人教版八年级下册数学第十八章《平行四边形》综合练习题

《平行四边形》综合练习题

一.选择题（共10小题）

1.（2021•绍兴）如图，菱形A8CC中，NB=60°,点尸从点8出发，沿折线BC-CQ方

向移动，移动到点。停止.在AAB尸形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（）

A.直角三角形一等边三角形一等腰三角形一直角三角形

B.直角三角形一等腰三角形一直角三角形一等边三角形

C.直角三角形一等边三角形一直角三角形-等腰三角形

D.等腰三角形一等边三角形一直角三角形一等腰三角形

2.（2021•锡山区校级模拟）如图，△ABC中，ZC=900,8c=8,AC=6,点P在43上,

AP=3.6,点E从点A出发，沿AC运动到点C,连接PE,作射线PF垂直于PE,交直

线8c于点F,EF的中点为Q,则在整个运动过程中，线段PQ扫过的面积为（）

R

A.8B.6C.且冗D.空兀

416

3.（2021春•安宁市校级期中）如图，正方形ABCQ中，点E、F分别在BC、CO上，/XAEF

是等边三角形，连接AC交EF于G,下列结论：①BE=DF；②/£>AF=15°,③AC垂

直平分EF,④CG迈CE，其中正确结论有（）个.

A.1B.2C.3D.4

4.（2021•慈溪市模拟）已知，矩形ABC。中，E为AB上一定点，F为BC上一动点,以

EF为一边作平行四边形EFGH,点G,H分别在CD和4。上，若平行四边形EFGH的

面积不会随点F的位置改变而改变，则应满足（）

C.AB=2AED.AB=3AE

5.（2020秋•沈北新区校级期末）如图，已知正方形48s的边长为4,点M和N分别从8、

C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、力运动，连接AM、BN,交于点P,

连接PC,则PC长的最小值为（）

C.375-1D.2疾

6.（2020秋•化州市期末）如图，已知E,尸分别为正方形A8CD的边AB,BC的中点，AF

与DE交于点M,。为BO的中点，则下列结论：①ZAME=90°,②/BAF=NEDB,

其中正确结论的有（)

C.2个D.1个

7.（2019秋•鼓楼区期末）如图，ABLAF,EFLAF,BE与A尸交于点C,点。是8c的中

点，NAEB=2NB.若BC=8,EF=S，则AF的长是（）

B

A.V6B.V?C.3D.5

8.（2020•龙岗区校级模拟）如图，等边△ABC与正方形。EFG重叠，其中。、E两点分别

在AB、BC上,且BO=BE.若AB=6,DE=2,则△£：人?的面积为（）

2C.2爪D.4

9.（2019秋•温江区校级月考）如图，在矩形A5CD中，DELACE,ZEDC：ZEDA=\：

)

A.5正B.5C.3D.平

10.（2021春•朝阳区校级期中）如图，在给定的正方形A8C。中，点£从点5出发，沿边

方向向终点C运动，。尸，AE交A8于点F,以FD,小为邻边构造平行四边形DFEP,

连接CP,则NDFE+NEPC的度数的变化情况是（）

A.一直减小B.一直减小后增大

C.一直不变D.先增大后减小

二.填空题（共10小题）

11.（2021春•兴化市月考）如图，在正方形ABCC中，F在A8上，E在BC的延长线上，

AF=CE,连接DF、DE、EF,EF交对角线2。于点MM为EF的中点，连接MC,下

列结论：①为等腰直角三角形；②NFDB=NFEC；③直线MC是8。的垂直平

分线；④若BF=2,则MC=&：其中正确结论的有.

12.（2021春•黄陂区期中）如图，在平行四边形A8CO中，E,尸分别为BC,C。的中点,

ZEAF=60°.若4E=3,AF=4,则4B的长为.

13.（2021•河南模拟）如图，矩形ABC力中，AB=3,BC=4,OE'平分NADC交BC于点E,

AF平分NBA。交BC于点F,交DE于点、G,则空=____________________.

FG-

14.（2020•历城区三模）如图，正方形4BCO的边长为6,点E是BC的中点，连接AE与

对角线BD交于点G,连接CG并延长，交AB于点F,连接DE交CF于点H,连接AH.以

下结论：①CFLDE；②史=2；©AD=AH-,④G"=&尿，其中正确结论的序号

HF3下？

是

5（2020•香坊区三模）正方形ABC。中，点E、尸分别在边BC、CD上，尸于点G,

过点尸作AE的平行线，交AO于点”，交的延长线于点N,CN=3DM,AM=区,

2

则FG的长为

16.（2020•南岗区四模）如图，点£,F分别在正方形ABCO的边A。，CC上，HAE=DF,

连接BE,AF,BF,8E与AF相交于点G,点”，P分别为AB,BF的中点，连接GH,

GP,若G〃=4,GP=5,则EG的长为.

17.（2020秋•青羊区校级月考）如图，四边形ABC。是边长为4的菱形，NC=60°,点P

是射线CE上的动点，线段AP的垂直平分线MN交于点F,连接P凡若是

等腰三角形，则PF的长为

M

18.（2020秋♦碑林区校级月考）如图，在平行四边形A8CD中，/8=60°,AB=6,BC

=4,点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F,使得DE=2DF,以EC、EF

为邻边构造平行四边形EFGC,连接EG,则EG的最小值为.

19.（2020秋•郸都区期中）如图是一个边长大于16cm的正方形，以距离正方形的四个顶点

8cm处沿45°角画线，将正方形纸片分成5部分，则中间阴影部分的面积.

20.如图，在正方形ABC。中，AB=2.G为对角线的延长线上一点，E为线段CZ）的

中点，BFLAE,连接OF.已知/D4G=15°,下列说法正确的是.（将正确答

案的序号填写下来）

①AG=BD；②BF=a；③空:JL；④5#OF=」；⑤若E点为线段CQ上一动点，当

0A33

AE=EC+CQ时，AQ=4.

G

三.解答题（共10小题）

21.（2021春•海淀区校级期末）如图，AABC中，AB=AC,AQ是NBAC的角平分线，点

。为AB的中点，连接£>0并延长到点E,使OE=O£>,连接AE,BE.

（1）求证：四边形AEBO是矩形；

（2）当NBAC=时，矩形是正方形.

22.（2021•恩施州）如图，矩形A8C。的对角线4C,交于点O,KDE//AC,AE//BD,

连接0£求证：OELAD.

23.（2021•道里区三模）如图，平行四边形ABCQ中，NBCQ的平分线交A。于E,ZABC

的平分线交皮）于点F.

（1）求证：AE=DF；

(2)若乙4=120°,BF=&M，EF=3,求BC的长.

24.（2021•鼓楼区二模）如图，在正方形ABC。中，E、F、G、H分别是各边上的点，且

AE=BF=CG=DH.求证:

(1)4AHEQABEF；

(2)四边形EFG”是正方形.

25.(2021•聊城)如图，在四边形A8CD中，AC与8。相交于点。，且AO=CO,点E在

BD±,满足NEAO=NDCO.

(1)求证：四边形AEC。是平行四边形；

(2)若A8=BC,CD=5,AC=8,求四边形AECD的面积.

26.(2021•南岗区校级模拟)已知4力是△4BC的中线，M是40的中点，过点A作AE〃

BC,CM的延长线与4E相交于点E,与48相交于点尸，连BE.

(1)如图1,求证：四边形AEB。是平行四边形；

(2)如图2,若AC=3AF,在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有与/

AO8相等的角(乙4。8除外).

E

图1图2

27.（2021•岳阳）如图，在四边形A8C。中，AEVBD,CF±BD,垂足分别为点E,F.

（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形AECF为平行四边形，你添加

的条件是;

（2）添加了条件后，证明四边形AEC尸为平行四边形.

28.（2021•南岗区校级一模）点、E、F分别在菱形ABCD的边BC、CQ上，BE=DF,作FG

//AE,交AC的延长线于点G,连接AF、EG.

图1图2

（1）如图1,求证：四边形AEG尸是菱形；

（2）如图2,当AF平分NCA。时，在不添加辅助线及字母的情况下，请直接写出图中

所有的等腰三角形（不包括腰长等于AB的等腰三角形）.

29.（2021春•海淀区校级期末）如图，在△ABC中，。、E、产分别是A8、AC.BC的中点.当

△4BC满足什么条件时，四边形D4EF是正方形，请说明理由.

30.（2021•西湖区校级三模）如图，。是正方形ABCQ对角线AC,8。的交点，AF平分/

BAC,交BD于点M,OELAF于点〃，分别交A2,AC于点E,G.

（1）证明△?!£：£＞丝△8必；

（2）例是等腰三角形吗？请说明理由；

（3）若OG的长为1,求8E的长度.

参考答案

一.选择题（共10小题）

1.（2021•绍兴）如图，菱形A8C。中，ZB=60°,点P从点2出发，沿折线5C-C。方

向移动，移动到点。停止.在△ABP形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（）

A.直角三角形一等边三角形一等腰三角形一直角三角形

B.直角三角形一等腰三角形一直角三角形一等边三角形

C.直角三角形一等边三角形一直角三角形一等腰三角形

D.等腰三角形一等边三角形一直角三角形一等腰三角形

【考点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质.

【专题】动点型；三角形：数据分析观念.

【分析】把点尸从点B出发，沿折线8C-CD方向移动的整个过程，逐次考虑确定三角

形的形状即可。

【解答】解：♦••/8=60°,故菱形由两个等边三角形组合而成，

当APLBC时，此时△ABP为等腰三角形；

当点尸到达点C处时，此时AABP为等边三角形；

当点尸在。上且位于AB的中垂线时，则AABP为等腰三角形；

当点P与点。重合时，此时△A8P为等腰三角形，

故选：C.

【点评】本题主要考查了菱形的性质，涉及到等腰三角形、等边三角形和直角三角形的

性质，题目有一定的综合性，难度适中。

2.（2021•锡山区校级模拟）如图，ZVIBC中，ZC=90°,8c=8,AC=6,点P在A8上，

AP=3.6,点E从点A出发，沿AC运动到点C,连接尸E,作射线PF垂直于PE,交直

线3c于点F,EF的中点为Q,则在整个运动过程中，线段PQ扫过的面积为（）

B.

A.8B.6KD虚兀

CT4

【考点】直角三角形斜边上的中线.

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【分析】如图，取AC,BC的中点M,M连接PM,PN,MN,QP,QC.利用相似三

角形的性质证明推出点。的运动轨迹是线段MM推出线段尸Q扫过的面积为

赳PMN的面积=z^MNC的面积即可解决问题.

【解答】解：如图，取AC,BC的中点M,N,连接PM,PN,MN,QP,QC.

VZACB=90°,4c=6,8c=8,

22=22=10

：.AB=JAc+BCV6+8

63

--=-

.AC5AP=3.6=3

AB10AC5

Ac一AP

--,

AcAC

VNA=NA,

・・・ZAPC^AACB,

AZAPC=ZACB=90°,

：.CPLAB,

■:BM=CM,CN=NA,

:.MN〃AB,

•••MN垂直平分线段PC,

VZECF=Z£PF=90°,EQ=FQ,

：.CQ=QP=^EF,

...点Q在线段PC的垂直平分线上，

/.点。的运动轨迹是线段MN,

，线段PQ扫过的面积为△PMN的面积=/\〃根7的面积=」X3X4=6,

故选：B.

【点评】本题考查直角三角形斜边中线的性质，相似三角形的判定和性质，线段的垂直

平分线的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找点Q的运动轨迹，属于中考常考题

型.

3.（2021春•安宁市校级期中）如图，正方形A8CO中，点£;尸分别在BC、CO上，A4EF

是等边三角形，连接AC交E尸于G,下列结论：①BE=D尸；②ND4尸=15°,③AC垂

直平分EF,（4）CG芈CE，其中正确结论有（）个.

【考点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；正方

形的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形菱

形正方形；几何直观；运算能力；推理能力.

【分析】通过条件可以得出△ABE丝△ADF,从而得出N8AE=ND4F,BE=DF,由4

AEF是等边三角形，得到NE4尸=60°,进而求出/D4尸=15°,由正方形的性质就可

以得出EC=FC,就可以得出AC垂直平分EF,设EC=FC=x,由勾股定理就可以得出

EF,根据直角三角形斜边中线的性质即可证得CG=返CE.

【解答】解：•••四边形A8C。是正方形,

：.AB=BC=CD=AD,NB=NBCD=ND=NBAD=90°,

•.•△4EF等边三角形,

：.AE=EF=AF,NEAF=60°,

：.ZBAE+ZDAF=30°,

在RtAABE和Rt/XADF中，

[AE=AF,

lAB=AD，

.•.RtAABE^RtAADF(HL),

：.BE=DF,ZBAE=ZDAF,

故①正确；

VZBA£+ZDAF=30°,

：.ZDAF+ZDAF=30°,

即ND4F=15°,

故②正确；

,:BC=CD,

：.BC-BE=CD-DF,即CE=CF,

"：Rt/\ABE^Rt/\ADF,

：.AE=AF,

；.AC垂直平分EF,

：.EG=FG,

故③正确；

；NECF=90°,EG=FG,

CG=-EF,

2

设EC=FC=x,由勾股定理，得EF=dEC2+FC

z.CG=LEF=^X=®CE,

222

故④正确；

综上所述，正确的有①②③④，共4个.

故选：D.

【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理

的运用，等边三角形的性质的运用，根据全等三角形的的判定证得Rt^ABE和RtZ\AOF

是解题的关键.

4.(2021•慈溪市模拟)已知，矩形A3CO中，七为A8上一定点，F为BC上一动点,以

为一边作平行四边形EFG“，点G,“分别在CD和上，若平行四边形的

面积不会随点厂的位置改变而改变，则应满足()

A.AD=4AEB.AD=2ABC.AB=2AED.AB=3AE

【考点】平行四边形的性质；矩形的性质.

【专题】矩形菱形正方形；运算能力；推理能力.

【分析】设BC=b,BE=c,BF=x,根据S平行四边形EFG”=S矩形ABCQ-2(S4BE尸+S

△AEH)=Ca-2c)x+hc,尸为BC上一动点，X是变量，(a-2c)是x的系数，根据平行

四边形EFG/7的面积不会随点F的位置改变而改变，为固定值，x的系数为0,A为固

定值，a-2c=0,进而可得点E是A8的中点，即可进行判断.

【解答】解：设AB=o,BC=b,BE=c,BF=x,

••S平行四边形EFG〃=S矩形ABC。-2(S&BEFtSMEH)

=ab-2[—cx+—(a-c)(。-x)]

22

=ab-(cx+ab-ax-bc+cx)

=ab-ex-ab+cix+bc-ex

=(a-2c)x+bcf

•・,尸为3c上一动点，

是变量，(4-2c)是X的系数，

・・•平行四边形EFGH的面积不会随点F的位置改变而改变，为固定值,

・,・x的系数为0,儿为固定值，

:・a-2c=0,

•・a=2c,

・・・E是AB的中点，

：.AB=2AE,

故选：C.

【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握矩形的性

质.

5.（2020秋•沈北新区校级期末）如图，已知正方形A8CD的边长为4,点M和N分别从以

C同时出发，以相同的速度沿8C、CD向终点C、。运动，连接AM、BN,交于点P,

连接尸C,则尸C长的最小值为（）

【考点】全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理；正方形的性

质.

【专题】矩形菱形正方形；创新意识.

【分析】先证明丝ZiBCN,得出证出NAPB=90°,得出点P

在以A8为直径的圆上运动，运动路径一条弧8G,连接OC交圆。于P,此时PC最小，

OP=OB=2,即可求解.

【解答】解：由题意得：BM=CN,

：四边形ABC。是正方形，

...NABM=N8CN=90°,AB=BC=4,

在△ABM和△8CN中，AB=BC,ZABM=ZBCN,MB=CN,

.♦.△ABM岭△BCN（SAS）,

：.NBAM=NCBN,

■:NABP+/CBN=9&,

.•.NAPB=90°,

.•.点p是以AP为半径的圆上远动，设圆心为。，运动路径一条弧耘，是这个圆的工，

如图所示:

连接0C交圆0于P，此时PC最小,

：4B=4,

：.OP=OB=2,

由勾股定理得：0c=62+42=2泥,

；.PC=OC-0尸=2“-2；

故选：A.

【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中

线性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证出点P在以AB为直径的圆上运

动是解题关键.

6.（2020秋•化州市期末）如图，已知E,尸分别为正方形ABC。的边AB,8c的中点，AF

与。E交于点M,。为BO的中点，则下列结论：①ZAME=90°,②NBAF=NEDB,

③®ME+MF=-/2MB.其中正确结论的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质.

【专题】图形的全等；矩形菱形正方形.

【分析】根据正方形的性质可得AB=BC=AD,ZABC=ZBAD=90°,再根据中点定

义求出AE=BF,然后利用“边角边”证明AABF和△加£：全等，根据全等三角形对应

角相等可得然后求出NACE+/D4尸=NBAO=90°,从而求出乙4MD

=90°,再根据邻补角的定义可得/AME=90°,得出①正确；根据中线的定义判断出

NADEW/EDB,然后求出NBAFWNEOB,判断出②错误；设正方形ABCD的边长为

2”，利用勾股定理列式求出AF,再根据似三角形对应边成比例求出AM,然后求出MF,

消掉。即可得到判断出③正确；如图，过点M作MVL4B于N,于是得到

3

典=迎=迎,得至UNB=AB-AN=2a-&=旦。根据勾股定理得到,MM2

BFABAF55YBN+MN

=2/虱，于是得到结论.

5

【解答】解：在正方形A8CO中，AB=BC=AD,NABC=N8AQ=90°,

■:E、尸分别为边AB,BC的中点,

：.AE=BF=^BC,

2

'AE=BF

在AAB尸和△D4E中，，ZABC=ZBAD>

AB=AD

.'.△AB尸丝△D4E(SAS),

：.NBAF=ZADE,

'：ZBAF+ZDAF=ZBAD=90",

...NAME=180°-ZAA/D=180°-90°=90°,

故①正确；

是△A8£>的中线，

/ADEWNEDB,

：.NBAFWZEDB,

故②错误；

设正方形ABCD的边长为2a,则BF=a,

在RtZXABF中，AF=AyAB2+BF2=V5a>

■:/BAF=NMAE,/4BC=/AME=90°,

•AM_AEpnAM-a

ABAF2a

解得：AM=2&,

5__

:.MF=AF-AM=8i-凶豆a=冬区a,

55

：.AM=^-MF,

3

故③正确；

如图，过点/作MV_LAB于N,

则圆口迎=幽

'BFABAF)

2娓

即股=蒯=蓝—2

a2aV5a

解得MN=Z«,AN=^a,

55

：.NB=AB-AN=2a-£=2,

55_

根据勾股定理，BM=

5

ME+MF==,^£Lz,

55555

：.ME+MF=42MB.

综上所述，正确的结论有①③④共3个.

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性

质，勾股定理的应用，勾股定理逆定理的应用，综合性较强，难度较大，仔细分析图形

并作出辅助线构造出直角三角形与相似三角形是解题的关键.

7.（2019秋•鼓楼区期末）如图，ABLAF,EFLAF,BE与AF交于点C,点。是BC的中

点，NAEB=2NB.若BC=8,EF=5,则4尸的长是（）

D.5

【考点】等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理.

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【分析】根据直角三角形的性质和等腰三角形的判定和性质即可得到结论.

【解答】ft?：'JABLAF,

：.ZFAB=90°,

•••点。是BC的中点，

：.AD=BD=^BC,

2

：.ZDAB^ZB,

：.4ADE=NB+NBAD=2NB,

'：NAEB=2NB,

：.NAED=NADE,

：.AE^AD,

：BC=8,

.•.AE=A£）=4,

,:EF=5,EF±AF,

22=

,"尸=VAE-EF"-（77）2=3'

故选：c.

【点评】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正确的

识别图形是解题的关键.

8.（202（）•龙岗区校级模拟）如图，等边△ABC与正方形。EFG重叠，其中。、E两点分别

在A3、BC上，且2£>=8E.若AB=6,DE=2,则△EFC的面积为（）

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形.

【分析】过尸作FQ1.BC于Q,根据等边三角形的性质和判定和正方形的性质求出BE

=2,NBED=60°,NDEF=90°,EF=2,求出NFEQ,求出CE和FQ,即可求出答

案.

【解答】解：过尸作F0LBC于Q,贝UN尸0E=9O°,

；△ABC是等边二角形，A8=6,

：.BC^AB=6,NB=60°,

；BD=BE,DE=2,

...△BE。是等边三角形，且边长为2,

：.BE=DE=2,NBED=60°,

:.CE=BC-BE=4,

:四边形。EFG是正方形，DE=2,

:.EF=DE=2,NDEF=90°,

AZFEC=180°-60°-90°=30°,

QF=aEf=1,

...△£7:'。的面积为,又，£乂尸（3=**4*1=2,

故选:B.

【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定、正方形的性质等知识点，能求出CE和

F。的长度是解此题的关键.

9.（2019秋•温江区校级月考）如图，在矩形ABC。中，DEVACE,NEDC：ZEDA=\：

3,且AC=10,则OE的长度是（

C.3

2

【考点】矩形的性质.

【专题】矩形菱形正方形；推理能力.

【分析】根据/EQC：NEDA=1：3,可得/E£)C=22.5°,NED4=67.5°,再由AC

=10,求得DE.

【解答】解：；四边形A8C。是矩形，

N4OC=90°，AC=BD=\0,OA=OC=Lc=5,OB=OD=、BD=5,

22

：.OC=OD,

：.ZODC=ZOCD,

VZEDC：NEDA=1：3,NEOC+/EZM=90°,

N£DC=22.5°,NEDA=67.5°,

VDE±AC,

ZD£C=90°,

ZDC£=90°-4EDC=675",

...NOOC=NOCD=67.5°,

ZODC+ZOCD+ZDOC=180°,

AZCOZ)=45°,

OE=DE,

"：OE2+DE2=OD2,

：.(2DE)2=OJ=25,

：.DE=^fi,

2

故选：D.

【点评】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，求解NCOQ=45°是解题的关键.

10.(2021春•朝阳区校级期中)如图，在给定的正方形ABC。中，点E从点B出发，沿边

8C方向向终点C运动，。凡LAE交A8于点F,以FD,FE为邻边构造平行四边形DFEP,

连接CP,则NDFE+NEPC的度数的变化情况是()

A.一直减小B.一直减小后增大

C.一直不变D.先增大后减小

【考点】平行四边形的性质：正方形的性质.

【专题】矩形菱形正方形；应用意识.

【分析】根据题意/£>EE+NEPC=NOPC,作PH1.BC交BC的延长线于H,证明CP

是NDCH的角平分线即可解决问题.

【解答】解：作尸H_LBC交8c的延长线于”，

AD

BECH

•..四边形ABC。是正方形，

：.AD=AB=BC,

NDAF=NABE=NDCB=NDCH=90°,

•：DFA.AE,

：.ZBAE+ZDAE=90°,ZADF+ZDAE=90<>,

：.NBAE=ZADF,

：./\ADF^/\BAE(ASA),

：.DF=AE,

•.•四边形DFEP是平行四边形，

：.DF=PE,NDFE=NDPE,

VZBA£+ZA£B=90°,NAEB+NPEH=90°,

:.NBAE=NPEH,

；NABE=NH=90°,AE=EP.

：.^ABE^^EHP(AAS),

：.PH=BE,AB=EH=BC,

：.BE=CH=PH,

：.ZPCH=45°,

'：ZDCH=90°,

：.4DCP=4PCH,

，CP是NQC，的角平分线，

...点P的运动轨迹是/OCH的角平分线,

NDFE+NEPC=4DPE+NEPC=ZDPC,

观察图象可得，NOPC一直减小，

故选：A.

【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识,

解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.

二.填空题（共10小题）

11.（2021春•兴化市月考）如图，在正方形ABCQ中，F在A8上，E在BC的延长线上，

AF=CE,连接。F、DE、EF,EF交对角线8。于点N,M为EF的中点，连接MC,下

列结论：①ADEF为等腰直角三角形；②NFDB=NFEC；③直线MC是BD的垂直平

分线；④若BF=2,则MC=J5；其中正确结论的有①②③④.

【考点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；正方形的性质.

【专题】矩形菱形正方形；应用意识.

【分析】根据正方形的性质可得AO=C。，然后利用“边角边"证明△">/和△CDE全

等，根据全等三角形对应角相等可得£>E=OF,/ACF=N8E,然后求出NEOF=NAOC

=90°,判断出是等腰直角三角形，判断出①正确；由△QE尸是等腰直角三角形

和正方形的性质可得/N8E=NOFE=45°,利用三角形内角和为180°即可判断②正

确;连接BM、DM.根据直角三角形的性质可得BM=1EF=MD.运用“SSS”证明△

2

BCM^/XDCM,得NBCM=NDCM；最后由正方形的性质推知MC垂直平分B。，故③

成立;过点M作MH±BC于H,则NMCH=45°,根据三角形中位线定理得到MH=ZBF

2

=1,求得故④正确.

【解答】解：正方形ABC。中，AD=CD,

在1和△口）£中，

'AD=CD

<ZA=ZDCE=90">

AF=EC

:.△AD21XCDE(SAS),

:.DE=DF,NADF=NCDE,

ZEDF=ZFDC+ZCDE=ZFDC+ZADF=ZADC=90°,

.•.△QEF是等腰直角三角形，故①正确；

/.ZDFE=45",

•.,正方形ABCD,BD为对角线，

:.NNBE=45°,

ZFDN+ZDFN+ZDNF=ZNBE+ZBNE+ZNEB=180°,ZNBE=ZDFE=45°,Z

DNF=NBNE,

：.NFDB=N尸EB,故②正确；

连接BM、DM,

是E尸的中点，ABEF、ZXOEF是直角三角形,

:.BM=DM=、EF,

2

又,：BC=CD,

直线CM是的垂直平分线，

过点M作于H,则NMCH=45°,

是EF的中点，BFA.BC,MHLBC,

是aBE尸的中位线，

2

：.CM=\p2MH=42<故④正确；

综上所述，正确的结论有①②③④.

故答案为：①②③④.

【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形

的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，到线段两端点距离相等的点在线段的垂

直平分线，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记各性质与定理并

作辅助线是解题的关键.

12.（2021春•黄陂区期中）如图，在平行四边形A8CZ）中，E,F分别为BC,C。的中点,

ZEAF=60°.若AE=3,A尸=4,则AB的长为生巨.

一3一

【专题】推理填空题；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力.

【分析】延长4E交。C延长线于〃点，过M点作MNJ_AF于N点，先证明△ABE妾A

MCE,得到AM=2AE=6,然后在中，利用30°直角三角形的性质和勾股定

理可求AN=3,MV=3«,然后在Rt/\MNF中利用勾股定理求出MF值，依据MF=>B,

2

贝AB值可求.

【解答】解：延长AE交QC延长线于M点，过M点作MNLAF于N点，

点为BC中点，

：.BE=CE.

,JAB//DM,

:.NB=NECM.

又/AEB=NMEC,

：./^ABE^/\MCE（ASA）.

：.CM=AB,AE=ME=3,

：.AM=2AE=6.

在RtZXAMN中，NMAN=60",

所以NAMN=30°,

；.AN=£AM=3,MN=JAM_人«=丫62.32=3遥,

：.NF=AF-AN=4-3=[.

在RtZiMNF中，利用勾股定理可得

22=

MF=7MN+NF<27+1=2V7

1/四边形ABCD是平行四边形，

:.CD=AB,

又尸为cr>中点，

:.CF=^CD=1AB.

22

，MF=MC+CF=邑48.

2

所以当18=2百，

2

解得AB=^H.

故答案为士£.

3

【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，在几何图形中涉及线段中线问题，一般倍

长中线，作出辅助线构造等腰三角形进行线段的转化.

13.（2021•河南模拟）如图，矩形A8CD中，AB=3,BC=4,OE平分NAOC交BC于点E,

AF平分/BAO交BC于点F,交。E于点G,则”=近0.

FG―2一

【考点】角平分线的性质；矩形的性质.

【专题】推理填空题；矩形菱形正方形；运算能力；推理能力.

【分析】过点G作AQ的垂线，分别交A。，BC于点N,M,可得四边形8NM是矩形,

根据矩形性质和角平分线定义可以证明△AGO和△GEF均为等腰直角三角形，再利用勾

股定理可得CG和FG的长，进而可得结论.

【解答】解：如图，过点G作AO的垂线，分别交AD,BC于点、N,M,

则四边形CDMW是矩形，

：.MN=CD=AB=3,CM=DN,

•••四边形ABC。是矩形，

J.AD//BC,BC=AD=4,

:DE平分/ADC交8C于点E,AF平分/区4力交BC于点F,

:.NDAG=NADG=NGEF=NGFE=45°,

△AGQ和AGEF均为等腰直角三角形，

:.GN=DN=^AD=2,

2

GM=MN-GN=AB-GN=3-2=1,

MC=DN=2,

：.MF=GM^\,

=22=

CGVGM+MCVl2+22"旄’

:.GF=&,

.CG=V5=V10

,•而72~2~,

故答案为：匝.

2

【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与

性质、角平分线的性质、勾股定理等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰直

角三角形的判定与性质是解题的关键.

14.（2020•历城区三模）如图，正方形ABCO的边长为6,点£是BC的中点，连接AE与

对角线BD交于点G,连接CG并延长，交AB于点F,连接DE交CF于点H,连接AH.以

下结论：①CTLOE；®CH=Z；®AD=AH；④GH=^其中正确结论的序号是

HF35V

②③④

【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质.

【专题】推理填空题；数形结合：图形的全等：等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正

方形；运算能力；推理能力.

【分析】由正方形的性质可得AB=AD=BC=CD=6,BE=CE=3,NDCE=NABE=

90°,NABD=NCBD=45°,可证△ABE丝△OCE,ZXABG丝△CBG,可得NBCF=N

CDE,由余角的性质可得CF_LO£；由勾股定理可求。E的长，由面积法可求C”，由相

似三角形的性质可求CF,可得H尸的长，即可判断②；如图，过点A作由4

ADM^/\DCH,可得CH=Z)M=gy5=MH,由垂直平分线的性质可得4D=AH；由平

5

行线分线段成比例可求GH的长，即可判断④.

【解答】解：•.•四边形ABC。是边长为6的正方形，点E是BC的中点，

：.AB=AD=BC^CD^6,BE=CE=3,

ZDCE^ZABE=90°,/ABD=NCBD=45°,

:.△ABEQADCE(SAS),

：.NCDE=NBAE,DE=AE,

\'AB=BC,NABG=NCBG,BG=BG,

：./XABG^/\CBG(SAS),

:./BAE=NBCF,

：.ZBCF=ZCDE,

又；NCDE+NCED=90°,

：.NBCF+NCED=90°,

...NCHE=90°,

：.CF±DE,故①正确；

,:CD=6,CE=3,

AD£=7CD2-K:E2

=V36+9

=3娓,

S&DCE=ACDxCE=ADEXCH,

22

/.CH=^5,

5

:NCHE=NCBF,NBCF=NECH,

:.△ECHS/\FCB,

•CHCE

*"BC=CF'

.6X3

e司U旄r'

5

/.HF=CF-CH=^^,

5

:.更=2,故②正确;

HF3

如图，过点A作4M_LOE于点M,

.,.£>H=、DC2VH2

-1275

—11

5

"：ZCDH+ZADM=90°,ZDAM+ZADM=90a,

：.NCDH=NDAM,

又：A0=C£),ZCHD=ZAMD=90°,

/.AADM^ADC/7(A4S),

：.CH=DM=^B-,AM=CH=-12&,

55

:.MH=DM=§匹,

5

又：人用，。”，

：.AD^AH,故③正确；

,:DE=3疾,DH=二近

5

：.HE=^&,

5_

ME=HE+MH=^^,