任意角与弧度制

5.1任意角与弧度制

军知识梳理

一、任意角的定义

1、定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所

成的图形。

2、角的表示：

(1)始边：射线的起始位置0A.\

(2)终边：射线的终止位置。8.Z

OA

(3)顶点：射线的端点。.

(4)记法：图中的角a可记为“角a”或“Na”或“ZAOB”.B

3、角的分类：A

(1)正角：按照逆时针方向旋转形成的角叫做正角；”

(2)负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；1

(3)零角：一条射线没有作任何旋转形成的角叫做零角

二、象限角与其集合表示,而)

1、终边相同的角：所有与角“终边相同的角，连同角。在内，可构成一个集合

S={0尸=c+h360»eZ},即任一与角a终边相同的角，都可以表示成角«与

整个周角的和.

2、象限角的定义：在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与X轴的

正半轴重合，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角。

3、象眼角的集合表示

象限角集合表示

第一象限角{x|h360<a<Jt-360+90,keZ]

第二象限角{x|h360+90<a<h360+180,keZ]

第三象限角{x|h360+180<a<h360+270/eZ}

第四象限角{x|h360+270<a<h360+360/eZ}

三、轴线角及其集合表示

1、轴线角的定义：在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与X轴的

正半轴重合，角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，可称为

轴线角。

2、轴线角的集合表示

角的终边位置集合表示

，轴的非负半轴加|力=入360。/ez}

加|夕=、x360°+180°,左ez}

X轴的非正半轴

X轴上例/?=&xl80°,Aez}

轴非负半轴加|夕="360。+90\keZ}

轴非正半轴例£=-360°-90°,k€z)

轴上物|/=Zxl8(T+90FeZ}

四、弧度制

1、角度制：规定周角的击为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制

叫做角度制.

2、弧度制的定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符

号rad表示，读作弧度，这种用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制.

3、弧度制与角度制的区别与联系

(1)单位不同,弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位；

区别

(2)定义不同.

联系不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值.

五、角度制与弧度制之间的互化

1、角度制与弧度制的换算

角度化弧度弧度化角度

360°=2兀rad2兀rad=360°

180°=7trad7trad=180°

兀(180、

10=T77；rad-0.01745rad1rad=［芦々57.30。

1oU

度数、焉=弧度数弧度数x(§))二度数

2、一些特殊角的度数与弧度数的对应表

度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°

7171乃乃2期3万5万3万

弧度2万

077~2TnT

六、弧长与扇形面积公式

设扇形的半径为，•，弧长为/,”(0<&<2")或"。为其圆心角，则弧长公式与扇形面

积公式如下：

类别/度量单位角度制弧度制

nrrr

扇形的弧长1f=----l=ar

180

nm2112

扇形的面积3=----Sc=-lfr=—aL

36022

F常考题型

娶题型精析

题型一对任意角的概念理解与应用

【例1］平面直角坐标系中，取角的顶点为坐标原点，角的始边为X轴的非负半

轴，下列说法正确的是()

A.第一象限角一定不是负角

B.三角形的内角是第一象限角或第二象限角

C.第二象限角必大于第一象限角

D.钝角的终边在第二象限

【答案】D

【解析】-330。角是第一象限角，且是负角，故A错误；

三角形的内角可能为90。，90。角不是第一象限角或第二象限角，故B

错误；

a=390。为第一象限角，£=120。为第二象限角，此时经夕，故C错误；

钝角是大于90。且小于180。的角，它的终边在第二象限，故D正确.故

选：D.

【变式M］下列命题中正确的是（）

A.第一象限角一定不是负角B.小于90。的角一定是锐角

C.钝角一定是第二象限的角D.终边相同的角一定相等

【答案】C

【解析】A：-271。角显然是第一象限角，但它是负角，本选项命题不正确；

B:锐角是小于90。的正角，所以本选项命题不正确；

C：钝角是大于90。小于180。的角，显然是第二象限的角，所以本选项命

题正确；

D:361。角和1。角显然是终边相同的角，但它们不相等，

所以本选项命题不正确，故选：C

【变式1-2］已知A=｛第二象限角｝,8=｛钝角｝,。=｛大于90。的角｝，那么A、

民。关系是（）

A.B=AC\CB.BUC=CC.Ac=CD,A=B=C

【答案】B

【解析】对A,如480在集合ADC里，但是并不是钝角，所以不在集合8里，所

以该选项错误;

对B,钝角大于90。，小于180。，故a=C,故选项B正确；

对C,如-210在第二象限，但是并不大于90，所以选项C错误；

对D,A=8=C错误.如-210在第二象限，但是并不在集合B,C中.故

选：B

【变式1-3］喜洋洋从家步行到学校，一般需要10分钟，则10分钟时间钟表的

分针走过的角度是（）

A.30°B.-30°C.60°D.-60°

【答案】D

【解析】因为分针为顺时针旋转，

所以10分钟时间钟表的分针走过的角度是一36吟0°=Y0。.故选：D.

O

【变式1-4］如图，圆。的圆周上一点尸以A为起点按逆时针方向旋转，lOmin转

一圈，24min之后0P从起始位置0A转过的角是（）

A.-864B.432C.504°D.864

【答案】D

【解析】因为点尸以A为起点按逆时针方向旋转，lOmin转一圈，

所以点尸逆时针方向旋转一分钟转的度数为第=36,

设24min之后OP从起始位置。A转过的角为36x24=864,故选：D.

题型二求终边相同的角

【例2］将一885化为。+人360小€乙&€［0,360））的形式是（）

A.-165+(-2)x360B195°+(-3)x360"C.195°+(-2)x360°

D.165°+(-3)x360°

【答案】B

【解析】由ee［0°,360°］知-885=195-108。=195"+(-3)*360°.故选：B.

【变式2-1］与2022。终边相同的角是()

A.-488°B.-148°C.142°D,222°

【答案】D

【解析】•••2022。=5x360。+222。,

.•.与2022。终边相同的角是222。.故选：D

【变式2-2］在直角坐标系中，若a与夕的终边互相垂直，那么a与6的关系式

为()

A.p=a+90°B.Q二a±90。

C.［i=a+90"依360。(ZWZ)D.4二&±90。+依360。(攵£Z)

【答案】D

【解析】与夕的终边互相垂直，.”=々±90。+依360。(MZ).故选：D.

【变式2-3］已知角。的终边与72()。角的终边关于了轴对称，求a.

【答案】。=360°,+依%eZ

【解析】易知300。角与720。角的终边关于了轴对称.

所以角a的终边与300。角的终边重合.

所以&=360。,+好%eZ.

【变式2-4】求与3900角终边相同的最小正角和最大负角，并指出3900角是第几

象限角.

【答案】最小正角为300”,最大负角为-60,3900角是第四象限角

【解析】v3900°=300°+10x360,

3900角是第四象限角，与3900角终边相同的角可以表示为

«=300+A:-360°（jteZ）,

当％=0时,a=300；当&=T时，a=-60；

，与3900角终边相同的最小正角为300。，最大负角为-60.

题型三确定已知角所在的象限

【例3】-2022。角是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第

四象限角

【答案】B

【解析】因为-2022。=-6、360。+138。，所以角-2022。和角138。是终边相同的角，

因为138。角是第二象限角，

所以-2022。角是第二象限角.故选：B.

【变式3-1］（多选）下列四个角为第二象限角的是（）

A.-200B.100C.220D.420

【答案】AB

【解析】对于A选项,-200=160-360,故-200为第二象限角；

对于B选项，100是第二象限角；

对于C选项，220是第三象限角；

对于D选项，420=60。+360,故420为第一象限角.故选：AB.

【变式3-2】已知角«=-19200，则角&是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第

四象限角

【答案】C

【解析】因为-1920=-6x360+240

所以-1920与240是同一象限角，

因为240是第三象限角，故c=7920为第三象限角.故选：C.

【变式3-3］若。=45。+"80（丘乃，则a的终边在（）

A.第二或第三象限B.第一或第三象限

C.第二或第四象限D.第三或第四象限

【答案】B【分析】分女为奇数和偶数讨论可得.

【解析】当人为奇数时，记Z=2〃+1”Z，则a=225+〃-360。（〃€刃，此时a为第

三象限角；

当:为偶数时,记—2〃,〃eZ,则£=45。+〃・360。（〃€4，

此时a为第一象限角.故选：B

题型四根据图形写出角的范围

【例4】已知。€国45。+-360。4a490。+-360。｝,则角a的终边落在的阴影部分

【解析】令4=。，得45"aW90。，则B选项中的阴影部分区域符合题意.故选：

B.

【答案】B

7T4

【解析】当％=2〃(〃eZ)时，2〃兀“<2/77T+-(/?eZ)，止匕时a的终边和Ogaq的

终边一样,

JI

当k=2n+l(nEZ)时，2〃兀+n<a<lrm+7t+—(〃£Z),

此时。的终边和山。<71+?的终边一样.故选：B.

【变式4-2】如图所示，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是

【答案】{a依360。-45°<a<^360°+120°,k&Z}

【解析】终边落在阴影部分第二象限最左边的角为入360+120^eZ,

终边落在阴影部分第四象限最左边的角为卜360-45,keZ.

所以终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是｛ak-360。-45。"女.360。

+120°,k&Z}.

故答案为：{服360。-450<a<A:-360o+120°,k^Z}

【变式4-3】如图所示，终边在阴影区域内(含边界)的角的集合为

【答案】{a|45+小1804a460+分180,〃eZ}

【解析】终边在直线。加上的角的集合为：

M={a故=45。+%•360。#eZ}u{a侬=225。+«•360。#eZ}

={。.=45。+2h180。/62}口„=45。+(24+1>180。,衣€2}

=|a=45°+n-180°,HeZj.

同理可得终边在直线ON上的角的集合为{如=60。+〃.18()。”2},

所以终边在阴影区域内(含边界)的角的集合为

{«|45°+/7-18()°<a<60o+M-180o,MeZ).

oo

故答案为：{a|45°+M-180<a<60+77-180°,/7ez}

题型五由已知角确定某角所在象限

【例5】若a是第四象限角，则90。-a是()

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第

四象限角

【答案】B

【解析】由题知，ae(-90+360-^,360-)1),keZ,

则9。-ae(90-360A:,180-360k),在第二象限，故选：B

【变式5-1］若a是第二象限角，则180。-a是第______象眼角.

【答案】一

【解析】若a是第二象限角,则h360+90<a<>360+180,keZ,

所以--•360-180°<-«<-*-360-90,keZ,

艮P*360<180-a<-Jt-3600+90°,keZ,

所以180。-a是第一象限角.

故答案为：一.

【变式5-2】已知a为第四象限角，则90+。为()

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第

四象限角

【答案】A

【解析】90+a表示将角a的终边逆时针旋转90后所得的角，

因为a为第四象限角，

所以9()+a为第一象限角.故选：A

【变式5-3】已知a是第四象限角，则270、a是第象限角.

A.—B.-C.三D.四

【答案】D

【解析】由题意知-90。+360M<a<360°M(Z£Z),则

-360ck<-a<-360°-+90°eZ),

270°-360°•k<270°-av360°-360°•k(keZ),

显然270、a是第四象限角.故选：D

题型六确定n分角和n倍角的象限

【例6】若角&是第一象限角，则言是()

A.第一象限角B.第二象限角

c.第一或第三象限角D.第二或第四象限角

【答案】C

【解析】因为&是第三象限角，所以h360<a<h360+90,JteZ,

所以hl80<与<-180+45°,keZ,

当女为偶数时，上是第一象限角，

当女为奇数时，券是第三象限角.故选：C.

【变式6-1］若a是第一象限的角，贝卜卷是()

A.第一象限角B.第四象限角

C.第二或第三象限角D.第二或第四象限角

【答案】D

【解析】由题意知，攵•360。<。<左・360。+90。,keZ,

aOL

贝心180°<微<h180°+45°，所以“180。-45°<-1<-&480°,keZ.

当k为偶数时，埸为第四象限角；当k为奇数时，4为第二象限角.

所以《是第二或第四象限角.故选：D.

【变式6-2】角a的终边属于第一象限，那么蓝的终边不可能属于的象限息)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象

限

【答案】D

【解析】：角a的终边在第一象限，

A2^<a<|+2^,kwZ,则竽华,kwZ,

当％=3〃(〃eZ)时，此时(的终边落在第一象限，

当左=3〃+1(〃/)时，此时多的终边落在第二象限，

当k=3〃+2（〃eZ）时，此时多的终边落在第三象限，

综上，角。的终边不可能落在第四象限，故选：D.

【变式6-3］已知a锐角，那么2a是（）

A.小于180。的正角B.第一象限角C.第二象限角D.第

一或二象限角

【答案】A

【解析】锐角，.•.0。々＜90。，.•.0。＜2。＜180。，故选：A.

【变式6-4】角。的终边在第二象限，则角2。的终边在_________.

【答案】第三、四象限或y轴非正半轴

【解析】。是第二象限角,.•.«.360°+90°＜。＜人360。+1809,k&Z,

2h360°+180°＜26＞＜2h360°+360°,keZ.

2。的终边的位置是第三或第四象限，）的非正半轴.

故答案为：第三、第四象限或V轴的非正半轴

题型七角度制与弧度制的概念

［例7］下列说法中，镯•吴的是（一…………--

A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位

B.1。的角是周角的得，imd的角题角的？

C.Irad的角比1。的角要大

D.用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关

【答案】D

【解析】根据角度和弧度的概念可知二者都是角的度量单位，

1°的角是周角的士，1，&/的角是周角的;，故A、B正确；

1md的角是（一）、57.30°>1。，故C正确；

兀

无论哪种角的度量方法，角的大小都与圆的半径无关,

只与角的始边和终边的位置有关，故D错误.故选：D

【变式7-1］下列叙述中，正确的是（）

A.1弧度是1度的圆心角所对的弧

B.1弧度是长度为半径的弧

C.1弓瓜度是1度的弧与1度的角的和

D.1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位

【答案】D

【解析】根据弧度的定义，在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度

角.故选：D.

【变式7-2］圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则（）

A.扇形的圆心角大小不变

B.扇形的圆心角增大到原来的2倍

C.扇形的圆心角增大到原来的4倍

D.不能确定

【答案】A

【解析】设圆心角的半径与弧长分别为,此时圆心角的弧度数为a=1

当圆心角的半径与弧长都扩大2倍后分别为2/、2/,

此时圆心角的弧度数为4=今々，故选：A.

【变式7-3］下列说法中，错误的是（）

A.半圆所对的圆心角是兀rad

B.周角的大小等于2兀

c.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径

D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度

【答案】D

【解析】由弧度制的定义可知:长度等于半径的弧所对的圆心角的大小是1弧度,

则长度等于半径的弦所对的圆心角的大小不是1弧度，

D的说法错误，很明显ABC的说法正确.

本题选择。选项.

题型八角度与弧度之间的互化

【例8】315。角的弧度数为()

A3兀口7兀c兀C5万

A•7B-TD-T

【答案】B

【解析】315。角对应的弧度数为普兀』,故选：B.

1O\/(4

【变式8-1］下列结论错误的是(

7力"

A.-150。化成弧度是一^radB.-飞-rad化成度是-600°

O

377

C.67。30,化成弧度是子radD.各ad化成度是15°

O

【答案】A

【解析】对于A,T50°=—150嗨+,A错误；

对于B,一岑=(-等卜子=-6()()。，B正确；

对于C,67。30・67.5、念=4,C正确；

1oUo

对于D,卷=泉幽=15。，D正确.故选：A

1212冗

【变式8-2】教室里的钟表慢了30分钟，在同学将它校正的过程中，时针需要旋

转多少弧度？（）

A--1-2RB,—12Cc.--6»D,-6

【答案】A

【解析】将钟表校正的过程中，需要顺时针旋转时针15,其大小为-15,

故时针需要旋转卡弧度，故选：A.

【变式8-3］已知a=1690.

（1）把a表示成2%万+〃的形式,其中ZeZ,米［0,2万）;

（2）求e,使。与a的终边相同，且2万）.

2547

a=84+—九；(2)0=---7i

【答案】（1）18'18

25

【解析】（1）a=1690°=4x360°+250°=8^+—.

18

25、25

(2)va=8^+—zr,］^0=­7r+2n7r(neZ)

1818t

由，万)可得-4万荒万+2〃万<-2%，解得一9〃<-野,

loJoJO

2547

vneZ,贝！］〃=一2,故夕=^■万-4%=一忑乃.

1O1O

题型九扇形的弧长、面积计算

【例9】一个扇形的半径为3,圆心角为a,且周长为8,则a=（）

AgB-C-D—

BCU

A.3-3-5-2

【答案】B

I2

【解析】设扇形的弧长为/,则/=8-3-3=2,则a=：=；故选：B.

【变式9-1】如图为某校数学兴趣小组用数学软件制作的“螺旋蚊香”图案，画法

如下：在水平直线/上取长度为1的线段A3,作一个等边三角形ABC,然后以

点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧，交线段CB的延长线于点D,再以点C

为圆心，CD为半径逆时针画圆弧，交线段AC的延长线于点E,以此类推，则

如图所示的“螺旋蚊香”图案的总长度为（）

C.24KD.10兀

【解析】扇形的半径为1,圆心角为券，所以4。的长4=^x1,

广容

同理可得之后的各段弧长分别为4=与x2,13,Z4=yx4,

/=—x5,Z=—x6,

53一63'

2冗

所以‘螺旋蚊香”图案的总长度/=才*（1+2+3+4+5+6）=14万.故选：B.

【变式9-2】已知扇形的圆心角为12。，面积为T则该扇形所在圆的半径为（）

A.1B.2C.73D.72

【答案】B

【解析】因扇形的圆心角为120,则此圆心角的弧度数是与，设圆的半径为广，

则由扇形面积公式得：,而厂＞。，解得/-2,

所以该扇形所在圆的半径为2.故选：B

【变式9-3】玉雕壁画是采用传统的手工雕刻工艺，加工生产成的玉雕工艺画.某

扇形玉雕壁画尺寸（单位：cm）如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积约为（）

160

A.1600cm2B.3200cm2C.3350cm2D.4800cm2

【答案】D

ar=80,［a=2,

由题图及弧长公式可得:砥/+勤二⑹,解得“=40.

设扇形C。。、扇形AOB的面积分别为s-S一

则该玉雕壁画的扇面面积S=S,-S2=^X160X（40+40）-1X80X40=

4800（cm2）,故选：D.

题型十扇形中的最值问题

【例10］已知扇形周长为40,当扇形的面积最大时，扇形的圆心角为（）

A.13B.|5C.3D.2

【答案】D

【解析】设扇形半径为J易得0<r<20,则由已知该扇形弧长为40-2r.

记扇形面积为S,贝S=Jr（40-2r）=r（20-r）<（r+2：f）=1Go.

当且仅当r=20-r,即r=10时取到最大值，

4。一2r20

此时记扇形的圆心角为。，则。=丝产=制=2，故选：D

【变式W-1］已知扇形。钻的半径为「，弧长为/,圆心角为a（0<a<2万）.

（1）若扇形。肥的面积为定值$，求扇形周长C的最小值及对应的圆心角夕的值;

（2）若扇形。山的周长为定值C，求扇形面积S的最大值及对应的圆心角a的值.

【答案】（1）a=2时C的最小值为4石；（2）a=2时S的最大值为三

1O

【解析】（1）由题设，"ar,又S=g=丁且C=/+2r,

C;■+2后22后=4君,当且仅当。=2时等号成

立，

.•“=2时C的最小值为4我.