信号与系统课件

第一章緒論

我們把欲待傳輸的語言、文字、圖象、數碼等統稱為資訊（消息）。①定義：信號是帶有資訊的隨時間變化的物理量（電量）。其圖像稱為信號的波形。

§1.1信號的描述與分類

由於資訊蘊含於變化的信號中，只有變化的物理量（電量）才能運載資訊。因此，信號的數學模型就是時間函數f(t)f(n)即

②分類：根據不同的分類原則，信號可分為：隨機信號（無規則信號）確定信號（規則信號）定義：如果信號不是引數（時間）的確定函數，即對某時刻t，信號值並不確定，而只知道取某一數值的概率，此類具有統計規律的信號稱無規則信號。定義：對於任意確定時刻，都有確定的函數值對應，這樣的時間信號稱規則信號。對確定信號：規則信號a.按信號出現時間：連續時間信號離散時間信號b.按變化規律：週期信號f(t)=f(t+nT)非週期信號寬頻信號窄帶信號c.按頻率特性：d.按功率,能量特性：（能量無限，p週期信號功率信號：有限）（能量有限，非週期信號能量信號：0=p）連續時間信號：一個信號若在某個時間區內除有限個間短點外的所有時刻，都有確定的值，就稱這個信號為在該區間內的連續信號。離散時間信號：一個信號如果只在離散的時間瞬刻才有確定的值，就稱為離散時間信號。f(t)t圖1.連續時間信號f(n)n圖2.離散時間信號信息轉換器電信號發射機接收機信息轉換器電信號系統f(t)y(t)聲音話筒喇叭聲音§1.2系統的定義和分類圖3.通信系統b.線性系統與非線性系統c.時變系統與非時變系統d.因果系統與非因果系統t<tf(t)=0y(t)=0(客觀系統)a.連續時間系統與離散時間系統連續離散f(t)y(t)f(n)y(n)本課程的主要內容1、信號分析2、系統分析時域分析1)連續時間系統分析頻域分析複頻域分析時域分析2)離散時間系統分析Z域分析連續時間系統3)狀態變數分析離散時間系統本課程地位

信號與系統是電氣、電子等類專業的重要的主幹技術基礎課。通過本課程的學習，使學生掌握有關信號與系統的基本概念、基本理論和基本分析方法。其中許多概念要求透徹理解，不少方法要求牢固掌握。該課程理論體系嚴謹，內容引人入勝，而且會從中學會一種思維方法，養成一種科學作風。甚至使人終身受益。1.3連續時間信號時域的變換與運算一、時域變換1、信號的時移：(新變數)例1.1-1：(t+1)t如圖1.1-1(a)所示f(t)1-201t圖1.1-1(a)如圖1.1-1(c)所示(超前）(滯後）解：如圖1.1-1(b)所示f(t)1-201t圖1.1-1(a)10-3tf(t+1)圖1.1-1(b)120-1tf(t-1)圖1.1-1(c)如圖1.1-1(a)所示2、信號的折迭信號以縱坐標為軸翻轉180o(新變數)1tU(t)01tU(-t)0例1.1-2：-ttt11-2f(t)0如圖1.1-2(a)所示圖1.1-2(a)t1-12f(-t)0圖1.1-2(b)如圖1.1-2(b)所示3、信號的展縮例1.1-3：220t如圖1.1-3(a)所示。圖1.1-3(a)解：20t1圖1.1-3(b)20t4圖1.1-3(c)如圖1.1-3(b),(c)所示。

可見，時移、折迭、展縮都是用一個新的時間變數去代換原時間變數。例1.1-4:2-2t10如圖1.1-4(a)所示圖1.1-4(a)2-2t4圖1.1-4(d)解：22t-1(也可以先展縮後時延)如圖1.1-4(b)所示圖1.1-4(b)2t10.5-0.5圖1.1-4(c)壓縮：如圖1.1-4(c)所示擴展：如圖1.1-4(d)所示例2時移時移折展折展折時移時移時移折展展圖1.1-5二、時域運算如圖1.1-6所示1102t圖1.1-6如圖1.1-7所示1102t-1圖1.1-73.信號相加(合成)f2f1f0011tt-1如圖1.1-8圖1.1-8(a)(b)(c)01t1(d)例1.1-6：注意：週期信號相迭加，不一定是週期信號！！(看是否存在是小公倍數）為非週期信號f\無理數TT==\321p例1.1-7：tttf+=sin3cos)(pTT==2,3221pQ4.信號相乘(取樣、調製)f1f2f(t)5.信號卷積(信號分解、信號通過系統）如圖1.1-9圖1.1-9§1.4幾種典型的連續時間信號5.鐘形脈衝函數（高斯函數）1.指數信號2.正弦信號3.複指數信號4.抽樣信號（SampleSignal)信號的表示函數運算式波形重要特性：其對時間的微分和積分仍然是指數形式。1．指數信號單邊指數信號通常把稱為指數信號的時間常數，記作

,代表信號衰減速度，具有時間的量綱。l

指數衰減,l

指數增長l

直流(常數),KO2．正弦信號振幅：K

週期：頻率：f

角頻率：初相：衰減正弦信號：

3．複指數信號討論複指數信號與正弦信號之間的關係

歐拉(Euler)公式4．抽樣信號(SamplingSignal)

性質①②③④⑤⑥5．鐘形脈衝函數(高斯函數)在隨機信號分析中佔有重要地位。

函數本身有不連續點(跳變點)或其導數與積分有不連續點的一類函數統稱為奇異信號或奇異函數。主要內容：單位斜變信號單位階躍信號☆單位沖激信號沖激偶信號§1.5階躍信號與沖激信號一．單位斜變信號1．

定義3．三角形脈衝由變數t-t0=0可知起始點為2．有延遲的單位斜變信號二．單位階躍信號1.定義變數<0

函數值為0由變數

，函數有中斷點，跳變點變數>0

函數值為12.有延遲的單位階躍信號3．用單位階躍信號描述其他信號其他函數只要用門函數處理(乘以門函數)，就只剩下門內的部分。

符號函數：(Signum)門函數：也稱窗函數單位沖激信號的引出☆三、沖激函數δ（t)定義1：狄拉克(Dirac)函數

函數值只在t=0時不為零；

積分面積為1；

t=0時，，為無界函數。

t0(1)定義2面積1；脈寬↓；

脈衝高度↑；

則窄脈衝集中於t=0處。★面積為1★寬度為0★三個特點：若面積為k，則強度為k。三角形脈衝、雙邊指數脈衝、鐘形脈衝、抽樣函數取

0極限，都可以認為是沖激函數。描述時移的沖激函數沖激函數的性質1．抽樣性2．奇偶性3．沖激偶4．標度變換1.抽樣性(篩選性)對於移位情況：如果f(t)在t=0處連續，且處處有界，則有

2.

奇偶性利用分部積分運算3.沖激偶①沖激偶的性質時移，則：

X②③……(1.2-9)④4.對

(t)的尺度變換沖激偶的尺度變換

四.總結：R(t)，u(t)，

(t)之間的關係

R(t)

求 ↓↑ 積 (-

<t<)

u(t)

導 ↓↑ 分

(t)

沖激函數的性質總結（1）抽樣性（2）奇偶性（3）尺度變換性（4）微積分性質（5）沖激偶（6）卷積性質例1.5-1求下列積分解：解：思考：例1.5-2解：第二章連續時間系統的時域分析LTIf(t)y(t)圖2.1-1信號與系統研究的內容對於信號：A:信號分析B：信號處理對於系統：A:系統分析B：系統綜合一、系統數學模型的時域表示

時域分析方法:不涉及任何變換，直接求解系統的微分、積分方程式，這種方法比較直觀，物理概念比較清楚，是學習各種變換域方法的基礎。本課程中我們主要討論輸入、輸出描述法。二、系統分析過程經典法:前面電路分析課裏已經討論過，但與

(t)有關的問題有待進一步解決——h(t)；卷積積分法:

任意激勵下的零狀態回應可通過沖激回應來求。(新方法)三、本書所研究的系統－－－－

線性非時變系統(LTI)的固有特性1.迭加特性：線性系統是滿足零輸入線性和零狀態線性的系統……(2.1-1)線性非時變系統(LTI)的固有特性：2.時不變特性：LTItU(t)0tU(t-t0)t00t0tt00如圖2.1-2……(2.1-2)圖2.1-2線性非時變系統(LTI)的固有特性：3.微分和積分特性：LTIf(t)y(t)……2.1-3……2.1-4如圖2.1-3所示圖2.1-3本章主要內容線性系統完全回應的求解；沖激回應h(t)的求解；卷積的圖解說明；卷積的性質；零狀態回應：。本章建立幾個重要的概念2.系統時間特性的描述和表徵——h(t)3.信號可以由系統來實現，系統也可用信號來仿真4.重要的數學工具——卷積積分(性質、圖解、計算)1.信號分解和回應合成的概念——卷積MRRLLU(t)i2i1+_+_u1u2圖2.2-1解：MRRLLU(t)i2i1+_+_u1u21.建立方程有③

圖2.2-1

我們一般將激勵信號加入的時刻定義為t=0，回應為時的方程的解，初始條件齊次解：由特徵方程→求出特徵根→寫出齊次解形式注意重根情況處理方法。特解：根據微分方程右端函數式形式，設含待定系數的特解函數式→代入原方程，比較係數定出特解。初始條件的確定是要解決的主要問題。經典法解微分方程全解：齊次解+特解，由初始條件定出齊次解。幾種典型激勵函數相應的特解激勵函數e(t)回應函數y(t)的特解2.回應求解——經典法自由回應：也稱固有回應，由系統本身特性決定，與外加激勵形式無關。對應於通解。

壓迫回應：形式取決於外加激勵，對應於方程的特解。全回應（注意：特解一定是系統在t＞0時刻的解）＋3.根據初始條件求A1,A2由式：平衡法對：由,可得相應的波型如圖2.2-2。t0圖2.2-2一、元件的算子模型注意：

是代表一種運算作用在時間函數上，而不是相乘。所以，二、算子的運算規則1.滿足分配律，可進行因式分解2.不滿足交換律而除非,否則3.不滿足消去律即同上式不符同樣有即等式兩邊中相同的算符不能隨便消去。三、算子方程的編寫例2.3-1如圖2.3-1(a)電路回應i2,試編寫算子方程us1H2Hi2圖2.3-1(a)解：1)畫出算子的阻抗模型如圖2.3-1(b)所示us1H2Hi22p1pus圖2.3-1(b)i2i1圖2.3-1(a)2)編寫算子形式的網孔方程由,得代入,有i2i11p2pus如圖2.3-2(a)電路，以u1、u2為回應，編寫算子方程。例2.3-2u1u2圖2.3-2(a)解：1.畫出算子的導納模型如圖2.3-2(b)u1u2圖2.3-2(a)u1u2圖2.3-2(b)2.編寫算子形式的節點方程即u1u2圖2.3-2(b)可得或

用一些基本運算單元，如放大器、加法器、乘法器、微分器、積分器、延遲器等構成系統的模擬框圖，以反映系統的運算關係，是描述系統的另一種形式。常用的基本運算單元如下圖。四、系統的模擬框圖表示ax(t)y(t)px(t)y(t)1/px(t)y(t)運算單元框圖輸入輸出關係

x(t)y(t)y(t)x1(t)x2(t)放大器微分器積分器延遲器加法器乘法器y(t)x1(t)x2(t)例2.3-3某回饋系統的模擬框圖如圖2.3-3所示，試編寫其算子方程。f(t)y(t)y1(t)圖2.3-3+-解：f(t)y(t)y1(t)圖2.3-3+-五、傳輸算子

一個單輸入、單輸出的線性非時變系統可用一個n階常係數線性微分方程來描述，其算子形式為式中為算子多項式。所以……2.3-1令——傳輸算子……2.3-2……2.3-3結論：1.描述系統的三種形式：①算子方程（微分方程）②模擬框圖③傳輸算子H(p)2.三者之間可互求3.系統的功能可看作是對輸入信號進行數學運算的算子

——傳輸算子。一、系統回應劃分自由回應＋強迫回應

(Natural+forced)零輸入回應＋零狀態回應

(Zero-input+Zero-state)暫態回應+穩態回應

(Transient+Steady-state)

也稱固有回應，由系統本身特性決定，與外加激勵形式無關。對應於齊次解。

形式取決於外加激勵。對應於特解。

是指激勵信號接入一段時間內，完全回應中暫時出現的有關成分，隨著時間t增加，它將消失。

由完全回應中減去暫態回應分量即得穩態回應分量。

沒有外加激勵信號的作用，只由起始狀態（起始時刻系統儲能）所產生的回應。

不考慮原始時刻系統儲能的作用（起始狀態等於零），由系統的外加激勵信號產生的回應。

(1)自由回應：(2)暫態回應：穩態回應：強迫回應：(3)零輸入回應：零狀態回應：二、各種系統回應定義求解

系統零輸入回應，實際上是求系統方程的齊次解，由系統狀態值求出待定係數。

系統零狀態回應，是在激勵作用下求系統方程的非齊次解，待定係數由下式確定。

當f(t)=0時，為求系統的零輸入回應，就要求解齊次微分方程：系統的零輸入回應如圖2.4-1所示……2.4-1LTI圖2.4-1一、一階、二階齊次方程1.一階：式可寫成(把p看成代數量)……….2.4-22.二階：……2.4-4……2.4-4由式，有二、n階系統的零輸入回應……2.4-5

……2.4-6……2.4-7i(t)uS1HuC例2.4-1求如圖2.4-2(a)電路的零輸入回應

圖2.4-2(a)解：畫出該電路的算子模型如圖2.4-2所示編寫算子形式的回路方程，有圖2.4-2(b)piuS1A10VuL(0-)t=0-等效電路圖2.4-32.4-3例2.4-2電路同上，其中：求izi(t)解：相應的算子方程為1/pp00.3681t

圖2.4-4izi(t)一、定義

一個LTI系統，當其初始狀態為0時，輸入信號為單位沖激信號δ(t)時所引起的回應稱為單位衝擊回應，簡稱衝擊回應，用h(t)表示。

同樣，系統在單位階躍信號U(t)作用下所產生的零狀態回應稱為階躍回應，用g(t)來表示LTI“0”LTI“0”二、沖激回應與階躍回應的關係LTI“0”LTI“0”

如圖2.5-1所示圖2.5-1…………2.5-2三、沖激回應的計算H特徵根為分式展開，上式可寫成依部分時，可將相應的，且特徵方程無重根，①當(p)L,nL21lllmn>

KKnKL1,2式中是部分分式展開的係數ht

)(nntpKpKpKLL2211)()(dlll-++-+-=1i的情況我們僅討論具有相同的形式，注意到=hi……2.5-4……2.5-6……2.5-7…..2.5-8H特徵根為分式展開，上式可寫成依部分時，可將相應的，且特徵方程無重根，②當(p)L,nL21lllmn=

KKnKL1,2式中是部分分式展開的係數H特徵根為分式展開，上式可寫成依部分時，可將相應的，且特徵方程無重根，③當(p)L,nL21lllmn<

KBnKL1,1式中是部分分式展開的係數當：n>mh(t)無沖激項n=mh(t)有沖激項n<m有各項四、幾個重要結論1.沖激回應h(t)作為系統的時間特性，也是系統的一種描述方式。即系統可用①算子方程(微分方程)②模擬框圖

四種方式來描述，並且可以互求。④沖激回應h(t)③傳輸算子p)H(3.把沖激回應和系統的零輸入回應比較

兩者不僅僅是形式上的巧合，而是一種本質相同的回應。對系統的零輸入：D(p)yzi(t)=0對系統的沖激回應：

當t>0δ(t)=0∴有D(p)h(t)=0(t>0)D(p)h(t)=N(p)δ(t)即：

沖激回應是單位貯能產生的“零輸入回應”。系統一定，ki一定，而ci則由系統的初始貯能確定。四、示例i(t)圖2.5-4(a)解：畫出相應的算子模型如圖(b)(b)

相應的波形如圖2.5-5所示，電容器兩端的電壓發生了突變。圖2.5-5-2t0(a)1t0(b)例2.5-2例2.5-3如圖2.5-7電路求沖激回應i2(t)解：同前有算子方程i1i2i2圖2.5-7例2.5-4如圖2.5-7電路求零狀態時的u1(t),u2(t)u1u2圖2.5-7u1u2解：同前u1u2本節全部內容結束再見!!!2.6零狀態回應的求解

——卷積積分LTI“0”信號分解回應合成(卷積)(卷積)圖2.6-1一、有始信號的分解1.有始信號分解為矩形窄脈衝信號f(t)t0f(0)圖2.6-2(a)f(t)t0f(0)f0f1f2fk0f(t)t…2.6-12.注意到且信號分解亦可以理解f(t)為被不同時延的沖激信號(t在變化！)進行積分取樣的結果。1.上式表明有始時間信號可分解為一系列具有不同幅度、不同時延沖激信號的迭加——卷積積分2.有始信號分解為階躍信號f(0)fktf0f1f(t)0

該式表明有始時間信號可分解為一系列具有不同幅度不同時延階躍信號的迭加。……2.6-2……2.6-3二、回應的合成(沖激回應為例)“0”LTI3.對任意的無始無終信號，有4.若把信號分解為階躍信號的迭加，同理可得……2.6-4三、示例例2.6-1如圖2.6-5(a)電路，已知f(t)如圖(b)所示，求h(t)、g(t)及零狀態回應i(t)f(t)0tRLf(t)i(t)圖2.6-5(a)圖2.6-5(b)Rf(t)解：容易寫出算子方程Lpf(t)0t如圖所示，系統為零狀態，求例2.6-2如圖2.6-6(a)電路，已知t01231234圖2.6-6(a)（b）。解：由前已得而f(t)可寫為

根據沖激函數的積分取樣性質，注意到後兩項的積分下限應為2，則代入積分上下限整理後可得：相應的波型如圖2.6-7。t01231234圖2.6-72.7卷積積分的性質一、卷積的代數律（交換律、結合律、分配律）1.交換律前面已經證明：……2.7-1從系統的觀點看卷積的交換律(如圖2.7-1)即：也就是說

信號不僅是資訊的一種體現，也是系統時間特性的一種體現。即：信號可由系統來實現系統可用信號來仿真

2.結合律如圖2.7-2

從系統的觀點看，兩個系統級聯時，總系統的沖激回應等於子系統沖激回應的卷積。即y1h(t)h(t)且與級聯次序無關。

h(t)

h(t)圖2.7-23.分配律

如圖2.7-3分配律表明，並聯LTI系統對輸入f(t)的回應等於各子系統對f(t)的回應之和。

圖2.7-3……2.7-3二、卷積的微分與積分1.微分可推廣到n次微分……2.7-6……2.7-72.積分

兩個函數卷積後的積分等於其中一個函數積分後與另一函數卷積。即：……2.7-6…….2.7-7微分根據、積分性質，顯然3.……..2.7-8三、函數與奇異函數的卷積1.如圖2.7-4沖激回應為的系統是。路線短2.如圖2.7-5沖激回應為的系統是延時為t0的延時器。

…….2.7-10圖2.7-53.

…….2.7-10如圖2.7-6圖2.7-64.

…….2.7-12

如圖2.7-7-圖2.7-7001-1tt(a)(b)圖2.7-80tt00t1-1解：如圖2.7-9-2圖2.7-9

波形如圖2.7-10t0圖2.7-10卷積的圖解說明

用圖解法直觀，尤其是函數式複雜時，用圖形分段求出定積分限尤為方便準確，用解析式作容易出錯，最好將兩種方法結合起來。

01圖2.8-1(b)如圖2.8-1(a)，設)()(2tttUefa-=折迭，有

)

(2t-f如圖(b)0(t=0)0100圖2.8-1(a)若t=t1<0，有)(1t-tf如圖

t1102.8-2圖2.8-2二、圖解示例

已知)(1tf和)(2tf如圖2.8-3所示，用圖解定積分限求)()(21tftf*。110034tt圖2.8-3(a)(b)103t1)如圖2.8-4(a)圖2.8-4(a)02)13如圖2.8-4(b)圖2.8-4(b)tt-433)10tt-4如圖2.8-4(c)圖2.8-4(c)3t-4t4)10如圖2.8-4(d)圖2.8-4(d)t0347相應波形如圖2.8-5所示圖2.8-5結論：1.積分上下限是兩函數重迭部分的邊界

下限為兩函數左邊界的最大者上限為兩函數右邊界的最小者2.卷積的時限=兩函數時限之和。例2.8-101t如圖2.8-6所示圖2.8-6解：01t如圖2.8-7(a)圖2.8-7(a)01如圖2.8-7(b)圖2.8-7(b)t01t如圖2.8-7(c)圖2.8-7(c)相應波形如圖2.8-8所示t0圖2.8-8思考：例2.8-2)()()(

)()(

)()(

21221tftftytUetftUetftt*===--求已知1010tt如圖2.8-9(a).(b)所示圖2.8-9(a)(b)解：10t如圖2.8-10(a)所示圖2.8-10(a)10t如圖2.8-10(b)所示圖2.8-10(b)例2.8-300tt1222-223

圖2.8-11(a)(b)解：00tt1222-22343-414250ty(t)

圖2.8-11(a)(b)如圖2.8-12所示圖2.8-12(a)0ty(t)412345(b)例2.8-4…………0T-Ttt0如圖2.8-13(a)、(b)所示圖2.8-13(a)(b)解：t0-TT…………相應波形如圖2.8-14所示圖2.8-14☆一、卷積積分上下限的確定①f1(t)、f2(t)均為因果信號②f1(t)為因果信號，f2(t)為一般的無時限信號③f1(t)為一般的無時限信號，f2(t)為因果信號④f1(t)、f2(t)均為一般的無時限信號⑤其他情況通常需用圖解法確定一般對於有時限信號的卷積注意運用卷積的微分和積分特性，來簡化卷積的運算常用時間函數的卷積表(1)常用時間函數的卷積表(2)常用時間函數的卷積表(3)常用時間函數的卷積表(4)一、求解系統全回應的方法1.經典解微分方程法列出回應的微分方程

求出方程的通解(自由回應)

確定解中的待定係數

求出方程的特解(壓迫回應)

2.雙零法建立微分方程求H(p)求特徵根yzi(t)求h(t)yzs(t)=f(t)※h(t)全回應y(t)=yzi(t)+yzs(t)已知系統及輸入信號f(t)，求全回應y(t)y(0+)、y’(0+)、…y(n)(0+)y(0-)…y(n)(0-)例2.9-1

電路如圖2.9-1(a)所示，已知

)()1()(3tUetft-+=如圖(b)，VuC1)0(=-

求)(tuC+_uC0t12圖2.9-1(a)(b)+_uC相應的算子方程為：解：畫出算子模型如圖2.9-2圖2.9-2

)()(tUetht=\-11)(ppH+=Q012t如圖2.9-3所示圖2.9-3零輸入回應零狀態回應自由回應強迫回應暫態回應穩態回應例2.9-2已知電路如圖2.9-4所示iL圖2.9-4解：畫出相應的算子模型如圖2.9-5寫出算子方程：有i1i2圖2.9-5例2.9-3系統的單位沖激回應與激勵分別為求系統的零狀態t-10112102t如圖2.9-6(a).(b)所示，回應yzs(t)並畫出波型。圖2.9-6(a)(b)解：t01234波形如圖2.9-7所示圖2.9-7波形如圖2.9-8所示t012圖2.9-8例2.9-4已知LTI系統的模擬框圖如圖2.9-9(a)激勵f(t)=A[U(t)-U(t-T)]如圖2.9-9(b)求yzs(t)AT0tT延時器圖2.9-9(a)(b)解：由圖可知1T0t如圖2.9-10圖2.9-10相應波形如圖2.9-11ATT0t2T圖2.9-11本章全部內容結束再見!!!從本章開始由時域轉入變換域分析，首先討論傅裏葉變換。傅裏葉變換是在傅裏葉級數正交函數展開的基礎上發展而產生的，這方面的問題也稱為傅裏葉分析（頻域分析）。將信號進行正交分解，即分解為三角函數或複指數函數的組合。頻域分析將時間變數變換成頻率變數，揭示了信號內在的頻率特性以及信號時間特性與其頻率特性之間的密切關係，從而導出了信號的頻譜、帶寬以及濾波、調製和頻分複用等重要概念。一、引言

第三章連續時間系統的頻域分析二、主要內容①週期信號的分解(諧波分析)————

傅立葉級數(

)、離散譜③典型信號的頻譜

1.信號分析②非週期信號的分解————

傅立葉變換(FT)、連續譜非正弦2.系統分析①傅氏變換的性質及應用---

建立時間特性和頻率特性的對應關係(信號通過系統後，時間特性及頻譜發生變換的對應關係)②系統頻率特性的描述和表徵

——③系統的功能

——

④系統的頻域分析——

無失真傳輸，理想低通濾波器抽樣定理，調製與解調三、牢固建立幾個重要的概念1.信號等效於一個頻譜建立信號和頻譜間的一一對應關係：週期信號——非週期信號——非週期抽樣信號——離散譜連續譜連續週期譜

濾波器

系統等效於一個頻率特性

系統就是一個頻譜變換器

信號與系統的相互作用：在時域裏表現為時間函數卷積在頻域裏表現為兩個譜函數相乘2.3.4.§3.1信號分解為正交函數一、正交向量在平面空間中，兩個向量正交是指兩個向量相互垂直。即有：A1·A2=0這樣，平面空間中的任一個向量都可以分解為兩個正交向量的組合A=C1A1+C2A2以此類推，三維空間的向量可表示為：A=C1A1+C2A2+C3A3n維空間向量A=C1A1+C2A2+…+CnAn二、正交函數集將正交向量分解的概念，推廣應用到信號分析中。1、正交函數則稱函數f1(t)，f2(t)在(t1,t2)區間內正交2、正交函數集在區間(t1,t2)上有f1(t),f2(t),….fn(t),若有則稱{f1(t),f2(t),….fn(t)}為(t1,t2)內的正交函數集3.完備的正交函數集在區間(t1,t2)，如果在正交函數集{f1(t)，….fn(t)}外找不到另外一個非零函數與該正交函數集中的每一個函數都正交在，則稱該函數為完備的正交函數集。常見的完備的正交函數集①三角函數集{cosnΩt,sinmΩt}在區間(t0,t0+T)②指數函數集{ejΩnt}在區間(t0,t0+T)③其他如Sa()及沃爾什函數也是完備的正交函數集三、信號分解為正交函數與向量的n維空間分解類似，給定一個n個函數{f1(t)，f2(t)，…fn(t)構在(t1,t2)上一個完備正交函數集，則在由這個函數集構成的空間內的任一個函數f(t)可以用這n個正交函數的線性組合來近似。f(t)≈C1f1(t)+C2f2(t)+….+Cnfn(t)問題：如何選擇係數Ci才能得到最佳近似。在均方誤差準則下：有：

必須指出，並非任意週期信號都能進行傅立葉級數展開，被展開的週期函數

應滿足如下的充分條件——狄義赫利條件：1.在一週期內，如果有間斷點存在，則間斷點的數目應是有限個2.在一週期內，極大值和極小值的數目應是有限個3.在一週期內，信號是絕對可積的，即一、三角形式的傅立葉級數注意到三角函數的正交性：容易求得：注意：為了更深刻理解信號正交分解的物理含義：則由式可得：結論：簡諧振蕩分量的基頻與週期信號的周期T有關，其他分量分別為

直流分量A0及諧波分量的振幅An和相位由信號波型(即f(t))確定。2.3.諧波分解任何滿足狄義赫利條件的非正弦週期信號，均可分解為直流分量，和很多簡諧振蕩的正弦分量的迭加。

1.An005.4.二、指數形式的傅裏葉級數由結論：指數信號包含有等正負兩個指數頻率分量，也正是這樣兩個指數分量才合成一個簡諧振蕩分量。1.同一週期信號既可分解為簡諧振蕩的形式，也可分解為指數信號的迭加。其中4.例3.2-把如圖所示的週期矩形脈衝展開成三角函數和指數函數並畫出相應的頻譜`EtT-T0…….……解：相應的頻譜圖如圖。0An0演示Fn0這時例3.2-20-T-2TT2T解：0三、函數的對稱性與傅裏葉係數的關係如圖：0tE如圖：t3.半波像對稱函數(實奇諧波函數)僅含n=1,3,5,……奇次諧波項t-1104.實偶諧波函數t0EtT1-T10一、週期矩形脈衝的頻譜§3.3週期信號的頻譜特點1．單邊譜----三角級數

是個偶函數An02.指數級數係數3．頻譜及其特點(1)包絡線形狀：抽樣函數(3)離散譜（諧波性）4.頻帶寬度第一個零點集中了信號絕大部分能量（平均功率）由頻譜的收斂性可知，信號的功率集中在低頻段。而總功率a.週期矩形脈衝信號的功率二者比值在滿足一定失真條件下，信號可以用某段頻率範圍的信號來表示，此頻率範圍稱為頻帶寬度。b.頻帶寬度對於一般週期信號，將幅度下降為的頻率區間定義為頻帶寬度。一般把第一個零點作為信號的頻帶寬度。記為：

語音信號 頻率大約為 300~3400Hz，音樂信號 50~15,000Hz，擴音器與揚聲器有效帶寬約為15~20,000Hz。c．系統的通頻帶>信號的帶寬，才能不失真二、週期信號的頻譜特點三、頻譜結構與波形參數T1,τ的關係：週期信號非週期信號連續譜，幅度無限小；離散譜一.引出0再用表示頻譜就不合適了，雖然各頻譜幅度無限小，但相對大小仍有區別，引入頻譜密度函數。0§3.4非週期信號的頻譜分析

---傅立葉變換(FT）

w（1）頻譜密度函數簡稱頻譜函數單位頻帶上的複振幅值1nw-j)(tdtetfX由複指數形式的傅裏葉級數這裏將F(jω)稱做f(t)的傅立葉變換，而f(t)稱做F(jω)的傅立葉逆變換①②1、f(t)為實函數，F(jω)一般是ω的復函數。二、頻譜密度函數F(jω)的特性2、實偶函數的頻譜是實偶函數即f(t)=f(-t),則F(jω)=R(ω)

3、實奇函數的頻譜是虛奇函數即f(t)=-f(-t),則F(jω)=jX(ω)

4、偶函數的頻譜是偶函數即f(t)=f(-t),則F(-jω)=F(jω)

證明：∵f(t)Sinωt---奇函數∴X(ω)=0∵f(t)Cosωt---奇函數∴R(ω)=0三、求取頻譜的方法①

根據週期信號的複振幅求F(jω)

F(jω)=TFn把nω0---->ω②根據定義：

③

借助常用信號的頻譜及FT性質5、奇函數的頻譜是奇函數即f(t)=-f(-t),則F(-jω)=-F(jω)例1.求t01ω0F(jω)t01ω0▼．傅裏葉變換的物理意義實函數歐拉公式積分為0

求和振幅正弦信號◢．傅裏葉變換存在的條件所有能量信號均滿足此條件。§3.5

典型非週期信號的頻譜一、門函數-----二、單邊指數信號----f(t)t00三、雙邊指數信號----f(t)t101-1tsgn(t)00四、符號函數-------0五、沖激信號和沖激偶沖激偶----比較①、②可知的頻譜函數t01①②§3.4非週期信號的頻譜分析

---傅立葉變換(FT）

一、從傅立葉級數到傅立葉變換注意：既然複振幅都為無窮小量，但它們並不是同樣大小，其相對值之間仍有差別，為表徵這種差別，引入一個新的物理量----頻譜密度函數：由②式有由①式有將③、④和①、②比較：結論：1、④表示非週期信號可分解一系列連續的角頻率為ω的指數信號的迭加-------求和變成積分，離散譜變成連續譜。2、指數信號的複振幅為，其中F(jω)的物理含義可由定義得到。

可見，F(jω)表示單位頻帶的複振幅------頻譜密度函數（頻譜）3、非週期信號f(t)和它的頻譜密度函數之間有一、一對應關係----------“付氏變換對”，兩者可以互求：即二、頻譜密度函數F(jω)的特性1、f(t)為實函數，F(jω)一般是ω的復函數。2、實偶函數的頻譜是實偶函數即f(t)=f(-t),則F(jω)=R(ω)

3、實奇函數的頻譜是虛奇函數即f(t)=-f(-t),則F(jω)=jX(ω)

4、偶函數的頻譜是偶函數即f(t)=f(-t),則F(-jω)=F(jω)

證明：∵f(t)Sinωt---奇函數∴X(ω)=0∵f(t)Cosωt---奇函數∴R(ω)=0三、求取頻譜的方法①

根據週期信號的複振幅求F(jω)

F(jω)=TFn把nω0---->ω②根據定義：

③

借助常用信號的頻譜及FT性質5、奇函數的頻譜是奇函數即f(t)=-f(-t),則F(-jω)=-F(jω)例1.求t01ω0F(jω)t01ω0這裏將F(jω)稱做f(t)的傅立葉變換，而f(t)稱做F(jω)的傅立葉逆變換①②▼．傅裏葉變換的物理意義實函數歐拉公式積分為0

求和振幅正弦信號◢．傅裏葉變換存在的條件所有能量信號均滿足此條件。一．門函數幅度頻譜：相位頻譜：§3.5

典型非週期信號的頻譜頻譜圖幅度頻譜相位頻譜帶寬：F(jω)|F(jω)|二．單邊指數信號頻譜圖幅度頻譜：相位頻譜：|F(jω)|三、雙邊指數信號----f(t)t10四．符號函數處理方法：tea-tea-做一個雙邊函數不滿足絕對可積條件頻譜圖|F(jω)|五．沖激函數和沖激偶函數F(jω)沖激偶的傅裏葉變換六．直流信號不滿足絕對可積條件，不能直接用定義求推導時域無限寬，頻帶無限窄F(jω)七．單位階躍函數Ot21主要內容對稱性質

線性性質奇偶虛實性

尺度變換性質時移特性

頻移特性

微分性質

時域積分性質卷積定理

能量定理

§3.6

傅立葉變換的基本性質意義

傅裏葉變換具有惟一性。傅氏變換的性質揭示了信號的時域特性和頻域特性之間的確定的內在聯繫。討論傅裏葉變換的性質，目的在於：瞭解特性的內在聯繫；用性質求F(jω)；瞭解在通信系統領域中的應用。一．線性性質1．性質例求階躍信號f(t)21t-112-2f2(t)f1(t)tt11-12-2二．對稱性質1．性質2．意義例求Sa(ω0t)的頻譜函數F(jω)1Sa(ω0t)ttt1三、時移特性信號時延，其幅度譜不變而相位譜產生附加相移令x=t-t0,那麼有t11t例2求圖(a)所示三脈衝信號的頻譜。解：

因為脈衝個數增多，頻譜包絡不變，帶寬不變。F0(jω)F(jω)2．證明

1．性質

四、頻移特性3．說明4．應用通信中調製與解調，頻分複用。F(jω)F[j(ω-ω0)]F[j(ω+ω0)]一個信號在時域中與因數相乘，等效於在頻域中將整個頻譜右移了ω0----調製。在實用中，常把時間函數與正弦函數相乘來實現調製。以矩形脈衝的調製過程為例

G(jω)Gτ(t)f(t)=G(t)cosω0tG(t)Gτ(jω)=EτSa(ωτ/2)F(jω)=1/2[Gτ(ω+ω0)+Gτ(ω-ω0)F(jω)綜合上述兩種情況證明:五．尺度變換性質物理意義(1)

0<a<1時域擴展，頻帶壓縮。(2)a>1時域壓縮，頻域擴展a倍。

信號時域中壓縮了α倍，在頻域中頻譜就擴展α倍，反之亦然。(1)

0<a<1時域擴展，頻帶壓縮。脈衝持續時間增加a倍，變化慢了，信號在頻域的頻帶壓縮a倍。高頻分量減少，幅度上升1/a倍。持續時間短，變化快。信號在頻域高頻分量增加，頻帶展寬，各分量的幅度下降a倍。此例說明：信號的持繼時間與信號佔有的頻帶寬度成反比，有時為加速信號的傳遞，要將信號持續時間壓縮，則要以展開頻帶為代價。（2）a>1時域壓縮，頻域擴展a倍。時移和尺度變換相結合有：1．時域微分六．微分性質時域微分性質證明即求三角函數的頻譜密度函數．例題F(jω）分析X解X注意★如果f(t)中有確定的直流分量，應先取出單獨求傅裏葉變換，餘下部分再用微分性質。

階躍信號u(t)的導數為δ（t)，它們的傅立葉變換滿足微分特性嗎？

2．頻域微分性質或推廣頻域微分性質證明例解：例3解：七．時域積分性質也可以記作：時域積分性質證明變上限積分用帶時移的單位階躍的無限積分表示，成為交換積分順序，即先求時移的單位階躍信號的傅裏葉變換例

1.求單位階躍函數的傅裏葉變換。解：解：八．卷積定理時域卷積定理時域卷積對應頻域頻譜密度函數乘積。頻域卷積定理時域卷積定理的證明因此所以卷積定義交換積分次序時移性質

求系統的回應。

將時域求回應，轉化為頻域求回應。二．應用

用時域卷積定理求頻譜密度函數。卷積定理揭示了時間域與頻率域的運算關係，在通信系統和信號處理研究領域中得到大量應用。例1XF1(jω）F(jω）t0132-1-2-31-10例4、求圖示信號的頻譜

F(j)。t11-1-1tt11-1-1000九、能量定理（帕斯瓦爾定理）即：能量有限的非週期信號，能量既可按單位時間內的能量在整個時間內積分算出，也可按單位頻帶內的能量在整個頻帶範圍積分算出。例1、已知求所包含的能量。例2、計算積分傅立葉變換性質小結：

1、線形特性

2、對偶性

時域時移微分卷積能量頻域頻移微分卷積能量3、卷積定理①

時域卷積---------時移、微分、積分②、頻域卷積------頻移、微分週期信號：非週期信號：週期信號的傅裏葉變換如何求？與傅裏葉級數的關係？引言§3.7週期信號的傅立葉變換由歐拉公式由頻移性質一．正弦信號的傅裏葉變換同理已知頻譜圖|F(jω)||F(jω)|由傅裏葉級數的指數形式出發：其傅氏變換(用定義)二．一般週期信號的傅裏葉變換幾點認識比較式(1),(2)週期信號的傅立葉變換例1

週期單位沖激序列的傅裏葉變換頻譜|Fn(jnω)|F(jω)例2週期矩形脈衝序列的傅氏變換方法1從連續信號到離散信號的橋樑，也是對信號進行數字處理的第一個環節。週期信號抽樣原理圖：一．抽樣§3.8抽樣信號的頻譜二．理想抽樣（週期單位沖激抽樣）1、數學運算式2．沖激抽樣信號的頻譜F(jω)P(jω)Fs(jω)3．分析Fs(jω)H(jω)ωωc-ωcTsFs’(jω)ωmω11．抽樣信號三．矩形脈衝抽樣

關係限帶信號頻譜結構F(jω)P(jω)Fs(jω)頻譜結構的數學表示2．舉例說明抽樣信號與原信號頻譜的關係

3．討論的影響§3.9時域抽樣定理F(jω)Fs(jω)重建原信號的必要條件：不滿足此條件，就會發生頻譜混疊現象。奈奎斯特(Nyquist)抽樣率和抽樣間隔0t0tt10§3.10系統函數與頻域分析圖3.10-1…(3.10-1)可見，它是系統對信號頻譜進行加權的結果00(a)圖3.10-2(b)…(3.10-1)……(3.10-2)4、H(jω)的求法①當給定激勵與零狀態回應時，根據定義②當已知系統的衝擊回應h(t)時，可③給定系統的電路模型時，用相量法求。④給定系統的數學模型(微分方程)時，用傅立葉變換求。圖3.10-3頻域系統分析的方法：①輸入信號的FTf(t)→F(jω)②系統函數h(t)→H(jω)③輸出信號的FT

Y(jω)=F(jω)H(jω)④輸出的零狀態回應yzs(t)=yf(t)=F-1[y(jω)0圖3.10-50圖3.10-4圖3.10-60圖3.10-7圖3.10-812圖3.10-13圖3.10-14圖3.10-13§3.11無失真傳輸信號通過系統框圖如圖3.11-1所示圖3.11-1圖3.11-200圖3.11-3圖3.11-4

即:延遲，而無波形變化。時間的只有幅度大小的變化和

無失真傳輸----(a)圖3.11-5(b)圖3.11-6圖3.11-7圖3.11-8圖3.11-9圖3.11-10圖3.11-11圖3.11-12圖3.11-13圖3.11-14如圖3.11-14§3.12調製與解調對信號進行調製的框圖如圖3.12-1所示圖3.12-1圖3.12-2

(a)(b)圖3.12-3圖3.12-4圖3.12-5000圖3.12-6第四章連續時間系統的複頻域分析§4.1引言以傅裏葉變換為基礎的頻域分析方法的優點在於：它給出的結果有著清楚的物理意義，但也有不足之處。

信號分解回應合成頻域分析的框圖如圖4.1-1所示圖4.1-1為了解決對不符合狄氏條件信號的分析，克服傅立葉變換的缺點，擴大信號的變換範圍，本章研究拉氏變換法。優點：求解比較簡單，特別是對系統的微分方程進行變換時，初始條件被自動計入，因此應用更為普遍。缺點：物理概念不如傅氏變換那樣清楚。本章內容及學習方法

本章首先由傅氏變換引出拉氏變換，然後對拉氏正變換、拉氏反變換及拉氏變換的性質進行討論。本章重點在於，以拉氏變換為工具對系統進行複頻域分析。最後介紹系統函數以及H(s)零極點概念，並根據他們的分佈研究系統特性，分析頻率回應，還要簡略介紹系統穩定性問題。注意與傅氏變換的對比，便於理解與記憶。

一．從傅裏葉變換到拉普拉斯變換則1．拉普拉斯正變換§4.2拉普拉斯變換----LT2．拉氏逆變換3．拉氏變換對二．拉氏變換的收斂

收斂域：使F(s)存在的s的區域稱為收斂域。記為：ROC(regionofconvergence)實際上就是拉氏變換存在的條件；其中σ0由f(t)性質決定。注：在實際工程中，只要把σ的值取的足夠大，上式總是可以滿足的，所以它們的拉氏變換都是存大的。本書只討論單邊拉氏變換，其收斂域必定存定，故在後面的說明中，一般不在說明和注明其收斂域。

圖4.2-2圖4.2-3三．一些常用函數的拉氏變換1.階躍函數2.指數函數全s域平面收斂

3.單位沖激信號4．tnu(t)§4.3單邊拉氏變換的性質圖4.3-1(a)(b)(c)……(4.3-2)圖4.3-2圖4.3-3(a)(c)(b)如圖4.3-3b、c所示推廣：證明：電感元件的s域模型電感元件的s模型應用原函數微分性質設圖4.3-4(c)(a)(b)證明：①②①②六、積分定理1、時域積分電容元件的s域模型電容元件的s模型2.複頻域積分兩邊對s積分：交換積分次序:證明：★

證明：交換積分次序(b)圖4.3-7(a)一．由象函數求原函數的三種方法(1)部分分式法(2)利用留數定理——圍線積分法(3)數值計算方法——利用電腦§4.4拉普拉斯逆變換-----部分分式展開二．F(s)的一般形式ai,bi為實數，m,n為正整數。分解零點極點三．拉氏逆變換的過程四．部分分式展開法(m<n)1.第一種情況：單階實數極點(1)找極點(2)展成部分分式(3)逆變換求係數共軛極點出現在

2.第二種情況：極點為共軛複數求f(t)例題F(s)具有共軛極點，不必用部分分式展開法求下示函數F(s)的逆變換f(t)：解：求得另一種方法3.第三種情況：有重根存在如何求k2?如何求k2?設法使部分分式只保留k2，其他分式為0逆變換一般情況求k11，方法同第一種情況：求其他係數，要用下式

五．F(s)兩種特殊情況非真分式——化為真分式＋多項式1.非真分式——真分式＋多項式作長除法2.含e-s的非有理式(a)(b)(c)圖4.4-1§4.5複頻域分析複頻域分析就是，在複頻域中，已知輸入信號和系統，如何求解系統的輸出回應問題。

LTI系統均可由微分方程來描述這，拉普拉斯變換可以將微分方程變換成S域(複頻域)中的代數方程，便於運算求解。

我們採用0-系統求解，簡便起見，只要知道起始狀態，就可以求解出回應。利用拉普拉斯變換的時域微分定理整理得：零輸入回應零狀態回應列s域方程（可以從兩方面入手）

列時域微分方程，用微積分性質求拉氏變換；直接按電路的s域模型建立代數方程。求解s域方程。，得到時域解答。二、S域模型分析法若系統以電路的形式給出，那麼複頻域分析就等效於複頻域電路分析的問題。可分為三個步驟：①電阻元件的s域模型1.電路元件的s域模型②電感元件的s域模型利用電源轉換可以得到電流源形式的s域模型：

③電容元件的s域模型電流源形式：(1)(2)(3)列方程解：極點故

逆變換設則波形第一種情況：階躍信號對回路作用的結果產生不衰減的正弦振盪。

第二種情況：引入符號所以第三種情況：第四種情況：波形1.定義一．系統函數回應的拉氏變換與激勵的拉氏變換之比

§4.6系統函數與穩定系統2.H(s)的幾種情況策動點函數：激勵與回應在同一端口時策動點導納策動點阻抗轉移導納轉移阻抗電壓比電流比轉移函數：激勵和回應不在同一端口4.應用：求系統的回應3．求H(s)的方法利用網路的s域元件模型圖，列s域方程→微分方程兩端取拉氏變換→5．LTI系統的並聯6．LTI系統的級聯7．LTI系統的回饋連接二、系統穩定性某連續時間系統的系統函數當輸入為u(t)時，系統的零狀態回應的象函數為但t很大時，這個正指數項超過其他項並隨著t的增大而不斷增大

1、引言

穩定性是系統自身的性質之一，系統是否穩定與激勵信號的情況無關。沖激回應和h(t)、H(s)系統函數從兩方面表徵了同一系統的本性，所以能從兩個方面確定系統的穩定性。2、穩定性定義

一個系統，如果對任意的有界輸入，其零狀態回應也是有界的，則稱該系統有界輸入有界輸出（BIBO）穩定的系統，簡稱穩定系統。對所有的激勵信號e(t)其回應r(t)滿足

則稱該系統是穩定的。式中，穩定系統的充分必要條件是（絕對可積條件）：對任意有界輸入e(t)，系統的零狀態回應為：充分性充分性得證必要性必要性得證。1．系統函數的零、極點三．由H(s)的極點位置判斷系統穩定性2．穩定系統

若H(s)的全部極點位於s平面的左半平面（不包括虛軸），則可滿足系統是穩定的。例如系統穩定；系統穩定。3．不穩定系統

如果H(s)的極點位於s右半平面，或在虛軸上有二階（或以上）極點系統是不穩定系統。4．臨界穩定系統

如果H(s)極點位於s平面虛軸上，且只有一階。為非零數值或等幅振盪。5．系統穩定性的判斷從頻域看要求H(s)的極點：

①右半平面不能有極點(穩定)②虛軸上極點是單階的(臨界穩定,實際不穩定)。

一．序言

沖激回應h(t)與系統函數H(s)

從時域和變換域兩方面表徵了同一系統的本性。

在s域分析中，借助系統函數在s平面零點與極點分佈的研究，可以簡明、直觀地給出系統回應的許多規律。系統的時域、頻域特性集中地以其系統函數的零、極點分佈表現出來。

主要優點：1．可以預言系統的時域特性；2．便於劃分系統的各個分量（自由／強迫，瞬態／穩態）；3．可以用來說明系統的正弦穩態特性。§4.7系統零極點分佈與系統時域特性關係二．H(s)零、極點與h(t)波形特徵的對應在s平面上，畫出H(s)的零極點圖：

極點：用×表示，零點：用○表示1．系統函數的零、極點2．H(s)極點分佈與原函數的對應關係幾種典型情況一階極點當，極點在左半平面，衰減振盪當，極點在右半平面，增幅振盪二階極點

有實際物理意義的物理系統都是因果系統，即隨，這表明的極點位於左半平面，由此可知，收斂域包括虛軸，均存在，兩者可通用，只需將即可。三．H(s)、E(s)的極點分佈與自由回應、

強迫回應特性的對應激勵：系統函數：回應：自由回應分量＋強制回應分量X幾點認識自由回應的極點只由系統本身的特性所決定，與激勵函數的形式無關，然而係數都有關。回應函數r(t)由兩部分組成：系統函數的極點

自由回應分量；激勵函數的極點

強迫回應分量。定義系統行列式（特徵方程）的根為系統的固有頻率（或稱“自然頻率”、“自由頻率”）。H(s)的極點都是系統的固有頻率；H(s)零、極點相消時，某些固有頻率將丟失。暫態回應和穩態回應瞬態回應是指激勵信號接入以後，完全回應中暫態出現的有關成分，隨著t增大，將消失。穩態回應＝完全回應－瞬態回應左半平面的極點產生的函數項和瞬態回應對應。一．定義

所謂“頻響特性”是指系統在正弦信號激勵下穩態響應隨頻率的變化情況。前提：穩定的因果系統。

有實際意義的物理系統都是穩定的因果系統。時域：頻域：H(s)的全部極點落在s左半平面。

其收斂域包括虛軸：拉氏變換存在傅裏葉變換存在§4.8系統零極點分佈與系統頻響特性的關係頻響特性系統的穩態回應——幅頻特性——相頻特性（相移特性）二．幾種常見的濾波器三．根據H(s)零極圖繪製系統的頻響特性曲線令分子中每一項分母中每一項畫零極點圖

當沿虛軸移動時，各複數因數(向量)的模和輻角都隨之改變，於是得出幅頻特性曲線和相頻特性曲線。

由向量圖確定頻率回應特性例確定圖示系統的頻響特性。頻響特性分析X一、連續時間信號、連續時間系統連續時間信號：

f(t)是連續變化的t的函數，除若干不連續點之外對於任意時間值都可以給出確定的函數值。函數的波形都是具有平滑曲線的形狀，一般也稱模擬信號。

連續時間系統：系統的輸入、輸出都是連續的時間信號。

第五章離散時間系統的時域分析§5.0引言二、離散時間信號、離散時間系統離散時間信號：

時間變數是離散的，函數只在某些規定的時刻有確定的值，在其他時間沒有定義。

離散時間系統：

系統的輸入、輸出都是離散的時間信號。如數字電腦。離散信號可