河北省景县梁集中学2024届数学高二下期末预测试题含解析

河北省景县梁集中学2024届数学高二下期末预测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列命题正确的是（）A．若，则B．“”是“”的必要不充分条件C．命题“”、“”、“”中至少有一个为假命题D．“若，则，全为0”的逆否命题是“若，全不为0，则”2．用反证法证明命题“若，则全为”，其反设正确的是（）A．至少有一个不为 B．至少有一个为C．全不为 D．中只有一个为3．已知定义域为正整数集的函数满足，则数列的前项和为（）A． B． C． D．4．已知函数在其定义域内有两个零点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．5．已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则不等式的解集是()A． B． C． D．以上都不正确6．下列命题为真命题的个数是（）①，是无理数；②命题“∃∈R，”的否定是“∀x∈R，＋1≤3x”；③命题“若,则”的逆否命题为真命题；④。A．1 B．2 C．3 D．47．已知为虚数单位，复数，则（）A． B． C． D．8．若复数满足，则=（）．A． B． C． D．9．点的直角坐标为，则点的极坐标为（）A．B．C．D．10．已知，且，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件11．已知定义在上的函数在上单调递减，且是偶函数，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是()A． B． C． D．12．已知，若的展开式中各项系数之和为，则展开式中常数项为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知则_____________．14．定积分的值等于________.15．某次测试共有100名考生参加，测试成绩的频率分布直方图如下图所示，则成绩在80分以上的人数为__________．16．如果不等式的解集为，且，那么实数的取值范围是____三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某种设备的使用年限(年)和维修费用(万元),有以下的统计数据:34562.5344.5（Ⅰ）画出上表数据的散点图；（Ⅱ）请根据上表提供的数据，求出关于的线性回归方程；（Ⅲ）估计使用年限为10年，维修费用是多少万元？（附：线性回归方程中，其中，）．18．（12分）为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径5859616263646566676869707173合计件数11356193318442121100经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值，用样本估计总体.（1）将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品，从设备的生产流水线上随意抽取3个零件，计算其中次品个数的数学期望；（2）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的概率）：①；②；③.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级并说明理由.19．（12分）对于函数y=fx，若关系式t=fx+t中变量t是变量x的函数，则称函数y=fx为可变换函数.例如：对于函数fx=2x，若t=2x+t，则t=-2x，所以变量t（1）求证：反比例函数gx=（2）试判断函数y=-x3（3）若函数hx=logbx为可变换函数20．（12分）已知数列的前项和为，且，.（Ⅰ）试计算，，，，并猜想的表达式；（Ⅱ）求出的表达式，并证明（Ⅰ）中你的猜想.21．（12分）已知函数，(1)求的图象在处的切线方程并求函数的单调区间；(2)求证：.22．（10分）如图，在长方体中，、分别是棱,上的点，,（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）证明平面（3）求二面角的正弦值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】分析：根据命题条件逐一排除求解即可.详解：A.若，则,当a为0时此时结论不成立，故错误；B.“”是“”的必要不充分条件，当x=4时成立，故正确结论应是充分不必要；D.“若，则，全为0”的逆否命题是“若，全不为0，则”应该是若，不全为0，故错误，所以综合可得选C点睛：考查对命题的真假判定，此类题型逐一对答案进行排除即可，但注意思考的全面性不可以掉以轻心，属于易错题.2、A【解题分析】由反证法的定义：证明命题“若，则全为”，其反设为至少有一个不为.本题选择A选项.3、A【解题分析】分析：通过求出，再利用等差数列的求和公式即可求得答案.详解：当时，有；当时，有；当时，有；…...，.故答案为：A.点睛：本题主要考查了数列求和以及通项公式的求法，考查计算能力与分析能力，属于中档题.4、A【解题分析】分析：由题意可得即有两个不等的实数解．令，求出导数和单调区间、极值和最值，画出图象，通过图象即可得到结论．详解：函数在其定义域内有两个零点，

等价为即有两个不等的实数解．令，，

当时，递减；当时，递增．在处取得极大值，且为最大值．当．

画出函数的图象，

由图象可得时，和有两个交点，

即方程有两个不等实数解，有两个零点．

故选A．点睛：本题考查函数的零点问题，注意运用转化思想，考查构造函数法，运用导数判断单调性，考查数形结合的思想方法，属于中档题．5、C【解题分析】令，则当时：，即函数在上单调递增，由可得：当时，；当时，；不等式在上的解集为，同理，不等式在上的解集为，综上可得：不等式的解集是.6、B【解题分析】

由①中，比如当时，就不成立；②中，根据存在性命题与全称命题的关系，即可判定；③中，根据四种命题的关系，即可判定；④中，根据导数的运算，即可判定，得到答案.【题目详解】对于①中，比如当时，就不成立，所以不正确；对于②中，命题“”的否定是“”，所以正确；③中，命题“若，则”为真命题，其逆否命题为真命题，所以正确；对于④中，根据导数的计算，可得，所以错误；故选B.【题目点拨】本题主要考查了命题真假的判定，其中解答中熟记全称命题与存在性命题的关系，以及四种命题的关系，导数的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7、C【解题分析】

对进行化简，得到标准形式，在根据复数模长的公式，得到【题目详解】对复数进行化简所以【题目点拨】考查复数的基本运算和求复数的模长，属于简单题.8、D【解题分析】

先解出复数，求得，然后计算其模长即可.【题目详解】解：因为，所以所以所以故选D.【题目点拨】本题考查了复数的综合运算，复数的模长，属于基础题.9、A【解题分析】试题分析：,,又点在第一象限,,点的极坐标为.故A正确.考点：1直角坐标与极坐标间的互化.【易错点睛】本题主要考查直角坐标与极坐标间的互化,属容易题.根据公式可将直角坐标与极坐标间互化,当根据求时一定要参考点所在象限,否则容易出现错误.10、C【解题分析】分析：已知，解出a，b的值，再根据充分条件和必要条件的定义进行求解.详解：a>0，b>0且a≠1，若logab>0，a>1，b>1或0<a<1,0<b<1，∴(a－1)(b－1)>0；若(a－1)(b－1)>0,则或则a>1，b>1或0<a<1,0<b<1,∴logab>0，∴“logab>0”是“(a－1)(b－1)>0”的充分必要条件．故选C.点睛：在判断充分、必要条件时需要注意：(1)确定条件是什么、结论是什么；(2)尝试从条件推导结论，从结论推导条件；(3)确定条件是结论的什么条件．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题．11、A【解题分析】

根据是偶函数可以得出函数的对称轴，再根据函数在上单调递减可以得出函数在上的单调区间，从而解出不等式对任意的恒成立时的取值范围．【题目详解】是偶函数，所以得出函数的对称轴为，又因为函数在上单调递减，所以在上单调递增．因为，所以．因为不等式对任意的恒成立，所以．选择A【题目点拨】本题主要考查了函数的对称轴和奇偶性的综合问题，在解决此类题目时要搞清楚每一个条件能得出什么结论，把这些结论综合起来即得出结果．属于较难的题目．12、B【解题分析】

通过各项系数和为1，令可求出a值，于是可得答案.【题目详解】根据题意，在中，令，则，而，故，所以展开式中常数项为，故答案为B.【题目点拨】本题主要考查二项式定理，注意各项系数之和和二项式系数和之间的区别，意在考查学生的计算能力，难度不大.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解题分析】

由指数和对数函数的运算公式，计算即可.【题目详解】由得a=，由，得b=.所以=故答案为:2【题目点拨】本题考查的是指数与对数的互化及对数公式的运算，熟练掌握公式是关键，属于基础题.14、ln1【解题分析】

直接根据定积分的计算法则计算即可．【题目详解】，故答案为：ln1．【题目点拨】本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题．15、25【解题分析】分析：先求成绩在80分以上的概率，再根据频数等于总数与对应概率乘积求结果.详解：因为成绩在80分以下的概率为，所以成绩在80分以上的概率为，因此成绩在80分以上的人数为点睛：频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间的概率,所有小长方形面积之和为1;频率分布直方图中组中值与对应区间概率乘积的和为平均数;频率分布直方图中小长方形面积之比等于对应概率之比,也等于对应频数之比.16、【解题分析】

将不等式两边分别画出图形，根据图像得到答案.【题目详解】不等式的解集为，且画出图像知：故答案为：【题目点拨】本题考查了不等式的解法，将不等式关系转化为图像是解题的关键.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)详见解析;(2);(3)当时，万元.【解题分析】（1）直接将四个点在平面直角坐标系中描出；（2）先计算，，再借助计算出，求出回归方程；（3）依据线性回归方程求出当时，的值：【试题分析】（1）按数学归纳法证明命题的步骤：先验证时成立，再假设当时，不等式成立，分析推证时也成立：(1)(2)；所求的线性回归方程：(3)当时，万元18、（1）；（2）设备的性能为丙级别.理由见解析【解题分析】

（1）对于次品个数的数学期望的求法可采取古典概率的算法，先求出次品率，用符合条件的次品数/样本总数，次品可通过寻找直径小于等于或直径大于的零件个数求得，再根据该分布符合，进行期望的求值（2）根据（2）提供的评判标准，再结合样本数据算出在每个对应事件下的概率，通过比较发现，，，三个条件中只有一个符合，等级为丙【题目详解】解：（1）由图表知道：直径小于或等于的零件有2件，大于的零件有4件，共计6件，从设备的生产流水线上任取一件，取到次品的概率为，依题意，故；（2）由题意知，，，，，，，所以由图表知道：，，，所以该设备的性能为丙级别.【题目点拨】对于正态分布题型的数据分析，需要结合的含义来进行理解，根据题设中如；②；③来寻找对应条件下的样品数，计算出概率值，再根据题设进行求解，此类题型对数据分析能力要求较高，在统计数据时必须够保证数据的准确性，特别是统计个数和计算，等数据时19、（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.【解题分析】分析：（1）利用反证法，假设gx是可变换函数，t=gx+t=kx+t⇒t2+tx-k=0，利用关变量t的一元二次方程无解但导出矛盾，从而可得结论；（2）利用φt=-tht=t+x3必须有交点，而φt连续且单调递减，值域为R，ht连续且单调递增，值域为R详解：（1）假设gx是可变换函数，则t=g因为变量x是任意的，故当Δ=x2+4k<0则与假设矛盾，故原结论正确，得证；（2）若y=-x3是可变换函数，则则有关t的两个函数：φt=-tht=ht连续且单调递增，值域为R，所以这两个函数φt与即：变量t是变量x的函数，所以y=-x（3）函数hx=log若b>1，则t恒大于logb若0<b<1，则y=ty=logbt+x点睛：本题主要考查函数的性质、新定义问题，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义“可变换函数”达到考查函数性质的目的.20、(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)，证明见解析.【解题分析】分析：（1）利用公式，将已知转换成关于的递推公式，计算，，，，在通过分子和分母的规律猜想出.（2）根据，结合通项公式的累乘法求出.再运用求和证明（1）的猜想.详解：（Ⅰ）由，得，，，，猜想.（Ⅱ）证明：因为①，所以②，①-②得，所以.化简得，所以，，，…，，把上面各式相乘得，所以，，.点睛：数列问题注意两个方面的问题：（1）的特殊性；（2）时，①消去，如，可以计算；②消去，如，可以计算.21、（1）切线方程为：，单调增区间为，单调减区间是（2）见解析【解题分析】试题分析：(1)由函数的导函数可得切线的斜率为2，据此可得切线方程为：，单调增区间为，单调减区间是；(2)构