福建省泉州市南安市第一中学2024届高二数学第二学期期末监测试题含解析

福建省泉州市南安市第一中学2024届高二数学第二学期期末监测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．给出以下命题，其中真命题的个数是若“或”是假命题，则“且”是真命题命题“若，则或”为真命题已知空间任意一点和不共线的三点，若，则四点共面；直线与双曲线交于两点，若，则这样的直线有3条；A．1 B．2 C．3 D．42．由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，如图所示，其中，．由右椭圆的焦点和左椭圆的焦点，确定叫做“果圆”的焦点三角形，若“果圆”的焦点为直角三角形．则右椭圆的离心率为（）A． B． C． D．3．已知回归直线的斜率的估计值为1.8，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程是（）A． B． C． D．4．在各项都为正数的等差数列{an}中，若a1+a2+…+a10=30，则a5•a6的最大值等于（）A．3B．6C．9D．365．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有位，阅读过《红楼梦》的学生共有位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有位，则阅读过《西游记》的学生人数为（）A． B． C． D．6．若向量，，则向量与（）A．相交 B．垂直 C．平行 D．以上都不对7．某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（）A．150 B．200 C．300 D．4008．椭圆的焦点坐标是（）A． B． C． D．9．设是双曲线的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点．若，则双曲线的离心率是（）A． B．2 C． D．10．甲､乙､丙､丁四位同学一起去老师处问他们的成绩.老师说:“你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给丙看甲､乙的成绩,给甲看乙的成绩,给丁看丙的成绩.”看后丙对大家说:“我还是不知道我的成绩.”根据以上信息,则下列结论正确的是()A．甲可以知道四人的成绩 B．丁可以知道自己的成绩C．甲､丙可以知道对方的成绩 D．乙､丁可以知道自己的成绩11．若角为三角形的一个内角，并且，则（）A． B． C． D．12．同时具有性质“①最小正周期是”②图象关于对称；③在上是增函数的一个函数可以是（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若方程有实根，则实数m的取值范围是______．14．化简＝__________．15．已知函数的一条对称轴为，则的值为_______．16．已知向量，，若与垂直，则实数__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在如图所示的多面体中，平面，，，，，，，是的中点.（1）求证：；（2）求二面角的平面角的余弦值.18．（12分）已知函数．（Ⅰ）当时，求在上的零点个数；（Ⅱ）当时，若有两个零点，求证：19．（12分）将前12个正整数构成的集合中的元素分成四个三元子集，使得每个三元子集中的三数都满足：其中一数等于另外两数之和，试求不同的分法种数．20．（12分）设集合，其中.（1）写出集合中的所有元素；（2）设，证明“”的充要条件是“”（3）设集合，设，使得，且，试判断“”是“”的什么条件并说明理由.21．（12分）小明某天偶然发现班上男同学比女同学更喜欢做几何题，为了验证这一现象是否具有普遍性，他决定在学校开展调查研究：他在全校3000名同学中随机抽取了50名，给这50名同学同等难度的几何题和代数题各一道，让同学们自由选择其中一道题作答，选题人数如下表所示，但因不小心将部分数据损毁，只是记得女生选择几何题的频率是.几何题代数题合计男同学22830女同学合计（1）根据题目信息补全上表；（2）能否根据这个调查数据判断有的把握认为选代数题还是几何题与性别有关？参考数据和公式：0.150.100.050.0250.0100.0052.0722.7063.8415.0246.6357.879，其中.22．（10分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.为曲线上的动点，点在射线上，且满足.（Ⅰ）求点的轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）设与轴交于点，过点且倾斜角为的直线与相交于两点，求的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】(1)若“或”是假命题，则是假命题p是真命题，是假命题是真命题，故且真命题,选项正确.(2)命题“若，则或”的逆否命题是若a=2,且b=3,则a+b=5.这个命题是真命题，故原命题也是真命题.（3）∵++=1，∴P，A，B，C四点共面，故（3）正确，（4）由双曲线方程得a=2，c=3，即直线l：y=k（x﹣3）过双曲线的右焦点，∵双曲线的两个顶点之间的距离是2a=4，a+c=2+3=5，∴当直线与双曲线左右两支各有一个交点时，当k=0时2a=4，则满足|AB|=5的直线有2条，当直线与实轴垂直时，当x=c=3时，得，即=，即则y=±，此时通径长为5，若|AB|=5，则此时直线AB的斜率不存在，故不满足条件．综上可知有2条直线满足|AB|=5，故（4）错误，故答案为C.2、B【解题分析】

根据“果圆”关于轴对称，可得是以为底的等腰三角形，由是直角三角形，得出，.再建立关于，，之间的关系式，求出结果.【题目详解】解：连接，，根据“果圆”关于轴对称，可得是以为底的等腰三角形，是直角三角形，，.又和分别是椭圆和的半焦距，，即.，.即，.故选：B.【题目点拨】本题考查椭圆的标准方程与简单几何性质，属于中档题.3、D【解题分析】

根据回归直线必过样本点的中心可构造方程求得结果.【题目详解】回归直线斜率的估计值为1.8，且回归直线一定经过样本点的中心，，即.故选：.【题目点拨】本题考查回归直线的求解问题，关键是明确回归直线必过样本点的中心，属于基础题.4、C【解题分析】试题分析：由题设，所以，又因为等差数列各项都为正数，所以，当且仅当时等号成立，所以a5·a6的最大值等于9，故选C．考点：1、等差数列；2、基本不等式．5、B【解题分析】

根据题意画出韦恩图即可得到答案．【题目详解】根据题意阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有位，阅读过《红楼梦》的学生共有位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有位，得到的韦恩图如图，所以阅读过《西游记》的学生人数为人故选B.【题目点拨】本题考查利用韦恩图解决实际问题，属于简单题．6、C【解题分析】

根据向量平行的坐标关系得解.【题目详解】，所以向量与平行.【题目点拨】本题考查向量平行的坐标表示，属于基础题.7、C【解题分析】

求出，即可求出此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数．【题目详解】∵，，所以，所以此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为．故选C．【题目点拨】本小题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．属于基础题．8、C【解题分析】

从椭圆方程确定焦点所在坐标轴，然后根据求的值.【题目详解】由椭圆方程得：，所以，又椭圆的焦点在上，所以焦点坐标是.【题目点拨】求椭圆的焦点坐标时，要先确定椭圆是轴型还是轴型，防止坐标写错.9、C【解题分析】试题分析：双曲线的渐近线为，到一条渐近线的距离，则，在中，，则，设的倾斜角为，则，，在中，，在中，，而，代入化简可得到，因此离心率考点：双曲线的离心率；10、B【解题分析】

根据题意可逐句进行分析，已知四人中有2位优秀，2位良好，而丙知道甲和乙但不知道自己的成绩可知：甲和乙、丙和丁都只能一个是优秀，一个是良好，接下来，由上一步的结论，当甲知道乙的成绩后，就可以知道自己的成绩，同理，当丁知道丙的成绩后，就可以知道自己的成绩，从而选出答案.【题目详解】由丙知道甲和乙但不知道自己的成绩可知：甲和乙、丙和丁都只能一个是优秀，一个是良好；当甲知道乙的成绩后，就可以知道自己的成绩，但是甲不知道丙和丁的成绩；当丁知道丙的成绩后，就可以知道自己的成绩，但是丁不知道甲和乙的成绩；综上，只有B选项符合.故选：B.【题目点拨】本题是一道逻辑推理题，此类题目的推理方法是综合法和分析法，逐条分析题目条件语句即可，属于中等题.11、A【解题分析】分析：利用同角关系，由正切值得到正弦值与余弦值，进而利用二倍角余弦公式得到结果.详解：∵角为三角形的一个内角，且，∴∴故选：A点睛：本题考查了同角基本关系式，考查了二倍角余弦公式，考查了计算能力，属于基础题.12、B【解题分析】

利用所给条件逐条验证，最小正周期是得出，把②③分别代入选项验证可得.【题目详解】把代入A选项可得，符合；把代入B选项可得，符合；把代入C选项可得，不符合，排除C；把代入D选项可得，不符合，排除D；当时，，此时为减函数；当时，，此时为增函数；故选B.【题目点拨】本题主要考查三角函数的图象和性质，侧重考查直观想象的核心素养.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、.【解题分析】分析：将原式变形为=x+m，根据直线与椭圆相交相切的性质即可得出．详解：由题得若方程有实根等价于=x+m有解，y=等价于：表示x轴上方的部分椭圆，当直线y=x+m经过椭圆的又顶点（2,0）时为相交的一个临界值此时m=-2，当直线与椭圆的左上半部分相切时为第二个临界值，此时联立方程得：，求得：，因为与上半部分相交故直线与y轴的交点为正值，故m=，所以综合得：m的取值范围是.，故答案为.点睛：本题考查了直线与椭圆圆相交相切的性质、方程的根转化函数有解问题、数形结合思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14、.【解题分析】分析：利用，逆用二项式定理求和，再根据展开式特点结合棣莫弗定理求值.或者构造和的二项式展开式求和，再利用和周期性解决问题.详解：方法一：因为展开式中所有有理项的和，又因为，所以展开式中所有有理项的和为，因此＝.方法二：原式=①②①+②可得：点睛：展开式的应用：可求解与二项式系数有关的求值，常采用赋值法.有关组合式的求值证明，关键是要合理地构造二项式，并将它展开进行分析判断.15、【解题分析】

根据对称轴为可得，结合的范围可求得结果.【题目详解】为函数的对称轴解得：又本题正确结果：【题目点拨】本题考查根据三角函数性质求解解析式的问题，关键是能够采用整体对应的方式来进行求解.16、-1【解题分析】

由题意结合向量垂直的充分必要条件得到关于k的方程，解方程即可求得实数k的值.【题目详解】由平面向量的坐标运算可得：，与垂直，则，即：，解得：.【题目点拨】本题主要考查向量的坐标运算，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）．【解题分析】试题分析：由题意可证得两两垂直，建立空间直角坐标系求解．（1）通过证明，可得．（2）由题意可得平面的一个法向量为，又可求得平面的法向量为，故可求得，结合图形可得平面与平面所成的二面角为锐角，由此可得所求余弦值．试题解析：（1）∵平面平面平面，∴，又，∴两两垂直，以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，∴，∵，∴；（2）由已知，得是平面的一个法向量，设平面的法向量为，∵，由，得，令，得.∴，由图形知，平面与平面所成的二面角为锐角，∴平面与平面所成二面角的余弦值为．18、(Ⅰ)有一个零点；(Ⅱ)见解析【解题分析】

(Ⅰ)对函数求导，将代入函数，根据函数在单调性讨论它的零点个数．(Ⅱ)根据函数单调性构造新的函数，进而在各区间讨论函数零点个数，证明题目要求．【题目详解】因为，在上递减，递增(Ⅰ)当时，在上有一个零点(Ⅱ)因为有两个零点，所以即.设则要证，因为又因为在上单调递增，所以只要证设则所以在上单调递减，，所以因为有两个零点，所以方程即构造函数则记则在上单调递增，在上单调递减，所以设所以递增，当时，当时，所以即（）所以，同理所以所以，所以由得，综上：【题目点拨】本题主要考查利用导数研究函数的零点、考查了构造函数证明不等式，意在考查计算能力、转化思想的应用，是关于函数导数的综合性题目，有一定的难度.19、8【解题分析】

设四个子集为，，2，3，4，其中，，，2，3，4，设，则，，所以，故，因此．若，则由，，，得，，即有，再由，，，，必须，，共得两种情况：，，，；以及，，，，对应于两种分法：，，，；，，，．若，则，于是，分别得，．对于，得到三种分法：，，，；，，，；，，，．对于，也得三种分法：，，，；，，，；，，，．因此本题的分组方案共八种．20、（1），，，；（2）证明见解析；（3）充要条件.【解题分析】

（1）根据题意，直接列出即可（2）利用的和的符号和最高次的相同，利用排除法可以证明。（3）利用（2）的结论完成（3）即可。【题目详解】（1）中的元素有，，，。（2）充分性：当时，显然成立。必要性：若=1，则若=，则若的值有个1，和个。不妨设2的次数最高次为次，其系数为1，则，说明只要最高次的系数是正的，整个式子就是正的，同理，只要最高次的系数是负的，整个式子就是负的，说明最高次的系数