平面向量的概念及线性运算讲义

/平面向量的概念及线性运算1．向量的有关概念名称定义备注向量既有又有的量；向量的大小叫做向量的(或称)平面向量是自由向量零向量长度为的向量；其方向是任意的记作单位向量长度等于的向量非零向量a的单位向量为±\f()平行向量方向或的非零向量0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度且方向的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝.(2)结合律：(a＋b)＋c＝.减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λ＝；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向；当λ<0时，λa的方向与a的方向；当λ＝0时，λa＝λ(μa)＝；(λ＋μ)a＝；λ(a＋b)＝3.共线向量定理a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．[难点正本疑点清源]1．向量的两要素向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小．2．向量平行与直线平行的区别向量平行包括向量共线和重合的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．1．(课本改编题)化简\o(,\s\6(→))－\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))－\o(,\s\6(→))的结果为．2．在平行四边形中，E为边的中点，且\o(,\s\6(→))＝a，\o(,\s\6(→))＝b，则\o(,\s\6(→))＝.3．下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；④相等向量一定共线．其中不正确命题的序号是．4．已知D为三角形边的中点，点P满足\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))＝0，\o(,\s\6(→))＝λ\o(,\s\6(→))，则实数λ的值为．5．已知O是△所在平面内一点，D为边中点，且2\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))＝0，则()\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))\o(,\s\6(→))＝2\o(,\s\6(→))\o(,\s\6(→))＝3\o(,\s\6(→))D．2\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))题型一平面向量的概念辨析例1给出下列命题：①若＝，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))是四边形为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是＝且a∥b.其中正确命题的序号是．探究提高(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键．(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(3)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图像移动混为一谈．(5)非零向量a与\f()的关系是：\f()是a方向上的单位向量．判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由．(1)若向量a与b同向，且>，则a>b；(2)若＝，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)若＝，且a与b方向相同，则a＝b；(4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；(5)若向量a与向量b平行，则向量a与b的方向相同或相反；(6)若向量\o(,\s\6(→))与向量\o(,\s\6(→))是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上；(7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；(8)任一向量与它的相反向量不相等．题型二向量的线性运算例2如图，在△中，D、E分别为、边上的中点，G为上一点，且＝2，设\o(,\s\6(→))＝a，\o(,\s\6(→))＝b，试用a，b表示\o(,\s\6(→))，\o(,\s\6(→)).探究提高(1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．如图，在△中，E、F分别为、的中点，与相交于G点，设\o(,\s\6(→))＝a，\o(,\s\6(→))＝b，试用a，b表示\o(,\s\6(→)).题型三平面向量的共线问题例3设两个非零向量a与b不共线，(1)若\o(,\s\6(→))＝a＋b，\o(,\s\6(→))＝2a＋8b，\o(,\s\6(→))＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k，使＋b和a＋共线．探究提高(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的`区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a、b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a、b不共线．如图所示，△中，在上取一点N，使得＝\f(1,3)，在上取一点M，使得＝\f(1,3)，在的延长线上取点P，使得＝\f(1,2)，在的延长线上取点Q，使得\o(,\s\6(→))＝λ\o(,\s\6(→))时，\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))，试确定λ的值．11.用方程思想解决平面向量的线性运算问题试题：(13分)如图所示，在△中，\o(,\s\6(→))＝\f(1,4)\o(,\s\6(→))，\o(,\s\6(→))＝\f(1,2)\o(,\s\6(→))，与相交于点M，设\o(,\s\6(→))＝a，\o(,\s\6(→))＝b.试用a和b表示向量\o(,\s\6(→)).审题视角(1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去．(2)既然\o(,\s\6(→))能用a、b表示，那我们不妨设出\o(,\s\6(→))＝＋.(3)利用共线定理建立方程，用方程的思想求解．规范解答解设\o(,\s\6(→))＝＋，则\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))－\o(,\s\6(→))＝＋－a＝(m－1)a＋.\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))－\o(,\s\6(→))＝\f(1,2)\o(,\s\6(→))－\o(,\s\6(→))＝－a＋\f(1,2)b.[3分]又∵A、M、D三点共线，∴\o(,\s\6(→))与\o(,\s\6(→))共线．∴存在实数t，使得\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))，即(m－1)a＋＝\b\\(\\)(\a\4\\1(－a＋\f(1,2)b)).[5分]∴(m－1)a＋＝－＋\f(1,2).∴\b\\{\\(\a\4\\1(m－1＝－＝\f(t,2)))，消去t得，m－1＝－2n，即m＋2n＝1.①[7分]又∵\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))－\o(,\s\6(→))＝＋－\f(1,4)a＝\b\\(\\)(\a\4\\1(m－\f(1,4)))a＋，\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))－\o(,\s\6(→))＝b－\f(1,4)a＝－\f(1,4)a＋b.又∵C、M、B三点共线，∴\o(,\s\6(→))与\o(,\s\6(→))共线．[10分]∴存在实数t1，使得\o(,\s\6(→))＝t1\o(,\s\6(→))，∴\b\\(\\)(\a\4\\1(m－\f(1,4)))a＋＝t1\b\\(\\)(\a\4\\1(－\f(1,4)a＋b))，∴\b\\{\\(\a\4\\1(m－\f(1,4)＝－\f(1,4)t1＝t1))，消去t1得，4m＋n＝1.②[12分]由①②得m＝\f(1,7)，n＝\f(3,7)，∴\o(,\s\6(→))＝\f(1,7)a＋\f(3,7)b.[13分]批阅笔记(1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度．(2)学生的易错点是，找不到问题的切入口，亦即想不到利用待定系数法求解．(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．如本题学生易忽视A、M、D共线和B、M、C共线这个几何特征．(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会．方法与技巧1．将向量用其它向量(特别是基向量)线性表示，是十分重要的技能，也是向量坐标形式的基础．2．可以运用向量共线证明线段平行或三点共线问题．如\o(,\s\6(→))∥\o(,\s\6(→))且与不共线，则∥；若\o(,\s\6(→))∥\o(,\s\6(→))，则A、B、C三点共线．失误与防范1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．课时规范训练(时间：60分钟)A组专项基础训练题组一、选择题1．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中错误命题的个数为()A．1B．2C．3D．42．设P是△所在平面内的一点，\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))＝2\o(,\s\6(→))，则()\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))＝0\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))＝0\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))＝0\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))＝03．已知向量a，b不共线，c＝＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，则()A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向二、填空题4．设a、b是两个不共线向量，\o(,\s\6(→))＝2a＋，\o(,\s\6(→))＝a＋b，\o(,\s\6(→))＝a－2b，若A、B、D三点共线，则实数p的值为．5．在平行四边形中，E和F分别是边和的中点，若\o(,\s\6(→))＝λ\o(,\s\6(→))＋μ\o(,\s\6(→))，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝.6.如图，在△中，\o(,\s\6(→))＝\f(1,3)\o(,\s\6(→))，P是上的一点，若\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))＋\f(2,11)\o(,\s\6(→))，则实数m的值为．三、解答题7.如图，以向量\o(,\s\6(→))＝a，\o(,\s\6(→))＝b为边作▱，\o(,\s\6(→))＝\f(1,3)\o(,\s\6(→))，\o(,\s\6(→))＝\f(1,3)\o(,\s\6(→))，用a、b表示\o(,\s\6(→))、\o(,\s\6(→))、\o(,\s\6(→)).8．若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，，\f(1,3)(a＋b)三向量的终点在同一条直线上？B组专项能力提升题组一、选择题1．已知P是△所在平面内的一点，若\o(,\s\6(→))＝λ\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))，其中λ∈R，则点P一定在()A．△的内部B．边所在直线上C．边所在直线上D．边所在直线上2．已知△和点M满足\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))＝0，若存在实数m使得\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))成立，则m等于()A．2B．3C．4D．53．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足：\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))＋λ\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(\o(,\s\6(→))\o(,\s\6(→))|)＋\f(\o(,\s\6(→))\o(,\s\6(→))|)))，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△的()A．外心B．内心C．重心D．垂心二、填空题4．已知向量a，b是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使a、b共线的条件是(将正确的序号填在横线上)．①2a－3b＝4e，且a＋2b＝－3e；②存在相异实数λ、μ，使λ·a＋μ·b＝0；③x·a＋y·b＝0(实数x，y满足x＋y＝0)；④若四边形是梯形，则\o(,\s\6(→))与\o(,\s\6(→))共线．5.如图所示，在△中，点O是的中点．过点O的直线分别交直线、于不同的两点M、N，若\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))，\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))，则m＋n的值为．6．在△中，已知D是边上一点，若\o(,\s\6(→))＝2\o(,\s\6(→))，\o(,\s\6(→))＝\f(1,3)\o(,\s\6(→))＋λ\o(,\s\6(→))，则λ＝.7．已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A、B两点，且\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))|＝\o(,\s\6(→))－\o(,\s\6(→))|，其中O为坐标原点，则实数a的值为．三、解答题8．已知点G是△的重心，M是边的中点．(1)求\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))；(2)若过△的重心G，且\o(,\s\6(→))＝a，\o(,\s\6(→))＝b，\o(,\s\6(→))＝，\o(,\s\6(→))＝，求证：\f(1)＋\f(1)＝3.答案要点梳理1．大小方向长度模零01个单位相同相反方向相同或相反平行相等相同相等相反2．三角形平行四边形(1)b＋a(2)a＋(b＋c)三角形(1)|λ(2)相同相反0λμaλa＋μaλa＋λb基础自测1\o(,\s\6(→))2－\f(1,2)a3.①②③4.－25题型分类·深度剖析例1②③变式训练1解(1)不正确，因为向量只讨论相等和不等，而不能比较大小．(2)不正确，因为向量模相等与向量的方向无关．(3)正确．(4)不正确，因为规定零向量与任意向量平行．(5)不正确，因为两者中若有零向量，零向量的方向是任意的．(6)不正确，因为\o(,\s\6(→))与\o(,\s\6(→))共线，而与可以不共线即∥.(7)正确．(8)不正确，因为零向量可以与它的相反向量相等．例2解\o(,\s\6(→))＝\f(1,2)(\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→)))＝\f(1,2)a＋\f(1,2)b；\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))＋\f(2,3)\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))＋\f(1,3)(\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→)))＝\f(2,3)\o(,\s\6(→))＋\f(1,3)(\o(,\s\6(→))－\o(,\s\6(→)))＝\f(1,3)\o(,\s\6(→))＋\f(1,3)\o(,\s\6(→))＝\f(1,3)a＋\f(1,3)b.变式训练2解\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))＋λ\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))＋\f(λ,2)(\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→)))＝\b\\(\\)(\a\4\\1(1－\f(λ,2)))\o(,\s\6(→))＋\f(λ,2)(\o(,\s\6(→))－\o(,\s\6(→)))＝(1－λ)\o(,\s\6(→))＋\f(λ,2)\o(,\s\6(→))＝(1－λ)a＋\f(λ,2)b.又\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))＋\f(m,2)(\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→)))＝(1－m)\o(,\s\6(→))＋\f(m,2)\o(,\s\6(→))＝\f(m,2)a＋(1－m)b，∴\b\\{\\(\a\4\\1(1－λ＝\f(m,2),1－m＝\f(λ,2)))，解得λ＝m＝\f(2,3)，∴\o(,\s\6(→))＝\f(1,3)a＋\f(1,3)b.例3(1)证明∵\o(,\s\6(→))＝a＋b，\o(,\s\6(→))＝2a＋8b，\o(,\s\6(→))＝3(a－b)，∴\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5\o(,\s\6(→)).∴\o(,\s\6(→))、\o(,\s\6(→))共线，又∵它们有公共点B，∴A、B、D三点共线．(2)解∵＋b与a＋共线，∴存在实数λ，使＋b＝λ(a＋)，即＋b＝λa＋λ.∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a、b是不共线的两个非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1.变式训练3\f(1,2)课时规范训练A组1．C234.－15\f(4,3)6\f(3,11)7\o(,\s\6(→))＝\f(1,6)a＋\f(5,6)b，\o(,\s\6(→))＝\f(2,3)a＋\f(2,3)b，\o(,\s\6(→))＝\f(1,2)a－\f(1,6)b8．解设\o(,\s\6(→))＝a，\o(,\s\6(→))＝，\o(,\s\6(→))＝\f(1,3)(a＋b)，∴\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))－\o(,\s\6(→))＝－\f(2,3)a＋\f(1,3)b，\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))－\o(,\s\6(→))＝－a.要使A、B、C三点共线，只需\o(,\s\6(→))＝λ\o(,\s\6(→)).即－\f(2,3)a＋\f(1,3)b＝λ－λa.∴有\b\\{\\(\