本溪市重点中学2024届高二数学第二学期期末统考试题含解析

本溪市重点中学2024届高二数学第二学期期末统考试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数的最大值为，周期为，给出以下结论：①的图象过点；②在上单调递减；③的一个对称中心是；④的一条对称轴是．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42．已知函数的定义域为，且满足（是的导函数），则不等式的解集为（）A． B． C． D．3．以圆：的圆心为圆心，3为半径的圆的方程为（）A． B．C． D．4．设集合，则（）A． B． C． D．5．随机变量，且，则（）A．0.20 B．0.30 C．0.70 D．0.806．若函数在区间上的最小值为，则实数的值为（）A． B． C． D．7．已知，，，（e为自然对数的底）则a，b，c的大小关系为（）A． B．C． D．8．已知集合，，则中元素的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．09．复数（为虚数单位）的虚部是（）．A． B． C． D．10．定积分（）A．0 B． C． D．11．复数在复平面内对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．随机变量的分布列如下表，其中，，成等差数列，且，246则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某地球仪上北纬纬线长度为，则该地球仪的体积为_______.14．函数y=sin2x+2sin2x的最小正周期T为_______.15．已知向量与互相垂直，则________．16．若，则的解析式为________________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（I）求最小正周期；（Ⅱ）求在闭区间上的最大值和最小值.18．（12分）已知函数对任意实数都有，且.（I）求的值，并猜想的表达式；（II）用数学归纳法证明（I）中的猜想.19．（12分）中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”.为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研.人社部从网上年龄在15～65岁的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图如图所示,支持“延迟退休年龄政策”的人数与年龄的统计结果如表：年龄（岁）支持“延迟退休年龄政策”人数155152817（I）由以上统计数据填写下面的列联表；年龄低于45岁的人数年龄不低于45岁的人数总计支持不支持总计（II）通过计算判断是否有的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的态度有差异.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828参考公式：20．（12分）已知函数f(x)=4ax-a（1）当a=1时,求曲线f(x)在点(1,（2）若函数f(x)在其定义域内为增函数,求实数a的取值范围；（3）设函数g(x)=6ex,若在区间[1,e]上至少存在一点x021．（12分）已知集合A＝{x|1<x<3}，集合B＝{x|2m<x<1－m}．(1)当m＝－1时，求A∪B；(2)若A⊆B，求实数m的取值范围；(3)若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．22．（10分）某地区为了解群众上下班共享单车使用情况，根据年龄按分层抽样的方式调查了该地区50名群众，他们的年龄频数及使用共享单车人数分布如下表：年龄段20~2930~3940~4950~60频数1218155经常使用共享单车61251（1）由以上统计数据完成下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为以40岁为分界点对是否经常使用共享单车有差异？年龄低于40岁年龄不低于40岁总计经常使用共享单车不经常使用共享单车总计附：，.0.250.150.100.0500.0250.0101.3232.0722.7063.8415.0246.635（2）若采用分层抽样的方式从年龄低于40岁且经常使用共享单车的群众中选出6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中恰好有1人年龄在30~39岁的概率.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

运用三角函数的辅助角公式和周期公式，可得a，，再由正弦函数的单调性和对称性，计算可得正确结论的个数．【题目详解】函数的最大值为，周期为，

可得，可得，可得，

则，

则，正确；

当，可得，

可得在上单调递减，正确；

由，则错误；

由，

可得正确．

其中正确结论的个数为1．

故选：C．

【题目点拨】本题考查三角函数的图象和性质，注意运用辅助角公式和周期公式，考查正弦函数的单调性和对称性，考查运算能力，属于中档题．2、D【解题分析】

构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，在不等式两边同时乘以化为，即，然后利用函数在上的单调性进行求解即可.【题目详解】构造函数，其中，则，所以，函数在定义域上为增函数，在不等式两边同时乘以得，即，所以，解得，因此，不等式的解集为，故选：D.【题目点拨】本题考查利用构造新函数求解函数不等式问题，其解法步骤如下：（1）根据导数不等式的结构构造新函数；（2）利用导数分析函数的单调性，必要时分析该函数的奇偶性；（3）将不等式变形为，利用函数的单调性与奇偶性求解.3、A【解题分析】

先求得圆M的圆心坐标，再根据半径为3即可得圆的标准方程.【题目详解】由题意可得圆M的圆心坐标为，以为圆心，以3为半径的圆的方程为．故选:A.【题目点拨】本题考查了圆的一般方程与标准方程转化，圆的方程求法，属于基础题.4、B【解题分析】分析：首先求得A,B，然后进行交集运算即可.详解：求解函数的定义域可得：，由函数的定义域可得：，结合交集的定义可知：.本题选择B选项.点睛：本题主要考查函数定义域的求解，交集的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5、B【解题分析】分析：由及可得．详解：∵，∴．故选B．点睛：本题考查正态分布，若随机变量中，则正态曲线关于直线对称，因此有，（）．6、A【解题分析】

求出，（或）是否恒成立对分类讨论，若恒成立求出最小值（或不存在最小值），若不恒成立，求出极值最小值，建立的关系式，求解即可.【题目详解】.（1）当时，，所以在上单调递减，，（舍去）.（2）当时，.①当时，，此时在上恒成立，所以在上单调递减，，解得（舍去）；②当时，.当时，，所以在上单调递减，当时，，所以在上单调递增，于是，解得.综上，.故选：A【题目点拨】本题考查函数的最值，利用导数是解题的关键，考查分类讨论思想，如何合理确定分类标准是难点，属于中档题.7、A【解题分析】

根据条件即可得出，a＝log2e，b＝ln2，c＝log23，容易得出log23＞log2e＞1，ln2＜1，从而得出a，b，c的大小关系．【题目详解】∵；∴；∵log23＞log2e＞log22＝1，ln2＜lne＝1；∴c＞a＞b．故选：A．【题目点拨】本题考查指数式和对数式的互化，对数的换底公式，考查了利用对数函数的单调性比较大小的问题，属于基础题．8、B【解题分析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A表示以为圆心，为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B表示直线上所有的点组成的集合，又圆与直线相交于两点，，则中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.9、A【解题分析】

利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，可得出复数的虚部．【题目详解】，因此，该复数的虚部为，故选A．【题目点拨】本题考查复数的除法，考查复数的虚部，对于复数问题的求解，一般利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，明确复数的实部与虚部进行求解，考查计算能力，属于基础题．10、C【解题分析】

利用微积分基本定理求出即可．【题目详解】.选C.【题目点拨】本题关键是求出被积函数的一个原函数．11、D【解题分析】

化简复数为的形式，求得复数对应点的坐标，由此判断所在的象限.【题目详解】，该复数对应的点为，在第四象限.故选D.【题目点拨】本小题主要考查复数的运算，考查复数对应点的坐标所在象限.12、A【解题分析】

根据a,b,c成等差数列，a+b+c=1，可解得a,b,c，进而求出.【题目详解】由，得.则，故选A.【题目点拨】本题考查根据随机变量X的分布列求概率，分析题目条件易求出．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

地球仪上北纬纬线的周长为，可求纬线圈的半径，然后求出地球仪的半径，再求体积．【题目详解】作地球仪的轴截面，如图所示：因为地球仪上北纬纬线的周长为，所以，因为，所以，所以地球仪的半径，所以地球仪的体积，故答案为：．【题目点拨】本题地球仪为背景本质考查线面位置关系和球的体积，考查空间想象能力和运算求解能力，是基础题．14、【解题分析】考点：此题主要考查三角函数的概念、化简、性质，考查运算能力.15、1【解题分析】

两向量垂直，其数量积的等于0.【题目详解】【题目点拨】本题考查两向量垂直的数量积表示，属于基础题．16、【解题分析】

利用换元法可求的解析式.【题目详解】令，

∴，则，故，即，故答案为：.【题目点拨】本题考查了函数的解析式的求法，常用求法本题中均有体现，是一道基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（I）；（Ⅱ）3,0.【解题分析】

（Ⅰ）先化简整理原式，通过周期公式即得答案；（Ⅱ）先判断在上的增减性，从而可求出最大值和最小值.【题目详解】（Ⅰ）所以的最小正周期.（Ⅱ）因为在区间上是增函数，在区间上是减函数，又，，,故函数在区间上的最大值为3，最小值为0.【题目点拨】本题主要考查三角恒等变形，最值问题，意在考查学生的转化能力，分析能力以及计算能力，难度不大.18、（I）；（II）证明见解析.【解题分析】

（I）根据的值猜想的表达式；（II）分和两步证明.【题目详解】（I），，，，猜想.（II）证明：当时，，猜想成立；假设时，猜想成立，即，则当时，，即当时猜想成立.综上，对于一切均成立.【题目点拨】本题考查抽象函数求值与归纳猜想.19、（I）列联表见解析；（II）有.【解题分析】

（I）先根据频率分布直方图算出各数据，再结合支持“延迟退休年龄政策”的人数与年龄的统计结表求解；（II）算出观测值与3.841比较.【题目详解】（I）由统计数据填写的列联表如下：年龄低于45岁的人数年龄不低于45岁的人数总计支持354580不支持15520总计5050100（II）计算观测值，有的把握认为以45岁为分界点的同人群对“延迟退休年龄政策”的态度有差异.【题目点拨】本题考查频率分布直方图与独立性检验.20、(1)y=3x(2)[12【解题分析】

（1）求出f（x）的导数，求出f′（1），f（1），代入切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围结合二次函数的性质得到函数的单调性，从而求出a的具体范围；（3）构造函数ϕ（x）=f（x）﹣g（x），x∈[1，e]，只需ϕ（x）max＞0，根据函数的单调性求出ϕ（x）max，从而求出a的范围．【题目详解】（1）解:当a=1时,f(x)=4x-1x-2lnx,曲线f(x)在点(1,f(1))处的斜率为f'(1)=3,故曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-3=3(x-1)（2）解:f'(x)=4a+ax2-2x=4ax2-2x+ax2.令h(x)=4ax2-2x+a,要使f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数,只需h(x)≥0在区间(0,+∞)内恒成立.依题意a>0,此时h(x)=4ax2-2x+a的图象为开口向上的抛物线,h(x)=4a(x-14a所以f(x)定义域内为增函数,实数a的取值范围是[1（3）解:构造函数ϕ(x)=f(x)-g(x),x∈[1,e],依题意由（2）可知a≥12时,ϕ(x)=f(x)-g(x)为单调递增函数即ϕ(x)=a(4x-1x)-2lnϕ(x)max=ϕ(e)=a(4e-1此时,ϕ(e)=f(e)-g(e)>0,即f(e)>g(e)成立.当a≤8e4e2-1时,因为故当x值取定后,ϕ(x)可视为以a为变量的单调递增函数,则ϕ(x)≤8e4e2故ϕ(x)≤8e4即f(x)≤g(x),不满足条件.所以实数a的取值范围是(8e【题目点拨】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.21、（1）A∪B＝{x|－2<x<3}（2）（3）【解题分析】试题分析：（1）m＝－1，用轴表示两个集合，做并集运算，注意空心点，实心点．（2）由于A⊆B，首先要保证1-m>2m,即集合B非空，然后由数轴表示关系，注意等号是否可取．（3）空集有两种情况，一种是集合B为空集，一种是集合B非空，