中考数学二轮 圆的综合 专项培优含详细答案

中考数学二轮圆的综合专项培优含详细答案

一、圆的综合

1.如图，在0。中，AB为直径，0C_LA8,弦CD与。B交于点F,在A8的延长线上有点

E,且£F=ED.

（1）求证：DE是。。的切线；

（2）若tanA=1，探究线段A8和BE之间的数量关系，并证明；

（3）在（2）的条件下，若OF=1,求圆。的半径.

【答案】（1）答案见解析；（2）AB=3BE；（3）3.

【解析】

试题分析：（1）先判断出NOCF+NCFO=90。，再判断出NOCF=NOOF,即可得出结论；

（2）先判断出NBDE=NA,进而得出△EBD"△EDA,得出AE=2DE,DE=2BE,即可得出结

论；

3

（3）设8E=x，则DE=£F=2x,AB=3x,半径OD=-x,进而得出OE=l+2x,最后用勾股定理

2

即可得出结论.

试题解析：（1）证明：连结。D,如图.,•,EF=ED,二NEFD=NEDF.・•,NEFD=NCF。，

ZCFO=ZEDF.'：OC±OF,：.ZOCF+ZCFO=90°.；OC=OD,：.ZOCF=ZODF,

ZODC+ZEDF=9O°,即NODE=90。，ODrDE.,点。在0。上，，DE是0。的切线;

(2)线段A3、8E之间的数量关系为：AB=3BE.证明如下：

TAB为。。直径，ZADB=90°,：.ZADO=^BDE.'：OA=OD,Z.ADO=ZA,

DEBEBD

：.ZBDE=NA,而NBED=NDEA,二△EBD-△EDA,：.'：RtAABD

~AE~~DE~~\D

BD1DEBE\

中,tan>4=------=—

AD2~AE^~DE~2

AE=2DE,DE=2BE,：.AE=4BE,：.AB=3BE；

3

(3)设BE=x,则。E=EF=2x,A8=3x,半径OD=—x.；OF=1,OE=l+2x.

2

3,2人一

在RtAODE中，由勾股定理可得：（一x）2+（2x）2=（l+2x）2,x=-----(舍)或x=2,

2

圆。的半径为3.

点睛：本题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，锐角三角

函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△EBD”△EDA是解答本题的关键.

2.已知AB,CD都是。。的直径，连接DB,过点C的切线交DB的延长线于点E.

(1)如图1,求证：，AOD+2/E=180';

(2)如图2,过点A作AF_LEC交EC的延长线于点F,过点D作DG_LAB,垂足为点

G,求证：DG=CF；

⑶如图3,在⑵的条件下，当四=』时，在。0外取一点H,连接CH、DH分别交

OO于点M、N,且NHDE=NHCE,点P在HD的延长线上，连接P0并延长交CM于

点Q，若PD=11，DN=14,MQ=OB,求线段HM的长.

【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)86+7

【解析】

【分析】

(1)由ND+NE=90",可得2ND+2N£=180°,只要证明NAOD=2AD即可；

(2)如图2中，作。RJLAF于R.只要证明4A。的AOOG即可；

(3)如图3中，连接BC、OM,ON、CN,作8兀LCL于T,作NKLCH于K,设CH交DE

于W.解直角三角形分别求出KM,即可；

【详解】

(1)证明：如图1中，

■E

与CE相切于点C,

.-.OC1CE,

二NOCE=90°，

.•./D+"=90°，

2/D+2/E=180'，

•.•/AOD=/COB,40c=2",NAOD=2",

.•./AOD+2/E=180°.

（2）证明：如图2中，作ORJ_AF于R.

NOCF=々=/ORF=90，

四边形OCFR是矩形，

.-.AF//CD,CF=OR,

.•./A=/AOD,

在AAOR和NDDG中，

•.•/A=/AOD,NARO=/OGD=90°，OA=DO,

.-.△AORAODG.

OR=EXj,

EX3=CF，

（3）解：如图3中，连接BC、OM、ON、CN,作BT_LCL于T,作NK_LCH于K,设CH

交DE于W.

设DG=3m,则CF=3m,CE=4m,

NOCF=4=/BTE=90，

.-.AF//OC//BT,

•.OA=OB,

CT=CF=3m,

;.ET=m，

•：CD为直径，

/CBD=NCND=90=NCBE，

NE=90-NEBT=/CBT，

tanZ^E=tan/CBT,

,_B_T—_C_T

,ET-BT'

.BT_3m

一就

BT=gm（负根已经舍弃），

.Gmrz

..tanN^E-------=yJ3，

m

/./E=60。，

•.•/CWD=^HDE+^H,^HDE=^HCE,

=60，

/./MON=2/HCN=60°，

•.OM=ON,

.•.△OMN是等边三角形，

.-.MN=ON,

•.QM=OB=OM,

.♦./MOQ=/MQO,

NMOQ+/PON=180-/MON=120°,NMQO+—P=180,-NH=120°,

.•./ON=4,

.•.ON=NP=14+11=25,

...CD=2ON=50,MN=ON=25,

在Rt^CDN中，CN=VCD2-DN2=A/502-142=48，

CN48r-

在RSCHN中，tan/H=J=上=G，

HNHN

HN=16G，

在Rt^KNE中，KH=-HN=8>/3,NK=—HN=24,

22

在RSNMK中，MK=7MN2-NK2=7252-242=7>

HM=HK+MK=8A/3+7.

【点睛】

本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、平行线的性质、勾股定理、等边三角形的

判定和性质、锐角三角函数等知识，添加常用辅助线，构造全等三角形或直角三角形解题

的关键.

3.如图，CD为。。的直径，点8在。。上，连接8C、BD,过点8的切线AE与8的延长

线交于点4ZAEO=ZC,0E交8c于点F.

（1）求证：OEW8。；

2

（2）当。。的半径为5,sinNDBA=g时，求EF的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）EF的长为一

2

【解析】

试题分析：（1）连接0B,利用已知条件和切线的性质证明；

（2）根据锐角三角函数和相似三角形的性质，直接求解即可.

试题解析：（1）连接。B,「c。为。。的直径，ZCBD=ZCBO+ZOBD=90°.

.•AE是。。的切线，,ZABO=ZABD+ZOBD=90°,二ZABD^ZCBO.

OB,OC是。。的半径，.-.OB=OC.：.ZC=ZCBO.ZC=ZABD.

,,,NE=NC,；./E=/ARD./.OEWBD.

2BD2

（2）由（1）可得sinNC=NDBA=二，在RtA中,sinNC=而=《,OC=5,

BD="/CBD=NEBO=90。

-：NE=NC,△CBD-△EBO.

BDCD

~BO~~EO

--£0=f

,/OEWBD,CO=ODf

CF=FB.

OF==BD=2.

2

EF=0E-0F=4

2

4.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（A3）.

（1）用直尺和圆规作出所在圆的圆心°；（要求保留作图痕迹，不写作法）

⑵若A8的中点C到弦AB的距离为20机，AB=80m,求A8所在圆的半径•

【答案】⑴见解析；（2）50m

【解析】

分析：0）连结AC、BC,分别作AC和BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O,如

图1;

（2）连接OA,OC,OC交AB于D,如图2,根据垂径定理的推论，由C为AB的中点得

到OC_LAB,AD=BD=-AB=40,则CD=20,设。0的半径为r,在Rt«）AD

2

中利用勾股定理得到E=（r-20产+402,然后解方程即可.

详解：（1）如图1,

图1

点。为所求：

（2）连接0AOC,OC交AB于D,如图2,

图工.

为AB的中点，

0C1AB,

：.AD=BD=-AB=40,

2

设0。的半径为r,则。4=r,OD=OD—CD=r-必

在R/ACM中，•.•QA2=O2+A2

。£)£)

r2=(r-20)2+402,解得r=50,

即48所在圆的半径是50m.

点睛：本题考查了垂径定理及勾股定理的应用，在利用数学知识解决实际问题时，要善于

把实际问题与数学中的理论知识联系起来，能将生活中的问题抽象为数学问题.

5.如图所示，以R3ABC的直角边AB为直径作圆O,与斜边交于点D,E为BC边上的中

点，连接DE.

(1)求证：DE是O。的切线；

(2)，连接0E,AE,当NCAB为何值时，四边形AOED是平行四边形？并在此条件下求

sinzCAE的值.

【答案】⑴见解析;⑵巫.

10

【解析】

分析：(1)要证DE是。。的切线，必须证ED_LOD,即NEDB+NODB=90。

(2)要证AOED是平行四边形，则DEUAB,D为AC中点，又BD_LAC,所以△ABC为等

腰直角三角形，所以NCAB=45。，再由正弦的概念求解即可.

详解：(1)证明：连接0、D与B、D两点，

△BDC是RtA,且E为BC中点，

ZEDB=ZEBD.(2分)

又OD=OB且NEBD+ZDBO=90",

ZEDB+ZODB=90°.

DE是。。的切线.

(2)解：ZEDO=ZB=90°,

若要四边形AOED是平行四边形，则DEIIAB,D为AC中点,

又；BD_LAC,

…ABC为等腰直角三角形.

ZOAB=45°.

过E作EHXAC于H,

设BC=2k,贝ljEH="k,AE=J^k,

2

点睛：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心

和这点(即为半径)，再证垂直即可.

6.如图.在△ABC中，NC=90°,AC^BC,A8=30cm,点P在A8上，AP=10cm,点E从点P

出发沿线段PA以2cm/s的速度向点A运动，同时点F从点P出发沿线段PB以lcm/s的速

度向点8运动，点E到达点A后立刻以原速度沿线段A8向点B运动，在点E、F运动过程

中，以EF为边作正方形EFGH,使它与△ABC在线段A8的同侧，设点£、F运动的时间为t

(s)(0<f<20).

(1)当点“落在AC边上时，求t的值；

(2)设正方形EFG”与△A8C重叠部分的面积为5.①试求5关于t的函数表达式；②以

点C为圆心，为半径作。c,当OC与GH所在的直线相切时，求此时S的值.

2

9/？(0<2)<

7

【答案】(1)t=2s或10s；(2)(l)s=«--Z2+50?-50(2<Z<10)；②100cm2.

t2-4QMJ-400720)<t<

【解析】

试题分析：(1)如图1中，当0VK5时，由题意AE=EH=EF,即10-2t=3t,t=2；如图2

中，当5Vt<20时，AE=HE,2t-10=10-(2t-10)+t,t=10；

(2)分四种切线讨论a、如图3中，当。〈仁2时，重叠部分是正方形EFGH,S=(3t)

2=9巴b、如图4中，当2cts5时，重叠部分是五边形EFGMMc、如图5中，当5<t<

10时，重叠部分是五边形EFGMN.d、如图6中，当10<t<20时，重叠部分是正方形

EFGH.分别计算即可；

②分两种情形分别列出方程即可解决问题.

试题解析：解:(1)如图1中，当0<仁5时,由题意得：AE=EH=EF,即10-2t=3t,t=2

图1

如图2中,当5Vt<20时,AE=HE,2t-10=10-(2t-10)+t,t=W.

综上所述：t=2s或10s时，点H落在AC边上.

图2

(2)①如图3中，当0<仁2时，重叠部分是正方形EFGH,5=(3t)2=9t2

c

图3

如图4中，当2Vt45时，重叠部分是五边形斤GMM5=(3t)2--(5t-10)2=-

-t2+S0t-S0.

2

图4

如图5中，当5Vt<10时，重叠部分是五边形EFGMN,5=(20-t)2--(30-3t)2=-

7,

-F+50t-50.

2

图5

如图6中，当10Vt<20时，重叠部分是正方形EFGH,S=(20-t)^t2-40t+400.

c

]30

②如图7中，当0<t45时，-t+3t=15,解得：t=一，此时5=100<:w，当5<t<20时,

27

-t+20-t=15,解得：t=10,此时S=100.

2

综上所述：当。C与G/■/所在的直线相切时，求此时S的值为100cm2

点睛：本题考查了圆综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、切线的性质等知

识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意不

能漏解，属于中考压轴题.

7.已知：如图1,ZACG=90。，AC=2,点B为CG边上的一个动点，连接AB,将△ACB沿

AB边所在的直线翻折得到AADB,过点D作DFXCG于点F.

(1)当BC=2叵时，判断直线FD与以AB为直径的00的位置关系，并加以证明；

3

(2)如图2,点B在CG上向点C运动，直线FD与以AB为直径的00交于D、H两点，

连接AH,当NCAB=ZBAD=ZDAH时，求BC的长.

G.

【答案】(1)直线FD与以AB为直径的。0相切，理由见解析；⑵20一2.

【解析】

试题分析：(1)根据已知及切线的判定证明得，直线FD与以AB为直径的。0相切:

(2)根据圆内接四边形的性质及直角三角形的性质进行分析，从而求得BC的长.

试题解析：

(1)判断：直线FD与以AB为直径的O0相切.

证明：如图，

作以AB为直径的

△ADB是将△ACB沿AB边所在的直线翻折得到的，

「・△ADBM△ACB,

ZADB=ZACB=90°.

TO为AB的中点，连接DO,

OD=OB=—AB,

2

「•点D在。0上.

在RtZkACB中，BC二冬些AC=2；

_3

/.tanzCAB=—=^,

AC3

/.ZCAB=ZBAD=30°,

/.ZABC=ZABD=60°,

「.△BOD是等边三角形.

ZBOD=60°.

ZABC=ZBOD,

・•・FCIIDO.

•/DF±CG,

「・ZODF=ZBFD=90°,

OD±FD,

FD为。。的切线.

(2)延长AD交CG于点E,

同(1)中的方法，可证点C在。。上；

四边形ADBC是圆内接四边形.

ZFBD=Z1+Z2.

同理NFDB=Z2+Z3.

Z1=Z2=Z3,

ZFBD=ZFDB,

又NDFB=90°.

EC=AC=2.

设BC=x,则BD=BC=x,

ZEDB=90",

EB=

•/EB+BC=EC,

.5/^X+X=2,

解得x=2-2,

BC=2&-2.

8.解决问题：

(1)如图①，半径为4的外有一点P,且P0=7,点A在。。上，则PA的最大值和

最小值分别是和.

(2)如图②，扇形AOB的半径为4,—AQB=45°，P为弧AB上一点，分别在0A边找

点E,在0B边上找一点F,使得AFEV周长的最小，请在图②中确定点E、F的位置并直

接写出周长的最小值；

拓展应用

（3）如图③，正方形ABCD的边长为4正；E是CD上一点（不与D、C重合），

C尸_LBE于F,P在BE上，且PF=CF,M、N分别是AB、AC上动点，求△上〃汽周长

的最小值.

图①图③

【答案】⑴11,3；（2）图见解析，APEE周长最小值为4夜；（3）4y/10-4y/2.

【解析】

【分析】

（1）根据圆外一点P到这个圆上所有点的距离中，最远是和最近的点是过圆心和该点的直

线与圆的交点，容易求出最大值与最小值分别为11和3；

（2）作点P关于直线0A的对称点耳，作点P关于直线0B的对称点鸟，连接耳、P2,与

OA、0B分别交于点E、F,点E、F即为所求，此时/周长最小，然后根据等腰直角

三角形求解即可；

（3）类似（2）题作对称点，AP/WN周长最小=64,然后由三角形相似和勾股定理求解.

【详解】

解：（1）如图①，•.•圆外一点P到这个圆上所有点的距离中，最大距离是和最小距离都在

过圆心的直线0P上，

此直线与圆有两个交点，圆外一点与这两个交点的距离个分别最大距离和最小距离.

.•・PA的最大值=尸4=尸。+04=7+4=11,

PA的最小值=尸4=尸。一=7-4=3,

故答案为11和3；

（2）如图②，以。为圆心，0A为半径，画弧AB和弧BD,作点P关于直线OA的对称点

片，作点P关于直线0B的对称点鸟，连接片、P2,与OA、0B分别交于点E、F,点E、

F即为所求.

连接。《、。鸟、OP、PE、PF,

由对称知识可知，ZAOPy=^AOP,NBOP^NBOP,PE=^E,PF=P2F

NAOq+NBOg=NAOP+/6OP=NAO5=45°,

C=45。+45°=9（）,

.•.△1。舄为等腰直角三角形,

3=血(用=46,

△PEF周长=PE+PF+EF=<E+RF+EF=《鸟4近，此时.PEF周长最小.

故答案为4c；

(3)作点P关于直线AB的对称A，连接人6、BA，作点P关于直线AC的对称鸟，

连接4、P”与AB、AC分别交于点M、N.如图③

由对称知识可知，PM=P}M,PN=P1N,APMN周长

=PM+PN+MN=PMP?N+MN=PR,

此时，APM/V周长最小=46•

由对称性可知，^BAPi=ZBAP,NEAPyNEAP,AP^AP=AP2,

ZBAPX+ZEAP2=ZBAP+^EAP=/BAC=45°

QA6=45°+45。=90,

.•.△《A鸟为等腰直角三角形，

.•.△PMN周长最小值片g=CAP,当AP最短时，周长最小.

连接DF.

vCF±BE,且PF=C厂，

PC质

/.ZPCF=45°.—=V2

•.•/AC£>=45*，

:.NPCF=NACD,NPCA=/FCD,

又告S

ACPC

..在AAPC与AOFC中，——=——，NPCA=NFCD

CDCF

.'.^APC-ADFC，

DFCD

AP=6DF

­.•NBFC=90，取AB中点0.

•••点F在以BC为直径的圆上运动，当D、F、0三点在同一直线上时，DF最短.

DF=DO—FO=y]0C2+CD2-OC=«2互+(4卧-242=2M-20，

AP最小值为AP=y/2DF

,此时，APMN周长最小值

PR=4iAP=C.垃DF=&O(2M_2吟=4屈.

【点睛】

本题考查圆以及正方形的性质，运用圆的对称性和正方形的对称性是解答本题的关键.

9.如图1,四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上,NAEF=90。,

AE=EF,过点F作射线BC的垂线，垂足为H,连接AC.

⑴试判断BE与FH的数量关系，并说明理由；

(2)求证：ZACF=90°；

⑶连接AF,过A,E,F三点作圆，如图2.若EC=4,NCEF=15。，求建的长.

图1图2

【答案】(1)BE="FH"；理由见解析

(2)证明见解析

(3)於2n

【解析】

试题分析：(1)由AABE"△EHF(SAS)即可得到BE=FH

(2)由(1)可知AB=EH,而BC=AB,FH=EB,从而可知△FHC是等腰直角三角形，ZFCH

为45°,而NACB也为45°,从而可证明

(3)由已知可知NEAC=30°,AF是直径，设圆心为0,连接E0,过点E作ENJLAC于点N,

则可得△ECN为等腰直角三角形，从而可得EN的长，进而可得AE的长，得到半径，得到

蔡所对圆心角的度数，从而求得弧长

试题解析：(1)BE=FH.理由如下：

四边形ABCD是正方形Z6=90°,

,JFHJLBCZFHE=90°

又；ZAEF=90°ZAEB+ZHEF="900"且NBAE+ZAEB=90°

ZHEF=ZBAEZAEB=ZEFH又：AE=EF

△ABE鲤△EHF(SAS)

BE=FH

(2)-.,△ABE合△EHF

BC=EH,BE=FH文:BE+EC=EC+CH二BE="CH"

CH=FH

ZFCH=45HZFCM=45°

「AC是正方形对角线，J.NACD=45。

ZACF=ZFCM+ZACD=90"

(3)；AE=EF,J.△AEF是等腰直角三角形

△AEF外接圆的圆心在斜边AF的中点上.设该中点为0.连结E。得NAOE=90。

过E作EN_LAC于点N

RtAENC中，EC=4,NECA=45°,EN=NC=271

RtAENA中，EN=2^2

丈：乙EAF=45°ZCAF=ZCEF=15°(等弧对等角)

ZEAC=30"

AE=4&

RtAAFE中,AE=40=EF,/.AF=8

AE所在的圆。半径为4,其所对的圆心角为NAOE=90°

症=2TV4(90O4-360°)=2n

考点：1、正方形；2、等腰直角三角形；3、圆周角定理；4、三角函数

10.如图，已知AB是。O的直径，P是BA延长线上一点，PC切。。于点C,CD_LAB,垂

足为D.

(1)求证：ZPCA=NABC；

(2)过点A作AE1IPC交。。于点E,交CD于点F,交BC于点M,若NCAB=2NB,CF

=也,求阴影部分的面积.

【答案】（1）详见解析；（2）°兀-3®

4

【解析】

【分析】

（I）如图，连接OC,利用圆的切线的性质和直径对应的圆周角是直角可得

ZPCA=ZOCB,利用等量代换可得NPCA=ZABC.

（2）先求出△OCA是等边三角形，在利用三角形的等边对等角定理求出FA=FC和CF=FM,

然后分别求出AM、AC、MO、CD的值，分别求出S^E、S扇形形、SMBM的值，利用

S阴影部分=S&40E+S扇形80E-S&48M，然后通过计算即可解答.

【详解】

解：（1）证明：连接OC,如图，

；PC切。0于点C,OC±PC,

•.ZPCA+ZACO=902,

,-ABMOO的直径，，ZACB=ZACO+OCB=90°

ZPCA=ZOCB,

OC=OB,.,.ZOBC=ZOCB,

ZPCA=NABC；

(2)连接OE,如图，

AACB中,ZACB=909,ZCAB=2ZB,

ZB=305,ZCAB=609,.-.AOCA是等边三角形,

,/CD±AB,.,.ZACD+ZCAD=NCAD+zABC=90。,

ZACD=ZB=30。，

,/PCIIAE,.,.ZPCA=ZCAE=305,/.FC=FA,

同理，CF=FM「.AM=2CF=26，

RtAACM中，AC=2V3x—=3=OC,

2

ZB=ZCAE=30”.ZAOC=NCOE=60。,

ZEOB=602r-.ZEAB=ZABC=30%，MA=MB,

连接OM,EG_LAB交AB于G点，如图所示，

OA=OB,/.MO-LAB,.,.MO=OAxtan30*=6,

ACDOSAEDO（AAS）,

EG=CD=ACxsin605=-x/3,

2

：・S^BM=^ABxMO=3y[3,

同样，易求等，

60^-x32?>7i

扇形BOE3602

.e_c.c_c9733/r/r6兀-3下）

一◎阴影部分一十。扇形BOE2MBM=——+-------73=----------------

424

【点睛】

本题考查了切线的性质、解直角三角形、扇形面积和识图的能力，综合性较强，有一定难

度，熟练掌握定理并准确识图是解题的关键.

11.如图1,等腰直角△ABC中，ZACB=90",AC=BC,过点A,C的圆交AB于点D,交BC

于点E,连结DE

（1）若AD=7,BD=1,分别求DE,CE的长

（2）如图2,连结CD,若CE=3,AACD的面积为10,求tanNBCD

（3）如图3,在圆上取点P使得NPCD=NBCD（点P与点E不重合），连结PD,且点D

是&CPF的内心

①请你画出ACPF,说明画图过程并求NCDF的度数

②设PC=a,PF=b,PD=c,若（a-J^c）（b-及c）=8,求△CPF的内切圆半径长.

图1图2图3

【答案】(1)DE=1,CE=3&；(2)tanzBCD=-；(3)①135°；②2.

【解析】

【分析】

(1)由A、C、E、D四点共圆对角互补为突破口求解；

(2)找NBDF与NODA为对顶角，在。。中，ZC0D=2ZCAD,证明△OCD为等腰直角三

角形,从而得到NEDC+ZODA=45°,即可证明NCDF=135°；

(3)过点D做。HJ.CB于点H,以D为圆心，DH为半径画圆，过点P做。。切线PF

交CB的延长线于点F,结合圆周角定理得出NCPD=ZCAD=45。，再根据圆的内心是三角形

三个内角角平分线的交点，得出NCPF=90。，然后根据角平分线性质得出

ZDCF+ZCFD=-ZPCF+-ZPFC=45°,最后再根据三角形内角和定理即可求

22

解；证明NDCF+NCFD=45。，从而证明NCPF是直角，再求证四边形PKDN是正方形，最后

以△PCF面积不变性建立等量关系，结合已知(a-0c)(b-0c)=8,消去字母a,b求

出c值，即求出ACPF的内切圆半径长为-c.

【详解】

(1)由图可知:

设BC=x.在RSABC中，AC=BC.由勾股定理得:

AC2+BC2=AB2,

；AB=AD+BD,AD=7,BD=1,

X2+X2=82,

解得：x=4>/2.

OO内接四边形,ZACD=90°,

ZADE=90°,

/.ZEDB=90°,

•・,ZB=45°,

・•.△BDE是等腰直角三形.

DE=DB,

又「DB=1,

DE=1,

又=CE=BC-BE,

CE=4虚-&=30・

(2)如图所示：

图2

在△DCB中过点D作DM_LBE,设BE=y,则DM='y,

2

又CE=3,BC=3+y,

SAACB=SACD+SDCB,

「・—x4\/2x472=10+—x(3+y)x—y,

22v72

解得：y=2或y=-ll(舍去).

/.EM=1,

CM=CE+ME=l+3=4,

又「ZBCD=ZMCD,

/.tanZBCD=tanZMCD,

++DM1

在RtADCM中,tanZMCD=-------=—,

CM4

1

..tanNBCD=—.

4

(3)①如下图所示:

过点D做。于点H,以D为圆心，DH为半径画圆，过点P做。。切线PF交CB

的延长线于点F.

ZCAD=45°,

ZCPD=ZCAD=45°,

又•••点D是ACP厂的内心，

PD、CD、DF都是角平分线，

ZFPD=ZCPD=45°,ZPCD=ZDCF,ZPFD=ZCFD

ZCPF=90°

ZPCF+ZPFC=90°

ZDCF+ZCFD=-ZPCF+-ZPFC=45°

22

ZCDF=1800-ZDCF-ZCFDF=900+45°=135°,

即NCDF的度数为135°.

②如下图所示

过点D分别作DK_LPC,DM±CF,DN_LPF于直线PC,CF和PF于点K,M,N三点,

设小PCF内切圆的半径为m,则DN=m,

•.・点D是APCF的内心，

DM=DN=DK,

又ZDCF+ZCFD+ZFDC=180",ZFDC=45",

ZDCF+ZCFD=45°,

又；DC,DF分别是NPCF和NPFC的角平分线，

ZPCF=2NDCF,ZPFC=2NDFC,

ZPCF+ZPFC=90",

ZCPF=90°.

在四边形PKDN中，ZPND=ZNPK=ZPKD=90°,

四边形PKDN是矩形，

又；KD=ND,

四边形PKDN是正方形.

又;ZMBD=ZBDM=45°,

ZBDM=NKDP,

ZKDP=45°.

PC=a,PF=b,PD=c,

PN=PK=—C，

2

V272

NF=b---------C，CK=a---------c,

22

又..,CK=CM,FM=FN,CF=CM+FM,

,,CF=a+b->/2cf

丈:SAPCF=SAPDF+SAPDC+SADCF,

—ab=—ax^-c+—bx^-c+—（a+b-^c）,

2222222

化简得：ab=V2（a+b）c-c2---（I）,

又•若（a-J5c）（b-夜c）=8

化简得：ab-V2c（a+b）+2c2=8--•一（II）,

将（I）代入（H）得：C2=8,

解得：c=2五,或c=-2及（舍去），

.5/2A/2FT

..m=---c=---x2V2=2，

22

即△CPF的内切圆半径长为2.

【点睛】

本题考查圆的内接四边形性质，圆的内心，圆心角、圆周角，同弧（或等弧）之间的相互

关系，同时也考查直角三角形，勾股定理，同角或等角的三角函数值相等和三角形的面积

公式，正方形，对顶角和整式的运算等知识点；难点是作辅助线和利用等式求ACPF的内

切圆半径长.

12.如图，已知△ABC,AB=a，BC=3,NB=45。，点D在边BC上，联结AD,以点A

为圆心，AD为半径画圆，与边AC交于点E,点F在圆A上，且AF_LAD.

（1）设BD为x,点D、F之间的距离为y,求y关于x的函数解析式，并写出定义域；

（2）如果E是0尸的中点，求80:8的值；

（3）联结CF,如果四边形ADCF是梯形，求BD的长.

【答案】⑴y=74-4x+2x2（0<x<3）;（2）:；（3）BD的长是1或2S.

【解析】

【分析】

（1）过点A作AHLBC,垂足为点H.构造直角三角形，利用解直角三角形和勾股定理求

得AD的长度.联结DF,点D、F之间的距离y即为DF的长度，在RtAADF中，利用锐角

三角形函数的定义求得DF的长度，易得函数关系式.

（2）由勾股定理求得：ACZAH?+DH?■设DF与AE相交于点Q,通过解RtADCQ和

DQ1

RtAAHC推知7石=不.故设DQ=k,CQ=2k,AQ=DQ=k,所以再次利用勾股定理推知DC

的长度，结合图形求得线段BD的长度，易得答案.

（3）如果四边形ADCF是梯形，则需要分类讨论：①当AFHDC、②当ADIIFC.根据相

似三角形的判定与性质，结合图形解答.

【详解】

（1）过点A作垂足为点从

N8=45°,AB-y/2>BH=AH=ABcosB=1.

BD为jx,DH=\x-\\.

在RtAADH中，ZAHD=90°，，AD=y/AH2+DH2=)2-2%+£.

联结DF,点D、F之间的距离y即为DF的长度.

:点F在圆A上，且AFJ_AD,，AD=AF，ZADF=45°.

在RtAADF中，ZDAF=90°，:.DF=———=y/4-4x+2x2.

cosZADF

y=s/4-4x+2x2­(0<x<3)；

(2),.,E是前的中点，AE±DF>AE平分OF.

22

,1BC=3,HC=3—1=2.A.C—AH+HC-V5,

设DF与AE相交于点Q,在RsOC。中，NOQC=90°,tan/DCQ=g^.

AHI

在RS4HC中，ZAHC^90°，tanZACH=——=—.

HC2

ZDCQ=ZACH，,爵=g.

设DQ=k,CQ=2k,AQ=DQ=k,

,：3k=5k=叵,DC=y/DQ、CQ2=|.

44

.BD=BC—DC=—,；.BD:CD=—

35

（3）如果四边形ADCF是梯形

则①当AFIIDC时，ZAFD=NFDC=45。.

ZA£）F=45°.AD1BC，即点。与点H重合.，BD=\.

②当AOIIFC时，ZADF=NCFD=45。.

ZB=45°,A/B=NCFD.

■.ZB+ZBAD=ZADF+ZFDC,AZBAD=ZFDC.

,2cA8AD

^ABDs^DFC.----.

DFDC

DF=41AD>DC=BC-BD.

AD2=BC-BD.即（j2-2x+fJ=3—%,

整理得x2-x-l=O,解得》=生叵（负数舍去）.

2

综上所述，如果四边形ADCF是梯形，B。的长是1或¥苴.

2

【点睛】

此题属于圆的综合题，涉及了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数值

以及勾股定理等知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合

能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来.

13.如图①，已知心AABC中，ZACB=90SAC=8,AB=10,点。是AC边上一

点（不与C重合），以为直径作。。，过C作CE切。。于E,交AB于F.

（1）若。。的半径为2,求线段CE的长；

（2）若Af=BF，求0。的半径；

（3）如图②，若CE=C3,点8关于AC的对称点为点G,试求G、E两点之间的距

离.

【答案】⑴CE=4也；⑵。。的半径为3；（3）G、E两点之间的距离为9.6.

【解析】

【分析】

(1)根据切线的性质得出NOEC=90。，然后根据勾股定理即可求得；

(2)由勾股定理求得BC,然后通过证得△OEC-△BCA,得到丝=生，即［=旦，解

BCBA610

得即可;

GBGE

(3)证得D和M重合，E和F重合后，通过证得△GBEsAABC,——=—,即

ABAC

12GE„

—=——＞解得即可.

108

【详解】

(1)如图，连结OE.

CE切。。于E，

NOEC=90。.

AC=8,。。半径为2,

OC=6，OE=2.

CE=y10C2-0E2=472；

(2)设。。半径为

在用ZVLBC中，ZACB=9Q0,AB=10,AC=8,

BC7ABJAC。=6.

AF=BF，

■.AF=CF=BF.

ZACF=ZCAF.

•••CE切。。于E,

NOEC=90。.

Z.OEC=ZACB,

••AOEC-ABC4.

,OEOC

BC-BA'

.r_8—r

"I丁’

解得r=3.

0。的半径为3；

⑶连结EG、OE,设EG交AC于点M，

A

由对称性可知，CB=CG.

又CE=CB,

CE=CG.

ZEGC=ZGEC.

■■CE切0。于E，

NGEC+NOEG=90。.

又ZEGC+ZGMC=90°,

ZOEG=/GMC.又NGMC=ZOME,

NOEG=NOME.

・•.OE=OM.

.••点M与点。重合.

G、D、E三点在同一条直线上.

连结AE、BE，

1••AD是直径,

ZAED=90°,即ZAEG=90°.

又CE=CB=CG,

NBEG=90。.

ZAEB=ZAEG+ZBEG=180°,

•••A、E、3三点在同一条直线上.

■1.E、/两点重合.

4GEB=ZACB=90。,ZB=ZB，

■./SGBE-^ABC.

.GBGEHn12GE

ABAC108

・•.GE=9.6.

故G、E两点之间的距离为9.6.

【点睛】

本题考查了切线的判定，轴的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，证得

G、D、E三点共线以及A、E、B三点在同一条直线上是解题的关键.

14.如图，A8是O。的直径，4。是。。的弦，点F是。A延长线上的一点，过O。上一点

C作。。的切线交OF于点E,CErDF.

(1)求证：AC平分N以8；

(2)若AE=1,CE=2,求。。的半径.

【答案】(1)证明见解析；(2)-

2

【解析】

试题分析：(1)连接0C,根据切线的性质和圆周角定理，得出NOCA=NOAC与

NC4E=N。。，然后根据角平分线的定义可证明；

(2)由圆周角定理得到NBCA=90。，由垂直的定义，可求出NCEA=90。，从而根据两角对应

相等的两三角形相似可证明△ACB”△AEC,再根据相似三角形的对应边成比例求得AB的

长，从而得到圆的半径.

试题解析：(1)证明：连接。C.

CE是。。的切线，：.NOCE=90。

•••CE±DF,ZC£A=90°,

ZACE+ZLCAE=Z.ACE+Z.0cA=90°,ZCAE=NOCA

'：OC=OA,