2024届天津市芦台一中数学高二下期末经典试题含解析

2024届天津市芦台一中数学高二下期末经典试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．二面角为，、是棱上的两点，、分别在半平面、内，，且，，则的长为A．1 B． C． D．2．已知函数与的图象如图所示，则函数（）A．在区间上是减函数 B．在区间上是减函数C．在区间上减函数 D．在区间上是减函数3．定积分（）A． B． C． D．4．下列关于曲线的结论正确的是（）A．曲线是椭圆 B．关于直线成轴对称C．关于原点成中心对称 D．曲线所围成的封闭图形面积小于45．已知随机变量和，其中，且，若的分布列如下表，则的值为（）ξ1234PmnA． B． C． D．6．已知函数，对于任意，且，均存在唯一实数，使得，且，若关于的方程有4个不相等的实数根，则的取值范围是（）A． B． C． D．7．盒中有只螺丝钉，其中有只是不合格的，现从盒中随机地取出只，那么恰有只不合格的概率是（）A． B． C． D．8．若，则m等于()A．9 B．8 C．7 D．69．在射击训练中，某战士射击了两次，设命题p是“第一次射击击中目标”，命题q是“第二次射击击中目标”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是（）．A．为真命题 B．为真命题C．为真命题 D．为真命题10．被称为宋元数学四大家的南宋数学家秦九韶在《数书九章》一书中记载了求解三角形面积的公式，如图是利用该公式设计的程序框图，则输出的的值为（）A．4 B．5 C．6 D．711．4名同学分别从6所大学中选择一所参观，则不同选法有（）A．种 B．种 C．种 D．种12．已知函数在处取极值10，则（）A．4或 B．4或 C．4 D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知球的半径为24cm，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于圆锥的表面积，则这个圆锥的体积是__________cm1．（结果保留圆周率）14．若复数满足，则__________．15．已知双曲线的左、右焦点分别为，,过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的渐近线方程为__________．16．已知函数与的图象有且只有三个交点，则实数的取值范围为________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）为了解甲、乙两奶粉厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两奶粉厂生产的产品中分别抽取16件和5件，测量产品中微量元素的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号123451701781661761807480777681（1）已知甲厂生产的产品共有96件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素满足且时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及其均值（即数学期望）．18．（12分）定义在上的函数满足：对任意的实数，存在非零常数，都有成立.（1）当时，若，，求函数在闭区间上的值域；（2）设函数的值域为，证明：函数为周期函数.19．（12分）已知函数（1）若在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围;（2）若在处有极值10，求的值;（3）若对任意的，有恒成立，求实数的取值范围.20．（12分）4个不同的红球和6个不同的白球放入同一个袋中，现从中取出4个球．（1）若取出的红球的个数不少于白球的个数，则有多少不同的取法？（2）取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，若取出4个球所得总分不少于5分，则有多少种不同取法．21．（12分）将下列参数方程化为普通方程：（1）（为参数）；（2）（为参数）.22．（10分）（1）求方程的非负整数解的个数；（2）某火车站共设有4个“安检”入口，每个入口每次只能进1个旅客求—个小组4人进站的不同方案种数，要求写出计算过程.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】试题分析：考点：点、线、面间的距离计算2、B【解题分析】分析：求出函数的导数，结合图象求出函数的递增区间即可．详解：，

由图象得：时，，

故在递增，

故选：B．点睛：本题考查了函数的单调性问题，考查数形结合思想，考查导数的应用，是一道中档题．3、A【解题分析】

先根据定积分的几何意义计算定积分，即求被积函数与，所围成的图形的面积，在求出，可得答案.【题目详解】解：由定积分的几何意义可知是由曲线与，所围成的图形的面积，也就是单位圆的，故，，故，故选：A.【题目点拨】本题主要考查定积分的有关计算，属于基础题，注意运算准确.4、C【解题分析】

根据椭圆的方程判断曲线不是椭圆；把曲线中的，同时换成，，判断曲线是否关于直线对称；把曲线中的，同时换成，，判断曲线是否关于原点对称；根据，，判断曲线所围成的封闭面积是否小于1．【题目详解】曲线，不是椭圆方程，曲线不是椭圆，错误；把曲线中的，同时换成，，方程变为，曲线不关于直线对称，错误；把曲线中的，同时换成，，方程不变，曲线关于原点对称，正确；，，曲线所围成的封闭面积小于，令，所以曲线上的四点围成的矩形面积为，所以选项D错误.故选：．【题目点拨】本题主要考查了方程所表示的曲线以及曲线的对称性问题，解题时应结合圆锥曲线的定义域性质进行解答，是基础题．5、A【解题分析】

根据随机变量和的关系得到，概率和为1，联立方程组解得答案.【题目详解】且，则即解得故答案选A【题目点拨】本题考查了随机变量的数学期望和概率，根据随机变量和的关系得到是解题的关键.6、A【解题分析】

解：由题意可知f（x）在[0，+∞）上单调递增，值域为[m，+∞），∵对于任意s∈R，且s≠0，均存在唯一实数t，使得f（s）＝f（t），且s≠t，∴f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，值域为（m，+∞），∴a＜0，且﹣b+1＝m，即b＝1﹣m．∵|f（x）|＝f（）有4个不相等的实数根，∴0＜f（）＜﹣m，又m＜﹣1，∴0m，即0＜（1）m＜﹣m，∴﹣4＜a＜﹣2，∴则a的取值范围是（﹣4，﹣2），故选A．点睛：本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.7、A【解题分析】分析：利用古典概型求恰有只不合格的概率.详解：由古典概型公式得故答案为：A.点睛：（1）本题主要考查古典概型，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)古典概型的解题步骤:①求出试验的总的基本事件数；②求出事件A所包含的基本事件数；③代公式=.8、C【解题分析】分析：根据排列与组合的公式，化简得出关于的方程，解方程即可.详解：，，即，解得，故选C.点睛：本题主要考查排列公式与组合公式的应用问题，意在考查对基本公式掌握的熟练程度，解题时应熟记排列与组合的公式，属于简单题.9、A【解题分析】

由已知，先表示出命题“两次射击至少有一次没有击中目标”，在选择使该命题成立的一个充分条件.【题目详解】命题是“第一次射击击中目标”，

命题是“第二次射击击中目标”，

∴命题“两次射击至少有一次没有击中目标”,“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件:为真.故选：A．【题目点拨】本题考查的知识点是事件的表示，本题考查复合命题的真假的判断，考查充分条件的选择,属于基础题.10、B【解题分析】

模拟程序运行，依次计算可得所求结果【题目详解】当，，时，，；当，，时，，；当，，时，，；当，，时，，；故选B【题目点拨】本题考查程序运算的结果，考查运算能力，需注意所在位置11、B【解题分析】

每名同学从6个大学点中选择一个参观，每个同学都有6种选择，根据乘法原理，计算即可得答案．【题目详解】因为每名同学都有6种选择，相互不影响，所以有种选法．故选：B.【题目点拨】本题考查分步计数原理的运用，注意学生选择的景区可以重复．属于基础题.12、C【解题分析】分析：根据函数的极值点和极值得到关于的方程组，解方程组并进行验证可得所求．详解：∵，∴．由题意得，即，解得或．当时，，故函数单调递增，无极值．不符合题意．∴．故选C．点睛：（1）导函数的零点并不一定就是函数的极值点，所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点．（2）对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件，因此在根据函数的极值点或极值求得参数的值后需要进行验证，舍掉不符合题意的值．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

结合球的表面积等于圆锥的表面积，建立等式，计算半径r，利用体积计算公式，即可。【题目详解】结合题意可知圆锥高h=48,设圆锥底面半径为r，则圆锥表面积，计算得到,所以圆锥的体积【题目点拨】本道题考查了立体几何表面积和体积计算公式，结合题意，建立等式，计算半径r，即可，属于中等难度的题。14、1【解题分析】

设，,代入方程利用复数相等即可求解，求模即可.【题目详解】设，,则，整理得：解得，所以，故答案为1【题目点拨】本题主要考查了复数的概念，复数的模，复数方程，属于中档题.15、【解题分析】

先计算，在中，根据勾股定理得得到渐近线方程.【题目详解】如图所示：切点为，连接，过作于是中点，在中，根据勾股定理得：渐近线方程为：故答案为【题目点拨】本题考查了双曲线的渐近线，作辅助线是解题的关键，也可以直接利用正弦定理和余弦定理计算得到答案.16、【解题分析】

令，求导数，从而确定函数的单调性及极值，从而求出a的范围．【题目详解】由题意得，，

，令，则令，解得：或，

令，解得：，

在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，

，

，且当时，，当时，

所以函数与的图象有且只有三个交点，

则只需和图象有且只有三个交点，

故

故答案为：【题目点拨】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及转化思想，属于难题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）30；（2）18；（3）分布列见解析，期望为．【解题分析】

分析：（1）设乙厂生产的产品数量为件，由，即可求得乙厂生产的产品数量；（2）由题意，从乙厂抽取的件产品中，编号为的产品是优等品，即件产品中有件是优等品，由此可估算出乙厂生产的优等品的数量；（3）可能的取值为，求得取每个随机变量时的概率，得到分布列，利用公式求解数学期望．详解：（1）设乙厂生产的产品数量为件，则，解得所以乙厂生产的产品数量为30件（2）从乙厂抽取的5件产品中，编号为2、5的产品是优等品，即5件产品中有3件是优等品由此可以估算出乙厂生产的优等品的数量为（件）（3）可能的取值为0，1，2∴的分布列为：012∴点睛：本题主要考查了统计的应用，以及随机变量的分布列和数学期望的求解，其中正确理解题意，合理作出运算是阶段的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.．【题目详解】请在此输入详解！18、(1)(2)见解析【解题分析】分析：（1）利用，分别求得函数在区间上的表达式，并求得其值域.（2）首先判断出值域相同.当时，利用求得的值，并利用周期性的定义证明得函数是周期为的周期函数.同理可证明当，函数也为周期函数.详解：（1）当时，，当时，即，由得，则，当时，即，由得，则，当时，即，由得，综上得函数在闭区间上的值域为.（2）（证法一）由函数的值域为得，的取值集合也为，当时，，则，即.由得，则函数是以为周期的函数.当时，，则，即.即，则函数是以为周期的函数.故满足条件的函数为周期函数.（证法二）由函数的值域为得，必存在，使得，当时，对，有，对，有，则不可能；当时，即，，由的值域为得，必存在，使得，仿上证法同样得也不可能，则必有，以下同证法一.点睛：本小题主要考查分段函数的性质，考查利用抽象函数的关系式求解函数在不同区间上的表达式的方法，考查函数周期性的证明.题目第一问，已知条件给定函数在区间上的表达式，结合，容易想到要利用分段的方法，求解出函数在每个长度为的区间上的表达式，从而求得函数的值域.19、（1）m≥－（1）（3）m∈[－1，1]【解题分析】分析：(1)由在区间上是单调递增函数得，当时，恒成立，由此可求实数的取值范围;（1），由题或，判断当时，，无极值，舍去，则可求；（3）对任意的，有恒成立，即在上最大值与最小值差的绝对值小于等于1．求出原函数的导函数，分类求出函数在的最值，则答案可求；详解：(1)由在区间上是单调递增函数得，当时，恒成立，即恒成立，解得（1），由题或当时，，无极值，舍去.所以（3）由对任意的x1，x1∈[－1，1]，有|f(x1)－f(x1)|≤1恒成立，得fmax(x)－fmin(x)≤1．且|f(1)－f(0)|≤1，|f(－1)－f(0)|≤1，解得m∈[－1，1]，①当m=0时，f＇(x)≥0，f(x)在[－1，1]上单调递增，fmax(x)－fmin(x)=|f(1)－f(－1)|≤1成立．②当m∈(0，1]时，令f＇(x)＜0，得x∈(－m，0)，则f(x)在(－m，0)上单调递减；同理f(x)在(－1，－m)，(0，1)上单调递增，f(－m)=m3+m1，f(1)=m1+m+1，下面比较这两者的大小，令h(m)=f(－m)－f(1)=m3－m－1，m∈[0，1]，h＇(m)=m1－1＜0，则h(m)在(0，1]上为减函数，h(m)≤h(0)=－1＜0，故f(－m)＜f(1)，又f(－1)=m－1+m1≤m1=f(0)，仅当m=1时取等号.所以fmax(x)－fmin(x)=f(1)－f(－1)=1成立．③同理当m∈[－1，0)时，fmax(x)－fmin(x)=f(1)－f(－1)=1成立．综上得m∈[－1，1]．点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，体现了数学转化思想方法与分类讨论的数学思想方法，是难题．20、（1）；（2）.【解题分析】

（1）若取出的红球的个数不少于白球的个数，则有红、红白、红白三种情况，然后利用分类计数原理可得出答案；（2）若取出的球的总分不少于分，则有红、红白、红白和红白四种情况，然后利用分类计数原理可得出答案.【题目详解】（1）若取出的红球个数不少于白球个数，则有红、红白、红白三种情况，其中红有种取法，红白有种取法，红白有种取法