图形的变换篇（解析版）-2023年中考数学必考考点总结+题型专训（全国通用）

专题11图形的变换

知识回顾

■....一•.......................

1.平移的条件：

平移的方向叫做平移方向，平移的距离叫做平移距离。平移方向与平移距离即为平

移的条件。

2.平移的性质：

①平移前后的两个图形全等。即有对应边相等，对应角相等。

②对应点连线平行且相等，且长度都等于平移距离。

3.平移作图：

具体步骤：

①确定平移方向与平移距离。

②将关键点按照平移方向与平移距离进行平移，得到平移后的点。

③将平移后的关键点按照原图形连接即得到平移后的图形。

4.坐标表示平移：

①向右平移a个单位，坐标P（x,y）=P（x+a,y）

②向左平移a个单位，坐标尸（x,y）=>P（x-a,y）

③向上平移b个单位，坐标P（x,y）=P（x,y+h）

④向下平移b个单位，坐标P（x,y）=P（x,y~b）

5.轴对称的性质：

①成轴对称的两个图形全等。即有对应边相等，对应角相等。

②对称轴是任意一组对应点连线的垂直平分线。

6.关于坐标轴对称的点的坐标：

①关于x轴对称的点的坐标：横坐标不变，纵坐标互为相反数。

即（a,为关于x轴对称的点的坐标为（。,-切。

②关于y轴对称的点的坐标：纵坐标不变，横坐标互为相反数。

即（a,8）关于y轴对称的点的坐标为（-a,b）.

③关于原点对称的点的坐标：横纵坐标均互为相反数。

即（a,b）关于原点对称的点的坐标为b）。

7.关于直线对称的点的坐标:

①关于直线x=〃z对称，P（a,/?）=>P（2m-a,b）

②关于直线y=〃对称，P（a,切=尸（2a,2n-b）

8.旋转的要素：

①旋转中心；②旋转方向；③旋转角。

9.旋转的性质：

①旋转前后的两个图形全等。即有对应边相等，对应角相等。

②对应点到旋转中心的连线距离相等。

③对应点与旋转中心的连线构成的夹角等于旋转角。

10.旋转对称图形：

若一个图形旋转一定角度（小于360°）之后与原图形重合，则这个图形叫做旋转

对称图形。如正多边形或圆。

11.中心对称：

①定义：把一个图形绕着某个点旋转180。，如果它能够与另一个图形重合，那么

就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对

应点叫做关于中心的对称点。

②性质：I：关于中心对称的两个图形能够完全重合；

II：关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对

称中心平分.

12.坐标的旋转变换：

①若点P（x,y）顺时针或逆时针旋转90°,则横纵坐标的绝对值互换,符号看象限。

②若点P（尤，y）顺时针或逆时针旋转180°,即关于原点成中心对称，则横纵坐标

变为原来的相反数。即尸（-x,-y）

13.旋转作图：

基本步骤：①确定旋转方向与旋转角；②把图形的关键点按照旋转方向与旋转角进

行旋转，得到关键点的对应点；③将对应点按照原图形连接。

专题练习

1.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中,

△ABC的三个顶点坐标分别为4（1,-1）,B（2,-5）,C（5,-4）.

（1）将△ABC先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到△AIBCI,画出两次平

移后的△4B1C1,并写出点4的坐标；

(2)画出△4BC1绕点Ci顺时针旋转90°后得到△42&CI,并写出点42的坐标；

(3)在(2)的条件下，求点4旋转到点42的过程中所经过的路径长(结果保留n).

【分析】(1)利用平移变换的性质分别作出A,B,C的对应点4,Bi,。即可;

(2)利用旋转变换的性质分别作出4,81的对应点42,比即可；

(3)利用勾股定理求出4。，再利用弧长公式求解.

【解答】解：(1)如图，△48C1即为所求，点4的坐标(-5,3)；

(2)如图，282cl即为所求，点42的坐标(2,4)；

(3)•••36=也2+42=5,

...点4旋转到点42的过程中所经过的路径长=9°兀X'5一星L.

1802

2.如图，△ABC的顶点坐标分别为4(-2,3),B(-3,0),C(-1,-1).将AABC

平移后得到△4BC,且点A的对应点是4(2,3),点8、C的对应点分别是8、C.

(1)点4、A之间的距离是；

(2)请在图中画出

【分析】(1)根据两点间的距离公式即可得到结论;

(2)根据平移的性质作出图形即可.

【解答】解：(1)VA(-2,3),4(2,3),

・••点A、之间的距离是2-(-2)=4,

故答案为：4；

3.已知△ABC中，ZACB=90°,4c=BC=4an,点P从点A出发，沿AB方向以每秒加

cm的速度向终点B运动，同时动点。从点B出发沿2C方向以每秒1cm的速度向终点C

运动，设运动的时间为f秒.

(1)如图①，若PQLBC,求/的值；

(2)如图②，将△2℃沿BC翻折至△「'QC,当r为何值时，四边形。PCP'为菱形？

【分析】(1)根据勾股定理求出A8,根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可.

(2)作于力，PEJ_AC于E,AP=&tcm,BQ=tcm(0Wf<4),由△ABC为

等腰直角三角形，可得/A=NB=45°,则可判断和为等腰直角三角形,

得出PE=AE=y-^-AP=tcm,BD=PD,贝UCE=AC-AE=(4-/)cm,由矩形和菱形

2

性质及勾股定理，即可求得答案.

【解答】解：(1)如图①，：/4。3=90°,AC=BC=4cm,

.•.48=〃'2+8,2=山2+42=4a(cm),

由题意得，AP=E11cm,BQ=icm,

贝ljBP=(4A/2-近力cm,

'JPQLBC,

：.ZPQB=90a,

：.NPQB=ZACB,

：.PQ//AC,

.BP=BQ

'"BABC'

.4V2-V2t_t

,472~一了

解得：r=2,

.•.当：=2时，PQ±BC.

(2)作于力，PEJ_4C于E,如图②,

AP—y/2tcm,BQ—tcm(0Wf<4),

VZC=90°,4C=8C=4cm,

二.△ABC为等腰直角三角形，

N4=/B=45°,

.♦.△APE和△P8Q为等腰直角三角形，

?.PE=AE=y~^-AP=tcm,BD=PD,

2

：.CE=AC-AE=(4-r)cm,

•••四边形PECO为矩形，

：.PD=EC=(4-f)cm,

BD—(4-r)cm,

：.QD=BD-BQ=(4-2力cm,

在Rt/XPCE中，PC1=PE2+CE2=r+(4-/)2,

在RtZXPOQ中，P^=PD1+DQ1=(4-/)2+(4-2r)2

•••四边形QPCP'为菱形，

:.PQ=PC,

.,/+(4-r)2=(4-f)2+(4-2/)2

.•.。=2，2=4（舍去）.

3

...当f的值为且时，四边形QPCP'为菱形.

3

4.如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1,ZVIBC的顶点和线段EF的端点均在小正

方形的顶点上.

（1）在方格纸中画出△4OC,使△AOC与△A8C关于直线AC对称（点。在小正方形

的顶点上）；

（2）在方格纸中画出以线段EF为一边的平行四边形EFGH（点G,点H均在小正方形

的顶点上），且平行四边形EFG4的面积为4,连接。，，请直接写出线段。”的长.

【分析】（1）根据轴对称的性质可得△AOC；

（2）利用平行四边形的性质即可画出图形，利用勾股定理可得OH的长.

【解答】解：⑴如图，△AQC即为所求；

5.图①，图②均是4X4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.其中点A,B,C

均在格点上，请在给定的网格中按要求画四边形.

（1）在图①中，找一格点。，使以点A,B,C,。为顶点的四边形是轴对称图形;

（2）在图②中，找一格点E,使以点A,B,C,E为顶点的四边形是中心对称图形.

-------------1------------L-------------------1----------I

1।t-

1It

_______।__________」_________1

1ii

1ii

A1Aii

1-------Y—L------3------------—h---1-----------1------------t

1I।

11।

t1_____4____J

B：：

B-।।

图①图②

【分析】（1）作点B关于直线AC的对称点D,四边形ABCD为筝形.

（2）将点A向右平移1个单位，再向上平移1个单位可得点E,四边形A8CE为平行四

边形.

【解答】解：（1）作点8关于直线AC的对称点。，连接4BCD四边形A8C。为筝形,

符合题意.

（2）将点A向右平移1个单位，再向上平移1个单位可得点E,连接ABCE,AE//BC

且AE=BC,

四边形48CE为平行四边形，符合题意.

6.如图，已知四边形ABCO为矩形，AB=26,BC=4,点E在BC上，CE=AE,将4

ABC沿AC翻折到△AFC,连接EF.

（1）求E尸的长；

（2）求sin/CEF的值.

【分析】（1）根据翻折变换的特点和勾股定理结合方程思想解答即可;

（2）根据锐角三角函数的定义，利用勾股定理解答即可.

【解答】解：（1）；CE=AE,

：.ZECA=ZEAC,

根据翻折可得：ZECA=ZFCA,ZBAC^ZCAF,

•・•四边形ABCO是矩形，

：.DA//CB,

：.ZECA=ZCAD,

：.ZEAC=ZCADf

：.ZDAF=ZBAE,

9：ZBAD=90°,

ZEAF=90°,

CE=AE=x,贝IJ3E=4-JG

在△BAE中，根据勾股定理可得：

212

BA+BE=AE9

即：（W^）2+（4-X）2=x2,

解得：x=3,

在RtZXEA尸中，EF=VAF2+AE2=■

（2）过点F作尸GLBC交BC于点G,

设CG=y,则GE=3-y,

:FC=4,FE=V17，

:.FU=FU-CG2=FW-EG2,

即：16-，=]7-（3-y）2,

解得:y=匡,

-3

FG=4FC2-CG2="^-'

/.sinZCEF=幽=画.

EF51

7.为提高耕地灌溉效率，小明的爸妈准备在耕地A、B、C、。四个位置安装四个自动喷洒

装置（如图1所示），A、B、C、。四点恰好在边长为50米的正方形的四个顶点上，为

了用水管将四个自动喷洒装置相互连通，爸妈设计了如下两个水管铺设方案（各图中实

线为铺设的水管）.

方案一：如图2所示，沿正方形48CC的三边铺设水管；

方案二：如图3所示，沿正方形ABCD的两条对角线铺设水管.

（1）请通过计算说明上述两方案中哪个方案铺设水管的总长度更短；

（2）小明看了爸妈的方案后，根据“蜂巢原理”重新设计了一个方案（如图4所示）.

满足乙4EB=/CED=120°,AE=BE=CF=DF,EF//AD.请将小明的方案与爸妈的

方案比较，判断谁的方案中铺设水管的总长度更短，并说明理由.（参考数据：V2弋1.4,

百~1.7)

图2图3图4

【分析】（1）分别算出两种方案中铺设水管的总长度，再比较即可得答案;

(2)过E作EG1.AB于G,过产作FHLCD于H,由AE=BE,GELAB,可得AG=

RG=—AB=25米=DH=CH,NAEG=NBEG=L/AEB=60。=NDFH=NCFH=

22

60。，在RtZSAEG中，GE=—典丁_=空叵（米），AE=_AG_=_5oV3_（米），

tan603cos603

故EF=GH-GE-FH=（50-毁叵）米，从而可得方案中铺设水管的总长度为5（）旧

3

+50^135（米），即知小明的方案中铺设水管的总长度最短.

【解答】解：（1）方案一：铺设水管的总长度为50X3=150（米），

方案二：铺设水管的总长度为245。2+502=100&=140（米），

Vl40<150,

方案二铺设水管的总长度更短：

（2）小明的方案中铺设水管的总长度最短，理由如下：

如图：

•：AE=BE,GE1AB,

，AG=BG=LB=25米，/4EG=NBEG=—AEB=60。，

22

同理OH=CH=25米，NDFH=NCFH=60°,

在RtAAEG中,

「AG-(米)，=E-A。_（米）,

tan6003cos6003

同理厂”=至叵米，BE^CF^DF^AE^^J^-^i

33

，EF=GH-GE-FH=(50-皿立-)米，

3

二方案中铺设水管的总长度为四巨X4+50-毁巨=50禽+50七135(米)，

33

V135<140<150,

：•小明的方案中铺设水管的总长度最短.

8.如图，在平面直角坐标系中，形如英文字母“V”的图形三个端点的坐标分别是A(2,3),

B(1,0),C(0,3).

(1)画出“V”字图形向左平移2个单位后的图形；

(2)画出原“V”字图形关于x轴对称的图形；

(3)所得图形与原图形结合起来，你能从中看出什么英文字母？(任意答一个即可)

【分析】(1)根据要求直接平移即可；

(2)在第四象限画出关于x轴对称的图形;

(3)观察图形可得结论.

【解答】解：(1)如图1.

图1

图2

（3）图1是W,图2是X.

9.如图，是边长为1的小正方形组成的8义8方格，线段AB的端点在格点上.建立平面直

角坐标系，使点A、B的坐标分别为（2,1）和（-1,3）.

（1）画出该平面直角坐标系xOy；

（2）画出线段AB关于原点。成中心对称的线段4Bi；

（3）画出以点A、8、。为其中三个顶点的平行四边形.（画出一个即可）

(2)根据中心对称的性质，即可画出线段4B；

(3)根据平行四边形的性质即可画出图形.

【解答】解：(1)如图，即为所求；

(2)如图，线段4用即为所求；

(3)如图，平行四边形A08。即为所求(答案不唯一).

10.如图，在△ABC中，A3=AC=26，BC=4,D,E,尸分别为AC,AB,BC的中

点，连接DE,DF.

(1)如图1,求证：DF=—£>£；

2

(2)如图2,将NEQF绕点。顺时针旋转一定角度，得到NP。。，当射线。尸交A3于

点G,射线OQ交BC于点N时，连接EE并延长交射线OP于点M,判断FN与EM的

数量关系，并说明理由；

(3)如图3,在(2)的条件下，当。尸_LA8时，求£W的长.

AAA

P.

C

NF

图2图3

【分析】（1）连接AR可得根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可

得DF^ACf而，根据中位线定理可得口£=・1^=2,即可得证;

（2）证明△£WFS^£>ME,根据（1）的结论即可得

IEM=

（3）连接4尸，过点C作CH148于H,证明△AG£>SA1A”C,可得GD^HCh^区，

25

勾股定理求得GE,AG,根据tanNADG，"=3，NEMG=NADG,可得

GD4

tanZEMG=^-^--进而求得MG,根据MD=MG+GD求得MD,根据（2）的结论

MG4

【解答】（1）证明：如图1.连接AF,

图1

VAB=AC=2V5>BC=4,D,E,尸分别为AC,AB,8c的中点,

•**DE=^-BC=2-A/U8C,

•*-DF-1AC=V5，

DE：

(2)解:EM-

理由如下：

连接AF,如图2,

图2

VAB=AC=2V5,BC=4,D,E,F分别为AC,AB,8c的中点,

­■•EF^1-AC=CD,EFIIDC'

四边形CDEF是平行四边形，

:.NDEF=NC,

DF-^AC=DC'

：.ZDFC=4C,

:.NDFC=/DEF,

180°-ZDFC=1800-NDEF,

：.ZDFN=4DEM,

•.,将NEZ»'绕点〃顺时针旋转一定角度，得到NPDQ,

：.ZEDF=ZPDQ,

'：NFDN+NNDE=NEDM+NNDE,

ZFDN=ZEDM,

：.ADNFS/\DME,

.NF_DF_V5

"EM"DE

(3)解：如图，连接A凡过点C作C〃J_A8于”,

A

M

RLFC中，FC总BC=2，

-'-AF=VAC2-FC2=4,

..&融存，佛亭50，

•TT„BC-AF4X48A/5

'：DPLAB,

△AGDs/XAHC,

.GDAD1

••——f

HCAC2

4V5

•■­GD-yHC-

~5~

RtAGED中,GE=VED2-GD2=

5

3V5

RtAAGD中，AG=VAD2-GD2=

5~T~

3」

/iAG53

..tanZ.ADG=777=-----

GU4

'：EF//AD,

：.ZEMG=ZADG,

•••tan/EMG嗡-1'

•4M4y2V5_8二

••MG-GE-X—

・“D.侬.华晔，

IDDO

■:丛DNFs/\DME,

.DN_DF_V5

"DM"DE"T"

・••D噂DH夸X孚苧

11.如图，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=120°，点。在直线AC上，连接B。，将。B

绕点。逆时针旋转120°,得到线段。E,连接BE,CE.

(1)求证：BC=△AB；

CE

(2)当点。在线段AC上(点。不与点A,C重合)时，求——的值；

AD

AN

(3)过点A作4V〃OE交8力于点M若AO=2C£>,请直接写出——的值.

CE

【分析】(1)作于，，可得返A8,BC=2BH,进而得出结论；

2

(2)证明进而得出结果；

(3)当点D在线段AC上时，作BFLAC,交CA的延长线于凡作AGL3。于G,设

A8=4C=3a,则4£)=2a,解直角三角形BOF,求得BZ)的长，根据△D4Gs/sO8/求

得AQ,进而求得AN,进一步得出结果；当点。在4c的延长线上时，设A8=AC=2a,

则AO=4m同样方法求得结果.

【解答】(1)证明:如图1,

作A”J_8c于H,

；AB=AC,

：.ZBAH=ZCAH=^Z.^KC=—X120°=60°，BC=2BH,

•®=詈AB，

:.BC=2BH=M俎;

(2)解：'：AB=AC,

：.AABC=NACB=180°-NBACW-120。=30

22

由(1)得，

同理可得，

ZDBE=3O°,黑花，

BD

ZABC=ZDBE,-,

ABBD

，ZABC-NDBC=NDBE-ZDBC,

：.ZABD=ZCBE,

:.△ABDsMBE,

作BF_LAC,交CA的延长线于F,作AG_LBO于G,

设AB=AC=3a,则AD=2a,

由(1)得，CE=EAD=2百a，

在RtZ\48尸中，180°-/BAC=60°,A8=3a,

尸=3a・cos60°=3a，BF=3a.sin60°=-^^a，

在RtABDF中，DF=AD+AF=2a+^-a=l-a,

22

=22

BDVBF+DF(3.3a)2+(ya)2=,/19«.

•.,NAGQ=NF=90°,ZADG=ZBDF,

:.ADAGs^DBF,

•.A•G-=2AD,

BFBD

•AG„2a

■,3V3

~n-a

•:AN"DE,

AZAND=^BDE=\20°,

/.ZANG=60°,

.AN-AG_3VS2〃_6V19

sin60V19V319

•AN=19a_历

"CE=2V3a19'

如图3,

设AB=4C=2a,则4）=4。，

由（1）得，

CE=MAD=4«a，

作BR_LCA,交。的延长线于R,作4Q_LBf）于Q,

同理可得，

AR—a,a，

,BD=yj(V3a)2+(5a)2=，

・AQ4a

..Ma;即a

•A2y

0。-7F、a，

.AN-矩2_4〃

4

.AN-V21

CE4>/3a21

综上所述：叵或返L.

1921

12.如图1,△ABC是等边三角形，点。在△ABC的内部，连接AD,将线段4。绕点A按

逆时针方向旋转60°,得到线段AE,连接80,DE,CE.

(1)判断线段8力与CE的数量关系并给出证明;

(2)延长E£>交直线BC于点F.

①如图2,当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE,BE和CE的数量关系

为

(2)①AE=DE=BE-BD=BE-CE；

(3)连接AF,作AG_LDE于G,先证明△A8FS/\A£)G,从而坐NBAF=N

AFAG

DAG,进而/BAD=NF；4G,再证明△A5QS2\AFG.

【解答】解：(1)BD=CE,理由如下：

「△ABC是等边三角形，

.../BAC=60°,AB^AC,

'：AE是由AO绕点A逆时针旋转60°得到的,

：.ZDAE=6QQ,AD=AE,

：.ZBAC=NDAE,

，ABAC-ZDAC=ADAE-ADAC,

BP：ZBAD^ZCAE,

在△84。和△CAE中，

'AB=AC

-ZBAD=ZCAE-

AD=AE

：./\BAD^/\CAE(SAS),

：.BD=CEi

(2)①由(1)得：ZDAE=60Q,AD=AE,BD=CE,

/\ADE是等边三角形，

：.DE^AE,

:.AE=DE=BE-BD=BE-CE,

故答案为：AE=BE-CE；

②如图，

连接AF,作AGLOE于G,

AZAGD=90°,

•.•尸是BC的中点，△ABC是等边三角形，△AQE是等边三角形,

：.AF±BC,NA8P=NADG=60°,

：.ZAFB=ZAGD,

：./\ABF^/\ADG,

AAB=AD>NBAFJDAG,

AFAG

NBAF+NDAF=ZDAG+ZDAF,

:.NBAD=NFAG,

：./\ABD^/\AFG,

...NAOB=NAG尸=90°,

由(1)得：BD=CE,

VCE=DE=AD,

:.AD=BD,

：.ZBAD=45°.

13.如图所示的万格纸(1格长为一个单位长度)中，△408的顶点坐标分别为A(3,0),

O(0,0),B(3,4).

(1)将△A08沿x轴向左平移5个单位，画出平移后的△40181(不写作法，但要标出

顶点字母)；

(2)将△A08绕点O顺时针旋转90°,画出旋转后的△A2O2B2(不写作法，但要标出

顶点字母)；

(3)在(2)的条件下，求点B绕点。旋转到点&所经过的路径长(结果保留TT).

【分析】(I)利用平移变换的性质分别作出A,O,8的对应点4,01,所即可;

(2)利用旋转变换的性质分别作出A,O,8的对应点A2,02,82即可；

(3)利用弧长公式求解.

【解答】解：(1)如图，△401劭即为所求；

(2)如图,△A2O2B2即为所求;

(3)在RtAAOB中，OB=VoA2+AB2=5'

14.在△4BC中，NBAC=90°,AB=AC,线段AB绕点A逆时针旋转至A。(4。不与4c

重合)，旋转角记为a,/D4C的平分线AE与射线8。相交于点E,连接EC.

(1)如图①，当a=20°时，NAE8的度数是；

(2)如图②，当0°<a<90°时、求证：BD+2CE=6AE；

当0°<a<180°,AE=2CE时，请直接写出g2的值.

(3)

ED

AA

【分析】(1)由旋转的性质得出N34£>=20°,A8=A。，求出NOAE=^/D4C=35°,

2

由三角形外角的性质可求出答案：

(2)延长08到凡使BF=CE,连接A片证明(S4S),由全等三角形

的性质可得出NOEA=NCEA,ZADE^AACE,DE=CE,证明△A8F会△△(?£：(SAS),

由全等三角形的性质可得出AF=AE,/APB=Z4EC=45°,由等腰直角三角形的性质

可得出结论；

(3)分两种情况画出图形，由全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质可得出答案.

【解答】(1)解：,•,线段AB绕点A逆时针旋转。至4),a=20°,

.,.ZfiAD=20°,AB=AD,

：.ZADB^ZABD=^-X(180°-20°)=80°,

2

又；N3AC=90°,

AZDAC=70°,

平分/D4C,

AZDAE=—ZDAC^3>5a,

2

AZAEB^ZADB-ZDAE=80°-35°=45°,

故答案为：45°；

(2)证明：延长OB到F,使8F=CE,连接AF,

'：AB=AC,AD=AB,

：.AD=ACf

•・・AE平分ND4C,

:"DAE=/CAE,

^：AE=AEf

E(SAS),

：.ZDEA=ZCEA,ZADE=ZACE,DE=CE,

*：AB=AD,

：.ZABD=ZADB9

VZADE+ZADB=]SO<>,

/.ZACE+ZABD=\SO0,

'/ZBAC=90°,

ZBEC=360°-(NACE+NABD)-ZBAC=360°-180°-90°=90°,

VZDE4=ZC£A,

AZDE4=ZCEA=—X90°=45°,

2

VZABF+ZABD=180°,ZACE+ZABD=l80°,

，ZABF=ZACEf

u

：AB=ACfBF=CE,

：.(SAS),

：.AF=AE,ZAFB=ZAEC=45°,

AZME=180°-45°-45°=90°,

在中，ZME=90°,

TcosN4M=岖，

EF

...EF=——学——=~虺/-=/2AE^

cosNAEFCOS45

,?EF=BF+BD+DE=CE+BD+CE=BD+2CE,

:・BD+2CE=®AE；

(3)解：如图3,当00<a<90°时，

A

VAE=2CEf

:・BD+2DE=2近DE,

・嚼=2&-2；

在8。上截取连接AF,方法同(2)可证△AOEg/XACE(SAS),

：.DE=CE,

：45=AC=AO,

NABF=ZADE,

：.^ABF^^ADE(SAS),

：.AF=AE,NBAF=NDAE,

又,.•NZME=NCA£,

：.ZBAF=ZCAE,

：.NEAF=ZFAC+ZCAE=ZFAC+ZBAF=ZBAC=90°,

.♦.△AEF是等腰直角三角形，

:.EF=®AE,

：.BD=BF+DE+EF=2DE+如AE,

■:AE=2CE=2DE,

:.BD=2DE+2版DE,

=2\/2+2-

DEv

综上所述，毁的值为2&+2或2&-2.

DE

15.【特例感知】

(1)如图1,ZWOB和△COO是等腰直角三角形，/AOB=/COO=90°,点C在。4

上，点。在BO的延长线上，连接AD,BC,线段AD与BC的数量关系是；

【类比迁移】

(2)如图2,将图1中的△COD绕着点。顺时针旋转a(0°<a<90°),那么第(1)

问的结论是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，说明理由.

【方法运用】

(3)如图3,若AB=8,点C是线段AB外一动点，AC=3百，连接BC.

①若将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD,连接AD,则AD的最大值是；

②若以BC为斜边作RtaBCO(B,C,。三点按顺时针排列)，NCDB=90°,连接AD,

当NCBD=NDAB=30°时，直接写出AO的值.

【分析】(1)证明△4。。也△80C(SAS),即可得出结论；

(2)利用旋转性质可证得/8OC=/AOD,再证明△AOZXABOC(SAS),即可得出结

论；

⑶①过点4作AT_LAB,AT=AB,连接B7,AD,DT,BD,先证得

得出。T=3逐，即点。的运动轨迹是以T为圆心，3加为半径的圆，当。在AT的延

长线上时，A。的值最大，最大值为8+3%；

②如图4,在A8上方作乙487=30°,过点A作于点7,连接AO、BD、DT,

过点T作7H_LA。于点”,可证得△BACs/iBTT),得出。7=返AC=YZx3j§=9,