上海市静安区风华初级中学2021-2022学年中考数学最后一模试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.如图，在平面直角坐标系中，OP的圆心坐标是（3,a）（a>3）,半径为3,函数y=x的图象被（DP截得的弦AB

的长为40,则a的值是（）

B.3+正C.372D.3+V3

2.要使分式「一有意义，则x的取值应满足（）

x+2

A.x=-2B.x#2C.x>-2D.x#-2

3.如图，AD为△ABC的中线，点E为AC边的中点，连接DE,则下列结论中不一定成立的是（)

B.AB=2DEC.SACDE=-SAABCD.DE〃AB

4

4.a、b互为相反数，则下列成立的是)

A.ab=lB.a+b=0C.a=bD.—="l

b

5.抛物线y=x?+2x+3的对称轴是（

A.直线x=lB.直线x=-l

C.直线x=-2D.直线x=2

6.在-3,0,4,指这四个数中，最大的数是（）

A.-3C.4D.V6

7.某美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本相同的画册，第二次用240元在同一家商店买与上一次相

同的画册，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本.求第一次买了多少本画册？设第一次买了x本画册，列

方程正确的是（）

120240，240120

---------=4B.=4

Xx+20x+20X

120240=4240120

D.=4

Xx-2020X

8.如图，AB是定长线段，圆心O是AB的中点，AE、BF为切线，E、F为切点，满足AE=BF,在）上取动点G,

国点G作切线交AE、BF的延长线于点D、C,当点G运动时,设AD=y,BC=x,贝Uy与x所满足的函数关系式为（）

A.正比例函数y=kx（k为常数，厚0,x>0）

B.一次函数丫=1«^^（k,b为常数，kb邦，x>0）

C.反比例函数y=&（k为常数，片0,x>0）

x

D.二次函数y=ax?+bx+c（a,b,c为常数，a#）,x>0）

1-2x<3

9.不等式组x+1的正整数解的个数是（）

------<2

I2

A.5B.4C.3D.2

10.如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB/7CD,E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上）,

设NBAE=a,ZDCE=p.下列各式：①a+p,②a-0,③fJ-a,④360。-a-gNAEC的度数可能是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

11.如图，△ABC中，AB=4,BC=6,ZB=60°,将AABC沿射线BC的方向平移，得到△再将A绕

点A，逆时针旋转一定角度后，点B，恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（）

A.4,30°B.2,60°C.1,30°D.3,60°

12.一、单选题

点尸(2,-1)关于原点对称的点P的坐标是()

A.(-2,1)B.(-2,-1)C.(-1,2)D.(1,-2)

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13.如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形O43C是正方形，点C(0,4),。是。4中点，将AC。。以C为旋转

中心逆时针旋转90。后，再将得到的三角形平移，使点C与点。重合，写出此时点。的对应点的坐标：

14.如图，△ABC中，AD是中线，BC=8,ZB=ZDAC,则线段AC的长为

is.比较大小：4逐5a.(填“<"，”=“，”>")

16.若正多边形的一个内角等于140。，则这个正多边形的边数是.

17.如图，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点E是BC边上一点，连接AE,把NB沿AE折叠，使点B落在点B'处,

当ACEB'为直角三角形时，BE的长为.

18.如图所示，在△ABC中,NC=90o,NCA8=50。.按以下步骤作图:①以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧,分别交

ABAC于点E,尸;②分别以点E,F为圆心，大于；EF的长为半径画弧,两弧相交于点G;③作射线AG交BC边于点D.则

ZADC的度数为.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）如图，点D为。。上一点，点C在直径BA的延长线上，且NCDA=NCBD.判断直线CD和。O的位置

关系，并说明理由.过点B作。O的切线BE交直线CD于点E,若AC=2,。。的半径是3,求BE的长.

20.（6分）如图，已知。O的直径AB=10,弦AC=6,NBAC的平分线交。O于点D,过点D作DE_LAC交AC的

21.（6分）如图，矩形ABCD绕点C顺时针旋转90。后得到矩形CEFG,连接DG交EF于H,连接AF交DG于M；

（1）求证：AM=FM；

22.（8分）列方程解应用题：某景区一景点要限期完成，甲工程队单独做可提前一天完成，乙工程队独做要误期6天,

现由两工程队合做4天后，余下的由乙工程队独做，正好如期完成，则工程期限为多少天？

23.（8分）计算：|百-1|+（-1）2018-tan60°

24.（10分）正方形ABCD的边长为3,点E,F分别在射线DC,DA上运动，且DE=DF.连接BF,作EH_LBF所

在直线于点H,连接CH.

（2）如图2,当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理

由；

（3）如图3,当点E,F分别在射线DC,DA上运动时，连接DH,过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K,

连接CK,请直接写出线段CK长的最大值.

25.（10分）在“双十二”期间，A3两个超市开展促销活动，活动方式如下：

A超市：购物金额打9折后，若超过2000元再优惠300元；

B超市：购物金额打8折.

某学校计划购买某品牌的篮球做奖品，该品牌的篮球在A6两个超市的标价相同，根据商场的活动方式：

（1）若一次性付款4200元购买这种篮球，则在3商场购买的数量比在A商场购买的数量多5个，请求出这种篮球的

标价；

（2）学校计划购买100个篮球，请你设计一个购买方案，使所需的费用最少.（直接写出方案）

26.（12分）五一期间，小红到郊野公园游玩，在景点P处测得景点B位于南偏东45。方向，然后沿北偏东37。方向走

200m米到达景点A,此时测得景点B正好位于景点A的正南方向，求景点A与景点B之间的距离.（结果保留整数）

参考数据：sin37M.60,cos37°=0.80,tan370~0.75

北/

士（

B

27.（12分）某经销商从市场得知如下信息：

A品牌手表B品牌手表

进价（元/块）700100

售价（元/块）900160

他计划用4万元资金一次性购进这两种品牌手表共100块，设该经销商购进A品牌手表x块，这两种品牌手表全部销

售完后获得利润为y元.试写出y与x之间的函数关系式；若要求全部销售完后获得的利润不少于1.26万元，该经销

商有哪几种进货方案；选择哪种进货方案，该经销商可获利最大；最大利润是多少元.

参考答案

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1、B

【解析】

试题解析：作PC_Lx轴于C,交AB于D,作PE_LAB于E,连结PB,如图，

/\0C

,.,(3P的圆心坐标是(3,a),

/.OC=3,PC=a,

把x=3代入y=x得y=3,

；.D点坐标为(3,3),

，CD=3,

.•.△OCD为等腰直角三角形，

.•.△PED也为等腰直角三角形，

VPE±AB,

1111

・・AE=BE=—AB=—x4y/2=2y/2，

在RtAPBE中，PB=3,

•\PE=W(20>=1，

--.PD=V2PE=V2»

a=3+->/2.

故选B.

考点：1.垂径定理；2.一次函数图象上点的坐标特征；3.勾股定理.

2、D

【解析】

试题分析：•.•分式」一有意义，•••X+1H0,.…羊-1,即x的取值应满足："-1.故选D.

x+2

考点：分式有意义的条件.

3、A

【解析】

根据三角形中位线定理判断即可.

【详解】

TAD为△ABC的中线，点E为AC边的中点，

11

/.DC=-BC,DE=-AB,

22

VBC不一定等于AB,

...DC不一定等于DE,A不一定成立；

，AB=2DE,B一定成立；

SACDE=-SAABC,C一定成立；

4

DE/7AB,D一定成立；

故选A.

【点睛】

本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键.

4、B

【解析】

依据相反数的概念及性质即可得.

【详解】

因为a、b互为相反数，

所以a+b=L

故选B.

【点睛】

此题主要考查相反数的概念及性质.相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，1的相反数是1.

5、B

【解析】

b

根据抛物线的对称轴公式：x=-=计算即可.

2a

【详解】

2

解：抛物线y=x?+2x+3的对称轴是直线％=-；；；—=-1

2x1

故选B.

【点睛】

此题考查的是求抛物线的对称轴，掌握抛物线的对称轴公式是解决此题的关键.

6、C

【解析】

试题分析：根据实数的大小比较法则，正数大于0,0大于负数，两个负数相比，绝对值大的反而小.因此，

在-3,0,I,"这四个数中，-3V0CnVI,最大的数是1.故选C.

7、A

【解析】

分析：由设第一次买了x本资料，则设第二次买了(x+20)本资料，由等量关系：第二次比第一次每本优惠4元，即

可得到方程.

详解：设他上月买了x本笔记本，则这次买了(x+20)本，

根据题意得：------------=4.

xx+20

故选A.

点睛：本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程解答即

可.

8、C

【解析】

延长AD,BC交于点Q,连接OE,OF,OD,OC,OQ,由AE与BF为圆的切线，利用切线的性质得到AE与EO

垂直，BF与OF垂直，由AE=BF,OE=OF,利用HL得到直角三角形AOE与直角BOF全等，利用全等三角形的对

应角相等得到NA=NB,利用等角对等边可得出三角形QAB为等腰三角形，由O为底边AB的中点，利用三线合一

得到QO垂直于AB,得到一对直角相等，再由NFQO与NOQB为公共角，利用两对对应角相等的两三角形相似得到

三角形FQO与三角形OQB相似，同理得到三角形EQO与三角形OAQ相似，由相似三角形的对应角相等得到

ZQOE=ZQOF=ZA=ZB,再由切线长定理得到OD与OC分别为NEOG与NFOG的平分线，得到NDOC为NEOF

的一半，即NDOC=NA=NB,XZGCO=ZFCO,得到三角形DOC与三角形OBC相似，同理三角形DOC与三角

形DAO相似，进而确定出三角形OBC与三角形DAO相似，由相似得比例，将AD=x,BC=y代入，并将AO与OB

换为AB的一半，可得出x与y的乘积为定值，即y与x成反比例函数，即可得到正确的选项.

【详解】

延长AD,BC交于点Q,连接OE,OF,OD,OC,OQ,

VAE,BF为圆。的切线，

AOE1AE,OFJ_FB,

:.ZAEO=ZBFO=90°,

在RtAAEO和RtABFO中,

AE=BF

••{

.OE=OF'

/.RtAAEO^RtABFO(HL),

二NA=NB,

/.△QAB为等腰三角形，

又为AB的中点，即AO=BO,

.•.QOJ_AB,

/.ZQOB=ZQFO=90o,

又•../OQF=NBQO,

/.△QOF^AQBO,

二ZB=ZQOF,

同理可以得到NA=NQOE,

/.ZQOF=ZQOE,

根据切线长定理得：OD平分NEOG,OC平分NGOF,

/.ZDOC=-NEOF=NA=NB,

2

XVZGCO=ZFCO,

/.△DOC^AOBC,

同理可以得到△DOCs^DAO,

/.△DAO^AOBC,

.ADAO

••-9

OBBC

/.AD»BC=AO»OB=-AB2,即xy」AB?为定值，

44

Iz-

设卜=—AB"得到y=一,

4x

则y与x满足的函数关系式为反比例函数y=人（k为常数，导0,x>0）.

x

故选C.

【点睛】

本题属于圆的综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，切线长定理，直角三角形全等的判定与性质，反比

例函数的性质，以及等腰三角形的性质，做此题是注意灵活运用所学知识.

9、C

【解析】

先解不等式组得到-1<XW3,再找出此范围内的正整数.

【详解】

解不等式l-2x<3,得：x>-l,

X+]

解不等式:一<2,得：XS3,

2

则不等式组的解集为-1VXW3,

所以不等式组的正整数解有1、2、3这3个，

故选C.

【点睛】

本题考查了一元一次不等式组的整数解，解题的关键是正确得出一元一次不等式组的解集.

10、D

【解析】

根据E点有4中情况，分四种情况讨论分别画出图形，根据平行线的性质与三角形外角定理求解.

【详解】

E点有4中情况，分四种情况讨论如下：

由AB/7CD,可得NAOC=NDCE曰

VZAOC=ZBAEl+ZAEiC,

:.ZAEiC=p-a

过点E2作AB的平行线，由AB〃CD,

可得Nl=NBAE2=a,N2=NDCE2=0

:.ZAE2C=a+p

由AB/7CD,可得NBOE3=NDCE3=0

VZBAE3=ZBOE3+ZAE3C,

:.NAE3c=af

由AB/7CD,可得

O

ZBAE4+ZAE4C+ZDCE4=360,

ZAE4C=3600-a-p

.♦.NAEC的度数可能是①a+0,②a-{J,(3)p-a,@3600-a-p,故选D.

【点睛】

此题主要考查平行线的性质与外角定理，解题的关键是根据题意分情况讨论.

11、B

【解析】

试题分析：：NB=60。，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到再将A绕点A，逆时针旋转一定角度

后，点B，恰好与点C重合，

/.ZA,B,C=60°,AB=AB,=A,C=4,

...△A，BC是等边三角形，

.•.B，C=4,NBWC=60。，

.•.BB'=6-4=2,

.•.平移的距离和旋转角的度数分别为：2,60。

故选B.

考点：1、平移的性质；2、旋转的性质；3、等边三角形的判定

12、A

【解析】

根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”解答.

【详解】

解：点P(2,-1)关于原点对称的点的坐标是(-2,1).

故选A.

【点睛】

本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵

坐标都互为相反数.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13、（4,2）.

【解析】

利用图象旋转和平移可以得到结果.

【详解】

解：•.•△Q50绕点C逆时针旋转90。，得到AC5ZT,

贝!）BD'=OD=2,

•••点。坐标为（4,6）；

当将点C与点。重合时，点C向下平移4个单位，得到AOA。”,

•••点。向下平移4个单位.故点。“坐标为（4,2）,

故答案为（4,2）.

【点睛】

平移和旋转：平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形

的平移运动，简称平移.

定义在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转.这个定点叫做旋转中心，转

动的角度叫做旋转角.

14、472

【解析】

已知BC=8,AD是中线，可得CD=4,在ACBA和ACAD中，由NB=NDAC,ZC=ZC,可判

CBA-ACAD,根据相似三角形的性质可得=，即可得AC2=CD・BC=4X8=32,解得

AC=40.

15、<

【解析】

先比较它们的平方，进而可比较4指与5"的大小.

【详解】

(475)2=80,(54)2=100,

V80<100,

,*•4-^5<5^4•

故答案为：<.

【点睛】

本题考查了实数的大小比较，带二次根号的实数，在比较它们的大小时，通常先比较它们的平方的大小.

16、1

【解析】

试题分析：此题主要考查了多边形的外角与内角，做此类题目，首先求出正多边形的外角度数，再利用外角和定理求

出求边数.首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数.

•.•正多边形的一个内角是140°,

它的外角是:180°-140°=40°,

360°v40°=l.

故答案为1.

考点：多边形内角与外角.

17、1或3.

2

【解析】

当△CEB，为直角三角形时，有两种情况：

①当点B，落在矩形内部时，如答图1所示.

连结AC,先利用勾股定理计算出AC=5,根据折叠的性质得NAB，E=NB=90。，而当△CEB，为直角三角形时，只能得

到NEB，C=90。,所以点A、B，、C共线，即NB沿AE折叠,使点B落在对角线AC上的点B，处,则EB=EB\AB=AB,=E

可计算出CB，=2,设BE=x,贝！|EB，=x,CE=4-x,然后在RSCEB，中运用勾股定理可计算出x.

②当点B，落在AD边上时，如答图2所示.此时ABEB，为正方形.

【详解】

当△CEB，为直角三角形时，有两种情况:

B'D

答图1答图2

①当点B，落在矩形内部时，如答图1所示.

连结AC,

在RtAABC中，AB=1,BC=4,

.".AC=^42+32=5,

；NB沿AE折叠，使点B落在点B，处，

:.NAB'E=NB=90°,

当△CEB，为直角三角形时，只能得到NEB，C=90。，

.,.点A、B\C共线，即NB沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B，处,

，EB=EB，，AB=AB，=1,

.••CB，=5-1=2,

设BE=x,则EB'=x,CE=4-x,

在RtACEB'中，

VEB,2+CB,2=CE2,

3

x2+22=(4-x)2,解得x=一，

2

.3

.*.BE=-；

2

②当点B，落在AD边上时，如答图2所示.

此时ABEB，为正方形，/.BE=AB=1.

3

综上所述，BE的长为二或1.

2

3

故答案为：彳或1.

2

18、65°

【解析】

根据已知条件中的作图步骤知，AG是NCAB的平分线，根据角平分线的性质解答即可.

【详解】

根据已知条件中的作图步骤知，AG是NCAB的平分线，VZCAB=50°,

.,,ZCAD=25°；

在△ADC中，ZC=90°,ZCAD=25°,

.•.NADC=65。（直角三角形中的两个锐角互余）；

故答案是：65°.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、解：（1）直线CD和。O的位置关系是相切，理由见解析

（2）BE=1.

【解析】

试题分析：（1）连接OD,可知由直径所对的圆周角是直角可得NDAB+NDBA=90。，再由NCDA=NCBD可得

ZCDA+ZADO=90°,从而得NCDO=90。，根据切线的判定即可得出；

（2）由已知利用勾股定理可求得DC的长，根据切线长定理有DE=EB,根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可.

试题解析：（1）直线CD和。O的位置关系是相切，

理由是：连接OD,

TAB是OO的直径，

，ZADB=90°,

.•.ZDAB+ZDBA=90°,

VZCDA=ZCBD,

/.ZDAB+ZCDA=90°,

VOD=OA,

:.ZDAB=ZADO,

.•.ZCDA+ZADO=90°,

即OD±CE,

二直线CD是。O的切线，

即直线CD和。O的位置关系是相切；

（2）VAC=2,。。的半径是3,

.,.OC=2+3=5,OD=3,

在RtACDO中，由勾股定理得：CD=4,

：CE切（DO于D,EB切。。于B,

.*.DE=EB,ZCBE=90°,

设DE=EB=x,

在RtACBE中，由勾股定理得：CE2=BE2+BC2,

贝1j(4+x)2=x2+(5+3)2,

解得：x=L

即BE=1.

考点：1、切线的判定与性质；2、切线长定理；3、勾股定理；4、圆周角定理

20、⑴详见解析；（2）4.

【解析】

试题分析：（1）连结OD,由AD平分NBACQA=OD,可证得NODA=NDAE,由平行线的性质可得OD〃AE,再由

DE_LAC即可得OEJLDE,即DE是。O的切线；（2）过点。作OFJLAC于点F,由垂径定理可得AF=CF=3,再由

勾股定理求得OF=4,再判定四边形OFED是矩形，即可得DE=OF=4.

试题解析：

(第23题图)

(1)连结OD,

VAD平分NBAC,

.•.NDAE=NDAB,

VOA=OD,

.*.ZODA=ZDAO,

.\ZODA=ZDAE,

，OD〃AE,

VDEXAC

AOEIDE

.,.DE是。O的切线

(2)过点O作OF_LAC于点F,

，AF=CF=3,

,OF=^ACf-AF2=752-32=4，

VZOFE=ZDEF=ZODE=90°,

二四边形OFED是矩形，

/.DE=OF=4.

考点：切线的判定；垂径定理；勾股定理；矩形的判定及性质.

21、(1)见解析；(2)见解析.

【解析】

(1)由旋转性质可知：AD=FG,DC=CG,可得NCGD=45。，可求NFGH=NFHG=45。，则HF=FG=AD,所以可证

AADM^AMHF,结论可得.

(2)作FNJLDG垂足为N,且MF=FG,可得HN=GN,且DM=MH,可证2MN=DG,由第一问可得2MF=AF,由

MN

cosa=cosZFMG=------，代入可证结论成立

MF

【详解】

(1)由旋转性质可知：

CD=CG且NDCG=90。，

二NDGC=45。从而NDGF=45。，

,:NEFG=90。，

.*.HF=FG=AD

又由旋转可知，AD/7EF,

:.ZDAM=ZHFM,

又：NDMA=NHMF,

/.△ADM^AFHM

/.AM=FM

(2)作FN1.DG垂足为N

VAADM^AMFH

1

.*.DM=MH,AM=MF=-AF

2

VFH=FG,FN±HG

:.HN=NG

VDG=DM+HM+HN+NG=2(MH+HN)

/.MN=-DG

2

MN

VcosZFMG=——

MF

2MNDG

...cosNAMD=

IMF~AF

:.空3

AF

【点睛】

本题考查旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定，三角函数，关键是构造直角三角形.

22、15天

【解析】

试题分析：首先设规定的工期是x天，则甲工程队单独做需（x-D天，乙工程队单独做需（x+6）天，根据题意可得

等量关系：乙工程队干x天的工作量+甲工程队干4天的工作量=1,根据等量关系列出方程，解方程即可.

试题解析：设工程期限为x天.

Y4

根据题意得，--+—=1

x+6x-1

解得：x=15.

经检验x=15是原分式方程的解.

答：工程期限为15天.

23、1

【解析】

原式利用绝对值的代数意义，乘方的意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值.

【详解】

173-1|+(-1)2,18-tan610

=73-1+1-6

=1.

【点睛】

本题考查了实数的运算，涉及了绝对值化简、特殊角的三角函数值，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.

24、(1)CH=AB.;(2)成立，证明见解析；(3)3夜+3

【解析】

(D首先根据全等三角形判定的方法，判断出△ABFgACBE,即可判断出N1=N2；然后根据EHLBF,NBCE=90。,

可得C、H两点都在以BE为直径的圆上，判断出N4=NHBC,即可判断出CH=BC,最后根据AB=BC,判断出CH=AB

即可.

(2)首先根据全等三角形判定的方法，判断出△ABF且aCBE,即可判断出N1=N2；然后根据EHJ_BF,NBCE=90。,

可得C、H两点都在以BE为直径的圆上，判断出N4=NHBC,即可判断出CH=BC,最后根据AB=BC,判断出CH=AB

即可.

(3)首先根据三角形三边的关系，可得CKVAC+AK,据此判断出当C、A、K三点共线时，CK的长最大；然后根

据全等三角形判定的方法，判断出ADFKgaDEH,即可判断出DK=DH,再根据全等三角形判定的方法，判断出

ADAK^ADCH,即可判断出AK=CH=AB；最后根据CK=AC+AK=AC+AB,求出线段CK长的最大值是多少即可.

【详解】

解：(1)如图1,连接BE,

AB=BC=CD=AD,NA=NBCD=NABC=90°,

•.•点E是DC的中点，DE=EC,

.••点F是AD的中点，

，AF=FD,

/.EC=AF,

在△ABF^HACBE中，

AB=CB

<NA=NBCE

AF^CE

/.△ABF^ACBE,

AZ1=Z2,

VEH±BF,ZBCE=90°,

AC,H两点都在以BE为直径的圆上，

:.N3=N2,

，N1=N3,

VZ3+Z4=90°,Zl+ZHBC=90°,

.•.N4=NHBC,

.•.CH=BC,

XVAB=BC,

/.CH=AB.

(2)当点E在DC边上且不是DC的中点时，(1)中的结论CH=AB仍然成立.

如图2,连接BE,

图2

在正方形ABCD中，

AB=BC=CD=AD,NA=NBCD=NABC=90。,

VAD=CD,DE=DF,

.♦.AF=CE,

在AABF和ACBE中，

AB=CB

<NA=NBCE

AF=CE

/.△ABF^ACBE,

.,.Z1=Z2,

VEH±BF,ZBCE=90°,

AC.H两点都在以BE为直径的圆上，

,Z3=Z2,

.•.N1=N3,

VZ3+Z4=90°,Zl+ZHBC=90°,

，N4=NHBC,

.*.CH=BC,

XVAB=BC,

.,.CH=AB.

(3)如图3,

VCK<AC+AK,

.,.当C、A、K三点共线时，CK的长最大，

VZKDF+ZADH=90°,ZHDE+ZADH=90°,

J.ZKDF=ZHDE,

VZDEH+ZDFH=360°-ZADC-ZEHF=360o-90o-90o=180°,ZDFK+ZDFH=180°,

.,.ZDFK=ZDEH,

在4DFK和△DEH中，

NKDF=ZHDE

<DF=DE

ZDFK=NDEH

/.△DFK^ADEH,

.*.DK=DH,

在4口人长和小DCH中，

DA^DC

<NKDA=NHDC

DK=DH

/.△DAK^ADCH,

.\AK=CH

又：CH=AB,

，AK=CH=AB,

VAB=3,

.,.AK=3,AC=3夜，

:.CK=AC+AK=AC+AB=372+3，

即线段CK长的最大值是3&+3.

考点：四边形综合题.

25、(1)这种篮球的标价为每个50元；(2)见解析

【解析】

(1)设这种篮球的标价为每个x元，根据题意可知在B超市可买篮球幽个，在A超市可买篮球4200+300个,

0.8%0.9%

根据在B商场比在A商场多买5个列方程进行求解即可；

(2)分情况，单独在A超市买100个、单独在B超市买100个、两家超市共买100个进行讨论即可得.

【详解】

(1)设这种篮球的标价为每个x元,

42004200+300

依题意，得=5

0.8x0.9x

解得：x=50,

经检验：x=50是原方程的解，且符合题意，

答：这种篮球的标价为每个50元；

(2)购买100个篮球，最少的费用为3850元，

单独在A超市一次买100个，则需要费用：1