易错点05 四边形-2021年中考数学一轮复习易错题（解析版）

易错点05四边形

i.平行四边形定义性质判定。

2.多边形内角和、外角和

3.菱形定义性质判定。

4.矩形形定义性质判定。

5.正方形定义性质判定。

6.四边形综合应用

易错题01平行四边形的性质掌握及应用。

1.（2020•松北区二模）在平行四边形N8CQ中，/£>=60°,点尸在平行四边形42CZ）的

边上，且。P=l,连接8P,若*8=2,BC=3,则线段8P的长为.

【答案】百出戈2«.

【解析】解：；四边形48co是平行四边形，

:.CD=AB=2,4D=BC=3,AD//BC,AB//CD,

分两种情况：

①点P在CC上时，作尸E_L8c于E,如图1所示：

图1

,:AD〃BC,

...NPCE=/O=60°,

则NCPE=30°,

：.CE=^PC,PE=-/jCE,

,:CD=2,DP^\,

：.PC=\,

.•.CE=2，PE=®,

22

:.BE=BC+CE=L,

2

1•BP={BE2+PE2Tm2+（坐）2=任;

②点尸在力。上时，作尸尸_L/8于尸，如图2所示:

图2

'：AB//CD,

；.NR4F=ND=6O°,

则N—30°,

J.AF^^AP,PE=4^AF,

；40=3,DP=l,

：.AP=2,

=1,PF=M，

BF=AB+AF=3,

BP=VBF2+PF2=732+（V3）2=2正;

综上所述，线段8P的长为6或2«；

故答案为：5或2y.

变式练习►》

1.（2020•上城区二模）已知平行四边形N88的对角线NC,8。相交于直角坐标系的原点

。，点/,8的坐标分别为（-1,3）,（1,2）,则点C的坐标为.

【答案】（1,-3）.

【解析】解：由题意知：点4与点C、点8与点。关于原点对称，

•••点4的坐标分别为（-1,3）,

...点C的坐标分别是（1，-3）,

故答案为：（1,-3）.

2.（2020•渝中区校级一模）在如1BCD中，AB<BC,对角线AC的垂直平分线交AD于点E,

连结CE,若即"CD的周长为20c/n,则△€■/）£t的周长为cm.

【答案】10

【解析】解：..•对角线ZC的垂直平分线交/。于点E,

：.AE=CE,

'：^\ABCD的周长为20cm,

：.AD+DC=lOcm,

：./\CDE的周K=DE+CE+CD=AE+DE+CD=AD+CD=1Ocm,

故答案谈：10.

3.（2020•成都模拟）如图，在ENBCZ）中，AHLBC,垂足为，，若/8=10,BC=16,sinB

=—,则tanZCDH=.

5-

【答案】1

2

【解析】解：：/8=10,sin8=9,AHLBC,8c=16,

5

„=8,NAHB=96°,

：.BH=6,

：.CH=\0,

:四边形月88是平行四边形，8c=16,

：.AD//BC,40=8c=16,

:.NAHB=NHAD=90°,

HD=VAH2+AD2=g遥，

作CELDH丁点E,

CH'AH=DH-CE,

2---2

upIPX8_8V5<E

解得，CE=2辰,

、HE=<^j^Q2_Qg2-,

:.DE=4娓,

CE=2«-1

tanZCDH=DE=4/55

易错题02平行四边形的判定及应用。

1.(2020•雨花区校级二模)如图，在四边形/8C。中，OD=OB=5,AB//CD.

(1)求证：四边形"88为平行四边形；

(2)若/。=12,NC=26,求四边形188的面积.

【答案】（1）证明：；/8〃C£>,

:.NOAB=NOCD,

，Z0AB=Z0CD

在△408和△COO中，，ZA0B=ZC0D-

OB=OD

JlXAOB会1N20DCAAS）,

：.OA=OC,

5L'：OD=OB,

...四边形月8。是平行四边形；

（2）解：由（1）得：四边形/8CQ为平行四边形，OA=OC=^AC=\3,

2

"：OD=OB=5,AD=12,

：.BD^\O,AD^OD^^OA1,

是直角三角形，//。。=90°,

：.BDLAD,

二四边形N8C。的面积=/Z>X8O=12X10=120.

【解析】（1）证△408/△CO。（44S）,得出OZ=OC,即可得出结论；

（2）由勾股定理的逆定理证出△/OQ是直角三角形，//。。=90°,则BDLAD,由

平行四边形面积公式即可得出答案.

支式族习»〉

1.（2020•夷陵区模拟）如图，在RtZ\/8C中，N4CB=90°,D、E分别是边/C、的

中点，连接CE、DE,过。点作。尸〃CE交8c的延长线于尸点.

（1）证明：四边形OEC尸是平行四边形：

（2）若/8=13c?«,AC=5cm,求四边形。EC尸的周长.

【答案】（1）证明：；£）、£分别是边4C、N8的中点,

.••■DE是△48C的中位线,

：.DE//BC,

：.DE//CF,

'：DF//CE,

，四边形DECF是平行四边形；

(2)解：在RtZ\4BC中，由勾股定理得：BC^JAB2_AC2-J-^^2=12,

是△48C的中位线，

.•.〃E=_LBC=工X12=6,

22

•；四边形DECF是平行四边形，

:.DE=CF=6,DF=CE,

是边4C的中点，

.•.CD=LC=1.X5=8,

222

,：ZACB=90°,CF是BC的延长线，

；.NDCF=90",

在RtaOC尸中，由勾股定理得：£(F=7cD2-K：F2=^(-|-)2+62=^r，

.•.四边形。ECF的周长=2(DE+DF)=2X(6+23)=25.

2

【解析】(1)证是。的中位线，MDE//BC,由平行四边形的判定即可得出结

论；

(2)先由勾股定理得8c=12,再由三角形中位线定理得。后=工8c=6,然后由平行四

2

边形的性质得。£=b=6,DF=CE,再由勾股定理得OF=」S,即可得出答案.

2

2.（2020•雁塔区校级模拟）如图，四边形月88中，AB//CD,且/8=CZ）.过8。的中点

O做直线EF分别交区4、。。的延长线于点£、F.求证：AE=CF.

【答案】证明：且42=8,

NE=NF,四边形ABCD是平行四边形,

：.AB=CD,

是50的中点，

：.OB=OD,

2E=NF

在△EBO和△EDO中，.ZBOE=ZDOF-

OB=OD

:.△EBgAFDO(AAS),

:.BE=DF,

又,.•/8=C。，

:.BE-AB=DF-CD.

BPAE^CF.

【解析】证四边形/8CQ是平行四边形，得出/8=CD,再证多△卬。（44S）,

得出8£=。下，即可得出结论.

3.(2020•包河区二模)已知，如图，点尸是因/BCQ外一点，PE〃AB交BC于点、E.PA.

PD分别交3c于点V、N,点”是的中点.

(1)求证：CN=EN；

(2)若平行四边形的面积为12,求△口■的面积.

【答案】解：(1)-CPE//AB,

：.ZBAM=ZEPM,

:NAMB=ZPME,

•.•点M是8E的中点，

：.BM=EM,

:.XABMml\PEM(44S),

:.AB=PE,

•.•四边形/8C。是平行四边形,

.".AB//CD,AB=CD,

C.PE//CD,PE=CD,

...四边形PEDC是平行四边形,

:.EN=CN；

(2)过尸作于“，交8c于G,

由（1）知，/XABM<APEM,

,JAD//BC,

:.PG=HG=LPH,

2

,:BM=EM,EN=CN,

：.MN=-^BC=^AD,

22

•••平行四边形/8C£＞的面积为12,

；.AD・G/7=12,

/XPMN的面积X工45X〃G=上义12=3.

2224

【解析】(1)根据平行线的性质得到/瓦根据线段中点的定义得到BM=

EM,根据全等三角形的性质得到4B=PE,根据平行四边形的判定和性质定理即可得到

结论；

(2)过P作于H,交BC于G,根据全等三角形的性质得到根据平

行线等分线段定理得到AG=HG=LH,根据平行四边形和三角形的面积公式即可得到

2

结论.

易错题03四边形中的翻折'平移'旋转、剪拼等动手操作性

问题，掌握其中的不变与旋转一些性质。

1.（2020•金水区校级模拟）如图所示，矩形488中，AB=2,8c=4,点E为8c边上不

与端点重合的一动点，连结4E,并将△48E沿直线NE翻折，得点8的对应点F,连结

CF,若△CM为直角三角形，则8E的长度为.

【答案】2或旄7.

【解析】解：分为两种情况:

①当NCEF=90°时，如图1所示，此时四边形48EF为正方形,

・・BE=AB=2；

②当/。芭=90°时，如图2所示，此时点尸落在对角线/C上,

设BE=x,则£F=x,C£=4-x,

由勾股定理得:

^C=VAB2+BC2=V22+42=2巡，

EF_AB

sinZ.ACB=CE"AC

.x21

4-x2A/55

解之得：X=A/5-1，

I.

综上所述，BE的长度为2或加-1.

支式练习»》

1.（2020•吴兴区校级三模）如图所示，把菱形N8CD沿折痕翻折，使8点落在BC延

长线上的点E处，连结。£,若/8=30°,则.

A_________D

s"二Hc三E

【答案】75°

【解析】解：由折叠知，BA=EA,

VZB=30°,

：.ZBAC=\20°,

・・•四边形力8CQ为菱形，

:・AD〃BC,

：.ZB^ZBAD=\^°,

：.ZBAD=\50°，

：.ZEAD=30°,

•：AD=AB=AE,

JNADE=NAED,

：.ZADE=.^X(180°-30°)=75°.

2

故答案为75°.

2.(2020•天河区校级二模)如图，矩形纸片中，AD=4c掰,把纸片沿直线/C折叠,

点8落在E处，4E交DC于点O,若/0=5°加，则48的长为.

【答案】8cm.

【解析】解：根据折叠前后角相等可知N84C=NE4C,

•.•四边形是矩形，

C.AB//CD,

：.ZBAC=NACD,

：.ZEAC=ZACD,

；./O=CO=5(cm),

=22=22=3<),

在直角三角形4DO中，OOJA0-ADV5-4CW

：.AB=CD=DO+CO=3+5=8(cm).

故答案为:8cm.

3.(2020•兴庆区校级一模)如图，将正方形力88沿对折，恰好使点/落在对角线5。

上，与BD的交点记为点4',连接HC,则C的大小为

【答案】67.5°

【解析】解：：四边形488是正方形，

:.AB=BC,ZCBD=45°,

根据折叠的性质可得：A'B=AB,

：.A'B=BC,

:.NBA'C=ZBCA'=A(180°-NCBD)=67.5°.

2

故答案为：67.5°.

易错题04特殊平行四边形(菱形)判定与性质应用

1.(2020•宁德二模)如图，RtZUBC中，NB4C=90°,将△/BC沿斜边8c向右平移,

得到△DEF(B£<2C),NC与。E相交于点。，连接49,AE,DC,得到四边形/ECD

(1)当点E为8c中点时，求证：四边形/ECZ)是菱形；

(2)在△/SC平移过程中，判断四边形/EC。的面积是否发生变化，请说明理由.

【答案】证明：（I）•.•将RtZX/BC沿8C所在直线平移得到△OEF,

：.AD//BE,AD=BE,

是8c的中点，

：.BE=CE,

J.AD//CE,AD=CE,

...四边形"ECO是平行四边形，

'：ZBAC=90<,,£是8c的中点，

：.AE=CE,

四边形/ECO是菱形；

（2）在△/SC平移过程中，四边形力£。。的面积没有发生变化，理由如下:

'JAB//ED,

：.AC1.DE,

由平移性质则有：DE=AB,

四边iMECDu2/CJB没有变化.

2

【解析】（1）根据平移的性质和菱形的判定答案即可；

（2）根据平移的性质答案即可.

支式练习»

1.（2020•南山区校级二模）如图，在平行四边形中，按下列步骤作图：

①以点8为圆心，以适当长为半径作弧，交AB于点N.交BC于点M；

②再分别以点M和点N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点G；

③作射线BG交AD于F-,

④过点Z作尸交8尸于点P,交8C于点E；

⑤连接EF,PD.

(1)求证：四边形是菱形；

(2)若/8=8,AD=\O,N4BC=60°,求0P的长.

【答案】(1)证明：由作图知=NABF=NEBF,

•••四边形48。是平行四边形，

J.AD//BC,

，4EBF=ZAFB,

：.NABF=NAFB,

:.AB=AF=BE,

四边形月8£尸是平行四边形，

又AB=BE,

四边形/8EF是菱形；

(2)解：作尸于",

;四边形48所是菱形，N4BC=60°,/8=8,

：.AB=AF=S,ZABF=ZAFB=30°,APLBF,

：.AP=—AB=4,

2

：.PH=2yf3,DH=8,

DP=4PH2+DH2~V12+64-2>/y9-

【解析】(1)根据线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质即可得到结论；

(2)作PH1AD于H,根据四边形ABEF是菱形，乙48c=60°,/8=8,得到AB=

4F=8,NABF=N4DB=30°,APA,BF,从而得到尸〃=2«,DH=10,然后利用锐

角三角函数的定义求解即可.

2.(2020•渝中区校级二模)如图，四边形/8CD的对角线8。于点E,点F为四边形

4BCD外一点,且NFC4=90°,BC平64DBF,NCBF=NDCB.

(1)求证：四边形尸C是菱形；

(2)^AB=BC,ZF=45°,80=2,求ZC的长.

【答案】（1）证明：:ACLBD,/尸C/=90°,NCBF=NDCB.

:・BD〃CF,CD//BF,

，四边形DBFC是平行四边形；

■:BC平分/DBF,

：.ZCBF=ZCBDf

■:NCBF=/DCB,

：.ZCBD=ZDCBf

:・CD=BD,

・••四边形。8/C是菱形；

(2)解：・・•四边形。瓦(是平行四边形,

:・CF=BD=2,

•：AB=BC,ACLBD,

：.AE=CE,

作CM_L8/于M,如图：

•:BC平分/DBF,

:,CE=CM,

VZF=45°,

•••△CFW是等腰直角三角形，

:・CM=*CF=®

:・AE=CE=®

・"。=2料.

D

【解析】（1）证出CD//BF,得出四边形O8FC是平行四边形；再证出CQ=

BD,即可得出结论；

（2）由平行四边形的性质得出6=8。=2,由等腰三角形的性质得出ZE=CE,作CM

上BF于M,则C£=CW,证出△CFM是等腰直角三角形，得出CA/=7历，则4E=CE

=&，即可得出ZC的长.

3.（2020•朝阳区三模）如图，四边形428是平行四边形，AD=BD,过点C作CE〃9D,

交AD的延长线于点E.

（1）求证：四边形6OEC是菱形；

（2）连接BE,若48=2,4。=4,求5E的长.

【答案】证明：（1）・・,四边形46。是平行四边形,

C.AD//BC,AD=BC,AB=CD,

■:AD=BD,

:.BD=BC,

■:CE//BD,AD//BC,

・・・四边形6OEC是平行四边形，

又•：BD=BC,

•••四边形80EC是菱形；

（2）如图，连接BE交8于O,

•.•四边形BDEC是菱形,

，r>0=C0=ko=l,BO^—BE,CD!BE,

22

在RtzXB。。中，AD=BD=4,DO=1,

BO==V16-l—V15>

:.BE=2BO=2j^.

【解析】（1）由平行四边形的性质可得ZO〃8C,AD=BC=BD,由两组对边平行的四

边形是平行四边形，可证四边形8DEC是平行四边形，即可得结论；

（2）连接BE交。于。由菱形的性质可得。o=co=工cr>=i,BO=LBE,CDL

22

BE,由勾股定理可求8。的长，即可求解.

易错题05特殊平行四边形（矩形）判定与性质应用

1.（2020•西城区校级三模）在平行四边形Z8CZ）中，过点D作DE，4B于点E,点尸在边

S上，DF=BE,连接工厂，BF.

（1）求证：四边形8FDE是矩形；

（2）若CF=6,tanC=9,0c=16,求证：AF平分/DAB.

3

【答案】(1)证明：•・•四边形43C。是平行四边形,

J.AB//DC,

■:DF=BE,

・・・四边形BFDE是平行四边形，

U：DELAB,

:・NDEB=9G,

・♦・四边形3EDE是矩形；

(2)证明：・・•四边形8H^是矩形，

:・NBFC=NBFD=90°,

VCF=6,tanC=-i=—,

3CF

：.BF=&CF=8,

3

**•VBF2K；F2=782+62=10

・・•四边形48co是平行四边形，

：.AB//CD,AD=BC=\0,

：.NBAF=NDE4,

VDC=16,

：.DF=DC-CF=16-6=10,

:・AD=DF,

，NDAF=NDE4,

：.NB4F=NDAF,

/平分ND48.

【解析】(1)先求出四边形8尸DE是平行四边形，再根据矩形的判定推出即可；

(2)由三角函数定义求出8尸=2。尸=8,由勾股定理得出8c=10,由平行四边形的性

3

质得出AB//CD,/O=8C=10,则//证AD=DF,则乙D/尸=/Z)E4,

得出N8/尸=ZDAF即可.

支式练习»

1.(2020•开福区模拟)如图，在四边形Z8CD中，AD//BC,NABC=NADC,对角线4C、

8。交于点O,AO=BO,DE平分N4DC交BC于点E,连接OE.

(1)求证：四边形"88是矩形；

(2)若18=1,求△OEC的面积.

【答案】（1）证明：,•1Q〃8C,

/.AABC+ZBAD=\^0,ZADC+ZBCD^\SOa,

ZABC=ZADC,

：.NBAD=/BCD,

•••四边形是平行四边形,

：.OA=OC=—AC,OB=OD=—BD,

22

'：OA=OB,

：.AC=BD,

四边形48。是矩形.

(2)解：作。凡L8C于尸，如图所示.

•••四边形是矩形，

:.CD=AB=l,/8CD=90°,AO=CO,BO=DO,AC=BD,

：.AO=BO=CO=DO,

:.BF=FC,

22

:DE平分/ADC,ZADC=90°,

，/EDC=45°,

在RtZXEOC中，EC=CD=\,

△OEC的面积=上・白＞。尸=工.

24

【解析】（1）先证四边形N8CZ）是平行四边形，得出OA—OC——AC,OB=OD——BD,

22

再证出即可得出结论；

（2）作OF_L8C于尸.求出EC、。尸即可解决问题.

2.(2020•仪征市模拟)如图，8。为回"8的对角线，BDLAD,延长4。到点E,使得

DE=AD,连接CE.

(1)求证：四边形8CEZ)是矩形；

(2)若四边形8CED的周长是6旄，AB=5,求四边形BCE。的面积.

【答案】(1)证明：1•四边形是平行四边形，

:.CD=AB,AD=BC,AD//BC,

;DE=AD,

：.DE=BC,

四边形BCED是平行四边形，

又,：BDUD,

:.NBDE=90°,

四边形5CEO是矩形；

(2)解：：四边形8CED是矩形，四边形8CE。的周长是6旄,

8c=90°,BC+BD=3娓,

：.(BC+BD)2=45①，BC2+BD2=CD?=AB?=25②,

①-②得：2BCXBD=2Q,

：.BCXBD=10,

四边形8CEO的面积=5CX8D=10.

【解析】（1）证四边形8CEO是平行四边形，由/8。£=90°,即可得出四边形8CE。

是矩形；

（2）由矩形的性质得N。8c=90°,BC+BD=3事则（8C+8。）2=45①，BC2+BD2

=CD2=AB2=25@,①-②得28。义8。=20,WJBCXBD=\0,即可得出答案.

3.（2020•昌平区二模）在平行四边形N8C。中，过点4作于点E,点尸在边

上，Ji.DF=BE,连接。E,CF.

（1）求证：四边形/ECF是矩形；

（2）若DE平分N/OC,48=5,AD=S,求tan/NDE的值.

【答案】（I）证明：•••四边形/8C。是平行四边形,

：.AD=BC,AD//BC,

,:BE=DF,

：.AF=EC,

：.四边形AECF是平行四边形，

,：AELBC,

AZAEC=90°,

，四边形NEC/是矩形；

(2)解：如图所示：

〈DE平分N4DC,

・•・/ADE=/CDE,

・・•四边形力8c。是平行四边形，

：.AD=BC=8fAB=CD=5,AD//BC,

：.NADE=NDEC,

・•・4DEC=/CDE,

:・CD=CE=5,

:,BE=BC-CE=8-5=3,

U：AE1BC,AD〃BC,

:・/AEB=NEAD=90°,

【解析】(1)证四边形4ECF是平行四边形，再证出//£。=90。,即可得出结论;

(2)证出NQEC=NCDE,得出CD=CE=5,则BE=BC-CE=3,由勾股定理求出

AE=4,再由三角函数定义即可得出答案.

易错题06特殊平行四边形（正方形）判定与性质应用

1.（2020•长宁区二模）如图，已知四边形是矩形，点E在对角线力。上，点尸在边

CD±.（点尸与点C、。不重合），BELEF,且/Z3E+NCEF=45°.

（1）求证：四边形Z88是正方形；

（2）连结8。，交EF于点、Q,求证：DQ・BC=CE・DF.

【答案】证明：（1）如图，作瓦/L8C于点M,

•.•四边形/8C。是矩形,

C.ABLBC,

.,.EM//AB,

：.ZABE=NBEM,ZBAC=ZCEM,

•；N4BE+NCEF=45°,

:.NBEM+NCEF=45°,

■:BELEF,

：.ZCEM=45°=NBAC,

：.ZBAC=ZACB=45a,

：.AB=BC,

・,・矩形/BCQ是正方形；

(2)如图，

,:NBEF+NBCF+NEFC+NEBC=36G°,

：・NEBC+NEFC=180°,且NEFC+/。b。=180°,

：.ZDFQ=ZEBC,

四边形ABCD是正方形，

/.ZACB=ZBDC=45°，

:•△BCES^FDQ,

・BCCE

••二，

DFDQ

：.BC'DQ=CE'DF.

【解析】(1)作EM_L5c于点M,可证EM〃/18,可得NABE=NBEM,ZBAC=ZCEM,

由角的数量关系可得NCEM=45°=NBAC,可证可得结论；

(2)通过证明△3CEsZ\FO0,可得理_/殳，可得结论.

DFDQ

支式练习

1.(2020春•南充期末)如图，在矩形/BCD中，NR4O的平分线交8c于点E,EF1.AD

于点尸，DG工4E于点、G,0G与E尸交于点O.

(1)求证：四边形48M是正方形；

(2)若/£>=/£,求证：AB—AG；

(3)在(2)的条件下，已知48=1,求。。的长.

【答案】(1)证明：：矩形/8C。,

：.ZBAF=ZABE=90°,

'：EF±AD,

，四边形是矩形，

:AE平分NBAD,

:.EF=EB,

...四边形是正方形;

(2)；4E平分NB4D,

：.ZDAG^ZBAE,

'NDAG=NBAE

在△4G。和△4BE中，，ZAGD=ZABE-

AD=AE

:.“GD沿AABECAAS),

：.AB=AG-,

(3)•.•四边形48E厅是正方形，

，/8=力尸=1,

AAGD经4ABE,

：.DG=AB=AF=AG=1,

;AD=AE,

：.AD-AF=AE-AG,

即DF=EG,

'/FOD=NGOE

在△OF。和△EGO中，，ZDFO=ZEGO=90°-

DF=EG

:.△DFO•AEGO(44S),

：.FO=GO,FD=EG

；NDAE=N4EF=45°,NAFE=NAGD=9G°,

:.DF=FO=OG=EG,

：.DO=血。尸=6QG,

：.DG=DO+OG=42OG+OG=1,

：,OG=-L==42-1.

1+V2

：.OD=42（V2-1）=2-我.

【解析】（I）根据角平分线的性质证得根据正方形的判定即可证得结论；

（2）根据三角形全等的判定证得4G。丝△48£,由全等三角形的性质即可得到结论；

（3）首先证得△。尸。好ZkEG。得到/O=GO,/O=EG,根据勾股定理证得。。=圾。尸

=J，OG,根据线段的和差求解即可.

2.（2020春•潜山市期末）如图，已知四边形N8CQ为正方形，AB=3近,点E为对角线

/C上一动点，连接。E,过点、E作EFLDE,交8c于点尸，以DE、E尸为邻边作矩形

DEFG,连接CG.

（1）求证：矩形DEFG是正方形;

（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.

【解析】（I）作出辅助线，得到EN=EM,然后判断/£>£7V=/FEM,得到

FEM,则有Z）E=£F即可;

（2）同（I）的方法判断出△ZOE丝/XCCG得到CG=/£,即：CE+CG=CE+AE=AC

=6.

【答案】解：（1）如图，作EACL8C于M,EN工CD于N,

:.NMEN=90°，

,：点£是正方形ABCD对角线上的点，

:.EM=EN,

VZDEF=90°,

：.NDEN=NMEF,

,：ZDNE=ZFME=90°,

在△■DEN和△尸EM中，

，ZDNE=ZFME

<EN=EM，

ZDEN=ZFEM

：./\DENQXFEMUSA）,

：.EF=DE,

:四边形。EFG是矩形，

，矩形OEkG是正方形；

（2）CE+CG的值是定值，定值为6,理由如下:

,/正方形DEFG和正方形ABCD,

：.DE=DG,4D=DC,

'：NCDG+NCDE=NADE+NCDE=90°,

:./CDG=NADE,

'AD=CD

在和△COG中，，ZADE=ZCDG-

DE=DG

:.△ADEAACDG(S4S),

:.AE=CG,

：.CE+CG=CE+4E=4C=后8=^X3亚=6是定值.

3.(2020•郑州模拟)在△48C中，ZBAC^90°,4)是8c边上的中线，点E为的中

点，过点Z作/尸〃8c交8E的延长线于点凡连接CE

(1)求证：AD=AF；

(2)填空：①当N4C8=0时，四边形4OC尸为正方形；

②连接。凡当/ACB=°时，四边形48。尸为菱形.

【答案】(1)证明：是BC边上的中线,

,:AD=CD=BD,

二点E为/。的中点，

:・AE=DE,

•:AF〃BC,

：.NAFE=/DBE,

•I/AEF=/DEB,

:AAEF经ADEB(44S),

；・AF=BD,

：.AD=AF^

(2)解：①当NNC6=45°时，四边形4DW为正方形;

•：AD=AF,

：.AF=CD,

U：AF//CD,

・・・四边形力。。尸是菱形，

ZACD=ZACF=45°,

：.ZDCF=90°,

・・・四边形/QCF是正方形；

②当N4C8=30°时，四边形/切不为菱形；

;四边形是菱形，四边形48。尸是平行四边形，

:・CD=CF,

VZACB=ZACF=30°,

AZDCF=60°,

•••△OC尸是等边三角形，

:・DF=CD,

:・DF=BD,

，四边形48。尸为菱形.

故答案为：45,30.

rE

B''C

【解析】（1）根据直角三角形的性质得到/D=8=3D,根据全等三角形的判定和性质

即可得到结论；

（2）①根据菱形的判定定理得到四边形ADCF是菱形，求得ZDC尸=90°,于是得到

结论；

②根据平行四边形的性质得到8=。凡推出△Ob是等边三角形，得到。尸=8。，于

是得到结论.

易错题07四边形综合应用。

1.（2020•越秀区校级二模）如图所示，四边形/8CO为菱形，AD=5,$布8=建，点E为

25

边N8上一动点（不与端点重合），ADEF与ADEA关于DE对称.

（1）试求菱形488的面积；

（2）若点。、B、尸共线，求/E的长：

（3）点G为边CD上一点，且CG=1,连接GF、BF,试求BF+2GF的最小值.

【答案】解：（1）过点/作于，，如图】所示:

•.•四边形是菱形,

:.AB=BC=CD=AD=5,NB=NADH,

.•.sin/B=sinN/D”=^=丝，

AD25

丝，

25255

:.SABCD—CD,AH—5X—24；

5

（2）连接NC交8。于O,如图2所示：

在中，由勾股定理得：DH=4刈27H2=,52一陪）2=看,

:.CH=CD-DH=5-工=耳

55

在RtZX/C”中，由勾股定理得：NC=9AH24cH2=｛管）2+管）2=6,

".'SABCD——AC*BD—24,

2

9424

:.BD=-^-==8,

yACyX6

,//\DEF与ADEA关于。E对称,

NADE=ZFDE,

:.DE平•分4ADB,

...点E到40、80的距离相等，

设点E到/1。、8。的距离为力，

Q^-AD'hT-AE*AH

..bAADE-A_______A______

*q—1-1

bABDE桃D・hyBE-AH

•AD=AE

"BDBE

•.•一AE--_—5,

BE8

131313

(3)连接BD,如图3所示：

,:DA=DF=5,

...点尸在以。为圆心，5为半径的圆弧上移动，即在标上移动,

；CG=1,

：.DG=CD-CG=5-1=4,

作以。为圆心，4为半径的食，交BD于O,交DF于N,

在8。上截取。阴=$,连接CMMN、MC,

2

:.DN=DO=DG=4,DA=DC=DF=5,

,:BD=8,

.DN=DM=1

"BDDF2"

NMDN=NFDB,

:AMDNsAFDB,

.MN=MD1

"BFDF2"

:.MN=LBF,

2

在△£WC和△OG尸中,

DN=DG

ZNDC=ZGDF-

DC=DF

:.△DNCR4DGF(SAS),

：.NC=GF,

：.BF+2GF=2{—BF+GF)=2(MN+NC)22MC,

2

.•.当且仅当M、N、C三点共线时，MY+NC取得最小值,

过点M作于。，

%Jgx8)2-gx卷/

由(2)得：sinZCDO=—.....=色，cosZCDO=~--------------------------------------

yX8，yX8

.MQ=2DQ=A

"DM亏'DMT

.•.A/0=3M/=旦x§=3,£>0=APM=AXA=2,

5522552

：.CQ=DC-DQ=5-2=3,

在RtZXCA/0中，由勾股定理得：=J(且)2+32=

DC

图3

图2

图1

【解析】（1）过点/作47JLCQ于〃，先由菱形的性质得N8=5C=CO=NZ）=5,NB

=ZADH,再由三角函数定义求出44=22，然后由菱形面积公式计算即可；

5

（2）连接4C交8。于O,先由勾股定理求出工,ZC=6,由菱形面积求出8。=8,

5

再由轴对称的性质和角平分线的性质得点E到/。、8。的距离相等，设点E到力。、BD

的距离为力，然后由面积关系求出4E=至；

13

（3）连接8。，则点尸在以。为圆心，5为半径的圆弧上移动，即在菽上移动，DG=

CD-CG=4,作以。为圆心，4为半径的食，交BD于O,交.DF于N,连接CN,在

8。上截取£）A/=S,连接MN、MC,则£W=OO=DG=4,Z）/=L»C=DF=5,证△M£W

2

SXFDB、得MN=LBF,再证△ONC丝aoG尸（S/S）,得NC=GF,则BF+2GF=2（」

22

BF+GF）=2CMN+NC）22A/C,当且仅当A/、N、C三点共线时，MV+NC取得最小值，

过点〃作MQ_LOC于。，然后由三角函数定义求出加。4，00=2,即可解决问题.

支式练习

1.（2020•新泰市二模）在平行四边形力88中，力。的平分线交直线8C于点E,交直

线DC于点F.

（1）在图1中证明：CE=CF；

（2）若48C=90°,G是）的中点（如图2）,求出N8OG的度数；

（3）若N/8C=120°,FG//CE,FG=CE,分别连接D?、DG（如图3）,求/8OG的

度数.

【答案】解：（1）如图1.

D

图1

:/尸平分/8/。，

，ZBAF=ZDAF,

■：四边形ABCD是平行四边形,

：.AD//BC,AB//CD,

:・NDAF=/CEF,NBAF=NF,

：.ZCEF=ZF.

:・CE=CF.

(2)如图2,连接GC、BG,

AD

图2F

•；四边形ABCD为平行四边形,N4BC=9Q°,

，四边形为矩形，

：/尸平分/B/。，

:.NDAF=NBAF=45°,

•：ZDCB=90Q,DF//AB,

：.ZDFA=45°,NECF=9Q°

：.△ECF为等腰直角三角形，

2G为所中点,

:.EG=CG=FG,CGVEF,

•••△48E为等腰直角三角形，AB=DC,

：.BE=DC,

9：ZCEF=ZGCF=45°,

：.ZBEG=ZDCG=135°

在△BEG与△Z)CG中，

'EG=CG

:ZBEG=ZDCG«

BE=DC

:ABEG乌/\DCG'

：.BG=DG,

,：CGLEF,

：.ZDGC+ZDGA=90°,

又；ZDGC=ZBGA,

.\ZBGA+ZDGA=90°,

...△DG8为等腰直角三角形,

:./BDG=45°.

(3)如图3,延长48、FG交于H,连接

图3

'：AD//GF,AB//DF,

四边形AHFD为平行四边形

VZABC=\20Q,4F平分NB4D

/.ZDAF^30°,N/£)C=120°,/。用=30°

...△D4E为等腰三角形

：.AD=DF,

：.CE=CF,

.,•平行四边形为菱形

/./\ADH,△£>，/为全等的等边三角形

：.DH=DF,ZBHD=ZGFD=60°

,:FG=CE,CE=CF,CF=BH,

:.BH=GF

在△8//。与△GFZ）中，

fDH=DF

ZBHD=ZGFD-

,BH=GF

:./XBHD迫/\GFD,

：.ZBDH=ZGDF

ZBDG=ZBDH+ZHDG=ZGDF+ZHDG=60°.

【解析】（1）根据“尸平分N84。，可得NB4F=ND4F,利用四边形/SCO是平行四边

形，求证NCE尸=/尸即可.

（2）根据N/8C=90°,G是所的中点可直接求得.

（3）延长/8、FG交于H,连接"D证四边形/"尸。为为菱形得△/£>//,△DHF为全

等的等边三角形，再证ABHDgAGFD得NBDH=NGDF,根据NBDG=NBDH+NHDG

=ZGDF+ZHDG可得答案.

2.（2020•越秀区一模）如图所示，四边形/8CQ为平行四边形，AD=13,AB=25,ADAB

=a,且cosa=-"，点E为直线CO上一动点，将线段及4绕点£逆时针旋转a得到线

13

段EF,连接CF.

（1）求平行四边形N5CZ）的面积；

（2）当点C、B、尸三点共线时，设E尸与Z8相交于点G,求线段8G的长；

（3）求线段CF的长度的最小值.

【答案】解（1）如图1,作DKL4B于点K,

图1

•.•将线段EA绕点£逆时针旋转a得到线段EF,

:.NAEF=a,AE=EF,

在RtADJA：中，

*.*cosZDAK=cosa==-^-,且/。=13,

AD13

：.AK=5,

DK=VAD2-AK2=V132-52=12'

••S平行四边形48czXQK=25义12=300；

(2)如图2,延长8至H,作N4/£>=a,

•/ZAHD=ZADH=a,

过点A作AMLDH于点M,

由(1)知4W=12,

*1,DM=VAD2-AM2=5,

：.DH=]0,

丁NFEH=NDEA+/a=NF+a,

；・/DEA=/F,

在△/£•〃和中，

<ZAEH=ZF

,ZH=ZC，

AE=EF

:•△AEHeXEFC(44S),

:・EH=CF,CE=AH=\3,

：.DE=CD-CE=\2fBF=CF-BC=22-13=9,

,:BG〃CE,

:./XFBGSAFCE,

••B•F----=B-G---

CFCE

即a里,

2213

；.BG=^-

22

(3)如图3,延长CD至P,使NP=ZADP=a,过点F作FM//BC,交CD于点M,

过点月VJ_CO,交CD于点、N,

图3

由(2)可知N4EP=NEFM,

在△£■/「和△尸EM中.

fZP=ZFME

<ZAEP=ZEFM>

AE=EF

:AEAP%AFEM(AAS),

：.EM=AP^=\3,FM