小学奥数教程-等差数列计算题教师手册

比较与估算

尊承包强

本讲是在分数计算方面技巧的基础上，进一步认识小数、分数，只是从比较大小方面认识它们，这一

讲主要介绍一些比较较为复杂的小数、分数大小的方法，主要有通分子、通分母、倒数法、放缩法等。

一、小数的大小比较常用方法

为方便比较，往往把这些小数排成一个竖列，并在它们的末尾添上适当的“0”，使它们都变成小数位数

相同的小数.（如果是循环小数，就把它改写成一般写法的形式）

二、分数的大小比较常用方法

⑴通分母：分子小的分数小.

⑵通分子：分母小的分数大.

⑶比倒数：倒数大的分数小.

⑷与1相减比较法：分别与1相减，差大的分数小.（适用于真分数）

⑸重要结论：

①对于两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都大的分数比较大；

②对于两个假分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都小的分数比较大.

（6）放缩法

在实际解题的过程中，我们还会用到其它一些思路！同学们要根据具体情况展开思维！

三、数的估算时常用方法

(1)放缩法：为求出某数的整数部分，设法放大或缩小.使结果介于某两个接近数之间，从而估算结果.

(2)变换结构：将原来算式或问题变形为便于估算的形式.

模块一、两个数的大小比较

【例1】如果a=陋，人2006

,那么a,匕中较大的数是

20062007

【考点】两个数的大小比较【难度】2星【题型】填空

【关键词】希望杯，五年级，一试

【解析】方法一：〈与1相减比较法》

」2005120061r*1

1-------=-------；1d—------=--------.因为------>,所以b较大；

200620062007200720062007

+、+—彼工20052006,

方•法—：V比LL倒数法'+〉因B为.---1->---1--,所-以r--2--0-0-6>-2-0--0-7,进而----<-----,SPAna<b；

200520062(X)5200620062007

方法三：两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，分子和分母都大的分数比较大，所以。大

【答案】b

【巩固】试比较史史和史竺的大小

19981949

【考点】两个数的大小比较【难度】2星【题型】填空

19951946

【解析】

19981949

【答案】19951946

19981949

“处444443询555554

【巩固】比较-------和-------的大小

444445555556

【考点】两个数的大小比较【难度】2星【题型】填空

因为—竺4444咛43=2555554222

【解析】1,1-，显然-------->---------,根据被减数一定，减数

444445444445555556~555556444445555556

越大差越小的道理，

有,-4-4-4-4-4--3<-5--5-5-5-5-4

.444445555556

444443555554

【答案】---------<---------

444445555556

.A111111110C444444443

[例2]如NF果FLA=----------,B=/与8中哪个数较大？

222222221888888887

【考点】两个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

【关键词】迎春杯，决赛

【解析】方法一：观察可以发现48都很接近1,且比它小.我们不防与上比较.

22

-------1------，，一8<_1一/,即8比/更接近1，换句话说

2-A=------------------,-----B=B

22x22222222122x888888887222

>A.

111111110111111110x4444444440444444443„

方法二,即A<5.

―222222221—22222222lx4-888888884888888887一

-=2——!——显然，贝|JA<8

方法三—二2---------

A111111110B444444443AB

【答案】B

【巩固】如果联程'八需'那么”和“中较大的数是一■

【考点】两个数的大小比较【难度】2星【题型】填空

【关键词】祖冲之杯

222221666663666662333331

【解析】A=>---------=----------=Bo，即4大

222223-666669666668333334

【答案】A

【巩固】试比较黑和温的大小

【考点】两个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

【解析】方法一：观察可知，这两个分数的分母都比分子的10倍多1.对于这样的分数，可以利用它们

的倒数比较大小.”的倒数是1+-HL=io—，5L的倒数是1+-H1L=io—,

1111111111111111111111111

我们很容易看出io—L>io—匚，所以W<U1L；

HImimimu

方法二：_LU_=ULJ2=_LU2,两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母

11111111x1011110

都大的分数比较大，所以黑〈器即“mi

<-----

mi11111

1111111

【答案】----<-----

111111111

［例3］在5=20032003x2002和6=20022003x2003中，较大的数是比较小的数大

【考点】两个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

【关键词】希望杯，4年级，1试

【解析】Z>a=20022003x2003-20032003x2002=20020000x2003+2003x2003-20030000x2002-2003x2

002=2003x(2003-2002)=2003

所以a比。大2003

【答案】a比。大2003

设於11,K111,则在a与。中，较大的数是

［例4］+++

34567

【考点】两个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

所以！+工>!+」+!，即日是较大的数。

【解析】可采用放缩法。因为1:i>-+

366674534567

当然这道题目我们也可采用通分求结果的一般方法。

【答案】

w/1111与1的大小.

［例5］比较r+r+—7+…+—r

82921026428

【考点】两个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

【解析】如果直接放缩：

11111111

+・・・-1-----<------H--------H---------+•••+

正+余+方6427x88x99x1063x64

1

+63~64

764

但是，<_L__L，所以不能确定3+二+—1+…+工与’的大小关系,

876482921026428

同样如果如下进行放缩：

11111二+」1

,,+---r>-------+...+

记+班+『.64-8x99x1010x1164x65

,也不能确定.

865

但是如果保留!，将4+4+-+1进行放缩，则有：

8292102不

11111111

------十+・..+

记+还+…+商<记+8x99x1063x64

1111

=-----1---------=—,

648648

可见两者中，较大.

8

［较大

【答案】

8

135799与、相比，哪个更大，为什么？

【巩固】-X—X-X-X,••X--------

2468100

【考点】两个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

【135768100

【角单析】lC67=—X—X—X—X...X—,显然有:a<h=-x-X-X—X,•,X--------

24681003579101

而"=」-<」一，有/<_L，所以原分式比-L小.

10110010010

【答案】上更大

10

［例6］试比较：［x2x?…x2与?x3x3x…x3哪一个大？

-296^2185个3

【考点】两个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

8个2

【解析】296=37x8,185=37x5,因为2x2x2”…x2=变>]所以?x2x2x…x2>?x3x3X…X?

3、__x__3__x__3___x___…___x__3/24329?b2185个3

5个3

【答案】2x2x2x・・・x2

-296^2-

［例7］图中有两个黑色的正方形，两个白色的正方形，它们的面积已在图中标出(单位：厘米2).黑色

的两个正方形面积大还是白色的两个正方形面积大?请说明理由.

19932I9922

1996219972

【考点】两个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

【关键词】华杯赛，口试

【解析】此题利用到平方差公式：合一匕2=0+力x(a-b)

19972-19962=(1997+1996)x(1997-1996)=1997+1996=3993

19932-19922=1993+1992=3985

所以19972-19962>19932-19922

即19972+19922>1996:+19932,两个白色正方形的面积大.

【答案】两个白色正方形的面积大

【例8】在llll,...,—中选出若干个数使它们的和大于3,最少要选多少个数？

23499100

【考点】两个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

【解析】为了使选出的数最少，那么必须尽可能选择较大的数.

有J」」,…,」,一L依次减小，所以我们选择时应从左至右的选择.

23499100

<1141141111«2.925

+23+4+56+7+89++10

234567891011

所以最少选择11个即可使它们的和大于3.

【答案】11个

【例9】已知：A=±7x3SxR?x…x丝，那么A与0.1中比较大，说明原因；

369999-----------

【考点】两个数的大小比较【难度】4星【题型】填空

3〃一23〃（3”—-—I（3/1-1）2

【解析】3H-1X3^H-（3W）2-1<（3n）2

123997998999

>——X——X——X•••X--------X---------X------------

23499899910001000

A>,,即A比0」大

10

【答案】A比较大

模块二、多个数的大小比较

【例10】⑴比较以下小数，找到最大的数：l.izi,1.121,1.12,1.12121,1.12

⑵比较以下5个数，排列大小：1,0.42,-,1.667,

73

【考点】多个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

【解析】⑴题目中存在循环小数，将所有小数位数补至相同的位数，如下所示：

1.121-1.12112112/

1.121->1.121000000

1.12-1.121212121

1.12121-1.121210000

1.12-+1,120000000

于是可以得出结果，1.近是最大的数.对于循环小数的问题，首先考虑的就是将其展开，从中获

得足够的信息，然后按照小数比较原则判断，不处理而一味的观察是没有意义的.

⑵题目中出现了整数、小数、假分数，可以先把数分为两个部分，一部分为小于1的数，一部分

为大于等于1的数，然后两部分内部比较，无须两部分间重复比较.

••Q_Q••••••

①小于/的部分为0.42和—，将小数展开，并把二化为小数得：0.428571,显然0.428571>0.42,

77

3••

即一〉0.42；

7

②大于等于1的部分中，有整数、小数、假分数：1,1,667,-,先将假分数化为带分数12,

33

比较三数整数部分，发现都为1，然后比较其他部分:1-=1.666666...<1.667，所以得到1<1-

33

••32

<1.667.即得：0.42<-<1<1-<1.667.

73

••••72

【答案】（1）1.12（2）0.42<-<1<1-<1.667.

73

【巩固】在L,2,3中，最小的数是______o

3711

【考点】多个数的大小比较【难度】2星【题型】填空

【关键词】希望杯，五年级，一试

【解析］！=2>2=乌>21=3所以最小的是3

36777771111

【答案】-

II

【巩固】在口、3.04、31四个小数中，第二小的数是一

53

【考点】多个数的大小比较【难度】2星【题型】填空

【关键词】走美杯，五年级，初赛

【解析】由于"=3.4,3-=3.333333.,可以看出，其中第二小的数为31。

533

【答案】3-

3

分数黑镜中最大的一个是

【巩固】

【考点】多个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

【关键词】走美杯，初赛，六年级

【解析】—

301

【答案】—

301

【巩固】有8个数，o.5i,2,2,0.51,U是其中6个，如果按从小到大的顺序排列时，第4个数

394725

是0.5i,那么按从大到小排列时，第4个数是哪一个数？

【考点】多个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

252413

【解析】—=0.6,-=0.5,—«0.5106,—=0.52，显然有0.5106之0:51v0.51v。，即

394725

—<051<0.-^?<3，8个数从小到大排列第4个是0.5i,

47259

741QS7

WWn<Q<—<0.51<0.51<-<-<-.（"□”表示未知的那2个数）.所以，这8个数从大到小排列

472593

第4个数是0.5i.

【答案】0.51

199819981999199920002000.八融白

【巩固】在---------,----------中，最小的分数是一

199919992000200020012001

【考点】多个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

【关键词】数学爱好者夏令营

199819981998199919991999200020002000珀后壬诙公、人g工4人百八枇

【解析】因为---------=-----根据重要结论----对于两个真分数,

19991999~199920002000~2000200120012001

如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都大的分数比较大；而且：

19981999200019981998

-----<------v------,所以，最小的是

19992000200119991999

19981998

【答案】

19991999

[^J111(1)把下列各数按照从小到大的顺序排列：5，得，V,£

(2)(幼苗杯数学邀请赛)把下列分数用“<”号连接起来：岑,

【考点】多个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

【解析】⑴我们可以用通分子的方法，可得：

3x15_455x9459x54515x345

7xl5-105,13x9-n7,16x5-80,28x3-84，

分母大的反而小，所以2<±<三〈二.

1372816

⑵这五个分数的分母都不相同，要通分变成同分母的分数比较麻烦.再看分子，60正好是10、

12、15、20、60五个数的公倍数.利用分数的基本性质，可以将题中的各分数化为分子都是60

的分数.我们称之为“通分子比大小”的方法.

10601260156020606060.-r6060606060

__—___m

=

1710219952392'3399919110299959291

〃『曰1020121560

一<一.

1733192391

..53159..1020121560

——<—<—<—(2)—<—<——<——<—

13728161733192391

【巩固】将史、0.523,0.523.0.5。从小到大排列，第三个数是_______.

25040

【考点】多个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

【关键词】华杯赛，六年级，决赛

13121

【解析】——=0.524,—=0.525

25040

17121

所以：0.52<0.523<0,523<—<—,第三小的数是0.52

25040

【答案】0.523

【巩固】这里有五个分数：如果按大小顺序排列，排在中间的是哪个数？

38231719

【考点】多个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

1?

【解析】-

19

【答案】-

19

【巩固】将下列乘式结果按从小到大排序：661x669,662x668,663x667,664x666,665x665.

【考点】多个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

【解析】看式子前两位相同，于是我们想到可不可以变成“前面部分一样+一个简单算式”的形式.

看661x669,我们的目标是把十位和百位的6提取出来，转化算式：

661x669=(660+0x(660+9)=660x660+lx660+9x660+1X9=6602+(1+9)x660+1x9

可以看到，这5个乘式的前两项结果是一样的，即我们只要比较1x9,2x8,3x7,4x6,5x5

的大小，就可以得出：661x669<662x668<663x667<664x666<665x665.

【答案】661x669<662x668<663x667<664x666<665x665

【巩固】编号为1、2、3的三只蚂蚁分别举起重■为空，—,史克的重物.问：金、银、铜牌应分

127333488

别发给几号蚂蚁？

【考点】多个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

【关键词】华杯赛,初赛

12_111

【解析】

—=1--

12712712710.5…'

12

302131_11_11

333333333-10.7…

31

439।491111

------=1---------=1----------=1------------

4884884889.9…

49

302115439

所以，------>------>-------.

333127488

悟案】翳捺爵

【巩固】请把竺，工，竺叱,号这4个数从大到小排列。

6575326809

【考点】多个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

【解析】将1与这四个分数依次做差，得一!一、—,—L显然有

-----<----<一<—，被减数相同,

65753268092680657539

2679656528

差小的数反而大，所以----->---->--->一

2680657539

2679656528

【答案】------->------>—>-

2680657539

【例12]—,在上式的方框内填入一个整数，使两端的不等号成立，那么要填的整数是多少？

3109

【考点】多个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

【解析】将不等式中的三个数同时除以80,不等号的方向不改变，有317,而上3、,7的倒

310口720310720

数分别为呼、一，而口应该在半口工手之间，即在103.33~102.86之间（在计算循环小数时，

将其小数点后保留2位数字），其中的整数只有103,所以口内所填的整数为103.

【答案】103

【巩固】⑴比,大比g小的分数有无数多个，则分子为27的分数是.（写出一个即可）

⑵右面方框里填什么自然数时，不等式成立？1

9U

【考点】多个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

【解析】⑴设比2大比1小的分数为x，贝ij:-<x<-,EP—<x<—,—<x<—,所以竺<x〈空，

7373212142428484

不妨取工二工,那么2<2Z<J_,满足题意.再比如等也满足题意.

847843858683

⑵分子5+4=9,可以把1看成4上,利用加成分数原理得口=13.

4

【答案】⑴名（2）13

84

【巩固】比2大，比3小的分数有无穷多个，请写出三个：。

34------------

【考点】多个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

【关键词】希望杯，五年级，一试

818389

【解析】

no；120120

818389

【答案】

120120120

【巩固】⑴找出一个比士大，比』小的分数。

56

⑵满足下式的括号里的数字有多少个自然数：

【考点】多个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

【解析】⑴方法一：任意两个分数，把分子和分子相加，分母和分母相加，所得的分数叫做加成分数.加

成分数的值介于原来两个分数之间.根据加成分数原理4"+三5二9二,92是介于34和25之间的一个

5+6111156

分数.

方法二：如果通分母，可以得到同分母分数上和2.把这两个分数的分子、分母扩大2倍，可

3030

以找出一个比4上大，比52小的分数49竺；如果把这两个分数扩大3倍，可以再得到两个中间的分

5660

数万等等.

90

我们也可以用类似的方法，通过通分子去找比已大、比°小的分数.同学们可以自己试一试.

56

⑵首先判断第一个不等号两边的关系，;，因此（）<35,再判断第二个不等号两边的关系，

,因此（）>15.根据以上分析，可以确定（）中能填入19个自然数.

根据分数基本性质等值放缩分数是处理分数问题最常用的方法.

Q

【答案】（D—（2）19

11

【巩固】下式中五个分数都是最简真分数，要使不等式成立，这些分母的和最小是多少？

>工

()()()())

【考点】多个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

【解析】由于要求分母的和最小，则从最小的自然数开始考虑，1是不符合最简真分数要求的分母，因此

可选择的最小自然数为2,2只能放在第一个分数上做分母.后面要找比万小的最简分数：3、4

依次被淘汰，5被选中放入第二个分数中.依次规律，

可得结果：.

2581114

【答案】2+5+8+11+14=40

【例13】在下面9个算式中:

^35^36^37^38^39310311312313

①一+—，②一十—，③一十—，④一+—，⑤一+—，⑥一+—，⑦一+—,®—+—，⑨一+—,

5""206‘"20J7"20c8"20c9"20…10”20…112012201320

第几个算式的答数最小，这个答数是多少？

【考点】多个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

【解析】方法一：

3+36

①-②=----1------_2__±>Oifip©>a)；

620

z367

r*

②即③

=-+-->O>

6

<202020

3831

-->O即>④

+一

-一---

87X8

2020

383931

+-+-<O即④<⑤

一

-=--一

898X9

202020

⑤■⑥，⑥-⑦，⑦•⑧，⑧・⑨所得的差依次为‘------3-1_3一J_均小于0,所以

10x1120llxl2-2011x1220

⑤〈⑥，⑥〈⑦，⑦〈⑧，⑧<⑨,那么这些算式中最小的为④，有④为三+金=三

82040

方法二：注意到每组内两个分数的乘积相等，均为』.

20

因为当两个数的乘积相等时，这两个数越接近，和越小.其中第4个算式中3、§最接近，所

820

以第4个算式最小•

【答案】第4个，卫

40

过2005x2006—2006x20072007x2008府”一/、

【巩固】若5=---------------,b=---------------,0=---------------,则有(}>

2007x20082008x20092009x2010

(A)a>b>c(B)a>ob(C)a<c<b(D)a<txc

【考点】多个数的大小比较【难度】3星【题型】选择

【关键词】华杯赛，初赛

【解析】略

【答案】D

【巩固】甲、乙两个天平上都放着一定重■的物体，问：哪一个是平衡的？

【考点】多个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

【关键词】华杯赛，初赛

【解析】考虑除以3,所得的余数

因为478除以3余1,9763除以3也余1（只要看4+7+8,9十7+6十3除以3的余数），所

以478x9763除以3余1=1，而4666514除以3余2（即4+6+6+6+5+1+4除以3余2）,

因此478x9763^4666514,从而天平甲不平衡.天平乙是平衡的.

【答案】天平乙是平衡的

【例14】用“〉”号把下列分数连接起来：—-352_

24168812

【考点】多个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

【解析】这道题目本身并不难，孩子们用自己的办法可以很快的做出来，但如果数字变的复杂些，那么我

们就必须找到一个有效方法了。从这道题目，我们可以给大家展示另外2种典型思路。

法1:

1311911311511711

--=--1--，--=--1--，-=--9-=-1-,--=--1--,

242241621682882812212

81216248

法2:观察可以发现分母都是4的倍数，所以我们不妨把分母都化为4,可得：

1313^6