中考数学一轮复习平行四边形练习题含答案

中考数学一轮复习平行四边形练习题含答案

一、选择题

1.如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD±,4AEF是等边三角形连接AC交EF

于G,下列结论：①BE=DF,②/DAF=15。，③AC_LEF,④BE+DF=EF,⑤EC=FG；其中

正确结论有（）个

2.如图，在平行四边形ABCD中，AE平分/BAD,交BC于点E且AB=AE,延长AB与DE

的延长线相交于点F,连接AC、CF.下列结论：①AABC丝ZSEAD；②4ABE是等边三角

形；③BF=AD；©SABEF=SAABC;⑤SACEF=SAABE;其中正确的有（）

3.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PEJ.BC于点E,PFLCD于点F,连接

EF给出下列五个结论：①AP=EF；②APLEF；③4APD一定是等腰三角形；

@ZPFE=ZBAP；⑤PD=J^EC.其中正确结论的番号是（）

A.①②④⑤B.①②③④⑤C.①②④D.①④

4.如图，NA=NA8C=NC=45°,E、F分别是AB、的中点，则下列结论：

①EFLBD,②EF」BD,③NADC=NBEF+NBFE,@AD=DC,其中正确

2

有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.如图，正方形ABCD的边长为1,以对角线AC为边作第二个正方形ACEF,再以对角线

AE为边作第三个正方形AEGH,依此下去，第n个正方形的面积为（）

11

C（向D.2n

6.如图，在aABC中，AB=3,AC=4,BC=5,P为边BC上一动点，PE_LAB于E,PF_LAC于

F,M为EF中点，则AM的最小值为（）

7.如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，AB长为半径画弧，

交边AD于点；②再分别以B,F为圆心画弧，两弧交于平行四边形ABCD内部的点G处;

③连接AG并延长交BC于点E,连接BF,若BF=3,AB=2.5,则AE的长为（）

A.2B.4C.8D.5

8.如图,△481G中，4G=5,8Q=7.点4、%、C2分别是边比G、4G、

的中点；点A、83、C3分别是边B2c2、42c2、A2B2的中点;......；以此类推，则第2019

个三角形的周长是（）

Cl

A-------R-------r____D

220'4220152201622017

9.如图，在平行四边形ABC。中，对角线AC,BD交于点0,BD=2AD,点、E,

F,G分别是OA,OB,CO的中点，EG交FD于点、H,下列4个结论中说法正确的

有（）

①EDJ.CA；②EF=EG；③FH=；FD；®SAEFD=^SAACD.

A.①②B.①②③C.①③④D.①②③④

10.如图，矩形ABCD的面积为20cm2,对角线相交于点O.以AB、AO为邻边画平行四边

形AOJB,对角线相交于点。；以AB、A。为邻边画平行四边形AO1C2B,对角线相交于点

02：......以此类推，则平行四边形A。4c5B的面积为）

B

5,5,55

A.—cm2B.—cm2C.——cm2D.—cm2

841632

二、填空题

11.如图，正方形ABCD中，AB=4,E是BC的中点,点P是对角线AC上一动点，则

PE+PB的最小值为

DC

12.如图，某景区湖中有一段"九曲桥"连接湖岸A,B两点，"九曲桥"的每一段与AC平行

或BD平行，若AB=100m,NA=/B=60。，则此“九曲桥”的总长度为.

13.如图,长方形纸片ABCD中,AB=6cm,BC=8cm点E是BC边上一点，连接AE并将

△AEB沿AE折叠，得到△AEB-以C,E,B，为顶点的三角形是直角三角形时,BE的长为

BEC

14.如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=3,E为BC边上一动点，作EF_LAE,且EF=

AE.连接DF,AF.当DFJ.EF时，Z\ADF的面积为.

15.如图，有一张矩形纸条ABCD,AB=10cm,BC=3cm,点M,N分别在边AB,CD上,

CN=lcm.现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B,C分别落在点5',C±.在点M从

点A运动到点B的过程中，若边与边CD交于点E,则点E相应运动的路径长为

16.如图，在Rt^ABC中，ZBAC=90°,AB=8,AC=6,以8c为一边作正方形8DEC设

正方形的对称中心为。，连接A。，则4。=

17.如图，菱形。ABC的两个顶点坐标为0(0,0),3(4,4),若将菱形绕点。以每秒

45。的速度逆时针旋转，则第2019秒时，菱形两对角线交点。的坐标为.

18.如图，在RtZ\ABC中，NACB=90°,AC=8,BC=6,点。为平面内动点，且满足AD

=4,连接8D,取B。的中点E,连接CE,则CE的最大值为.

19.如图所示，已知A8=6,点C,。在线段AB上，AC=DB=1,P是线段CD上的动

点，分别以AP，PB为边在线段AB的同侧作等边和等边△PFB,连接EF,设EF的中

点为G,当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是.

20.如图所示，在四边形ABCD中，顺次连接四边中点E、F、G、H,构成一个新的四边

形，请你对四边形ABCD添加一个条件，使四边形EFGH成一个菱形，这个条件是

H

/)

B

三、解答题

21.在数学的学习中，有很多典型的基本图形.

(1)如图①，ABC中，ABAC=90°,AB=AC,直线/经过点A,80,直线/,

CEL直线/,垂足分别为。、E.试说明ABD^CAE；

(2)如图②，ABC中，ZR4c=90°,AB=AC,点。、A、尸在同一条直线

上，BDLDF,AD=3,80=4.则菱形AE/C面积为.

(3)如图③，分别以RfABC的直角边AC、AB向外作正方形ACOE和正方形

ABFG,连接EG,AH是ABC的高，延长”A交EG于点/,若AB=6,

AC=8,求A/的长度.

22.如图，在RtABC中，NB=90。，AC=60cm,NA=60。，点D从点C出发沿CA方向

以4cm/s的速度向点A匀速运动.同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B

匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间

是ts(0<t<15).过点D作DFJ_BC于点F,连接DE,EF.

(1)求证：AE=DF；

(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；

23.已知正方形ABCD.

(1)点P为正方形ABCD外一点，且点P在AB的左侧，ZAPB=45°.

①如图(1),若点P在DA的延长线上时，求证：四边形APBC为平行四边形.

②如图(2),若点P在直线AD和BC之间，以AP,AD为邻边作OAPQ。，连结AQ.求

ZPAQ的度数.

(2)如图(3),点F在正方形ABCD内且满足BC=CF,连接BF并延长交AD边于点E,过

1

点E作EHJ_AD交CF于点H,若EH=3,FH=1,当时.请直接写出HC的长

CF3

24.如图所示，四边形ABCQ是正方形，〃是A8延长线上一点.直角三角尺的一条直

角边经过点。，且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点4B重合)，另一直角边与

NCBM的平分线BF相交于点F.

⑴求证：ZADE=Z.FEM\

(2)如图(1),当点E在A8边的中点位置时，猜想OE与EF的数量关系，并证明你的猜想;

(3)如图(2),当点E在A8边(除两端点)上的任意位置时，猜想此时DE与EF有怎样的数

量关系，并证明你的猜想.7

AEBM

图⑴图2)

25.如图1,在矩形纸片ABCD中，AB=3cm,AD=5cm,折叠纸片使8点落在边4?上的

E处，折痕为PQ,过点E作EF〃阳交PQ于F,连接BF.

八AE

WA/E1

(1)(2)

(1)求证：四边形8FEP为菱形;

（2）当E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随着移动.

①当点Q与点C重合时，（如图2）,求菱形BFEP的边长：

②如果限定P、Q分别在线段84BC上移动，直接写出菱形8FEP面积的变化范围.

26.探究：如图①，△ABC是等边三角形，在边48、8C的延长线上截取B/W=C/V,连结

MC.AN,延长MC交AN于点P.

（1）求证：AACNmACBM；

（2）NCPN=°；（给出求解过程）

（3）应用：将图①的△ABC分别改为正方形ABCD和正五边形A8CDE,如图②、③，在边

AB.8c的延长线上截取8M=CN,连结MC、DN,延长MC交DN于点P,则图②中

ZCPN=°；（直接写出答案）

（4）图③中/CPN=°;（直接写出答案）

（5）拓展：若将图①的△ABC改为正"边形，其它条件不变，则/CP心。（用含"

的代数式表示，直接写出答案）.

图①图②图③

27.如图，四边形A6CO为正方形.在边AO上取一点E,连接BE,使NAE8=60°.

（1）利用尺规作图（保留作图痕迹）：分别以点8、。为圆心，长为半径作弧交正

方形内部于点T,连接8T并延长交边AD于点E,则NAEB=60°；

（2）在前面的条件下，取3E中点过点M的直线分别交边AB、CO于点P、Q.

①当时，求证：BP=2AP-,

②当=时，延长BE,CD交于N点、,猜想NQ与的数量关系，并说明理由.

28.在正方形4BCD中，连接BD,P为射线CB上的一个动点（与点C不重合），连接4P,

AP的垂直平分线交线段8。于点E,连接4E,PE.

提出问题：当点P运动时，乙4PE的度数是否发生改变？

探究问题：

（1）首先考察点P的两个特殊位置：

①当点P与点B重合时，如图1所示，44PE=°

②当BP=BC时，如图2所示，①中的结论是否发生变化？直接写出你的结论：

；（填"变化"或"不变化"）

（2）然后考察点P的一般位置：依题意补全图3,图4,通过观察、测量，发现：（1）中

①的结论在一般情况下；（填"成立"或"不成立"）

（3）证明猜想：若（1）中①的结论在一般情况下成立，请从图3和图4中任选一个进行

证明；若不成立，请说明理由.

29.定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫

做这个损矩形的直径。

（1）如图1,损矩形ABCD,NABC=NADC=90°,则该损矩形的直径是线段AC,同时我

们还发现损矩形中有公共边的两个三角形角的特点，在公共边的同侧的两个角是相等的。

如图1中：△ABC和4ABD有公共边AB,在AB同侧有NADB和NACB,此时/ADB=

ZACB；再比如aABC和4BCD有公共边BC,在CB同侧有NBAC和/BDC,此时/BAC=

ZBDC,请再找一对这样的角来=

（2）如图2,AABC't>,ZABC=90°,以AC为一边向形外作菱形ACEF,D为菱形ACEF

的中心，连结BD,当BD平分NABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明

理由。

（3）在第（2）题的条件下，若此时AB=3,BD=4正，求BC的长。

30.在正方形AMFN中，以AM为BC边上的高作等边三角形ABC,将AB绕点A逆时针旋

转90。至点D,D点恰好落在NF上，连接BD,AC与BD交于点E,连接CD,

(1)如图1,求证：AAMC^AAND；

⑵如图1,若DF=J5，求AE的长；

⑶如图2,将ACDF绕点D顺时针旋转a(0<a<90),点C,F的对应点分别为G、6，

AG

连接A£、BQ,点G是BG的中点，连接AG,试探索二次是否为定值，若是定值，则求

出该值；若不是，请说明理由.

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一、选择题

1.B

解析：B

【分析】

根据已知条件易证4ABE丝4ADF,根据全等三角形的性质即可判定①②；由正方形的性质

就可以得出EC=FC,就可以得出AC垂直平分EF,即可判定③；设EC=FC=x,由勾股定理和

三角函数计算后即可判定④⑤.

【详解】

•••四边形ABCD是正方形，

AB=BC=CD=AD,ZB=ZBCD=ZD=ZBAD=90°.

•••△AEF等边三角形，

AE=EF=AF,ZEAF=60°.

ZBAE+ZDAF=3O".

在RtAABE和RtAADF中，

AE=AF

AB=AD'

RtAABESRtAADF(HL),

BE=DF(故①正确).

ZBAE=ZDAF,

ZDAF+ZDAF=30",

即NDAF=15°（故②正确），

­1,BC=CD,

BC-BE=CD-DF,即CE=CF,

,,,AE=AF,

•••AC垂直平分EF.（故③正确）.

设EC=FC=x,由勾股定理，得：

EF=y/2x,CG=FG=^x,

2

.'EC关FG（⑤错误）

在RtAAEG中，

AG=AEsin60°=EFsin60,=2xCGsin60°=—x,

2

y[6x+

•.AC=7

2

2

“\f3x+X也X—X

：.BE=-----------x=----------，

22

；.BE+DF=6c-x丰区,（故④错误），

综上所述，正确的结论为①②③，共3个，

故选B.

【点睛】

本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等

边三角形的性质的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题的关键.

2.B

解析：B

【分析】

根据平行四边形的性质可得AD〃BC,AD=BC,根据平行线的性质可得NBEA=/EAD,根据

等腰三角形的性质可得/ABE=NBEA,即可证明/EAD=NABE,利用SAS可证明

△ABC^AEAD；可得①正确；由角平分线的定义可得/BAE=/EAD,即可证明

ZABE=ZBEA=ZBAE,可得AB=BE=AE,得出②正确；由SAAEC=SADEC,SAABE=SACEF得出

⑤正确；题中③和④不正确.综上即可得答案.

【详解】

•.•四边形ABCD是平行四边形，

；.AD〃BC,AD=BC,

AZBEA=ZEAD,

：AB=AE,

ZABE=ZBEA,

NEAD=/ABE,

AB=AE

在aABC和4EAD中，，ZABE=ZEAD,

BC=AD

AAABC^AEAD（SAS）；故①正确；

VAE平分/BAD,

.'.ZBAE=ZDAE,

NABE=/BEA=NBAE,

/BAE=NBEA,

；.AB=BE=AE,

.1△ABE是等边三角形；②正确；

/ABE=NEAD=60°,

•.•△FCD与AABC等底（AB=CD）等高（AB与CD间的距离相等），

•*.SAFCD=SAABC,

VAAEC与ADEC同底等高,

SAAEC=SADEC>

•'•SAABE—SACEF;⑤正确.

若AD=BF,则BF=BC,题中未限定这一条件,

...③不一定正确；

如图，过点E作EH1.AB于H,过点A作AG_LBC于G,

「△ABE是等边三角形，

；.AG=EH,

若SABEF=SAABC,则BF=BC,题中未限定这一条件,

.•.④不一定正确；

综上所述：正确的有①②⑤.

故选：B.

【点睛】

本题考查平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练

掌握等底、等高的三角形面积相等的性质是解题关键.

3.A

解析：A

【分析】

过P作PGJ_AB于点G,根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明AAGP合AFPE

后即可证明①AP=EF；④NPFE=NBAP；在此基础上，根据正方形的对角线平分对角的性

质，在RSDPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2,求得⑤DP=&EC.

【详解】

,•,点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，

GP=EP,

在AGPB中，NGBP=45°,

ZGPB=45°,

GB=GP,

同理，得

PE=BE,

1.,AB=BC=GF,

AG=AB-GB,FP=GF-GP=AB-GB,

AG=PF,

J.AAGPgAFPE,

①,AP=EF；

ZPFE=NGAP

④NPFE=ZBAP,

②延长AP到EF上于一点H,

ZPAG=ZPFH,

•••ZAPG=ZFPH,

ZPHF=NPGA=90°,即APXEF；

③：点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，ZADP=45度,

当NPAD=45度或67.5度或90度时，△APD是等腰三角形，

除此之外，4APD不是等腰三角形，故③错误.

GFIIBC,

ZDPF=ZDBC,

又ZDPF=ZDBC=45°,

/.ZPDF=ZDPF=45°,

PF=EC,

在RtADPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2,

⑤DP=0EC.

,其中正确结论的序号是①②④⑤.

故选：A.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，

勾股定理的运用.本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题.

4.C

解析：C

【分析】

根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边”可得

EF=^-AC,再由45°角可证aARQ为等腰直角三角形，从而可得可得AQ=BQ,进而

2

证明AAQC三△BQZXASA),利用三角形的全等性质求解即可.

【详解】

解：如图所示：连接AC,延长3。交AC于点M,延长A£)交于Q,延长CO交

于尸.

ZABC=ZC=45°,

CPVAB,

ZABC=/BAD=45°,

：.AQ±BC,

点。为两条高的交点，

.•.BM为AC边上的高，即：BMLAC,

由中位线定理可得EF〃AC,EF=-AC,

2

.-.BD±EF,故①正确；

ADBQ+ZDCA=45°,ZDCA+ZCAQ=45°,

NDBQ=ZCAQ,

ZBAD=ZABC,

AQ=BQ,

ZBQD=ZAQC=90°,

根据以上条件得AAQCM△8QZXAS4),

BD=AC,

：.EF=^AC,故②正确；

ZA=ZABC=ZC=45°,

：.ZDAC+ZDCA=180°-(ZBAD+ZABC+/BCD)=45°,

ZADC=180°-(ZZ)AC+ZDCA)=135°=NBEF+ZBFE=180°-ZABC,故③

NADC=NBEF+NBFE成立；

无法证明A£>=C。，故④错误.

综上所述：正确的是①②③，故选C.

【点睛】

本题考点在于三角形的中位线和三角形全等的判断及应用.解题关键是证明

^AQC=^BQIXASA).

5.B

解析：B

【解析】

【分析】先求出第一个正方形面积、第二个正方形面积、第三个正方形面积，…探究规律

后，即可解决问题.

【详解】第一个正方形的面积为1=2°,

第二个正方形的面积为(V2)2=2=2],

第三个正方形的边长为22,

第n个正方形的面积为

故选B.

【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，正方形的性质，根据前后正方形边长之间的

关系找到Sn的规律是解题的关键.

6.C

解析：C

【分析】

首先证明四边形AEPF为矩形，可得AM=^AP,最后利用垂线段最短确定AP的位置，利

用面积相等求出AP的长，即可得AM.

【详解】

在AABC中,因为AB2+AC2=BC2,

所以aABC为直角三角形，NA=90。，

又因为PE_LAB,PF±AC,

故四边形AEPF为矩形，

因为M为EF中点，

所以M也是AP中点，即AM=^AP,

2

故当AP_LBC时，AP有最小值，此时AM最小，

11I?

由SAar~—xABxAC=—xBCxAP,可得AP=—,

225

16

AM=-AP=-=1.2

25

故本题正确答案为C.

【点睛】

本题考查了矩形的判定和性质,确定出APLBC时AM最小是解题关键.

7.B

解析：B

【分析】

连接EF,先证AF=AB=8E,得四边形A8EF是菱形，据此知AE与BF互相垂直平分，继而得

0B的长，由勾股定理求得。A的长，继而得出答案.

【详解】

由题意得：AF=AB,AE为NBA。的角平分线，则NBAE=N"E.

又：四边形ABCD是平行四边形，贝ljAO〃BC,NBAE=NFAE=NBEA,：.AF=AB=BE.

连接EF,则四边形A8EF是菱形，；.AE与8F互相垂直平分，设AE与BF相交于点。，

BF___________________

08=—=1.5.在RtA40B中，。A='AB。—OB。=A/Z52-152=2,则AE=2OA=4.

故选B.

【点睛】

本题考查了作图-复杂作图，解题的关键是掌握菱形的性质与判定，平行四边形的性质，

角平分线的尺规作图方法等.

8.A

解析：A

【分析】

由三角形的中位线定理得：82c2，4c2，4与分别等于44、4G、GA的所

以4482G的周长等于△A4G的周长的一半，以此类推可求出结论.

【详解】

解：△AAG中，44=4,AG=5，4c]=7,

.•.△A4£的周长是16,

人,鸟，G分别是边4G，AG，44的中点，

B©,4G，4为分别等于44、B£、GA的;，

,,,

以此类推，则△A,BC的周长是916=2；

24

.•.△4打。,,的周长是二，

2"T

241

当〃=2019时，第2019个三角形的周长=壑篇=血

故选：A.

【点睛】

本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线

段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用.

9.B

解析：B

【分析】

由等腰三角形“三线合一”得EDLCA,根据三角形中位线定理可得EF=1AB；由直角三角

形斜边上中线等于斜边一半可得EG=』CD,即可得EF=EG；连接FG,可证四边形DEFG是

2

平行四边形，即可得FH=^FD,由三角形中位线定理可证得SAOEF=LSAAOB,进而可得

24

3一11,、

SAEFD=SAOEF+SAODE=—S^ABCD,而SAACD=-S，ABCD,推出SAEFDW—SAACD,即可得出结论.

1622

【详解】

连接FG,如图所示:

•・,四边形ABCD是平行四边形，

AOA=OC,OB=OD,AD=BC,AD〃BC,AB=CD,AB〃CD,

VBD=2AD,

AOD=AD,

・・•点E为OA中点，

.\ED±CA,故①正确；

：E、F、G分别是OA、OB、CD的中点,

1

，EF〃AB,EF=-AB,

2

,/ZCED=90°,G是CD的中点,

1

.\EG=-CD,

2

；.EF=EG,故②正确;

；EF〃AB,AB〃CD,

；.EF〃CD,EF=EG=DG,

•••四边形DEFG是平行四边形，

；.FH=DH,

即FH=』FD,故③正确；

2

VAOEF^AOAB,

.1

••SAOEF=_SAAOB,

4

..11

,•SAAOB=SAAOD=_SoABCD,S&ACD=—SABCD,

42=

.1

••SAOEF=—S-ABCD,

16

VAE=OE,

.11

SAODE=_SAAOD=-SABCD,

28

.113

SAEFD=SOEF+SAODE=­S„ABCD+—S„ABCD=­S„ABCD,

A16816

..11

—SAACD=_StABCD,

24

SAEFD丰—SAACD，故④错误；

2

综上，①②③正确；

故选：B.

【点睛】

本题考查了平行四边形性质和判定，三角形中位线定理，三角形面积，直角三角形斜边上

中线性质，等腰三角形性质等知识；熟练运用三角形中位线定理、等腰三角形的性质是解

题关键.

10.A

解析：A

【分析】

设矩形ABCD的面积为S=20cm2,由0为矩形ABCD的对角线的交点，可得平行四边形

AOCiB底边AB上的高等于BC的,，依此类推可得下一个图形的面积是上一个图形的面积

2

的,，然后求解即可.

2

【详解】

设矩形ABCD的面积为S=20cm2,

VO为矩形ABCD的对角线的交点，

•••平行四边形AOCiB底边AB上的高等于BC的工，

2

平行四边形AOCiB的面积=』S,

2

•.•平行四边形AOCiB的对角线交于点。1,

.,.平行四边形AOIC2B的边AB上的高等于平行四边形AOCiB底边AB上的高的!，

2

।।s

平行四边形AO1C2B的面积=-x-S=r,

2222

S205

依此类推，平行四边形AO,CsB的面积=(cm2)，

故选：A.

【点睛】

本题考查了矩形的对角线互相平分，平行四边形的对角线互相平分的性质，得到下一个图

形的面积是上一个图形的面积的?是解题的关键.

2

二、填空题

11.2石

【详解】

由于点B与点D关于AC对称，所以如果连接DE,交AC于点P,那PE+PB的值最小.在

RtACDE中，由勾股定理先计算出DE的长度，即为PE+PB的最小值.连接DE,交AC于点

P,连接BD.

:点B与点D关于AC对称，

ADE的长即为PE+PB的最小值，

AB=4,E是BC的中点，

•.CE=2,

在RtACDE中，DE=2石.

考点：⑴、轴对称-最短路线问题；（3）、正方形的性质.

12.200m

【分析】

如图，延长AC、BD交于点E,延长HK交AE于F,延长NJ交FH于M,则四边形EDHF,

四边形MNCF,四边形MKGJ是平行四边形，AABC是等边三角形，由此即可解决问题.

【详解】

如图，延长AC、BD交于点E,延长HK交AE于F,延长NJ交FH于M

E

由题意可知，四边形EDHF,四边形MNCF,四边形MKGJ是平行四边形

VZA=ZB=60°

•••ZE=180-NA-ZB=60

••.△ABC是等边三角形

，ED=FM+MK+KH=CN+JG+HK,EC=EF+FC=JN+KG+DH

九曲桥"的总长度是AE+EB=2AB=200m

故答案为：200m.

【点睛】

本题考查了平行四边形、等边三角形、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握平行

四边形、等边三角形、三角形内角和的性质，从而完成求解.

13.3或6

【详解】

①NB'EC=90°时,如图1,NBEB'=90°,

由翻折的性质得/AEB=NAEB'=gx90°=45°,

・•.△ABE是等腰直角三角形，

BE=AB=6cm；

②NEB'C=90°时，如图2,

由翻折的性质NAB，E=NB=90",

二A、B;C在同一直线上，

AB=AB,BE=B'E,

由勾股定理得，AC=7AB2+BC2=V62+82=10cm/

B'C=10-6=4cm,

设BE=B'E=X,则EC=8-x,

在RtAB'EC中，B'E2+B'C2=EC2,

即x2+42=(8-x)2,

解得x=3,

即BE=3cm,

综上所述，BE的长为3或6cm.

故答案为3或6.

【分析】

作辅助线，构建全等三角形和矩形，利用面积法可得AE的长，根据勾股定理可得BE的

长，设AE=x,证明4ABE也△EQF(AAS)，得FQ=BE=&,最后根据三角形面积公式

可得结论.

【详解】

解：如图，过D作DH_LAE于H,过E作EM1.AD于M,连接DE,

VEF±AE,DF-LEF,

.•.ZDHE=ZHEF=ZDFE=90°,

四边形DHEF是矩形，

；.DH=EF=AE,

•.•四边形ABCD是矩形，

.../B=ZBAD=90°,

VZAME=90°,

四边形ABEM是矩形，

・・.EM=AB=2,

设AE=x,

则SAADE=』ADEM=LAE-DH,

22

.*.3X2=x2,

.'.x=±76，

Vx>0,

X—y/6>

即AE=R,

由勾股定理得：BE=^(76)2-22=72>

过F作PQ〃CD,交AD的延长线于P,交BC的延长线于Q,

AZQ=ZECD=ZB=90°,ZP=ZADC=90°,

VZBAE4-ZAEB=ZAEF=ZAEB4-ZFEQ=90°,

，NFEQ=NBAE,

；AE=EF,NB=NQ=90°,

.,.△ABE^AEQF(AAS),

.,.FQ=BE=V2-

；.PF=2-0，

SAADF=_AD-PF=一x3x(2—A/2)=3-=~.

222

【点睛】

此题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，有难度，正确作辅助

线构建全等三角形是关键，并用方程的思想解决问题.

15.V10-1

【分析】

探究点E的运动轨迹，寻找特殊位置解决问题即可.

【详解】

如图1中，当点M与A重合时，AE=EN,设AE=EN=xcm,

在RtZSADE中，则有X2=3?+(9-x)2,解得x=5,

•\DE=10-1-5=4(cm),

B'

如图2中，当点M运动到MBUAB时，OF的值最大，DF=10-1-3=6(cm),

图2

如图3中，当点M运动到点夕落在CD时，

NP=ylc'N2+C'B'2=Vl2+32=V10

DB'(即DE")=10-1-V10=(9-VlO)(cm),

图3

二点E的运动轨迹E玲E'玲E”,运动路径=££'+£'£=6-4+6-(9-710)=(710-1)

(cm).

故答案为：Vio-i.

【点睛】

本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运

用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

16.7岳

【分析】

连接A。、B。、CO,过。作FO_LA。，交AB的延长线于F,判定△AOC丝△FOB(ASA),

即可得出AO=FO,FB=AC=6,进而得到AF=8+6=14,NFAO=45°,根据AO=AFxcos45°进行计

算即可.

【详解】

解：连接AO、B。、CO,过。作FO_LA。，交AB的延长线于F,

V0是正方形DBCE的对称中心，

.*.BO=CO,ZBOC=90°,

VFO1AO,

ZAOF=90°,

/.ZBOC=ZAOF,

BPZAOC+ZBOA=ZFBO+ZBOA,

.,.ZAOC=ZFBO,

VZBAC=90",

.•.在四边形ABOC中,ZACO+ZABO=180°,

VZFBO+ZABO=180°,

AZACO=ZFBO,

在△AOC和△FOB中，

ZAOC=/FOB

<AO=FO,

ZACO=NFBO

.,.△AOC^AFOB(ASA),

.*.AO=FO,FB=FC=6,

...AF=8+6=14,NFAO=NOFA=45°,

应

AO=AFxcos450=14x-L-=7后.

2

故答案为7血.

【点睛】

本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质.本题的关键是通过作辅助线来构建

全等三角形，然后将已知和所求线段转化到直角三角形中进行计算.

17.(-2&，0)

【分析】

先计算得到点D的坐标，根据旋转的性质依次求出点D旋转后的点坐标，得到变化的规律

即可得到答案.

【详解】

•.•菱形0ABe的两个顶点坐标为0(0,0),8(4,4),

，对角线的交点D的坐标是（2,2），

:・OD=d*+方=20，

将菱形绕点。以每秒45。的速度逆时针旋转,

旋转1次后坐标是（0,2夜），

旋转2次后坐标是（-2,2）,

旋转3次后坐标是（-2痣，0）,

旋转4次后坐标是（-2,-2）,

旋转5次后坐标是（0,-2夜），

旋转6次后坐标是（2,-2）,

旋转7次后坐标是（2行，。），

旋转8次后坐标是（2,2）

旋转9次后坐标是（0,20，

由此得到点D旋转后的坐标是8次一个循环,

V2019-8=2523,

.•.第2019秒时，菱形两对角线交点。的坐标为（-2垃,0）

故答案为：（-2夜，0）.

【点睛】

此题考查了菱形的性质，旋转的性质，勾股定理，直角坐标系中点坐标的变化规律，根据

点D的坐标依次求出旋转后的坐标得到变化规律是解题的关键.

18.【分析】

作AB的中点E,连接EM、CE,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形

的中位线定理求得CE和EM的长，然后确定CM的范围.

【详解】

解：作AB的中点M,连接EM、CM.

在RtAABC中，AB=7AC2+SC2=V82+62=10，

M是直角ZXABC斜边AB上的中点，

1

：.CM=-AB^5.

2

是BD的中点，M是AB的中点，

1

/./WE=-AD=2.

2

二5-2WCEW5+2,即3WCEW7.

.♦•最大值为7,

故答案为：7.

【点睛】

本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，掌握基

本性质定理是解题的关键.

19.2

【分析】

分别延长AE,BF交于点H,易证四边形EPFH为平行四边形，得出点G为PH的中点，则

G的运动轨迹为aHCD的中位线MN,再求出CD的长度，运用中位线的性质求出MN的长

度即可.

【详解】

解：如图，分别延长AE,BF交于点H,

VZA=ZFPB=60°,

AAHIIPF,

VZB=ZEPA=60°,

ABHIIPE

...四边形EPFH为平行四边形，

，EF与HP互相平分，

:点G为EF的中点,

...点G为PH的中点，即在P运动的过程中，G始终为PH的中点，

：.G的运动轨迹为的中位线MN,

VCD=6-1-1=4,

，MN」C£>=2,

2

•••点G移动路径的长是2,

故答案为:2.

【点睛】

本题考查了等边三角形及中位线的性质，以及动点的问题，是中考热点，解题的关键是得

出G的运动轨迹为AHCD的中位线MN.

20.答案不唯一，例AC=BD等

【分析】

连接AC、BD,先证明四边形ABCD是平行四边形，再根据菱形的特点添加条件即可.

【详解】

连接AC,

•.•点E、F分别是AB、BC的中点，

；.EF是AABC的中位线，

1

；.EF〃AC,EF=-AC,

2

同理HG〃AC,HG=-AC,

2

，EF〃HG,EF=HG,

四边形EFGH是平行四边形，

连接BD,同理EH=FG,EFIIFG,

当AC=BD时，四边形EFGH是平行四边形，

故答案为：答案不唯一，例AC=BD等.

【点睛】

此题考查三角形中位线性质，平行四边形的判定及性质，菱形的判定.

三、解答题

21.(1)见解析；(2)24；(3)A/=5.

【分析】

(1)证N8CW=/CEA=90°,NCAE=NABD,由川S证明△48。丝△CAE即可；

(2)连接CE,交AF于。，由菱形的性质得NCOA=NAO8=90°,同(1)得

△ABD妥△CAO(AAS),得。C=AD=3,OA=8D=4,由三角形面积公式求出Sgoc=6,

即可得出答案；

(3)过E作E/W_LH/的延长线于过点G作GNJ_H/于M同(1)得△AC”畛△EA/W

(A4S),LABH/LGAN(A4S),得EM=AH=GN,证丝△GM(ZW5),得曰=

GI,证NEAG=90°,由勾股定理求出EG=10,再由直角三角形的性质即可得出答案.

【详解】

(1)证明：；BDJ_直线/,CE_L直线/,

：.ZBDA=^ZCEA=90Q,

'：ZBAC=90a,

：.ZBAD+ZCAE=90°

"：ZBAD+ZABD=90°,

：.ZCAE=ZABD

在△AB。和△CAE中，

ZABD^ZCAE

<ABDX=ACEA,

AB=AC

.♦.△A8D妾△CAE(A4S)；

(2)解：连接CE,交AF于O,如图②所示：

•.•四边形AEFC是菱形，

：.CE1AF9

：.ZCOA=^ZADB=90a,

同(1)得：△48。且△CAO(AAS),

：.OC=AD=3f0八=8。=4,

11

・・SA^OC=—OA•OC——X4X3=6,

22

**•S菱形AEFC=45八AOC=4X6=24,

故答案为：24；

(3)解：过E作EMJ_m的延长线于M,过点G作GN_LH/于N,如图③所示:

/E/W/=/GN/=90°,

•；四边形ACDE和四边形ABFG都是正方形，

：.ZCAE=ZBAG=90°,AC=AE=8,AB=AG=6,

同(1)得：△ACH部/\EAM(AAS),△ABH丝△GAN(AAS),

：.EM=AH=GN,

在△£〃/和△GM中，

ZEIM=ZGIH

<ZEMI=AGNI,

EM=G