2024届安徽省合肥八中数学高二第二学期期末综合测试模拟试题含解析

2024届安徽省合肥八中数学高二第二学期期末综合测试模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知甲口袋中有个红球和个白球，乙口袋中有个红球和个白球，现从甲，乙口袋中各随机取出一个球并相互交换，记交换后甲口袋中红球的个数为，则（）A． B． C． D．2．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高和底面边长均为，则该球的体积为A． B． C． D．3．已知随机变量服从正态分布，且，则（）．A． B． C． D．4．2019年4月，北京世界园艺博览会开幕，为了保障园艺博览会安全顺利地进行，某部门将5个安保小组全部安排到指定的三个不同区域内值勤，则每个区域至少有一个安保小组的排法有（）A．150种 B．240种 C．300种 D．360种5．复数z满足，则复数z在复平面内的对应点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．通过随机询问名性别不同的小学生是否爱吃零食，得到如下的列联表：男女总计爱好不爱好总计由算得参照附表，得到的正确结论（）A．我们有以上的把握，认为“是否爱吃零食与性别有关”B．我们有以上的把握，认为“是否爱吃零食与性别无关”C．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”D．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“是否爱吃零食与性别无关”7．在0、1、2、3、4、5这6个数字组成的没有重复数字的六位数中，能被2整除的数的个数为（）A．216 B．288 C．312 D．3608．在中，，，，则等于()A．或 B． C．或 D．9．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为（）A．2 B．4 C．6 D．810．函数是周期为4的偶函数,当时，,则不等式在上的解集是()A． B． C． D．11．“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异”是以我国哪位数学家命名的数学原理（）A．杨辉 B．刘微 C．祖暅 D．李淳风12．把函数的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图象向右平移个单位，这是对应于这个图象的解析式为（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．由0，1，2，…，9十个数字组成的无重复数字的三位数共______个14．设函数，已知，则_________.15．太极图被称为“中华第—图”，从孔庙大成殿梁柱至白外五观的标识物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗、新加坡空军机徽…，太极图无不跃其上，这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在—起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用不等式组或来表示，设是阴影中任—点，则的最大值为________.16．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的容积是，且用料最省，则水桶的底面半径为____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，.（1）若恒成立，试求实数的取值范围；（2）若函数的图像在点处的切线为直线，试求实数的值.18．（12分）在一次考试中，某班级50名学生的成绩统计如下表，规定75分以下为一般，大于等于75分小于85分为良好，85分及以上为优秀．分数697374757778798082838587899395合计人数24423463344523150经计算，样本的平均值，标准差．为评判该份试卷质量的好坏，从其中任取一人，记其成绩为X，并根据以下不等式进行评判：①；②；③．评判规则：若同时满足上述三个不等式，则被评为优秀试卷；若仅满足其中两个不等式，则被评为合格试卷；其他情况，则被评为不合格试卷．（1）试判断该份试卷被评为哪种等级；（2）按分层抽样的方式从3个层次的学生中抽出10名学生，再从抽出的10名学生中随机抽出4人进行学习方法交流，用随机变量表示4人中成绩优秀的人数，求随机变量的分布列和数学期望．19．（12分）已知函数.（1）若是的一个极值点，判断的单调性；（2）若有两个极值点，，且，证明：.20．（12分）已知实数使得函数在定义域内为增函数；实数使得函数在上存在两个零点，且分别求出条件中的实数的取值范围；甲同学认为“是的充分条件”，乙同学认为“是的必要条件”，请判断两位同学的说法是否正确，并说明理由.21．（12分）数列满足.（1）计算，并由此猜想通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.22．（10分）如图，在四棱锥中，平面，，，且，，.（1）求证：；（2）在线段上,是否存在一点,使得二面角的大小为，如果存在,求与平面所成角的正弦值；如果不存在,请说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

先求出的可能取值及取各个可能取值时的概率，再利用可求得数学期望.【题目详解】的可能取值为.表示从甲口袋中取出一个红球，从乙口袋中取出一个白球，故.表示从甲、乙口袋中各取出一个红球，或从甲、乙口袋中各取出一个白球，故.表示从甲口袋中取出一个白球，从乙口袋中取出一个红球，故.所以.故选A.【题目点拨】求离散型随机变量期望的一般方法是先求分布列，再求期望.如果离散型随机变量服从二项分布，也可以直接利用公式求期望.2、A【解题分析】分析：设球的半径为R,再根据图形找到关于R的方程，解方程即得R的值，再求该球的体积.详解：设球的半径为R,由题得所以球的体积为.故答案为：A.点睛：（1）本题主要考查球的内接几何体问题和球的体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力.(2)解题的关键是从图形中找到方程.3、B【解题分析】∵随机变量服从正态分布，，即对称轴是，，∴，∴，∴．故选．4、A【解题分析】

根据题意，需要将5个安保小组分成三组，分析可得有2种分组方法：按照1、1、3分组或按照1、2、2分组，求出每一种情况的分组方法数目，由加法计数原理计算可得答案．【题目详解】根据题意，三个区域至少有一个安保小组，所以可以把5个安保小组分成三组，有两种分法：按照1、1、3分组或按照1、2、2分组；若按照1、1、3分组,共有种分组方法；若按照1、2、2分组,共有种分组方法，根据分类计数原理知共有60+90=150种分组方法.故选：A.【题目点拨】本题考查排列、组合及简单计数问题，本题属于分组再分配问题，根据题意分析可分组方法进行分组再分配，按照分类计数原理相加即可，属于简单题.5、A【解题分析】

把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【题目详解】解：由，得．∴复数z在复平面内的对应点的坐标为，位于第一象限．故选A．【题目点拨】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．6、A【解题分析】分析：对照临界值表，由，从而可得结果.详解：根据所给的数据，，而，有以上的把握，认为“是否爱吃零食与性别有关”，故选A.点睛：本题主要考查独立性检验的应用，属于中档题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3)查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.7、C【解题分析】

根据能被2整除，可知为偶数.最高位不能为0，可分类讨论末位数字，即可得总个数.【题目详解】由能够被2整除，可知该六位数为偶数，根据末位情况，分两种情况讨论：当末位数字为0时，其余五个数为任意全排列，即有种；当末位数字为2或4时，最高位从剩余四个非零数字安排，其余四个数位全排列，则有，综上可知，共有个.故选：C.【题目点拨】本题考查了排列组合的简单应用，分类分步计数原理的应用，属于基础题.8、D【解题分析】

已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，先由正弦定理求，再求.【题目详解】由正弦定理，可得.由，可得，所以.故选D.【题目点拨】本题考查正弦定理的应用.已知两边及其中一边的对角，由正弦定理求另一边的对角，要注意判断解的个数.9、C【解题分析】，向左平移个单位，得到函数的图象，所以，因为,所以即的最大值为6，选C.点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言.由求增区间;由求减区间.10、C【解题分析】若，则此时是偶函数，即若，则∵函数的周期是4，

即，作出函数在上图象如图，

若，则不等式等价为，此时

若，则不等式等价为，此时，

综上不等式在上的解集为故选C.【题目点拨】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和周期性求出对应的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．11、C【解题分析】

由题意可得求不规则几何体的体积的求法，即运用祖暅原理.【题目详解】“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异”的意思是“夹在两平行平面之间的两个几何体被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果两个截面面积仍然相等，那么这两个几何体的体积相等”，这就是以我国数学家祖暅命名的数学原理，故选：C.【题目点拨】本题考查祖暅原理的理解，考查空间几何体体积的求法，考查对概念的理解，属于基础题.12、A【解题分析】试题分析：函数的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变得到，再把图象向右平移个单位，得到.考点：三角函数图像变换.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、648【解题分析】

首先考虑百位不为，得到百位的情况数，再利用排列得到十位与个位的情况数，通过分步计数原理，得到答案.【题目详解】因为百位不能为，所以百位共有种情况，再在剩下的个数中，任选个安排在十位与个位，有种情况，根据分步计数原理可得，符合要求的三位数有个.故答案为：.【题目点拨】本题考查排列的应用，分步计数原理，属于简单题.14、【解题分析】

对分离常数后，通过对比和的表达式，求得的值.【题目详解】依题意，，.【题目点拨】本小题主要考查函数求值，考查运算求解能力，属于基础题.15、3【解题分析】

根据题目可知，平移直线，当直线与阴影部分在上方相切时取得最大值，根据相切关系求出切点，代入，即可求解出答案。【题目详解】由题意知，与相切时，切点在上方时取得最大值，如图;此时，且，解得所以的最大值为3，故答案为3。【题目点拨】本题主要考查了线性规划中求目标函数的最值问题，形如题目中所示的目标函数常化归为求纵截距范围或极值问题。16、3【解题分析】

设圆柱的高为h，半径为r,得πr2h＝27π，即，要使用料最省即求全面积的最小值，将S全面积表示为r的函数，令S＝f（r），结合导数可判断函数f（r）的单调性，进而可求函数取得最小值时的半径【题目详解】用料最省，即水桶的表面积最小.设圆柱形水桶的表面积为S，底面半径为r(r＞0)，则πr2h＝27π，即水桶的高为，所以(r>0).求导数，得.令S′＝0，解得r＝3.当0＜r＜3时，S′＜0；当r＞3时，S′＞0.所以当r＝3时，圆柱形水桶的表面积最小，即用料最省.故答案为3【题目点拨】本题主要考查导数的实际应用,圆柱的体积公式及表面积的最值的求解，解答应用试题的关键是要把实际问题转化为数学问题，根据已学知识进行解决．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解题分析】

（1）由恒成立，分离参数可得恒成立，设，对其求导，可得的最大值，可得的取值范围；（2）求出，对其求导，可得切在的切线方程，又切线方程为，可得与的方程组，可得，设，对其求导可得的单调性与最小值，可得的值唯一，可得答案.【题目详解】解：（1）由题意得：定义域为，恒成立.设，则，时，，函数单调递增，时，，函数单调递减，函数，所以.（2），.因为切点为，则切线方程为，整理得：，又切线方程为，所以，设，则，因为在单调递增，且，所以在单调递减，单调递增，所以，所以，所以的值唯一，为.【题目点拨】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值及利用导数求切线等问题，关键是能够利用导数的几何意义确定曲线的切线方程，从而构造方程求得结果.综合性大，属于难题.18、（1）该份试卷应被评为合格试卷；（2）见解析，1.2.【解题分析】

（1）根据频数分布表，计算出，的值，由此判断出“该份试卷为合格试卷”；（2）利用超几何分布分布列计算公式，计算出分布列，并求得数学期望．【题目详解】解：（1），，，因为考生成绩满足两个不等式，所以该份试卷应被评为合格试卷；（2）50人中成绩一般、良好及优秀的比例为，所以所抽出的10人中，成绩优秀的有3人，所以的取值可能为0，1，2，3，，，，，所以随机变量的分布列为：0123故．【题目点拨】本题考查了正态分布的概念，考查频率的计算，超几何分布的分布列及其数学期望的计算，属于中档题．19、（1）在单调递减，在单调递增.（2）见解析【解题分析】

（1）求出导函数，由极值点求出参数，确定的正负得的单调性；（2）求出，得极值点满足：所以，由（1）即，不妨设.要证，则只要证，而，因此由的单调性，只要能证，即即可．令，利用导数的知识可证得结论成立．【题目详解】（1）由已知得.因为是的一个极值点，所以，即，所以，令，则，令，得，令，得；所以在单调递减，在单调递增，又当时，，，所以当时，，当时，；即在单调递减，在单调递增.（2），因此极值点满足：所以由（1）即，不妨设.要证，则只要证，而，因此由的单调性，只要能证，即即可．令，则，当时，，，，所以，即在单调递增，又，所以，所以，即，又，，在单调递增，所以，即.【题目点拨】本题考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性、极值、最值等问题，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想、有限与无限思想，体现综合性、应用性与创新性，导向对发展数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养的关注.20、（1），（2）甲、乙两同学的判断均不正确，理由见解析【解题分析】

（1）真时，先求函数的导数，令恒成立，整理得到恒成立，转化为求函数的最小值；真时，只需满足即可；（2）根据（1）的结果，判断两个集合是否具有包含关系，根据集合的包含关系判断充分必要条件.【题目详解】解，的定义域为，因为在定义域内为增函数，所以对，恒有整理得，恒成立．于是因此满足条件的实数的取值范围是因为的存在两个零点且，所以即，解得因此满足条件的实数的取值范围是甲、乙两同学的判断均不正确，因为，所以不是的充分条件，因为，所以不是的必要条件．【题目点拨】本题考查了由命题的真假，求参数取值范围的问题，本题的一个易错点是真时，有的同学只写出，而忽略了的正负决定函数图像的开口，第二问考查了当命题是以集合形式给出时，如何判断充分必要条件，,，若时，是的充分不必要条件，是的必要不充分条