥1，,x－y≥－1，,2x－y≤2，))目标函数z＝ax＋2y仅在点(1，0)处取得最小值，则实数a的取值范围是________．答案：(－4，2)解析：可行域为△ABC，如图，当a＝0时，显然成立．当a＞0时，直线ax＋2y－z＝0的斜率k＝－eq\f(a,2)＞kAC＝－1，a＜2.当a＜0时，k＝－eq\f(a,2)＜kAB＝2，∴a＞－4.综上可得－4＜a＜2.题型3线性规划的实际应用例3某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1kg、B原料2kg；生产乙产品1桶需耗A原料2kg，B原料1kg.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12kg.解：设公司每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，公司共可获得利润为z元/天，则由已知，得z＝300x＋400y，且eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y≤12，,2x＋y≤12，,x≥0，,y≥0，))画可行域如图所示，目标函数z＝300x＋400y可变形为y＝－eq\f(3,4)x＋eq\f(z,400)，这是随z变化的一族平行直线，解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝12，,x＋2y＝12，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝4，))即A(4，4)，∴zmax＝1200＋1600＝2800(元)．故公司每天生产甲产品4桶、生产乙产品4桶时，可获得最大利润为2800元．eq\a\vs4\al(备选变式（教师专享）)某家俱公司生产甲、乙两种型号的组合柜，每种柜的制造白坯时间，油漆时间及有关数据如下：工艺要求产品甲产品乙生产能力/(台/天)制白坯时间/天612120油漆时间/天8464若甲每台可获利20元，乙每台可获利24元．问该公司如何安排甲、乙两种柜的日产量可获最大利润，并且最大利润是多少？解：设x，y分别为甲、乙两种柜的日产量，可将此题归纳为求如下线性目标函数z＝20x＋24y的最大值．其中线性约束条件为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6x＋12y≤120，,8x＋4y≤64，,x≥0，y≥0，))由图可得最优解为(4，8)，zmax＝272.答：该公司安排甲、乙两种柜的日产量分别为4台和8台可获最大利润272元．1.已知0＜a＜1，loga(2x－y＋1)＞loga(3y－x＋2)，且λ＜x＋y，则λ的最大值为________．答案：－2解析：2x－y＋1<3y－x＋2，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－4y－1<0，,2x－y＋1>0，))作出可行域，则z＝x＋y经过点(－1，－1)时最小，故x＋y>－2，所以λ的最大值为－2.2.(2014·常州期末)已知实数x、y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≥3，,y≤3，,x≤3，))则z＝5－x2－y2的最大值为________．答案：eq\f(1,2)解析：目标函数z＝5－(x2＋y2)最大值，即求eq\r(x2＋y2)最小值．由几何意义知在可行域中找点P(x，y)使得点P离原点距离最小．点P到直线l距离为eq\f(3,2)eq\r(2)时最短，则zmax＝5－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)\r(2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,2).3.(2014·南师附中冲刺)设实数x、y、b满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y≥0，,y≥x，,y≥－x＋b，))若z＝2x＋y的最小值为3，则实数b的值为________．答案：eq\f(9,4)解析：画出不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y≥0，,y≥x，,y≥－x＋b))对应的平面区域，可见当直线y＝－2x＋z经过两条直线y＝2x与y＝－x＋b的交点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,3)，\f(2b,3)))时，直线y＝－2x＋z的截距z取最小值eq\f(4b,3)，所以eq\f(4b,3)＝3，解得b＝eq\f(9,4).4.(2014·无锡期末)已知变量x、y满足条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≤－x＋3，,y≥2x))则eq\f(y,x－2)的取值范围是________．答案：[－2，0]解析：画出可行域如图，eq\f(y,x－2)等价于点(x，y)到点(2，0)连线的斜率；又kAB＝－2，kBO＝0，从而eq\f(y,x－2)∈[－2，0]．5.(2014·徐州二模)已知实数x、y满足条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,x＋y≥0，,x≤1，))则y－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)的最大值为________．答案：eq\f(1,2)解析：令z＝y－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，作出不等式组对应的区域，作出指数函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，平移函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)的图象，如图可见当函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＋z的图象经过点A时z取最大值．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,x＝1，))得A(1，1)，所以x＝y＝1时y－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)取最大值eq\f(1,2).1.(2014·浙江)当实数x，y满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y－4≤0，,x－y－1≤0，,x≥1))时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))解析：作出不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y－4≤0，,x－y－1≤0，,x≥1))所表示的区域，由1≤ax＋y≤4得，由图可知，a≥0，且在(1，0)点取得最小值，在(2，1)取得最大值，故a≥1，2a＋1≤4，故a取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))).2.(2014·山东)已知x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y－1≤0，,2x－y－3≥0，))当目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)在该约束条件下取到最小值2eq\r(5)时，a2＋b2的最小值为________．答案：4解析：画出约束条件表示的可行域(如图所示)．当目标函数z＝ax＋by过点A(2，1)时，z取得最小值，即2eq\r(5)＝2a＋b，所以2eq\r(5)－2a＝b，所以a2＋b2＝a2＋(2eq\r(5)－2a)2＝5a2－8eq\r(5)a＋20，构造函数m(a)＝5a2－8eq\r(5)a＋20(eq\r(5)>a>0)，利用二次函数求最值，函数m(a)＝5a2－8eq\r(5)a＋20的最小值是eq\f(4×5×20－（8\r(5)）2,4×5)＝4，即a2＋b2的最小值为4.3.(2014·北京)若x，y满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≥0，,kx－y＋2≥0，,y≥0，))且z＝y－x的最小值为－4，则k＝________．答案：－eq\f(1,2)解析：若k≥0,z＝y－x没有最小值；当k<0时，目标函数线过可行域内A点时z有最小值.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝0，,kx－y＋2＝0，))解得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,k)，0))，故zmin＝0＋eq\f(2,k)＝－4，即k＝－eq\f(1,2).4.制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损，某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能出的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元？才能使可能的盈利最大？解：设分别向甲、乙两项目投资x万元、y万元，由题意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≤10，,0.3x＋0.1y≤1.8，,x≥0，,y≥0，))目标函数z＝x＋0.5y，作出可行域，作直线l0：x＋0.5y＝0，并作平行于直线l0的一组直线x＋0.5y＝z，z∈R，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线x＋0.5y＝0的距离最大，这里M点是直线x＋y＝10和0.3x＋0.1y＝1.8的交点，解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝10，,0.3x＋0.1y＝1.8，))解得x＝4，y＝6，此时z＝1×4＋0.5×6＝7(万元)∵7>0，∴当x＝4，y＝6时z取得最大值．答：投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．1.确定不等式Ax＋By＋C>0(<0，≥0，≤0)表示直线Ax＋By＋C＝0的哪一侧区域，常用两种方法：一是在直线的某一侧取一特殊点；二是将不等式化为y>kx＋b(<，≥，≤)．2.在线性约束条件下，当b>0时，求目标函数z＝ax＋by＋c的最值的求解步骤(1)作出可行域；(2)作出直线l0：ax＋by＝0；(3)平移直线l0：ax＋by＝0，依可行域判断取得最值的最优解的点；(4)解相关方程组，求出最优解，从而得出目标函数的最值．3.常见的非线性目标函数的几何意义(1)eq\r(x2＋y2)表示点(x，y)与原点(0，0)的距离；(2)eq\r(（x－a）2＋（y－b）2)表示点(x，y)与点(a，b)的距离；(3)eq\f(y,x)表示点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率值；(4)eq\f(y－b,x－a)表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率值．请使用课时训练(B)第2课时(见活页)．[备课札记]

第3课时基本不等式(对应学生用书(文)、(理)89～90页)掌握基本不等式，能利用基本不等式推导不等式，能利用基本不等式求最大(小)值．①了解基本不等式的证明过程.②会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．1.(必修5P99练习4改编)若实数a、b满足a＋b＝2，则3a＋3b答案：6解析：由基本不等式，得3a＋3b≥2eq\r(3a·3b)＝2eq\r(3a＋b)＝6，当且仅当a＝b＝1时取等号，所以3a＋3b的最小值是6.2.(必修5P105复习题9改编)若f(x)＝x＋eq\f(1,x)－2(x＜0)，则f(x)的最大值为________．答案：－4解析：∵x＜0，∴f(x)＝－[(－x)＋eq\f(1,（－x）)]－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝eq\f(1,－x)，即x＝－1时取等号．3.(必修5P105复习题10改编)若x>－3，则x＋eq\f(2,x＋3)的最小值为________．答案：2eq\r(2)－3解析：∵x＋3>0，∴x＋eq\f(2,x＋3)＝(x＋3)＋eq\f(2,x＋3)－3≥2eq\r(（x＋3）×\f(2,x＋3))－3＝2eq\r(2)－3.4.(必修5P107测试3改编)对任意x>0，eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，则实数a的取值范围是________．答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，＋∞))解析：由eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，所以a≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,x2＋3x＋1)))eq\s\do7(max)，而eq\f(x,x2＋3x＋1)＝eq\f(1,x＋\f(1,x)＋3)≤eq\f(1,2\r(x·\f(1,x))＋3)＝eq\f(1,5)，当且仅当x＝eq\f(1,x)时等号成立，∴a≥eq\f(1,5).5.(必修5P106复习题10改编)已知a>0，b>0，若不等式eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)≥eq\f(m,2a＋b)恒成立，则m的最大值等于________．答案：9解析：原不等式恒成立等价于m≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,b)))(2a＋b)的最小值，而eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,b)))(2a＋b)＝5＋eq\f(2b,a)＋eq\f(2a,b)≥5＋2eq\r(\f(2b,a)·\f(2a,b))＝9，所以m≤9，即m的最大值为9.1.算术平均数与几何平均数对于正数a、b，我们把eq\f(a＋b,2)称为a、b的算术平均数，eq\r(ab)称为a、b的几何平均数．2.基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0；(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号；(3)结论：两个非负数a，b的算术平均数不小于其几何平均数．3.拓展：若a＞0，b＞0，eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))，当且仅当a＝b时等号成立．[备课札记]

题型1利用基本不等式证明不等式例1已知x>0，y>0，求证：eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)≥eq\f(4,x＋y).证明：(证法1)作差法．(证法2)等价于(x＋y)2≥4xy.eq\a\vs4\al(变式训练)(1)若a>b>c，求证：eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)≥eq\f(4,a－c)；(2)若a>b>c，求使得eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)≥eq\f(k,a－c)恒成立的k的最大值．提示：(1)令a－b＝x，b－c＝y后同例1(2)4题型2利用基本不等式求最值例2过点(1，2)的直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，当OA＋OB最小时，求直线l的方程．解：(解法1)设点A(a，0)，B(0，b)(a，b>0)，则直线l的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1.由题意知，点(1，2)在此直线上，所以eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝1.OA＋OB＝a＋b＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(2,b)))＝1＋2＋eq\f(b,a)＋eq\f(2a,b)≥3＋2eq\r(\f(b,a)×\f(2a,b))＝3＋2eq\r(2).当且仅当eq\f(b,a)＝eq\f(2a,b)时取“＝”.又eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝1，解得a＝eq\r(2)＋1，b＝2＋eq\r(2).因此，当OA＋OB最小时，直线l的方程为eq\f(x,\r(2)＋1)＋eq\f(y,2＋\r(2))＝1，即eq\r(2)x＋y－2－eq\r(2)＝0.(解法2)直线l过点(1，2)且斜率存在，设其方程为y－2＝k(x－1).令y＝0得x＝1－eq\f(2,k)；令x＝0得y＝2－k，故得点A，B坐标分别为Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,k)，0))，B(0，2－k).因A，B分别在x，y轴正半轴上，故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,k)>0，,2－k>0，))解得k<0.OA＋OB＝1－eq\f(2,k)＋2－k≥3＋2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,k)))×（－k）).当且仅当－eq\f(2,k)＝－k时取“＝”.由于k<0解得k＝－eq\r(2)，所以直线l的方程为eq\r(2)x＋y－2－eq\r(2)＝0.eq\a\vs4\al(备选变式（教师专享）)正数x，y满足eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1.(1)求xy的最小值；(2)求x＋2y的最小值．解：(1)由1＝eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)≥2eq\r(\f(1,x)·\f(9,y))得xy≥36，当且仅当eq\f(1,x)＝eq\f(9,y)，即y＝9x＝18时取等号，故xy的最小值为36.(2)由题意可得x＋2y＝(x＋2y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(9,y)))＝19＋eq\f(2y,x)＋eq\f(9x,y)≥19＋2eq\r(\f(2y,x)·\f(9x,y))＝19＋6eq\r(2)，当且仅当eq\f(2y,x)＝eq\f(9x,y)，即9x2＝2y2时取等号，故x＋2y的最小值为19＋6eq\r(2).题型3利用基本不等式解应用题例3(2014·苏北三市期末)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30m，其中大圆弧所在圆的半径为10m．设小圆弧所在圆的半径为x(1)求θ关于x的函数关系式；(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？解：(1)设扇环的圆心角为θ，则30＝θ(10＋x)＋2(10－x)，所以θ＝eq\f(10＋2x,10＋x).(2)花坛的面积为eq\f(1,2)θ(102－x2)＝(5＋x)(10－x)＝－x2＋5x＋50(0<x<10)．装饰总费用为9θ(10＋x)＋8(10－x)＝170＋10x，所以花坛的面积与装饰总费用的比y＝eq\f(－x2＋5x＋50,170＋10x)＝－eq\f(x2－5x－50,10（17＋x）).令t＝17＋x，则y＝eq\f(39,10)－eq\f(1,10)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(324,t)))≤eq\f(3,10)，当且仅当t＝18时取等号，此时x＝1，θ＝eq\f(12,11).答：当x＝1时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．eq\a\vs4\al(备选变式（教师专享）)如图，在C城周边已有两条公路l1，l2在点O处交汇，且它们的夹角为90°.已知OC＝4km，OC与公路l1夹角为60°.现规划在公路l1，l2上分别选择A，B两处作为交汇点(异于点O)直接修建一条公路通过C城，设OA＝xkm，OB＝y(1)求出y关于x的函数关系式并指出它的定义域；(2)试确定点A，B的位置，使△AOB的面积最小．解：(1)∵S△AOC＋S△BOC＝S△AOB，∴eq\f(1,2)x·4sin60°＋eq\f(1,2)y·4sin30°＝eq\f(1,2)xy，整理得y＝eq\f(2\r(3)x,x－2)，过C作OB平行线与OA交于D，OA>OD，故x>2.定义域为{x|x>2}．(2)S△AOB＝eq\f(1,2)xy＝eq\r(3)eq\f(x2,x－2)，(x>2)，S△AOB＝eq\r(3)eq\f(x2,x－2)＝eq\r(3)eq\f(（x－2）2＋4（x－2）＋4,x－2)＝eq\r(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（x－2）＋\f(4,x－2)＋4)).∵x－2>0，∴x－2＋eq\f(4,x－2)≥4，当且仅当eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－2))2＝4即x＝4时取等号．所以当x＝4时，S△AOB有最小值为8eq\r(3).答：当OA＝4km，OB＝4eq\r(3)km时1.(2014·苏锡常镇一模)已知正数x、y满足x＋2y＝2，则eq\f(x＋8y,xy)的最小值为________．答案：9解析：eq\f(x＋8y,xy)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,y)＋\f(8,x)))(x＋2y)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋8＋\f(x,y)＋\f(y,x)·16))≥eq\f(1,2)(10＋2eq\r(16))＝eq\f(1,2)×18＝9，当且仅当eq\f(x,y)＝4，x＋2y＝2，即y＝eq\f(1,3)，x＝eq\f(4,3)时“＝”成立．2.(2014·苏州期末)已知正实数x、y满足xy＋2x＋y＝4，则x＋y的最小值为________．答案：2eq\r(6)－3解析：由xy＋2x＋y＝4，解得y＝eq\f(4－2x,x＋1)，则x＋y＝x－2＋eq\f(6,x＋1)＝(x＋1)＋eq\f(6,x＋1)－3≥2eq\r(6)－3，当且仅当x＋1＝eq\r(6)时“＝”成立．3.(2014·镇江期末)已知x>0，y>0，若不等式x3＋y3≥kxy(x＋y)恒成立，则实数k的最大值为________．答案：1解析：由题设知k≤eq\f(（x＋y）（x2－xy＋y2）,（x＋y）（xy）)，∴k≤eq\f(x2－xy＋y2,xy)＝eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)－1恒成立．∵eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)－1≥2－1＝1，当且仅当x＝y时“＝”成立，从而k≤1，即k的最大值为1.4.(2014·南通一模)设实数a、b、c满足a2＋b2≤c≤1，则a＋b＋c的最小值为________．答案：－eq\f(1,2)解析：由题意知a＋b＋c≥a＋b＋a2＋b2，∵eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)，∴a2＋b2≥eq\f(（a＋b）2,2)，从而a＋b＋c≥eq\f(（a＋b）2,2)＋(a＋b)＝eq\f(1,2)(a＋b＋1)2－eq\f(1,2)≥－eq\f(1,2)，“＝”当且仅当c＝a2＋b2，a＝b，a＋b＝－1即a＝b＝－eq\f(1,2)，c＝eq\f(1,2)时成立．5.(2014·江苏)若△ABC的内角满足sinA＋eq\r(2)sinB＝2sinC，则cosC的最小值是________．答案：eq\f(\r(6)－\r(2),4)解析：由已知sinA＋eq\r(2)sinB＝2sinC及正弦定理可得a＋eq\r(2)b＝2c，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(a2＋b2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋\r(2)b,2)))\s\up12(2),2ab)＝eq\f(3a2＋2b2－2\r(2)ab,8ab)≥eq\f(2\r(6)ab－2\r(2)ab,8ab)＝eq\f(\r(6)－\r(2),4)，当且仅当3a2＝2b2，即eq\f(a,b)＝eq\f(\r(2),\r(3))时等号成立，所以cosC的最小值为eq\f(\r(6)－\r(2),4).1.设a>0，b>0，且不等式eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(k,a＋b)≥0恒成立，则实数k的最小值为________．答案：－4解析：由eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(k,a＋b)≥0得k≥－eq\f(（a＋b）2,ab)，而eq\f(（a＋b）2,ab)＝eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＋2≥4(a＝b时取等号)，所以－eq\f(（a＋b）2,ab)≤－4，因此要使k≥－eq\f(（a＋b）2,ab)恒成立，应有k≥－4，即k的最小值等于－4.2.已知x>0，y>0，且eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是________．答案：(－4，2)解析：由x>0，y>0，且eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝1，得x＋2y＝(x＋2y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋\f(1,y)))＝4＋eq\f(4y,x)＋eq\f(x,y)≥4＋2eq\r(\f(4y,x)·\f(x,y))＝8.当且仅当eq\f(4y,x)＝eq\f(x,y)时，即x＝2y时取等号．又eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝1，此时x＝4，y＝2，所以(x＋2y)min＝8.要使x＋2y>m2＋2m恒成立，只需(x＋2y)min>m2＋2m恒成立，即8>m2＋2m，解得－4<m<2.3.(2014·镇江期末)过去的2013年，我国多地区遭遇了雾霾天气，引起口罩热销．某品牌口罩原来每只成本为6元，售价为8元，月销售5万只．(1)据市场调查，若售价每提高0.5元，月销售量将相应减少0.2万只，要使月总利润不低于原来的月总利润(月总利润＝月销售总收入－月总成本)，该口罩每只售价最多为多少元？(2)为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每只售价x(x≥9)元，并投入eq\f(26,5)(x－9)万元作为营销策略改革费用．据市场调查，每只售价每提高0.5元，月销售量将相应减少eq\f(0.2,（x－8）2)万只．则当每只售价x为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润．解：(1)设每只售价为x元，则月销售量为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(x－8,0.5)×0.2))万只，由已知得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(x－8,0.5)×0.2))(x－6)≥(8－6)×5，∴eq\f(2,5)x2－eq\f(53,5)x＋eq\f(296,5)≤0，即2x2－53x＋296≤0，解得8≤x≤eq\f(37,2)，即每只售价最多为18.5元．(2)下月的月总利润y＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(5－\f(x－8,0.5)×\f(0.2,（x－8）2)))(x－6)－eq\f(26,5)(x－9)＝eq\f(2.4－0.4x,x－8)－eq\f(1,5)x＋eq\f(234－150,5)＝eq\f(－0.4（x－8）－0.8,x－8)－eq\f(1,5)x＋eq\f(84,5)＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,5（x－8）)＋\f(x－8,5)))＋eq\f(74,5).∵x≥9，∴eq\f(4,5（x－8）)＋eq\f(x－8,5)≥2eq\r(\f(4,25))＝eq\f(4,5)，当且仅当eq\f(4,5（x－8）)＝eq\f(x－8,5)，即x＝10，ymax＝14.答：当x＝10时，下月的月总利润最大，且最大利润为14万元．4.某小区想利用一矩形空地ABCD建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘(如图中阴影部分)，水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中AD＝60m，AB＝40m，且△EFG中，∠EGF＝90°，经测量得到AE＝10m，EF＝20m．为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏．设计时经过点G作一直线交AB，DF于M，N，从而得到五边形MBCDN的市民健身广场(1)将五边形MBCDN的面积y表示为x的函数；(2)当x为何值时，市民健身广场的面积最大？并求出最大面积．解：(1)作GH⊥EF，垂足为H，因为DN＝x，所以NH＝40－x，NA＝60－x.因为eq\f(NH,HG)＝eq\f(NA,AM)，所以eq\f(40－x,10)＝eq\f(60－x,AM)，所以AM＝eq\f(600－10x,40－x).过M作MT∥BC交CD于T，则SMBCDN＝SMBCT＋SMTDN＝(40－AM)×60＋eq\f(1,2)(x＋60)×AM，所以y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(40－\f(600－10x,40－x)))×60＋eq\f(1,2)×eq\f(（x＋60）（600－10x）,40－x)＝2400－eq\f(5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(60－x))2,40－x).由于N与F重合时，AM＝AF＝30适合条件，故x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，30)).(2)y＝2400－eq\f(5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(60－x))2,40－x)＝2400－5[(40－x)＋eq\f(400,40－x)＋40]．所以当且仅当40－x＝eq\f(400,40－x)，即x＝20∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，30))时，y取得最大值2000.答：当DN＝20m时，得到的市民健身广场面积最大，最大面积为20005.设正项等差数列{an}的前2011项和等于2011，则eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a2010)的最小值为________．答案：2解析：由题意得S2011＝eq\f(2011（a1＋a2011）,2)＝2011，∴a1＋a2011＝2.又a2＋a2010＝a1＋a2011＝2，∴eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a2010)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)＋\f(1,a2010)))(a2＋a2010)＝eq\f(1,2)(eq\f(a2010,a2)＋eq\f(a2,a2010))＋1≥2.1.a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，而eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)成立的条件是a≥0，b≥0，使用时要注意公式成立的前提条件．2.在运用基本不等式时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中的“一正”(即条件中字母为正数)，“二定”(不等式的另一边必须为定值)，“三相等”(等号取得的条件)．3.正确理解定理：“和一定，相等时积最大；积一定，相等时和最小”．4.连续使用公式两次或以上，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．5.函数y＝ax＋eq\f(b,x)(a>0，b>0)的单调性要掌握，特别是运用基本不等式不能满足“三相等”时．请使用课时训练(A)第3课时(见活页)．[备课札记]

第4课时不等式的综合应用(对应学生用书(文)、(理)91～92页)掌握不等式的综合应用；掌握基本不等式的综合应用；掌握不等式与其他函数方程等知识的综合应用．应用性问题的基本思路：读题(背景、结论)——条件——建模——解题——反思——作答．1.(必修5P102习题7改编)函数y＝x＋eq\f(4,x)(x≠0)的值域是________．答案：(－∞，－4]∪[4，＋∞)解析：当x>0时，y＝x＋eq\f(4,x)≥2eq\r(x·\f(4,x))＝4，当x<0时，y＝x＋eq\f(4,x)＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（－x）＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,x)))))≤－2eq\r(（－x）·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,x))))＝－4.2.(必修5P102习题9改编)某种产品按下列三种方案两次提价．方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；方案乙：第一次提价q%，第二次提价p%；方案丙：第一次提价eq\f(p＋q,2)%，第二次提价eq\f(p＋q,2)%.其中p>q>0，上述三种方案中提价最多的是________．答案：方案丙解析：设原来价格为A，方案甲：经两次提价后价格为Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(p,100)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(q,100)))＝Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(p＋q,100)＋\f(pq,10000)))；方案乙：经两次提价后价格为Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(p,100)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(q,100)))；方案丙：经两次提价后价格为Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(p＋q,200)))eq\s\up12(2)＝A[1＋eq\f(p＋q,100)＋eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(p＋q,2)）2·\f(1,10000))).因为eq\f(p＋q,2)>eq\r(pq)，所以方案丙提价最多．3.设x∈R，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)，若不等式f(x)＋f(2x)≤k对于任意的x∈R恒成立，则实数k的取值范围是________．答案：k≥2解析：不等式化为k≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|2x|)，因为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)∈(0，1]，所以k≥2.4.(必修5P106复习题16改编)已知x>0，y>0且满足eq\f(2,x)＋eq\f(8,y)＝1，则x＋y的最小值是________.答案：18解析：∵x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋\f(8,y)))＝2＋8＋eq\f(2y,x)＋eq\f(8x,y)，x>0，y>0，∴eq\f(2y,x)>0，eq\f(8x,y)>0，x＋y≥10＋2eq\r(16)＝18，当且仅当eq\f(2y,x)＝eq\f(8x,y)时等号成立．又eq\f(2,x)＋eq\f(8,y)＝1,∴当x＝6，y＝12时，x＋y有最小值18.5.(必修5P98练习2(2)改编)若正数a、b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________．答案：[9，＋∞)解析：由a，b∈R＋，得a＋b≥2eq\r(ab)，则ab＝a＋b＋3≥2eq\r(ab)＋3，即ab－2eq\r(ab)－3≥0(eq\r(ab)－3)(eq\r(ab)＋1)≥0eq\r(ab)≥3，∴ab≥9.[备课札记]题型1含参数的不等式问题例1若不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－x－2＞0，,2x2＋（5＋2k）x＋5k＜0))的解集中所含整数解只有－2，求k的取值范围．解：由x2－x－2>0有x＜－1或x＞2，由2x2＋(5＋2k)x＋5k＜0有(2x＋5)(x＋k)＜0.因为－2是原不等式组的解，所以k＜2.由(2x＋5)·(x＋k)＜0有－eq\f(5,2)＜x＜－k.因为原不等式组的整数解只有－2，所以－2＜－k≤－1，即1≤k＜2，故k的取值范围是[1，2)．eq\a\vs4\al(变式训练)已知函数f(x)＝lg[(m2－3m＋2)x2＋(m－1)x＋1]的定义域为R，求实数m的取值范围．解：∵函数f(x)的定义域为R，∴对于任意x∈R，恒有(m2－3m＋2)x2＋(m－1)x＋1>0，①若m2－3m＝2＝0，则m＝2或1，当m＝1时，不等式即为1>0，符合题意，当m＝2时，不等式即为2x＋1>0，不恒成立，∴m＝2不合题意，舍去．②若m2－3m＋2≠0，由题意得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－3m＋2>0，,Δ＝（m－1）2－4（m2－3m＋2）<0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m<1或m>2，,m<1或m>\f(7,3)，))即m<1或m>eq\f(7,3).综上可得，m的取值范围是m≤1或m>eq\f(7,3).题型2基本不等式的灵活运用例2设正实数x、y、z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当eq\f(xy,z)取得最大值时，eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)－eq\f(2,z)的最大值为________．答案：