新疆维吾尔自治区克拉玛依市第十三中学2024届数学高二第二学期期末调研试题含解析

新疆维吾尔自治区克拉玛依市第十三中学2024届数学高二第二学期期末调研试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在直角坐标系中，一个质点从出发沿图中路线依次经过，，，，按此规律一直运动下去，则（）A．1006 B．1007 C．1008 D．10092．若，则“复数的共轭复数在复平面内对应的点在第二象限”是“”（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．某地举办科技博览会，有个场馆，现将个志愿者名额分配给这个场馆，要求每个场馆至少有一个名额且各场馆名额互不相同的分配方法共有（）种A． B． C． D．4．设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．集合，，则（）A． B． C． D．6．若，都是实数，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知为定义在上的奇函数，且满足，则的值为()A． B． C． D．8．已知，则（）A． B． C． D．9．集合，，若，则的值为（）．A． B． C． D．10．下列函数一定是指数函数的是（）A． B． C． D．11．下列导数运算正确的是（）A． B．C． D．12．已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若函数在和时取极小值，则实数a的取值范围是________．14．设，且，则的最大值为_______.15．求值：__________．16．己知复数和均是纯虚数，则的模为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，证明：．18．（12分）对某种书籍每册的成本费（元）与印刷册数（千册）的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.4.834.220.377560.170.60-39.384.8其中，.为了预测印刷千册时每册的成本费，建立了两个回归模型：，.（1）根据散点图，你认为选择哪个模型预测更可靠？（只选出模型即可）（2）根据所给数据和（1）中的模型选择，求关于的回归方程，并预测印刷千册时每册的成本费.附：对于一组数据，，…，，其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.19．（12分）（学年上海市杨浦区高三数学一模）如图所示，用总长为定值的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开.（1）设场地面积为，垂直于墙的边长为，试用解析式将表示成的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？20．（12分）某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品.(Ⅰ)随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；(Ⅱ)随机选取3件产品，其中一等品的件数记为，求的分布列；(Ⅲ)随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率.21．（12分）的展开式一共有13项.（1）求展开式中二项式系数之和；（2）求展开式中的常数项22．（10分）如图，平面，在中，，，交于点，，，，．（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

分析：由题意得，即，观察前八项，得到数列的规律，求出即可.详解：由直角坐标系可知，，即，由此可知，数列中偶数项是从1开始逐渐递增的，且都等于所在的项数除以2，则，每四个数中有一个负数，且为每组的第三个数，每组的第一个数为其组数，每组的第一个数和第三个数是互为相反数，因为，则，，故选D.点睛：本题考查了归纳推理的问题，关键是找到规律，属于难题.归纳推理的一般步骤:一、通过观察个别情况发现某些相同的性质.二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）.常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2)形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.2、C【解题分析】

先将复数化简成形式，得其共轭复数，通过对应的点在第二象限求出的取值范围，即可判断与的关系．【题目详解】，所以共轭复数，因为共轭复数在复平面内对应的点在第二象限所以，解得所以“复数的共轭复数在复平面内对应的点在第二象限”是“”充要条件，故选C【题目点拨】本题考查复数的基本运算与充要关系，解题的关键是先通过条件求出的取值范围，属于一般题．3、A【解题分析】

“每个场馆至少有一个名额的分法”相当于在24个名额之间的23个空隙中选出两个空隙插入分隔符号，则有种方法，再列举出“至少有两个场馆的名额数相同”的分配方法，进而得到满足题中条件的分配方法.【题目详解】每个场馆至少有一个名额的分法为种，至少有两个场馆的名额相同的分配方法有（1，1，22），（2,2,20），（3,3,18），（4,4,16），（5,5,14），（6,6,12），（7,7,10），（8,8,8），（9,9,6），（10,10,4），（11,11,2），再对场馆分配，共有种，所以每个场馆至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有种，故选A.【题目点拨】该题考查的是有关形同元素的分配问题，涉及到的知识点有隔板法，在解题的过程中，注意对至少两个场馆分配名额相同的要去除.4、B【解题分析】试题分析：，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到；，，∴和没有公共点，∴，即能得到；∴“”是“”的必要不充分条件．故选B．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.【方法点晴】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于基础题；并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于，而，并且，显然能得到，这样即可找出正确选项.5、B【解题分析】由，得，故选B.6、A【解题分析】分析：先证明充分性，两边同时平方即可，再证明必要性，取特值，从而判断出结果。详解：充分性：将两边平方可得：化简可得：则，故满足充分性必要性：，当时，，故不满足必要性条件则是的充分而不必要条件故选点睛：本题考查了充分条件与必要条件的判定，可以根据其定义进行判断，在必要性的判定时采用了取特值的方法，这里也要熟练不等式的运用7、A【解题分析】

由已知求得函数的周期为4，可得f（11）＝f（2+8）＝f（2）＝1．【题目详解】∵f（1+x）＝f（1﹣x），∴f（﹣x）＝f（2+x），又f（x）为定义在R上的奇函数，∴f（2+x）＝﹣f（x），则f[2+（2+x）]＝﹣f（2+x）＝﹣[﹣f（x）]＝f（x），即f（4+x）＝f（x），∴f（x）为以4为周期的周期函数，由f（1+x）＝f（1﹣x），得f（2）＝f（1）＝1，∴f（11）＝f（2+8）＝f（2）＝1．故选：A．【题目点拨】本题考查函数的奇偶性与周期性的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．8、B【解题分析】

由题意首先求得的值，然后利用二倍角公式整理计算即可求得最终结果.【题目详解】由题意结合诱导公式可得：，则.本题选择B选项.【题目点拨】本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9、D【解题分析】因为，所以，选D.10、D【解题分析】

根据指数函数定义，逐项分析即可.【题目详解】A：中指数是，所以不是指数函数，故错误；B：是幂函数，故错误；C：中底数前系数是，所以不是指数函数，故错误；D：属于指数函数，故正确.故选D.【题目点拨】指数函数和指数型函数：形如（且）的是指数函数，形如（且且且）的是指数型函数.11、B【解题分析】

由判断；由判断；由判断判断；由判断.【题目详解】根据题意，依次分析选项，对于，，错误；对于，，正确；对于，，错误；对于，，错误；故选B．【题目点拨】本题主要考查指数函数、对数函数与幂函数的求导公式以及导数乘法的运算法则，意在考查对基本公式与基本运算掌握的熟练程度，属于中档题．12、D【解题分析】

根据复数的运算法则，化简复数，再利用复数的表示，即可判定，得到答案.【题目详解】由题意，复数，所以复数对应的点位于第四象限.故选D.【题目点拨】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的表示，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、.【解题分析】分析：根据题意在和时取极小值即0,1为导函数等于零的根，故可分解因式导函数，然后根据在0,1处要取得极小值从而确定a的取值范围.详解：由题可得：，令故原函数有三个极值点为0,1，a，即导函数有三个解，由在0,1处要取得极小值所以0和1的左边导函数的值要为负值，右边要为正值，故a值只能放在0和1的中间，所以a的取值范围是.点睛：考查函数的极值点的定义和判断，对定义的理解是解题关键，属于中档题.14、25.【解题分析】分析：由题意结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果.详解：由均值不等式的结论有：，即：，当且仅当时等号成立.据此可知：的最大值为25.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．15、1【解题分析】分析：观察通项展开式中的中的次数与中的一致。详解：通项展开式中的，故=点睛：合并二项式的展开式，不要纠结整体的性质，抓住具体的某一项中的中的次数与中的一致，有负号时注意在上还是在上。16、1【解题分析】

通过纯虚数的概念，即可求得，从而得到模长.【题目详解】根据题意设，则，又为虚数，则，故，则，故答案为1.【题目点拨】本题主要考查纯虚数及模的概念，难度不大.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）；（3）见解析【解题分析】分析：（1）求出的导函数，由得增区间，由得减区间，注意在解不等式时要按的值分类讨论；（2）由（1）的结论知当时，，题中不等式成立，而当时，题中不等式不恒成立；（3）时，由（2）知上有，从而，令，然后所有不等式相加可证．详解：(1)∵y＝f(x)－g(x)＝ln(ax＋1)－，y′＝－＝，当a≥1时，y′≥0，所以函数y＝f(x)－g(x)是[0，＋∞)上的增函数；当0<a<1时，由y′>0得x>2，所以函数y＝f(x)－g(x)在上是单调递增函数，函数y＝f(x)－g(x)在上是单调递减函数；(2)当a≥1时，函数y＝f(x)－g(x)是[0，＋∞)上的增函数．所以f(x)－g(x)≥f(0)－g(0)＝1，即不等式f(x)≥g(x)＋1在x∈[0，＋∞)时恒成立，当0<a<1时，函数y＝f(x)－g(x)是上的减函数，存在，使得f(x0)－g(x0)<f(0)－g(0)＝1，即不等式f(x0)≥g(x0)＋1不成立，综上，实数a的取值范围是[1，＋∞)．(3)当a＝1时，由(2)得不等式f(x)>g(x)＋1在x∈(0，＋∞)时恒成立，即ln(x＋1)>，所以，即<[ln(k＋1)－lnk]．所以<(ln2－ln1)，<(ln3－ln2)，<(ln4－ln3)，…，<[ln(n＋1)－lnn]．将上面各式相加得到，＋＋＋…＋<[(ln2－ln1)＋(ln3－ln2)＋(ln4－ln3)＋…＋(ln(n＋1)－lnn)]＝ln(n＋1)＝f(n)．∴原不等式成立．点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，研究函数的最值，利用导数证明不等式．在证明函数不等式时，一般要把不等式进行转化，把不等式的证明转化为求函数的最值．另外在函数问题出现与数列求和有关的不等式证明，一般是利用前面小题中的函数结论，在函数的特殊结论中令变量取特殊值后，再结合数列求和的方法进行证明．象本题先赋值后相加．18、(1)模型更可靠.(2)关于的回归方程为.当时，该书每册的成本费（元）.【解题分析】

分析：(1)根据散点呈曲线趋势，选模型更可靠.(2)根据公式求得，根据求得，最后求自变量为20对应的函数值.详解：（1）由散点图可以判断，模型更可靠.（2）令，则，则.∴，∴关于的线性回归方程为.因此，关于的回归方程为.点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求，写出回归方程，回归直线方程恒过点.19、（1），；（2）时，.【解题分析】（1）设平行于墙的边长为，则篱笆总长，即，∴场地面积，.（2），，∴当且仅当时，.综上，当场地垂直于墙的边长为时，最大面积为.20、（1）；（2）分布列见解析；（3）.【解题分析】

（Ⅰ）设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A，事件A包括两种情况，一是抽到的是一个一等品，二是抽到的是一个二等品，这两种情况是互斥的，根据互斥事件的概率公式得到结果；（II）由题意知X的可能取值是0，1，2，3，结合变量对应的事件和等可能事件的概率，写出变量的概率，写出分布列；（III）随机选取3件产品，这三件产品都不能通过检测，包括两个环节，第一这三个产品都是二等品，且这三件都不能通过检测，根据相互独立事件同时发生的概率得到结果．【题目详解】（Ⅰ）设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为事件等于事件“选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测”；(Ⅱ)由题可知可