四章三角恒等变换

§4.2三角恒等变换高考理数

(课标Ⅱ专用)考点三角函数的求值与化简五年高考A组

统一命题·课标卷题组1.(2019课标全国Ⅱ,10,5分)已知α∈

,2sin2α=cos2α+1,则sinα=

()A.

B.

C.

D.

答案

B

本题考查了三角恒等变换以及同角三角函数的基本关系;考查了学生对方程的思

想方法的综合运用,以及运算求解能力;通过三角恒等变换考查了逻辑推理、数学运算的核心

素养.由二倍角公式可知4sinαcosα=2cos2α.∵α∈

,∴cosα≠0,∴2sinα=cosα,∴tanα=

,∴sinα=

.故选B.技巧点拨常见与“1”有关的三角恒等变换:①1+sin2α=(sinα+cosα)2;②1-sin2α=(sinα-cos

α)2;③1+cos2α=2cos2α;④1-cos2α=2sin2α;⑤

=

;⑥

=

.2.(2018课标Ⅲ,4,5分)若sinα=

,则cos2α=

()A.

B.

C.-

D.-

答案

B本题考查三角恒等变换.由sinα=

,得cos2α=1-2sin2α=1-2×

=1-

=

.故选B.3.(2015课标Ⅰ,2,5分)sin20°cos10°-cos160°sin10°=()A.-

B.

C.-

D.

答案

D原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin(20°+10°)=sin30°=

,故选D.思路分析利用诱导公式化cos160°为-cos20°,再利用两角和的正弦公式进行求解.4.(2016课标Ⅱ,9,5分)若cos

=

,则sin2α=

()A.

B.

C.-

D.-

答案

D∵cos

=

,∴sin2α=cos

=cos2

=2cos2

-1=2×

-1=-

.故选D.思路分析利用诱导公式化sin2α为cos

,再利用二倍角的余弦公式即可得答案.一题多解

cos

=

(cosα+sinα)=

⇒cosα+sinα=

⇒1+sin2α=

,∴sin2α=-

.故选D.导师点睛求解三角函数的给值求值问题,关键是把待求三角函数值的角用已知角表示:(1)已知角有两个时,待求三角函数值的角一般表示为已知角的和或差;(2)已知角有一个时,待求三角函数值的角一般与已知角成“倍数关系”或“互补、互余关系”.考点三角函数的求值与化简B组

自主命题·省(区、市)卷题组1.(2015重庆,9,5分)若tanα=2tan

,则

=

()A.1

B.2

C.3

D.4答案

C

=

=

=

=

,∵tanα=2tan

,∴

=

=3.故选C.2.(2019江苏,13,5分)已知

=-

,则sin

的值是

.答案

解析本题考查同角三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式等知识,考查学生的运算求

解能力,考查的核心素养为逻辑推理和数学运算.∵

=-

,∴tanα=-

tan

=-

·

,整理得3tan2α-5tanα-2=0,∴tanα=-

或tanα=2.sin

=

(sin2α+cos2α)=

·

=

·

.当tanα=-

时,sin

=

;当tanα=2时,sin

=

.所以答案为

.一题多解∵

=-

,∴

=-

.∴

=-

.∴

=-

.∴sin

=

.3.(2016四川,11,5分)cos2

-sin2

=

.答案

解析由二倍角公式易得cos2

-sin2

=cos

=

.4.(2016浙江,10,6分)已知2cos2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=

,b=

.答案

;1解析∵2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=

sin

+1,∴A=

,b=1.评析本题主要考查三角恒等变换,熟练利用两角和的正弦公式及二倍角公式是解题关键.5.(2017江苏,5,5分)若tan

=

,则tanα=

.答案

解析本题考查两角和的正切公式.因为tan

=

,所以tanα=tan

=

=

=

.6.(2019浙江,18,14分)设函数f(x)=sinx,x∈R.(1)已知θ∈[0,2π),函数f(x+θ)是偶函数,求θ的值;(2)求函数y=

+

的值域.解析本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识,同时考查运算求解能力.考查的数学

素养是逻辑推理及数学运算,考查了化归与转化思想.(1)因为f(x+θ)=sin(x+θ)是偶函数,所以,对任意实数x都有sin(x+θ)=sin(-x+θ),即sinxcosθ+cosxsinθ=-sinxcosθ+cosxsinθ,故2sinxcosθ=0,所以cosθ=0.又θ∈[0,2π),因此θ=

或

.(2)y=

+

=sin2

+sin2

=

+

=1-

=1-

cos

.因此,函数的值域是

.思路分析(1)根据偶函数的定义,知f(-x+θ)=f(x+θ)恒成立,利用三角恒等变换,得出cosθ=0,从

而求出θ的值.(2)将函数解析式化简为y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B的形式,利用三角函数的性质求值

域.7.(2019天津,15,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csinB=4asinC.(1)求cosB的值;(2)求sin

的值.解析本小题主要考查同角三角函数的基本关系,两角和的正弦公式,二倍角的正弦与余弦公

式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.体现了对数学运算这一核心素养

的重视.(1)在△ABC中,由正弦定理

=

,得bsinC=csinB,又由3csinB=4asinC,得3bsinC=4asinC,即3b=4a.又因为b+c=2a,得到b=

a,c=

a.由余弦定理可得cosB=

=

=-

.(2)由(1)可得sinB=

=

,从而sin2B=2sinBcosB=-

,cos2B=cos2B-sin2B=-

,故sin

=sin2Bcos

+cos2Bsin

=-

×

-

×

=-

.思路分析(1)由已知边角关系:3csinB=4asinC利用正弦定理,得三边比例关系,根据余弦定理

即可求出cosB.(2)由(1)利用同角三角函数基本关系式,求出sinB,再由二倍角公式求出sin2B、cos2B,代入两

角和的正弦公式即可求出sin

的值.易错警示角B为三角形内角,故sinB>0,由cosB求sinB仅有一正解.8.(2018江苏,16,14分)已知α,β为锐角,tanα=

,cos(α+β)=-

.(1)求cos2α的值;(2)求tan(α-β)的值.解析本小题主要考查同角三角函数的基本关系、两角差及二倍角的三角函数,考查运算求

解能力.(1)因为tanα=

,tanα=

,所以sinα=

cosα.因为sin2α+cos2α=1,所以cos2α=

,所以cos2α=2cos2α-1=-

.(2)因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π).又因为cos(α+β)=-

,所以sin(α+β)=

=

,因此tan(α+β)=-2.因为tanα=

,所以tan2α=

=-

.因此tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]=

=-

.9.(2016江苏,15,14分)在△ABC中,AC=6,cosB=

,C=

.(1)求AB的长;(2)求cos

的值.解析(1)因为cosB=

,0<B<π,所以sinB=

=

=

.由正弦定理知

=

,所以AB=

=

=5

.(2)在△ABC中,A+B+C=π,所以A=π-(B+C),于是cosA=-cos(B+C)=-cos

=-cosBcos

+sinB·sin

,又cosB=

,sinB=

,故cosA=-

×

+

×

=-

.因为0<A<π,所以sinA=

=

.因此,cos

=cosAcos

+sinAsin

=-

×

+

×

=

.考点三角函数式的求值与化简C组

教师专用题组1.(2014课标Ⅰ,8,5分)设α∈

,β∈

,且tanα=

,则

()A.3α-β=

B.3α+β=

C.2α-β=

D.2α+β=

答案

C由tanα=

得

=

,即sinαcosβ=cosα+sinβcosα,所以sin(α-β)=cosα,又cosα=sin

,所以sin(α-β)=sin

,又因为α∈

,β∈

,所以-

<α-β<

,0<

-α<

,因此α-β=

-α,所以2α-β=

,故选C.思路分析在已知等式中化切为弦,整理后得到sin(α-β)=cosα,由诱导公式cosα=sin

得sin(α-β)=sin

,利用α,β的范围确定α-β与

-α的范围,进而可得α与β的关系.2.(2014课标Ⅱ,14,5分)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)的最大值为

.答案1解析

f(x)=sin[(x+φ)+φ]-2sinφcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ+cos(x+φ)sinφ-2sinφcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ-sinφcos(x+φ)=sin(x+φ-φ)=sinx,∴f(x)的最大值为1.思路分析利用拼凑法把x+2φ转化为(x+φ)+φ.从而利用两角和的正弦公式将sin[(x+φ)+φ]展

开,进而对f(x)的解析式进行整理化简,最后将函数f(x)的解析式化成只含一个三角函数名称的

形式,由此即可求出f(x)的最大值.知识拓展常见角的拆分与组合:(1)将一个角拆分成两个角的和或差,如:2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β),α=(α+β)-β=(α-β)+β,α=

-

=

-

等;(2)利用互余或互补关系拼角,如:

+

=π,

+

=

等;(3)将非特殊角转化为特殊角的和或差,如:75°=45°+30°;105°=60°+45°,15°=45°-30°等.3.(2013课标Ⅱ,15,5分)设θ为第二象限角,若tan

=

,则sinθ+cosθ=

.答案-

解析

tanθ=tan

=

=-

,∴sinθ=-

cosθ,将其代入sin2θ+cos2θ=1得

cos2θ=1,∴cos2θ=

,又易知cosθ<0,∴cosθ=-

,∴sinθ=

,故sinθ+cosθ=-

.思路分析

θ=

-

,利用两角差的正切公式求得tanθ的值,由tanθ=

,sin2θ+cos2θ=1及θ所属的象限求得sinθ与cosθ的值,从而求出sinθ+cosθ.技巧点拨求值、化简是解三角函数问题的基础,在求值与化简时,常利用sin2α+cos2α=1实现

角α的正弦、余弦的互化,利用

=tanα实现角α的弦切互化.4.(2013课标Ⅰ,15,5分)设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ=

.答案-

解析由辅助角公式得f(x)=

=

sin(x-φ),其中sinφ=

,cosφ=

,由x=θ时,f(x)取得最大值,得sin(θ-φ)=1,∴θ-φ=2kπ+

,k∈Z,即θ=φ+

+2kπ,∴cosθ=cos

=-sin

φ=-

.思路分析由辅助角公式得f(x)=

sin(x-φ).当x=θ时,f(x)取最大值,故有θ-φ=2kπ+

,k∈Z,从而求得θ值,利用诱导公式知cosθ=-sinφ,进而可得cosθ的值.考点三角函数的求值与化简三年模拟A组2017—2019年高考模拟·考点基础题组1.(2019河南安阳二模,7)已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴非负半轴重合,终边经过点(-4,

3),则sin2α-cos2α=

()A.-

B.-

C.-

D.

答案

B∵角α的顶点在坐标原点O,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(-4,3),∴x=-4,y=3,r=|OP|=5,∴sinα=

,cosα=-

,∴sin2α-cos2α=2sinαcosα-1+2sin2α=2×

×

-1+2×

=-

.故选B.2.(2019陕西榆林三模,5)已知tan

=-2,则tan

=

()A.-

B.

C.-3

D.3答案

A∵tan

=-2,则tan

=tan

=

=

=-

,故选A.3.(2018辽宁沈阳一模,6)已知tanθ=2,则

+sin2θ的值为

()A.

B.

C.

D.

答案

C∵tanθ=2,∴

+sin2θ=1+

+

=1+

+

=

+

=

,故选C.4.(2017陕西渭南一模,7)已知

=(cos2x,-1),

=(1,sin2x+

sin2x),x∈R,若f(x)=

·

,则函数f(x)的最小正周期为

()A.

B.πC.2πD.4π答案

B

=(cos2x,-1),

=(1,sin2x+

sin2x),∴f(x)=

·

=cos2x-sin2x-

sin2x=cos2x-

sin2x=2cos

.∴函数f(x)的最小正周期T=

=π,故选B.5.(2019安徽十校联考,5)已知α为锐角,且7sinα=2cos2α,则sin

=

()A.

B.

C.

D.

答案

A由7sinα=2cos2α得7sinα=2(1-2sin2α),即4sin2α+7sinα-2=0,解得sinα=-2(舍去)或sin

α=

,又由α为锐角,可得cosα=

,∴sin

=

sinα+

cosα=

.6.(2018内蒙古包头一模,14)若cos

=

,则cos

=

.答案-

解析∵cos

=

,∴cos

=cos

=2cos2

-1=2×

-1=-

.一、选择题(每小题5分,共25分)B组2017—2019年高考模拟·专题综合题组时间:15分钟分值:35分1.(2019黑龙江哈尔滨三中期中,8)若α,β∈

,且sinα=

,sin(α-β)=-

,则sinβ=

()A.

B.

C.

D.

答案

B

α,β∈

,且sinα=

,可得cosα=-

=-

,又sin(α-β)=-

,可得sinαcosβ-cosαsinβ=-

,可得

cosβ+

sinβ=-

,即2cosβ+sinβ=-

,又sin2β+cos2β=1,解得sinβ=

.故选B.2.(2018西北工业大学附属中学模拟,8)若sin

=

,则sin

的值为

()A.

B.-

C.

D.-

答案

D∵sin

=-sin

=

,∴sin

=-

,∵sin

=sin

=cos

=cos

=1-2sin2

=1-2×

=-

.故选D.思路分析利用诱导公式求得sin

=-

,将sin

转化为1-2sin2

的形式,代入求值即可.3.(2017宁夏银川二模,7)关于函数f(x)=2cos2

+

sinx(x∈[0,π]),下列结论正确的是

()A.有最大值3,最小值-1

B.有最大值2,最小值-2C.有最大值3,最小值0

D.有最大值2,最小值0答案

C

f(x)=2cos2

+

sinx=cosx+

sinx+1=2sin

+1.∵x∈[0,π],∴x+

∈

,∴sin

∈

,∴f(x)∈[0,3].故选C.方法总结先利用三角恒等变换将f(x)的解析式化为f(x)=Asin(ωx+φ)+B的形式,然后类比y=sin

x的性质求解.4.(2019吉林实验中学期中,10)设α∈

,β∈

,且cosβ=tanα(1+sinβ),则

()A.α-β=

B.α+β=

C.2α-β=

D.2α+β=

答案

D由cosβ=tanα(1+sinβ),可得cosβ=

(1+sinβ),cosβcosα-sinαsinβ=sinα=cos

,即cos(α+β)=cos

,又α∈

,β∈

,则α+β∈(0,π),

-α∈